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四川南充市2025-2026学年下学期普通高中学业质量监测
高二数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知数列满足，，则( )
A. B. C. D.
2.已知随机变量，若，则( )
A. B. C. D.
3.记等差数列的前项和为，若，，则( )
A. B. C. D.
4.已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A. 在区间上单调递减 B. 在处取得极大值
C. 在区间上单调递增 D. 在处取得极大值
5.已知盒子中装有个红球和个白球，从中任取个球取到每个球都是等可能的，用随机变量表示取到的红球个数，则( )
A. B. C. D.
6.等比数列的各项均为正数，且，则( )
A. B. C. D.
7.定义在上的函数满足，数列满足，若存在，使不等式成立，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知曲线在，两点处的切线也是曲线的切线，则的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设随机事件，满足，且，，下列说法正确的是( )
A. 与相互独立 B. C. 与互斥 D.
10.已知，下列说法正确的是( )
A. B.
C. D. 除以的余数为
11.下列说法正确的是( )
A. 将封信投入个不同的邮筒，则有种不同的投法
B. 名同学排成一排拍照，甲、乙两人相邻且丙、丁两人不相邻，则有种不同的排法
C. 个完全相同的小球分给名同学，每人至少分得个，则有种不同的分法
D. 的正因数有个
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知数列的前项和公式为，则 ．
13.甲和乙两个箱子中各装有个球，其中甲箱中有个红球、个白球，乙箱中有个红球、个白球．掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为，，，从甲箱中随机摸出个球；如果点数为，，，从乙箱中随机摸出个球，则摸到红球的概率为 ．
14.如图是瑞典数学家科赫在年构造的能够描述雪花形状的图案．图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原正三角形图的边长为，把图、图、图、图、中图形的周长依次记为，，，，，面积依次记为，，，，，则 ， ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列为等差数列，且，．
求数列的通项公式；
求数列的前项和．
16.本小题分
已知函数，．
求曲线在点处的切线方程；
求函数的极值．
17.本小题分
如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，共移动次，每次向左或向右移动一个单位，其中每次向左移动的概率为，向右移动的概率为．

当移动次完成时，求质点回到原点的概率；
设移动次完成时质点位于点处，求的分布列和数学期望．
18.本小题分
已知数列的首项为，点在函数的图象上．
证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；
设，．
求数列的前项和；
试确定所有的正整数，使数列中存在某个连续项的和是数列中的一项，并证明．
19.本小题分
已知函数．
证明：；
若，．
证明：恰有两个零点；
若，是否存在，使得？若存在，比较与的大小；若不存在，请说明理由．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：设等差数列的公差为，则，解得，所以．
由得：，
所以．

16.【答案】解：，求导可得
当时，，，
所以曲线在点处的切线方程为，即．
由小问可知，
令，解得，
所以当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以的极小值为，无极大值．

17.【答案】解：设质点向左移动的次数为，向右移动的次数为．
因为质点共移动 次，且回到原点，所以向左和向右移动的距离相等，即．
又，所以每次向左移动的概率为，向右移动的概率为．
根据 次独立重复试验的概率公式，质点回到原点的概率为：
故当移动 次完成时，质点回到原点的概率为．
设质点向右移动的次数为，则向左移动的次数为，其中．
质点最终的位置．
所以随机变量 的可能取值为．
根据独立重复试验概率公式，计算各取值的概率：
当 时，，；
当 时，，；
当 时，，；
当 时，，；
当 时，，．
所以 的分布列为：
的数学期望为．

18.【答案】解：因为点在函数的图象上，
所以，即，
整理得，
又，，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，整理得；
，，
，
所以，
，
得，
，
所以；
，设数列从第项开始，连续项的和为，
，
，数列的项全部为正奇数，因此要求为奇数，即为奇数，
因为恒为奇数，所以必须为奇数，
题意等价于存在正整数，使得，
当为正偶数时，
令，
，因此，
，即是的倍数，
所以是偶数，与必须为奇数矛盾，即为正偶数均不满足条件，
当为正奇数时，
令，
，奇次幂保持余数，
，即除以余，
所以为奇数，
证明如下：取取数列第一项为连续段起点，
代入得，解出，
为奇数，则为偶数，设，，
，，
所以能被整除，为整数，
又，代入得，即是正整数，
所以对任意正奇数，取时，总能找到对应的正整数，使连续项和，满足题意，
即满足条件的正整数是全体正奇数，即．

19.【答案】解：设，
则，
令，得，令，得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
则，即．
由，，，
则，
设，，则，
所以函数在上单调递减，
因为，时，，
所以存在，使得，
当时，，；
当时，，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
又，则，而时，，
根据零点存在性定理，可知函数在和时各有个零点，
则恰有两个零点．
由知，若，则，，即，
且存在，使得，并且，
由知，，，当且仅当时等号成立，
而，则，
所以，
，
设，，
则，
所以函数在上单调递增，
则，即，而，
则，
因为在上单调递减，
所以，即．

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