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6.1 练习1　计数原理及其简单应用 　　　　　　　　　　　　　
1. 某同学从4本不同的科普杂志、3本不同的文摘杂志、2本不同的娱乐新闻杂志中任选1本阅读，则不同的选法共有(　B　)
A. 24种 B. 9种
C. 3种 D. 26种
【解析】不同的杂志本数为4＋3＋2=9，从其中任选1本阅读，共有9种选法.
2. 阅读课上，3名同学分别从5种不同的书中选择1种进行阅读，不同的选法种数为(　C　)
A. 50 B. 60
C. 125 D. 243
【解析】3名同学分别从5种不同的书中选择一种进行阅读，每名同学都有5种选法，∴不同的选法种数为53=125.
3. 已知有5个不同的棱柱、3个不同的棱锥、4个不同的圆台、2个不同的球，若从中取出2个几何体，包括多面体和旋转体各1个，则不同的取法种数为(　C　)
A. 14 B. 23
C. 48 D. 120
【解析】分两步：第1步，取多面体，有5＋3=8(种)不同的取法；第2步，取旋转体，有4＋2=6(种)不同的取法，∴不同的取法种数是8×6=48.
4. 数字0，1，1，2可以组成的不同的三位数有(　C　)
A. 24个 B. 12个
C. 9个 D. 6个
【解析】当百位上为1时，组成的三位数有101，102，110，112，120，121，共6个数；当百位上为2时，组成的三位数有201，210，211，共3个数，∴组成不同的三位数有9个.
5. 甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有(　C　)
A. 6种 B. 12种
C. 24种 D. 30种
【解析】可分三步完成：第一步，甲、乙选相同的1门共有4种选法；第二步，甲再选1门有3种选法；
第三步，乙再选1门有2种选法，由分步乘法计数原理知，甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有4×3×2=24(种).
6. 如图所示，点A，B间有四个焊接点1，2，3，4，若焊接点脱落导致断路，则电路不通，那么电路不通时焊接点脱落的不同情况有(　C　)
A. 9种 B. 11种
C. 13种 D. 15种
【解析】按照可能脱落的个数分类讨论.若脱落1个，则有(1)，(4)，共2种情况；若脱落2个，则有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共6种情况；若脱落3个，则有(1，2，3)，(1，2，4)，(2，3，4)，(1，3，4)，共4种情况；若脱落4个，则有(1，2，3，4)，共1种情况.综上，共有2＋6＋4＋1=13(种)情况.
7. 如图所示为某地地图的局部，请在地图上分别给各区域涂色，要求相邻的区域涂不同的颜色，现有5种不同的颜色可供选用，则不同的涂色方案数为(　D　)
A. 540 B. 600
C. 660 D. 720
【解析】第一步涂区域①有5种选择，第二步涂区域②有4种选择，第三步涂区域③有4种选择，第四步涂区域④有3种选择，第五步涂区域⑤有3种选择，即共有5×4×4×3×3=720(种)涂色方案.
8. (多选)现有15个不同的球，其中红球4个，黄球5个，绿球6个，则下列说法中，正确的有(　ABD　)
A. 从中任选1个球，有15种不同的选法
B. 若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法
C. 若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法
D. 若不放回地依次选出2个球，有210种不同的选法
【解析】对于A，从中任选1个球，有4＋5＋6=15(种)不同的选法，A正确；对于B，若每种颜色选出1个球，有4×5×6=120(种)不同的选法，B正确；对于C，若要选出不同颜色的2个球，有4×5＋5×6＋4×6=74(种)不同的选法，C错误；对于D，若不放回地依次选出2个球，有15×14=210(种)不同的选法，D正确.
9. (多选)已知a∈{1，2，3}，b∈{4，5，6，7}，r∈{8，9}，则方程(x－a)2＋(y－b)2=r2可表示的不同圆的个数用式子表示为(　AD　)
A. 4＋4＋4＋4＋4＋4
B. 4＋4＋4＋4
C. 3×4
D. 3×4×2
【解析】方法一　完成表示不同的圆这件事有三步：第1步，确定a有3种不同的选取方法；第2步，确定b有4种不同的选取方法；第3步，确定r有2种不同的选取方法.由分步乘法计数原理，方程(x－a)2＋(y－b)2=r2可表示的不同的圆共有3×4×2=24(个).
