资源简介

(共20张PPT)
高中数学 选择性必修 第三册
计数原理
第六章
二、排列与组合
练习3　组合与组合数
必备知识练
1. 下列问题中，不是组合问题的为(　 　)
A. 10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次
B. 平面上有2 025个点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条直线
C. 集合{a1，a2，a3，…，an}的含有三个元素的子集有多少个
D. 从高二(6)班的50名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法
【解析】A，B，C与顺序无关，是组合问题；D与顺序有关，是排列问题.
D
2. (2025·河北邯郸高二期末)某图书馆有3本科普书和4本小说，要从中选出4本放在展示区，且必须同时包含科普书和小说，则不同的选法有(　 　)
A. 30种 B. 34种
C. 60种 D. 35种
【解析】从7本中任选4本，除去选到4本全是小说的情况，共有=34(种).
B
3. (2025·天津滨海新高二期中)某公司现准备针对某区域市场开发一款手机软件，而软件的运行需要有相应的手机系统，目前常用的手机系统有6种，在该区域使用的主要有3种，如果公司要选2种系统，那么合适的选择方法种数为(　 　)
A. 3 B. 6
C. 15 D. 30
【解析】该区域使用的主要有3种，公司要选用2种系统，从3种系统中选择2种系统的组合数为=3.
A　
4. (2025·北京东城高二期中)现有壹元、伍元、拾元、贰拾元人民币各1张，从中任选2张，则一共可以组成不同的币值种数为(　 　)
A. 6 B. 8
C. 12 D. 16
【解析】从4张人民币中任选2张，有=6(种)选法，所有选法的组合及对应的币值分别为：壹元＋伍元=6(元)；壹元＋拾元=11(元)；壹元＋贰拾元=21(元)；伍元＋拾元=15(元)；伍元＋贰拾元=25(元)；拾元＋贰拾元=30(元)；所有组合的总和均不重复，∴不同的币值有6种.
A
5. (2025·陕西西安模拟)某校学生会有男生8人，女生12人，现从男生中选出7人，从女生中选出11人参加志愿活动，则不同的选法种数为(　 　)
A. 48 B. 96
C. 144 D. 192
【解析】根据题意，从男生中选7人的选法种数为=8.从女生中选11人的选法种数为=12，∴总的选法种数为12×8=96.
B
6. (2025·山东菏泽二模)某班班会将从甲、乙等6名学生中选3名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，那么不同的选法种数为(　 　)
A. 32 B. 20
C. 16 D. 10
【解析】利用对立事件思想：从6名同学中任选3名同学共有=20(种)方法，这3名同学中没有甲、乙的共有=4(种)方法，∴甲、乙至少有一人参加的不同选法有20－4=16(种).
C
7. 甲、乙、丙三人值班，周一到周六每人分别值班2天，若甲不在周一值班，则不同的排班方案有(　 　)
A. 15种 B. 30种
C. 45种 D. 60种
【解析】甲从周二至周六5天中选2天值班，有种选法；乙可从剩下的4天中任选2天值班，有种选法；丙选剩下的2天即可，有种选法，故不同的排班方案共有=60(种).
D
8. (多选)下列结论中，正确的有(　 　)
A.
B. =m
C.
D.
【解析】对于A，由组合数性质，A正确；对于B，=n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，=(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，∴=n，B错误；对于C，，C正确；对于D，，D正确.
ACD
9. (多选)在10件产品中，有2件次品，若从中任取3件，则下列结论中，错误的有(　 　)
A. “其中恰有2件次品”的取法有8种
B. “其中恰有1件次品”的取法有28种
C. “其中没有次品”的取法有56种
D. “其中至少有1件次品”的取法有56种
【解析】抽到的3件产品中恰好有2件次品的取法有=8(种)，A正确；抽到的3件产品中恰好有1件次品的取法有=56(种)，B错误；抽到的3件产品中没有次品的取法有=56(种)，C正确；抽到的3件产品中至少有1件次品的取法有=64(种)，D错误.
BD
10. (2025·广东东莞高二期末)已知，那么n=____.
【解析】由=3×2=6，得=6 n2－n－12=0，解得n=4.
4
11. (2025·江苏苏州高二期末)若，则＋…＋的值为______.
【解析】∵，∴m＋(m＋2)=14，或m=m＋2(舍去)，解得m=6，∴1=1=1=1=
1=34.
34
12. (2025·上海普陀高二期末)把0，1，2，3，4这五个数随机地排成一列组成一个数列，要求该数列恰好先递减后递增，则这样的数列共有_____个.
