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2025-2026学年江苏省泰州市靖江市高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设复数满足，则( )
A. B. C. D.
2.已知圆台的上、下底面的半径分别为，，高为，则该圆台的母线长为( )
A. B. C. D.
3.已知向量，都是非零向量，设甲：存在实数，使得，乙：，则( )
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件 D. 甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
4.在中，角，，的对边分别为，，若，则( )
A. B. C. D.
5.已知向量，，若，则( )
A. B. C. D.
6.已知事件与事件相互独立，若，，则( )
A. B. C. D.
7.已知，，则( )
A. B. C. D.
8.在长方体中，已知，关于长方体有下列三个命题：
甲：与所成的角的余弦值为；
乙：与所成的角的余弦值为；
丙：．
如果其中有且只有个真命题，则长方体的体积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知为虚数单位，为自然数，则( )
A. B. C. D.
10.一只不透明的口袋内装有大小一样的个白球和个黑球，从中不放回的依次取出两个球，记“取出的两球同色”为事件，“第一次取出的是黑球”为事件，“第二次取出的是黑球”为事件，“取出的两球不同色”为事件，则( )
A. 与对立 B. 与互斥 C. 与独立 D. 与独立
11.在中，，，的角平分线交于点，则( )
A. 的最小值为
B. 当最小时，
C. 当为锐角三角形时，
D. 当时，的面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知一组数据，，，，，，则这组数据的方差为 ．
13.在直三棱柱中，已知，，该三棱柱的底面的面积的最大值为 ；当底面的面积最大时，直线与平面所成角的正弦值为 ．
14.在中，已知，若点满足，在上的投影向量为，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，，求下列各式的值：
；
．
16.本小题分
为调研某校学生的劳动教育课程开展情况，调研人员从全校学生中随机抽取名，记录其对劳动教育课程开展情况的满意度评分，学生独立地进行满意度评分将满意度评分数据整理统计后，得到如下频率分布直方图．
估计满意度评分的中位数；
现采用分层抽样的方法，从满意度评分在内的学生中随机抽取人，再从这人中任取人，求一人的满意度评分在内，另一人的满意度评分在内的概率．
17.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，已知为锐角，，．
求；
若为的中点，从下面中选取一个作为条件，使得存在，求的长．
边上的高为；；．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
18.本小题分
如图，在三棱锥中，，，，是的中点，是的中点，．
求证：平面；
若是的中点，在上，平面．
求的长；
求二面角的正切值．
19.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，，分别为函数的图象的一个最高点和一个最低点，已知点的纵坐标为，点，，，均在函数的图象上，其中．
若的面积为，求点的横坐标；
将沿翻折至，使得平面平面．
在四面体中，试判断和是否垂直？如垂直，请证明；如不垂直，请说明理由；
若四面体的每一个顶点都在半径为的球内或球面上，证明：．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】

14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】 选时，存在，；选时不存在；选时，存在，
18.【答案】证明：因，，则，
又因是的中点，则，且，
在中，，则，
又因是的中点，则，
因，则由可得，
因，，平面，故AE平面 ；
19.【答案】或 和不垂直，理由如下：
由小问可知，，，，
设为点在直线上的垂足，
因为在轴上，且，所以，从而，，
翻折后，点仍在上，，
题设中平面平面，可把画成垂直于原平面的线段，
在直线上取点，使，在的同侧，且；过作垂直于平面，且，并使与在平面的同侧，
于是直线与直线平行，
如果垂直于，那么也垂直于，所以三角形应为直角三角形，且直角在点处，于是应有，
下面计算各线段长度，
在平面内，，又，
因为，所以，且垂直于平面，故AF，
而，与不相等，所以三角形不可能在点处为直角三角形，即不垂直于，
又与平行，因此和不垂直．
(ⅱ)由小问知，或，
当时，，
所以，
当时，，
所以，
综上，无论点取哪一个位置，都有，
若四面体的每一个顶点都在半径为的球内或球面上，则球内任意两点间的距离不超过球的直径，
因为点，均在该球内或球面上，所以，从而
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