方法二　由分类加法计数原理得，当a=1时，b=4，5，6，7，r=8或9，有4＋4=8(个)；当a=2时，b=4，5，6，7，r=8或9，有4＋4=8(个)；当a=3时，b=4，5，6，7，r=8或9，有4＋4=8(个)，故方程(x－a)2＋(y－b)2=r2可表示的不同的圆共有4＋4＋4＋4＋4＋4=24(个).
10. (2025·天津红桥高二期末)在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有　36　个.
【解析】根据题意，个位上的数字分别是2，3，4，5，6，7，8，9共8种情况，在每一类中满足题目要求的两位数分别有1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个，由分类加法计数原理知，符合题意的两位数共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8=36(个).
11. 在图1所示的电路中，只合上一个开关可以接通电路，有　5　种不同的方法；在图2所示的电路中，合上两个开关可以接通电路，有　6　种不同的方法.
图1　　图2
【解析】对于图1，按要求接通电路，只要在A中的两个开关或B中的三个开关中合上一个即可，故有2＋3=5(种)不同的方法.对于图2，按要求接通电路必须分两步进行：第一步，合上A中的一个开关；第二步，合上B中的一个开关，故有2×3=6(种)不同的方法.
12. 某市计划在4个体育馆举办排球、篮球、足球3个项目的比赛，每个项目的比赛只能在一个体育馆进行，则在同一个体育馆比赛的项目不超过2个的安排方案共有　60　种.
【解析】把3个项目分配到4个体育馆，所有方案共有4×4×4=64(种)，其中，3个项目被分配到同一体育馆进行有4种方案，故满足条件的分配方案有64－4=60(种).
13. 某班同学准备了5个节目参加班级音乐会活动.节目顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，则在这次活动中，节目顺序的编排方案共有　10　种.
【解析】由题意知甲的位置影响乙的排列，∴要分两类：
①甲排在第一位，丙排在最后一位，则其余3个节目共有3×2×1=6(种)编排方案；②甲排在第二位，丙排在最后一位，从第三、四位中排乙，其余2个节目排在剩下的2个位置，共有2×2×1=4(种)编排方案.综上，编排方案共有6＋4=10种.
14. 某单位职工无偿献血，在体检合格的人中，O型血的有28人，A型血的有7人，B型血的有9人，AB型血的有3人.
(1)从四种血型的人中任选1人去献血，有多少种不同的选法？
(2)从四种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？
解：从O型血的人中选1人有28种不同的选法；
从A型血的人中选1人有7种不同的选法；
从B型血的人中选1人有9种不同的选法；
从AB型血的人中选1人有3种不同的选法.
(1)无论选哪种血型的哪一个人，“任选1人去献血”这件事情都可以完成，故用分类加法计数原理，有28＋7＋9＋3=47(种)不同的选法.
(2)从每种血型的人中各选出1人后，“各选1人去献血”这件事情才完成，
故用分步乘法计数原理，有28×7×9×3=5 292(种)不同的选法.
15. 已知集合A={a，b，c}，集合B={－1，0，1}.
(1)从集合A到B能构造多少个不同的函数？
(2)满足f(a)＋f(b)＋f(c)=0的函数有多少个？
解：(1)每个元素a，b，c都可以有3个数和它对应，故从A到B能构造3×3×3=27(个)不同的函数.
(2)列表如下：
f(a) 0 0 0 1 1 －1 －1
f(b) 0 1 －1 0 －1 1 0
f(c) 0 －1 1 －1 0 0 1
从表中可知满足f(a)＋f(b)＋f(c)=0的函数有7个.
16. 用1，2，3，4四个数字(可重复)排成三位数，并把这些三位数由小到大排成一个数列{an}.
(1)写出这个数列的前11项；
(2)这个数列共有多少项？
(3)若an=341，求n.
解：(1)111，112，113，114，121，122，123，124，131，132，133.