【解析】依题意，数列恰好先递减后递增，∴1，2，3，4在0的两侧，从1，2，3，4中选出一个数排在0的右侧，其余排在0的左侧，得到先减后增的数列有，从1，2，3，4中选出两个数排在0的右侧，其余排在0的左侧，得到先减后增的数列有，从1，2，3，4中选出三个数排在0的右侧，其余排在0的左侧，得到先减后增的数列有，故满足条件的数列总个数为=14.
　14
关键能力练
13. 某城市纵向有6条道路，横向有5条道路，构成如图所示的矩形道路网(图中黑线表示道路)，则从西南角A地到东北角B地的最短路线共有________条.
【解析】要使路线最短，只能向右或向上走，途中不能向左或向下走，∴从A地到B地归结为走完5条横线段和4条纵线段.设每走一段横线段或纵线段为一个行走时段，从9个行走时段中任取4个时段走纵线段，其余5个时段走横线段，共有=126(种)走法，故从A地到B地的最短路线共有126条.
126
14. 已知成等差数列，求的值.
解：由已知得2，∴2·，整理得n2－21n＋98=0，解得n=7，或n=14，∵在中，n≥12，∴n=14，∴=91.
15. 某旅行团要从8个景点中选2个作为当天的旅游地，满足下列条件的选法各有多少种？
(1)甲、乙两个景点必须选1个且只能选1个；
(2)甲、乙两个景点至多选1个；
(3)甲、乙两个景点至少选1个.
解：(1)甲、乙两个景点必须选1个且只能选1个，有=12(种)选法.
(2)甲、乙两个景点都不选有=15(种)选法，甲、乙两个景点只选一个有=12(种)选法.
则甲、乙两个景点至多选1个有15＋12=27(种)选法.
(3)甲、乙两个景点都不选有种选法，则甲、乙两个景点至少选1个有=28－15=13(种)选法.
16. 如图所示，在以AB为直径的半圆周上，有异于A，B的6个点C1，C2，C3，C4，C5，C6，直径AB上有不同于点A，B的4个点D1，D2，D3，D4.
(1)以这10个点(不包括点A，B)中的3个点为顶点可作出多少个三角形？其中含点C1的有多少个？
(2)以图中的12个点(包括点A，B)中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？
解：(1)可分三种情况处理：
①在C1，C2，…，C6这6个点中任取3点构成一个三角形，有个；
②在C1，C2，…，C6这6个点中任取1点，D1，D2，D3，D4这4个点中任取2点构成一个三角形，有个；
③在C1，C2，…，C6这6个点中任取2点，D1，D2，D3，D4这4个点中任取1点构成一个三角形，有个.
∴可作出的三角形共有=116(个).
其中含点C1的三角形有=36(个).
(2)构成一个四边形，需要4个点，且无3点共线，
∴可分三种情况处理：
①在C1，C2，…，C6这6个点中任取4点构成一个四边形，有个；
②在C1，C2，…，C6这6个点中任取3点，D1，D2，D3，D4，A，B这6个点中任取一点构成一个四边形，有个；
③在C1，C2，…，C6这6个点中任取2点，D1，D2，D3，D4，A，B这6个点中任取2点构成一个四边形，有个.
∴可作出的四边形共有=360(个).6.2 练习3　组合与组合数　　　　　　　　　　　　　　　
1. 下列问题中，不是组合问题的为(　D　)
A. 10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次
B. 平面上有2 025个点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条直线
C. 集合{a1，a2，a3，…，an}的含有三个元素的子集有多少个
D. 从高二(6)班的50名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法
【解析】A，B，C与顺序无关，是组合问题；D与顺序有关，是排列问题.
2. (2025·河北邯郸高二期末)某图书馆有3本科普书和4本小说，要从中选出4本放在展示区，且必须同时包含科普书和小说，则不同的选法有(　B　)
A. 30种 B. 34种
C. 60种 D. 35种
【解析】从7本中任选4本，除去选到4本全是小说的情况，共有=34(种).
3. (2025·天津滨海新高二期中)某公司现准备针对某区域市场开发一款手机软件，而软件的运行需要有相应的手机系统，目前常用的手机系统有6种，在该区域使用的主要有3种，如果公司要选2种系统，那么合适的选择方法种数为(　A　)
A. 3 B. 6
C. 15 D. 30
【解析】该区域使用的主要有3种，公司要选用2种系统，从3种系统中选择2种系统的组合数为=3.
4. (2025·北京东城高二期中)现有壹元、伍元、拾元、贰拾元人民币各1张，从中任选2张，则一共可以组成不同的币值种数为(　A　)
A. 6 B. 8
C. 12 D. 16
【解析】从4张人民币中任选2张，有=6(种)选法，所有选法的组合及对应的币值分别为：壹元＋伍元=6(元)；壹元＋拾元=11(元)；壹元＋贰拾元=21(元)；伍元＋拾元=15(元)；伍元＋贰拾元=25(元)；拾元＋贰拾元=30(元)；所有组合的总和均不重复，∴不同的币值有6种.
