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2025-2026学年广东省深圳外国语学校高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B. C. D.
2.已知命题：，，若为假命题，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.已知，则( )
A. B. C. D.
4.函数的零点所在区间为( )
A. B. C. D.
5.物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度是，后的温度是，则，其中表示环境温度，称为半衰期现有一杯的咖啡放在的房间中，室温不变的情况下，如果咖啡降温到大约需要，那么继续降温到大约再需要( )
参考数据：，
A. B. C. D.
6.在中，角，，的对边分别为，，，若，则的值为( )
A. B. C. D.
7.已知函数是定义在上的奇函数，，且当时，，则( )
A. B. C. D.
8.若实数，满足，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是( )
A.
B.
C. 的解集为
D. 的最小值为
10.函数的部分图象如图所示，则( )
A.
B. 点为图象的一个对称中心
C. 时，的值域为
D. 若，则
11.设函数则下列说法正确的有( )
A. 方程的实根之和为
B. 函数的值域为
C. 当时，方程只有个实根
D. 若方程有个实根，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知某扇形的周长是，圆心角为弧度，则该扇形的面积为 ．
13.设，为正数，，则的最小值为 ．
14.将函数的图象各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标扩大为原来的倍，得到函数的图象，若不存在使得，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某公司为提高企业经济效益，大力进行新产品研发，现计划投入万元，全部用于甲、乙两种产品的研发在对市场进行调研分析后发现，甲产品的利润单位：万元，乙产品的利润单位：万元与研发投入单位：万元之间的关系如下表所示．
万元
万元
万元
根据以上表格中的数据判断：；；；，上述四个模型哪两个更适宜分别作为与关于的函数模型？不需要说明理由
根据表格数据求出所选两个模型的函数解析式；
试问如何安排甲、乙两种产品的研发投入，才能使总利润最大？
16.本小题分
在锐角三角形中，角，，的对边分别为，，，且．
求角的大小；
若，求的取值范围．
17.本小题分
已知奇函数．
求，并用定义证明在定义域上单调递增；
解不等式．
18.本小题分
已知函数．
证明：函数的图象关于直线对称；
当时，求方程在内实根个数；
当时，讨论函数在上的单调性．
19.本小题分
一个完美均匀且灵活的项链的两端被悬挂，并只受重力的影响，这个项链形成的曲线形状被称为悬链线年，莱布尼茨、惠更斯和约翰伯努利等得到“悬链线”方程，其中为参数当时，就是双曲余弦函数，类似的双曲正弦函数，它们与正、余弦函数有许多类似的性质．
证明：以及；
求函数在上的零点；
讨论方程在上解的个数．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】选作为，选作为 ， 甲、乙两种产品的研发投入分别为万元和万元，可使总利润最大，最大为万元
16.【答案】
17.【答案】，证明如下：
，，，
，
因为为单调递增函数，所以由，得且，
所以，，
所以在上单调递增
18.【答案】要证函数的图象关于直线对称，
即证，
当为偶数时，，，
所以，
当为奇数时，，，
所以
；综上所述，，
所以的图象关于直线对称 个 在上单调递减，在上单调递增
19.【答案】证明如下，
．
，得证 当时，即原方程无解；当时，即原方程有个解；当时，原方程有个解
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