(2)这个数列的项数就是用1，2，3，4排成的三位数的个数，每个数位上都有4种排法，则共有4×4×4=64(项).
(3)比an=341小的数有两类：
①
1 × ×
2 × ×
②
3 1 ×
3 2 ×
3 3 ×
共有2×4×4＋1×3×4=44(项).
∴n=44＋1=45.(共20张PPT)
高中数学 选择性必修 第三册
计数原理
第六章
一、分类加法计数原理与分步乘法计数原理
练习1　计数原理及其简单应用
必备知识练
1. 某同学从4本不同的科普杂志、3本不同的文摘杂志、2本不同的娱乐新闻杂志中任选1本阅读，则不同的选法共有(　 　)
A. 24种 B. 9种
C. 3种 D. 26种
【解析】不同的杂志本数为4＋3＋2=9，从其中任选1本阅读，共有9种选法.
B
2. 阅读课上，3名同学分别从5种不同的书中选择1种进行阅读，不同的选法种数为(　 　)
A. 50 B. 60
C. 125 D. 243
【解析】3名同学分别从5种不同的书中选择一种进行阅读，每名同学都有5种选法，
∴不同的选法种数为53=125.
　C
3. 已知有5个不同的棱柱、3个不同的棱锥、4个不同的圆台、2个不同的球，若从中取出2个几何体，包括多面体和旋转体各1个，则不同的取法种数为(　 　)
A. 14 B. 23
C. 48 D. 120
【解析】分两步：第1步，取多面体，有5＋3=8(种)不同的取法；第2步，取旋转体，
有4＋2=6(种)不同的取法，∴不同的取法种数是8×6=48.
　C
4. 数字0，1，1，2可以组成的不同的三位数有(　 　)
A. 24个 B. 12个
C. 9个 D. 6个
【解析】当百位上为1时，组成的三位数有101，102，110，112，120，121，共6个数；当百位上为2时，组成的三位数有201，210，211，共3个数，∴组成不同的三位数有9个.
C
5. 甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有
(　 　)
A. 6种 B. 12种
C. 24种 D. 30种
【解析】可分三步完成：第一步，甲、乙选相同的1门共有4种选法；第二步，甲再选1门有3种选法；第三步，乙再选1门有2种选法，由分步乘法计数原理知，甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有4×3×2=24(种).
C
6. 如图所示，点A，B间有四个焊接点1，2，3，4，若焊接点脱落导致断路，则电路不通，那么电路不通时焊接点脱落的不同情况有(　 　)
A. 9种 B. 11种
C. 13种 D. 15种
【解析】按照可能脱落的个数分类讨论.若脱落1个，则有(1)，(4)，共2种情况；若脱落2个，则有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共6种情况；若脱落3个，则有(1，2，3)，(1，2，4)，(2，3，4)，(1，3，4)，共4种情况；若脱落4个，则有(1，2，3，4)，共1种情况.综上，共有2＋6＋4＋1=13(种)情况.
C
7. 如图所示为某地地图的局部，请在地图上分别给各区域涂色，要求相邻的区域涂不同的颜色，现有5种不同的颜色可供选用，则不同的涂色方案数为(　 　)
A. 540 B. 600
C. 660 D. 720
【解析】第一步涂区域①有5种选择，第二步涂区域②有4种选择，第三步涂区域③有
4种选择，第四步涂区域④有3种选择，第五步涂区域⑤有3种选择，即共有5×4×
4×3×3=720(种)涂色方案.
D
8. (多选)现有15个不同的球，其中红球4个，黄球5个，绿球6个，则下列说法中，正确的有(　 　)
A. 从中任选1个球，有15种不同的选法
B. 若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法
C. 若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法
D. 若不放回地依次选出2个球，有210种不同的选法
【解析】对于A，从中任选1个球，有4＋5＋6=15(种)不同的选法，A正确；对于B，若每种颜色选出1个球，有4×5×6=120(种)不同的选法，B正确；对于C，若要选出不同颜色的2个球，有4×5＋5×6＋4×6=74(种)不同的选法，C错误；对于D，若不放回地依次选出2个球，有15×14=210(种)不同的选法，D正确.