5. (2025·陕西西安模拟)某校学生会有男生8人，女生12人，现从男生中选出7人，从女生中选出11人参加志愿活动，则不同的选法种数为(　B　)
A. 48 B. 96 C. 144 D. 192
【解析】根据题意，从男生中选7人的选法种数为=8.从女生中选11人的选法种数为=12，∴总的选法种数为12×8=96.
6. (2025·山东菏泽二模)某班班会将从甲、乙等6名学生中选3名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，那么不同的选法种数为(　C　)
A. 32 B. 20 C. 16 D. 10
【解析】利用对立事件思想：从6名同学中任选3名同学共有=20(种)方法，这3名同学中没有甲、乙的共有=4(种)方法，∴甲、乙至少有一人参加的不同选法有20－4=16(种).
7. 甲、乙、丙三人值班，周一到周六每人分别值班2天，若甲不在周一值班，则不同的排班方案有(　D　)
A. 15种 B. 30种
C. 45种 D. 60种
【解析】甲从周二至周六5天中选2天值班，有种选法；乙可从剩下的4天中任选2天值班，有种选法；丙选剩下的2天即可，有种选法，故不同的排班方案共有=60(种).
8. (多选)下列结论中，正确的有(　ACD　)
A.
B. =m
C.
D.
【解析】对于A，由组合数性质，A正确；对于B，=n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，=(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，∴=n，B错误；对于C，，C正确；对于D，，D正确.
9. (多选)在10件产品中，有2件次品，若从中任取3件，则下列结论中，错误的有(　BD　)
A. “其中恰有2件次品”的取法有8种
B. “其中恰有1件次品”的取法有28种
C. “其中没有次品”的取法有56种
D. “其中至少有1件次品”的取法有56种
【解析】抽到的3件产品中恰好有2件次品的取法有=8(种)，A正确；抽到的3件产品中恰好有1件次品的取法有=56(种)，B错误；抽到的3件产品中没有次品的取法有=56(种)，C正确；抽到的3件产品中至少有1件次品的取法有=64(种)，D错误.
10. (2025·广东东莞高二期末)已知，那么n=　4　.
【解析】由=3×2=6，得=6 n2－n－12=0，解得n=4.
11. (2025·江苏苏州高二期末)若，则＋…＋的值为　34　.
【解析】∵，∴m＋(m＋2)=14，或m=m＋2(舍去)，解得m=6，∴1=1=1=1=1=34.
12. (2025·上海普陀高二期末)把0，1，2，3，4这五个数随机地排成一列组成一个数列，要求该数列恰好先递减后递增，则这样的数列共有　14　个.
【解析】依题意，数列恰好先递减后递增，∴1，2，3，4在0的两侧，从1，2，3，4中选出一个数排在0的右侧，其余排在0的左侧，得到先减后增的数列有，从1，2，3，4中选出两个数排在0的右侧，其余排在0的左侧，得到先减后增的数列有，从1，2，3，4中选出三个数排在0的右侧，其余排在0的左侧，得到先减后增的数列有，故满足条件的数列总个数为=14.
13. 某城市纵向有6条道路，横向有5条道路，构成如图所示的矩形道路网(图中黑线表示道路)，则从西南角A地到东北角B地的最短路线共有　126　条.
【解析】要使路线最短，只能向右或向上走，途中不能向左或向下走，∴从A地到B地归结为走完5条横线段和4条纵线段.设每走一段横线段或纵线段为一个行走时段，从9个行走时段中任取4个时段走纵线段，其余5个时段走横线段，共有=126(种)走法，故从A地到B地的最短路线共有126条.
14. 已知成等差数列，求的值.
解：由已知得2，∴2·，整理得n2－21n＋98=0，解得n=7，或n=14，∵在中，n≥12，∴n=14，∴=91.
15. 某旅行团要从8个景点中选2个作为当天的旅游地，满足下列条件的选法各有多少种？
(1)甲、乙两个景点必须选1个且只能选1个；
(2)甲、乙两个景点至多选1个；
(3)甲、乙两个景点至少选1个.
解：(1)甲、乙两个景点必须选1个且只能选1个，有=12(种)选法.
(2)甲、乙两个景点都不选有=15(种)选法，甲、乙两个景点只选一个有=12(种)选法.
则甲、乙两个景点至多选1个有15＋12=27(种)选法.
(3)甲、乙两个景点都不选有种选法，则甲、乙两个景点至少选1个有=28－15=13(种)选法.
