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高中数学 选择性必修 第三册
计数原理
第六章
二、排列与组合
练习1　排列与排列数
必备知识练
1. 四张卡片上分别标有数字“2”“0”“2”“6”，则由这四张卡片可组成的不同四位数的个数为(　 　)
A. 6 B. 9
C. 12 D. 24
【解析】组成的四位数列举如下：2 026，2 062，2 206，2 260，2 602，2 620，6 022，6 202，6 220，共9个.
B
2. 某记者计划去4家医院采访，则不同的采访顺序有(　 　)
A. 4种 B. 12种
C. 18种 D. 24种
【解析】由题意可得不同的采访顺序有=24(种).
D
3. 若把英语单词“word”的字母顺序写错了，则可能出现的错误写法共有(　 　)
A. 24种 B. 23种
C. 12种 D. 11种
【解析】“word”一共有4个不同的字母，这4个字母全排列有=24(种)方法，其中正确的有1种，∴错误的有24－1=23(种).
B
4. 不等式＜6×的解集为(　 　)
A. [2， 8]
B. (7， 12)
C. {x|7＜x＜12， x∈N}
D. {8}
【解析】∵＜6×，∴＜6×，∴(10－x)(9－x)＜6，∴(x－7)(x－12)＜0，又2＜x≤8，x∈N，∴x=8，∴不等式＜6×的解集为{8}.
D　
5. 从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个，分别记为a，b，共可得到lg a－lg b的不同的值的个数是(　 　)
A. 9 B. 10
C. 18 D. 20
【解析】lg a－lg b=lg ，从1，3，5，7，9中任取两个数分别记为a，b，共有=20(种)，其中lg =lg ，lg =lg ，故可得到18个不同的值.
C
6. 从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则不同的选派方案共有(　 　)
A. 108种 B. 186种
C. 216种 D. 270种
【解析】可用间接法：从全部方案中减去只选派男生的方案数，则所有不同的选派方案共有=186(种).
B
7. 将4名志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，志愿者小明不去花样滑冰项目，则不同的分配方案共有(　 　)
A. 12种 B. 18种
C. 24种 D. 30种
【解析】志愿者小明不去花样滑冰项目，则小明有3种分配方案，将另外3名志愿者分配剩下的3个项目，有种分配方案，根据分步乘法计数原理可得不同的分配方案共有3=18(种).
　B
8. (多选)(2025·嘉兴高二检测)下列问题中，属于排列问题的有(　 　)
A. 从6人中选2人分别去游泳和跳绳
B. 从10人中选2人去游泳
C. 从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队
D. 从数字5，6，7，8中任取3个数组成没有重复数字的三位数
【解析】对于A，从6个人中选2人分别去游泳和跳绳，选出的2人有分工的不同，是排列问题；对于B，从10个人中选2人去游泳，与顺序无关，不是排列问题；对于C，从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队，与顺序无关，不是排列问题；对于D，从数字5，6，7，8中任取三个数组成没有重复数字的三位数，各数位上的数字有顺序性，是排列问题.
AD
9. (多选)下列等式中，正确的有(　 　)
A. (n＋1)
B.
C. =(n－2)!
D.
【解析】对于A，(n＋1)=(n＋1)·，A正确；对于B，，B错误；对于C，=(n－2)!，C正确；对于D，·，D正确.
ACD
10. 若=2，则logn25的值为_____.
【解析】由=2，得2n(2n－1)(2n－2)=2(n＋1)·n(n－1)(n－2)，∴n2－5n=0，解得n=5(n=0舍去)，∴logn25=log525=2.
2
11. 若有3名大学毕业生，到5家公司应聘，已知每家公司至多招聘1名新员工，且3名大学毕业生全部被聘用，若不允许兼职，则共有_______种不同的招聘方案.
【解析】将5家招聘员工的公司看作5个不同的位置，从中任选3个位置给3名大学毕业生，即为从5个不同元素中任取3个元素的排列问题，∴不同的招聘方案共有=5×4×3=60(种).
60
12. 现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有_____种.
【解析】先从5人中选择1人两天均参加公益活动，有5种方式；再从余下的4人中选择2人分别安排到星期六、星期日，有种安排方式，∴不同的安排方式共有5=60(种).
60
关键能力练
13. 由四个不同的数字1，2，4，x组成无重复数字的三位数.
(1)若x=9，则其中能被3整除的共有_____个；
(2)若所有这些三位数的各位数字之和是252，则x=_____.
【解析】(1)∵当各数位上的数字之和能被3整除时，该数就能被3整除，
∴这种三位数只能由2，4，9或1，2，9排列组成，∴共有2×=12(个).
(2)显然x≠0，∵1，2，4，x在各个数位上出现的次数都相同，且各自出现·次，
∴这样的数字之和是(1＋2＋4＋x)··，即(1＋2＋4＋x)··=252，∴7＋x=14，解得x=7.
12
　7
14. (2025·山东潍坊高二检测)已知7=20，x∈N*.
(1)求x的值；
(2)求的值.
解：(1)由已知得7×=20×，化简得x2－15x＋36=0，解得x=3，或x=12，
又∴x=3.