ABD
9. (多选)已知a∈{1，2，3}，b∈{4，5，6，7}，r∈{8，9}，则方程(x－a)2＋(y－b)2=r2可表示的不同圆的个数用式子表示为(　　)
A. 4＋4＋4＋4＋4＋4
B. 4＋4＋4＋4
C. 3×4
D. 3×4×2
【解析】方法一　完成表示不同的圆这件事有三步：第1步，确定a有3种不同的选取方法；第2步，确定b有4种不同的选取方法；第3步，确定r有2种不同的选取方法.由分步乘法计数原理，方程(x－a)2＋(y－b)2=r2可表示的不同的圆共有3×4×2=24(个).
方法二　由分类加法计数原理得，当a=1时，b=4，5，6，7，r=8或9，有4＋4=8(个)；当a=2时，b=4，5，6，7，r=8或9，有4＋4=8(个)；当a=3时，b=4，5，6，7，r=8或9，有
4＋4=8(个)，故方程(x－a)2＋(y－b)2=r2可表示的不同的圆共有4＋4＋4＋4＋4＋4=24(个).
AD
10. (2025·天津红桥高二期末)在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有______个.
【解析】根据题意，个位上的数字分别是2，3，4，5，6，7，8，9共8种情况，在每一类中满足题目要求的两位数分别有1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个，由分类加法计数原理知，符合题意的两位数共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8=36(个).
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11. 在图1所示的电路中，只合上一个开关可以接通电路，有______种不同的方法；在图2所示的电路中，合上两个开关可以接通电路，有______种不同的方法.
【解析】对于图1，按要求接通电路，只要在A中的两个开关或B中的三个开关中合上一个即可，故有2＋3=5(种)不同的方法.对于图2，按要求接通电路必须分两步进行：第一步，合上A中的一个开关；第二步，合上B中的一个开关，故有2×3=6(种)不同的方法.
　5
6
图1
图2
12. 某市计划在4个体育馆举办排球、篮球、足球3个项目的比赛，每个项目的比赛只能在一个体育馆进行，则在同一个体育馆比赛的项目不超过2个的安排方案共有____种.
【解析】把3个项目分配到4个体育馆，所有方案共有4×4×4=64(种)，其中，3个项目被分配到同一体育馆进行有4种方案，故满足条件的分配方案有64－4=60(种).
　60
关键能力练
13. 某班同学准备了5个节目参加班级音乐会活动.节目顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，则在这次活动中，节目顺序的编排方案共有______种.
【解析】由题意知甲的位置影响乙的排列，∴要分两类：
①甲排在第一位，丙排在最后一位，则其余3个节目共有3×2×1=6(种)编排方案；②甲排在第二位，丙排在最后一位，从第三、四位中排乙，其余2个节目排在剩下的2个位置，共有2×2×1=4(种)编排方案.综上，编排方案共有6＋4=10种.
10
14. 某单位职工无偿献血，在体检合格的人中，O型血的有28人，A型血的有7人，B型血的有9人，AB型血的有3人.
(1)从四种血型的人中任选1人去献血，有多少种不同的选法？
(2)从四种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？
解：从O型血的人中选1人有28种不同的选法；
从A型血的人中选1人有7种不同的选法；
从B型血的人中选1人有9种不同的选法；
从AB型血的人中选1人有3种不同的选法.
(1)无论选哪种血型的哪一个人，“任选1人去献血”这件事情都可以完成，故用分类加法计数原理，有28＋7＋9＋3=47(种)不同的选法.
(2)从每种血型的人中各选出1人后，“各选1人去献血”这件事情才完成，
故用分步乘法计数原理，有28×7×9×3=5 292(种)不同的选法.
15. 已知集合A={a，b，c}，集合B={－1，0，1}.
(1)从集合A到B能构造多少个不同的函数？
(2)满足f(a)＋f(b)＋f(c)=0的函数有多少个？
解：(1)每个元素a，b，c都可以有3个数和它对应，故从A到B能构造3×3×3=27(个)不同的函数.