16. 如图所示，在以AB为直径的半圆周上，有异于A，B的6个点C1，C2，C3，C4，C5，C6，直径AB上有不同于点A，B的4个点D1，D2，D3，D4.
(1)以这10个点(不包括点A，B)中的3个点为顶点可作出多少个三角形？其中含点C1的有多少个？
(2)以图中的12个点(包括点A，B)中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？
解：(1)可分三种情况处理：
①在C1，C2，…，C6这6个点中任取3点构成一个三角形，有个；
②在C1，C2，…，C6这6个点中任取1点，D1，D2，D3，D4这4个点中任取2点构成一个三角形，有个；
③在C1，C2，…，C6这6个点中任取2点，D1，D2，D3，D4这4个点中任取1点构成一个三角形，有个.
∴可作出的三角形共有=116(个).
其中含点C1的三角形有=36(个).
(2)构成一个四边形，需要4个点，且无3点共线，
∴可分三种情况处理：
①在C1，C2，…，C6这6个点中任取4点构成一个四边形，有个；
②在C1，C2，…，C6这6个点中任取3点，D1，D2，D3，D4，A，B这6个点中任取一点构成一个四边形，有个；
③在C1，C2，…，C6这6个点中任取2点，D1，D2，D3，D4，A，B这6个点中任取2点构成一个四边形，有个.
∴可作出的四边形共有=360(个).6.2 练习3　组合与组合数　　　　　　　　　　　　　　　
1. 下列问题中，不是组合问题的为(　 　)
A. 10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次
B. 平面上有2 025个点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条直线
C. 集合{a1，a2，a3，…，an}的含有三个元素的子集有多少个
D. 从高二(6)班的50名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法
2. (2025·河北邯郸高二期末)某图书馆有3本科普书和4本小说，要从中选出4本放在展示区，且必须同时包含科普书和小说，则不同的选法有(　 　)
A. 30种 B. 34种
C. 60种 D. 35种
3. (2025·天津滨海新高二期中)某公司现准备针对某区域市场开发一款手机软件，而软件的运行需要有相应的手机系统，目前常用的手机系统有6种，在该区域使用的主要有3种，如果公司要选2种系统，那么合适的选择方法种数为(　 　)
A. 3 B. 6
C. 15 D. 30
4. (2025·北京东城高二期中)现有壹元、伍元、拾元、贰拾元人民币各1张，从中任选2张，则一共可以组成不同的币值种数为(　 　)
A. 6 B. 8
C. 12 D. 16
5. (2025·陕西西安模拟)某校学生会有男生8人，女生12人，现从男生中选出7人，从女生中选出11人参加志愿活动，则不同的选法种数为(　 　)
A. 48 B. 96 C. 144 D. 192
6. (2025·山东菏泽二模)某班班会将从甲、乙等6名学生中选3名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，那么不同的选法种数为(　 　)
A. 32 B. 20 C. 16 D. 10
7. 甲、乙、丙三人值班，周一到周六每人分别值班2天，若甲不在周一值班，则不同的排班方案有(　 　)
A. 15种 B. 30种
C. 45种 D. 60种
8. (多选)下列结论中，正确的有(　 　)
A.
B. =m
C.
D.
9. (多选)在10件产品中，有2件次品，若从中任取3件，则下列结论中，错误的有(　 　)
A. “其中恰有2件次品”的取法有8种
B. “其中恰有1件次品”的取法有28种
C. “其中没有次品”的取法有56种
D. “其中至少有1件次品”的取法有56种
10. (2025·广东东莞高二期末)已知，那么n=　 　.
11. (2025·江苏苏州高二期末)若，则＋…＋的值为　 　.
12. (2025·上海普陀高二期末)把0，1，2，3，4这五个数随机地排成一列组成一个数列，要求该数列恰好先递减后递增，则这样的数列共有　 　个.
13. 某城市纵向有6条道路，横向有5条道路，构成如图所示的矩形道路网(图中黑线表示道路)，则从西南角A地到东北角B地的最短路线共有　 　条.
14. 已知成等差数列，求的值.
15. 某旅行团要从8个景点中选2个作为当天的旅游地，满足下列条件的选法各有多少种？
(1)甲、乙两个景点必须选1个且只能选1个；
(2)甲、乙两个景点至多选1个；
(3)甲、乙两个景点至少选1个.
16. 如图所示，在以AB为直径的半圆周上，有异于A，B的6个点C1，C2，C3，C4，C5，C6，直径AB上有不同于点A，B的4个点D1，D2，D3，D4.
(1)以这10个点(不包括点A，B)中的3个点为顶点可作出多少个三角形？其中含点C1的有多少个？
(2)以图中的12个点(包括点A，B)中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？

展开更多......

收起↑