(2)将x=3代入得=1 330.
15. 一条铁路有n个车站，为适应客运需要，新增了m个车站，已知m＞1，客运车票增加了62种，问原有多少个车站？现有多少个车站？
解：由题意可知，原有车票的种数是，现有车票的种数是，∴=62，
则(n＋m)(n＋m－1)－n(n－1)=62，∴m(2n＋m－1)=62=2×31，
∵m＜2n＋m－1，且n≥2，m，n∈N*，∴解得m=2，n=15，
故原有15个车站，现有17个车站.
16. 甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加某项技术竞赛，决出了第一名到第五名的五个名次，甲、乙去询问成绩，组织者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军.”又对乙说：“你当然不会是最差的.”从组织者的回答分析，这五个人名次共有多少种不同的排列情况？
解：根据题意，甲、乙都没有得到冠军，而乙不是最后一名，分2种情况讨论：
①甲是最后一名，则乙可以为第二、三、四名，即乙有3种情况，剩下的三人安排在其他三个名次，有=6(种)情况，此时有3×6=18(种)名次排列情况；
②甲不是最后一名，甲、乙需要排在第二、三、四名，有=6(种)情况，剩下的三人安排在其他三个名次，有=6(种)情况，此时有6×6=36(种)名次排列情况.综上，一共有36＋18=54(种)不同的名次排列情况.6.2 练习1　排列与排列数　　　　　　　　　
1. 四张卡片上分别标有数字“2”“0”“2”“6”，则由这四张卡片可组成的不同四位数的个数为(　B　)
A. 6 B. 9
C. 12 D. 24
【解析】组成的四位数列举如下：2 026，2 062，2 206，2 260，2 602，2 620，6 022，6 202，6 220，共9个.
2. 某记者计划去4家医院采访，则不同的采访顺序有(　D　)
A. 4种 B. 12种
C. 18种 D. 24种
【解析】由题意可得不同的采访顺序有=24(种).
3. 若把英语单词“word”的字母顺序写错了，则可能出现的错误写法共有(　B　)
A. 24种 B. 23种
C. 12种 D. 11种
【解析】“word”一共有4个不同的字母，这4个字母全排列有=24(种)方法，其中正确的有1种，∴错误的有24－1=23(种).
4. 不等式＜6×的解集为(　D　)
A. [2， 8]
B. (7， 12)
C. {x|7＜x＜12， x∈N}
D. {8}
【解析】∵＜6×，∴＜6×，∴(10－x)(9－x)＜6，∴(x－7)(x－12)＜0，又2＜x≤8，x∈N，∴x=8，∴不等式＜6×的解集为{8}.
5. 从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个，分别记为a，b，共可得到lg a－lg b的不同的值的个数是(　C　)
A. 9 B. 10
C. 18 D. 20
【解析】lg a－lg b=lg ，从1，3，5，7，9中任取两个数分别记为a，b，共有=20(种)，其中lg =lg ，lg =lg ，故可得到18个不同的值.
6. 从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则不同的选派方案共有(　B　)
A. 108种 B. 186种
C. 216种 D. 270种
【解析】可用间接法：从全部方案中减去只选派男生的方案数，则所有不同的选派方案共有=186(种).
7. 将4名志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，志愿者小明不去花样滑冰项目，则不同的分配方案共有(　B　)
A. 12种 B. 18种
C. 24种 D. 30种
【解析】志愿者小明不去花样滑冰项目，则小明有3种分配方案，将另外3名志愿者分配剩下的3个项目，有种分配方案，根据分步乘法计数原理可得不同的分配方案共有3=18(种).
8. (多选)(2025·嘉兴高二检测)下列问题中，属于排列问题的有(　AD　)
A. 从6人中选2人分别去游泳和跳绳
B. 从10人中选2人去游泳
C. 从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队
D. 从数字5，6，7，8中任取3个数组成没有重复数字的三位数
【解析】对于A，从6个人中选2人分别去游泳和跳绳，选出的2人有分工的不同，是排列问题；对于B，从10个人中选2人去游泳，与顺序无关，不是排列问题；对于C，从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队，与顺序无关，不是排列问题；对于D，从数字5，6，7，8中任取三个数组成没有重复数字的三位数，各数位上的数字有顺序性，是排列问题.
9. (多选)下列等式中，正确的有(　ACD　)
A. (n＋1)
B.
C. =(n－2)!
D.
【解析】对于A，(n＋1)=(n＋1)·，A正确；对于B，，B错误；对于C，=(n－2)!，C正确；对于D，·，D正确.
10. 若=2，则logn25的值为　2　.
【解析】由=2，得2n(2n－1)(2n－2)=2(n＋1)·n(n－1)(n－2)，∴n2－5n=0，解得n=5(n=0舍去)，∴logn25=log525=2.
11. 若有3名大学毕业生，到5家公司应聘，已知每家公司至多招聘1名新员工，且3名大学毕业生全部被聘用，若不允许兼职，则共有　60　种不同的招聘方案.
【解析】将5家招聘员工的公司看作5个不同的位置，从中任选3个位置给3名大学毕业生，即为从5个不同元素中任取3个元素的排列问题，∴不同的招聘方案共有=5×4×3=60(种).