(2)列表如下：
从表中可知满足f(a)＋f(b)＋f(c)=0的函数有7个.
f(a) 0 0 0 1 1 －1 －1
f(b) 0 1 －1 0 －1 1 0
f(c) 0 －1 1 －1 0 0 1
16. 用1，2，3，4四个数字(可重复)排成三位数，并把这些三位数由小到大排成一个数列{an}.
(1)写出这个数列的前11项；
(2)这个数列共有多少项？
(3)若an=341，求n.
解：(1)111，112，113，114，121，122，123，124，131，132，133.
(2)这个数列的项数就是用1，2，3，4排成的三位数的个数，每个数位上都有4种排法，则共有4×4×4=64(项).
(3)比an=341小的数有两类：
①
1 × ×
2 × ×
②
共有2×4×4＋1×3×4=44(项).
∴n=44＋1=45.
3 1 ×
3 2 ×
3 3 ×6.1 练习1　计数原理及其简单应用 　　　　　　　　　　　　　
1. 某同学从4本不同的科普杂志、3本不同的文摘杂志、2本不同的娱乐新闻杂志中任选1本阅读，则不同的选法共有(　 　)
A. 24种 B. 9种
C. 3种 D. 26种
2. 阅读课上，3名同学分别从5种不同的书中选择1种进行阅读，不同的选法种数为(　 　)
A. 50 B. 60
C. 125 D. 243
3. 已知有5个不同的棱柱、3个不同的棱锥、4个不同的圆台、2个不同的球，若从中取出2个几何体，包括多面体和旋转体各1个，则不同的取法种数为(　 　)
A. 14 B. 23
C. 48 D. 120
4. 数字0，1，1，2可以组成的不同的三位数有(　 　)
A. 24个 B. 12个
C. 9个 D. 6个
5. 甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有(　 　)
A. 6种 B. 12种
C. 24种 D. 30种
6. 如图所示，点A，B间有四个焊接点1，2，3，4，若焊接点脱落导致断路，则电路不通，那么电路不通时焊接点脱落的不同情况有(　 　)
A. 9种 B. 11种
C. 13种 D. 15种
7. 如图所示为某地地图的局部，请在地图上分别给各区域涂色，要求相邻的区域涂不同的颜色，现有5种不同的颜色可供选用，则不同的涂色方案数为(　 　)
A. 540 B. 600
C. 660 D. 720
8. (多选)现有15个不同的球，其中红球4个，黄球5个，绿球6个，则下列说法中，正确的有(　 　)
A. 从中任选1个球，有15种不同的选法
B. 若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法
C. 若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法
D. 若不放回地依次选出2个球，有210种不同的选法
9. (多选)已知a∈{1，2，3}，b∈{4，5，6，7}，r∈{8，9}，则方程(x－a)2＋(y－b)2=r2可表示的不同圆的个数用式子表示为(　 　)
A. 4＋4＋4＋4＋4＋4
B. 4＋4＋4＋4
C. 3×4
D. 3×4×2
10. (2025·天津红桥高二期末)在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有　 　个.
11. 在图1所示的电路中，只合上一个开关可以接通电路，有　 　种不同的方法；在图2所示的电路中，合上两个开关可以接通电路，有　 　种不同的方法.
图1　　图2
12. 某市计划在4个体育馆举办排球、篮球、足球3个项目的比赛，每个项目的比赛只能在一个体育馆进行，则在同一个体育馆比赛的项目不超过2个的安排方案共有　 　种.
13. 某班同学准备了5个节目参加班级音乐会活动.节目顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，则在这次活动中，节目顺序的编排方案共有　 　种.
14. 某单位职工无偿献血，在体检合格的人中，O型血的有28人，A型血的有7人，B型血的有9人，AB型血的有3人.
(1)从四种血型的人中任选1人去献血，有多少种不同的选法？
(2)从四种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？
15. 已知集合A={a，b，c}，集合B={－1，0，1}.
(1)从集合A到B能构造多少个不同的函数？
(2)满足f(a)＋f(b)＋f(c)=0的函数有多少个？
16. 用1，2，3，4四个数字(可重复)排成三位数，并把这些三位数由小到大排成一个数列{an}.
(1)写出这个数列的前11项；
(2)这个数列共有多少项？
(3)若an=341，求n.

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