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2025-2026学年上海市静安区民立中学高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.以下对数式中，与指数式等价的是( )
A. B. C. D.
2.已知，则下列正确的是( )
A. B. C. D.
3.在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度和燃烧质量千克，火箭除燃料外的质量千克，它们之间的函数关系是，当燃料质量是火箭质量的倍时，火箭的最大速度可达到？
A. B. C. D.
4.已知函数，、、，且，，，则的值( )
A. 一定等于零 B. 一定大于零 C. 一定小于零 D. 正负都有可能
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.已知，，，则 ．
6.关于的不等式的解集为 ．
7.函数的定义域为 ．
8.若，则 ．
9.已知扇形的弧所对的圆心角为，且半径为，则该扇形的面积为 ．
10.化简： 化成的形式
11.已知角的终边经过点，，则 ．
12.若，，且，则的最大值是 ．
13.不等式的解集是 ．
14.若函数在区间上是严格递减函数，则实数的取值范围为 ．
15.满足的锐角组成的集合是 ．
16.已知函数，若存在区间，使得函数在上的值域为，则实数的取值范围为 ．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知集合和集合．
若，求实数的取值范围；
已知：，：，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知，，，．
求的值；
求的值；
是第几象限的角．
19.本小题分
已知函数为偶函数，其中．
求的值；
若对恒成立，求实数的取值范围．
20.本小题分
已知．
若过，求的解集；
存在，使得，求的取值范围．
21.本小题分
定义：如果函数在定义域内给定区间上存在实数，满足，那么称函数是区间上的“平均值数”，是它的一个均值点．
判断函数是否是区间上的“平均值函数”，并说明理由；
若函数是区间上的“平均值函数”，求实数的取值范围；
设函数是区间上的“平均值函数”，是函数的一个均值点，求所有满足条件的数对．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】且
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】
18.【答案】 第三象限
19.【答案】
20.【答案】解：函数的图像过点，则，
解可得，则，其定义域为，
若，即，则，解可得，
即不等式的解集为；
根据题意，由的结论，，其定义域为，
方程，即，
变形可得，
则有，即，
令，，则有，
若存在实数，使得，则方程在时有解，
而，必有，
又由且，则有，
则的取值范围为．
21.【答案】解：函数是区间上的“平均值函数”，
理由：由方程，可得，
结合“平均值函数”的定义，可得为“平均值函数”，是它的一个均值点；
函数是区间上的“平均值函数”，
则可得在有解，
化为，
可得，可令，且，
则，由在递增，可得，
即；
函数是区间上的“平均值函数”，
可得在有解，
由是函数的一个均值点，可得，且，
即，因为，，且，故可得，，
所有满足条件的数对为．
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