12. 现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有　60　种.
【解析】先从5人中选择1人两天均参加公益活动，有5种方式；再从余下的4人中选择2人分别安排到星期六、星期日，有种安排方式，∴不同的安排方式共有5=60(种).
13. 由四个不同的数字1，2，4，x组成无重复数字的三位数.
(1)若x=9，则其中能被3整除的共有　12　个；
(2)若所有这些三位数的各位数字之和是252，则x=　7　.
【解析】(1)∵当各数位上的数字之和能被3整除时，该数就能被3整除，
∴这种三位数只能由2，4，9或1，2，9排列组成，∴共有2×=12(个).
(2)显然x≠0，∵1，2，4，x在各个数位上出现的次数都相同，且各自出现·次，
∴这样的数字之和是(1＋2＋4＋x)··，即(1＋2＋4＋x)··=252，
∴7＋x=14，解得x=7.
14. (2025·山东潍坊高二检测)已知7=20，x∈N*.
(1)求x的值；
(2)求的值.
解：(1)由已知得7×=20×，化简得x2－15x＋36=0，解得x=3，或x=12，
又∴x=3.
(2)将x=3代入得=1 330.
15. 一条铁路有n个车站，为适应客运需要，新增了m个车站，已知m＞1，客运车票增加了62种，问原有多少个车站？现有多少个车站？
解：由题意可知，原有车票的种数是，现有车票的种数是，∴=62，
则(n＋m)(n＋m－1)－n(n－1)=62，∴m(2n＋m－1)=62=2×31，
∵m＜2n＋m－1，且n≥2，m，n∈N*，∴解得m=2，n=15，
故原有15个车站，现有17个车站.
16. 甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加某项技术竞赛，决出了第一名到第五名的五个名次，甲、乙去询问成绩，组织者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军.”又对乙说：“你当然不会是最差的.”从组织者的回答分析，这五个人名次共有多少种不同的排列情况？
解：根据题意，甲、乙都没有得到冠军，而乙不是最后一名，分2种情况讨论：
①甲是最后一名，则乙可以为第二、三、四名，即乙有3种情况，剩下的三人安排在其他三个名次，有=6(种)情况，此时有3×6=18(种)名次排列情况；
②甲不是最后一名，甲、乙需要排在第二、三、四名，有=6(种)情况，剩下的三人安排在其他三个名次，有=6(种)情况，此时有6×6=36(种)名次排列情况.综上，一共有36＋18=54(种)不同的名次排列情况.6.2 练习1　排列与排列数　　　　　　　　　
1. 四张卡片上分别标有数字“2”“0”“2”“6”，则由这四张卡片可组成的不同四位数的个数为(　 　)
A. 6 B. 9
C. 12 D. 24
2. 某记者计划去4家医院采访，则不同的采访顺序有(　 　)
A. 4种 B. 12种
C. 18种 D. 24种
3. 若把英语单词“word”的字母顺序写错了，则可能出现的错误写法共有(　 　)
A. 24种 B. 23种
C. 12种 D. 11种
4. 不等式＜6×的解集为(　 　)
A. [2， 8]
B. (7， 12)
C. {x|7＜x＜12， x∈N}
D. {8}
5. 从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个，分别记为a，b，共可得到lg a－lg b的不同的值的个数是(　 　)
A. 9 B. 10
C. 18 D. 20
6. 从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则不同的选派方案共有(　 　)
A. 108种 B. 186种
C. 216种 D. 270种
7. 将4名志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，志愿者小明不去花样滑冰项目，则不同的分配方案共有(　 　)
A. 12种 B. 18种
C. 24种 D. 30种
8. (多选)(2025·嘉兴高二检测)下列问题中，属于排列问题的有(　 　)
A. 从6人中选2人分别去游泳和跳绳
B. 从10人中选2人去游泳
C. 从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队
D. 从数字5，6，7，8中任取3个数组成没有重复数字的三位数
9. (多选)下列等式中，正确的有(　 　)
A. (n＋1)
B.
C. =(n－2)!
D.
10. 若=2，则logn25的值为　 　.
11. 若有3名大学毕业生，到5家公司应聘，已知每家公司至多招聘1名新员工，且3名大学毕业生全部被聘用，若不允许兼职，则共有　 　种不同的招聘方案.
12. 现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有　 　种.
13. 由四个不同的数字1，2，4，x组成无重复数字的三位数.
(1)若x=9，则其中能被3整除的共有　 　个；
(2)若所有这些三位数的各位数字之和是252，则x=　 　.
14. (2025·山东潍坊高二检测)已知7=20，x∈N*.
(1)求x的值；
(2)求的值.
15. 一条铁路有n个车站，为适应客运需要，新增了m个车站，已知m＞1，客运车票增加了62种，问原有多少个车站？现有多少个车站？
16. 甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加某项技术竞赛，决出了第一名到第五名的五个名次，甲、乙去询问成绩，组织者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军.”又对乙说：“你当然不会是最差的.”从组织者的回答分析，这五个人名次共有多少种不同的排列情况？

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