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6.3 练习2　二项式系数的性质　　　　　　　　　　　　　　
1. 若(x＋3y)n的展开式的各项系数之和等于(7a＋b)10的展开式的二项式系数之和，则n的值为(　 　)
A. 5 B. 8
C. 10 D. 15
2. 已知的展开式中各项系数之和为243，则实数a的值为(　 　)
A. 1 B. 2
C. 3 D. －2
3. 已知关于x的二项式的展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a的值为(　 　)
A. 1 B. ±1
C. 2 D. ±2
4. (2025·天津高二期末)已知(1－2x)n的展开式中第4项与第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数之和为(　 　)
A. 128 B. 256 C. 512 D. 1 024
5. (2025·山东济南高二检测)若(2x－1)5=a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a0＋a2＋a4的值为(　 　)
A. －121 B. －122
C. 121 D. 122
6. 若(1－2x)2 025=a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 025x2 025(x∈R)，则＋…＋的值为(　 　)
A. 2 B. 0
C. －2 D. －1
7. 已知的展开式中，第3项的系数与倒数第3项的系数之比为，则展开式中二项式系数最大的项为(　 　)
A. 第3项 B. 第4项
C. 第5项 D. 第6项
8. (多选)设(2x－1)7=a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6＋a7x7，则下列结论中，正确的有(　 　)
A. a2＋a5=588
B. a1＋a2＋…＋a7=1
C. a1＋a3＋a5＋a7=
D. |a1|＋|a2|＋…＋|a7|=37－1
9. (多选)若的二项展开式共有8项，则关于该二项展开式，下列说法中正确的有(　 　)
A. 二项式系数之和为128
B. 项数为奇数的各项系数之和为－64
C. 有理项共有4项
D. 第4项与第5项的系数相等且最大
10. (2025·北京卷)已知(1－2x)4=a0－2a1x＋4a2x2－8a3x3＋16a4x4，则a0=　 　；a1＋a2＋a3＋a4=　 　.
11. 已知(1＋x)10=a1＋a2x＋a3x2＋…＋a11x10，若数列a1，a2，a3，…，ak(1≤k≤11，k∈Z)是一个单调递增数列，则k的最大值为　 　.
12. (2024·全国甲卷理)的展开式中，各项系数中的最大值为　 　.
13. 已知(1＋x)2 024=a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a2 024x2 024，则a2 023＋2a2 022＋3a2 021＋4a2 020＋…＋2 023a1＋2 024a0等于(　 　)
A. 2 024×22 024 B. 2 023×22 023
C. 2 024×22 023 D. 2 023×22 022
14. 已知由展开式前三项的二项式系数的和等于37，求：
(1)展开式中二项式系数最大的项的系数；
(2)展开式中系数最大的项.
15. 设(2x－3)4=a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，求：
(1)a1＋a2＋a3＋a4；
(2)(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2；
(3)|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|.
16. 杨辉三角是我国古代数学家杨辉的一项重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律，如图所示为一个11阶杨辉三角.
(1)求第20行中从左到右的第4个数；
(2)在第2斜列中，前5个数依次为1，3，6，10，15，在第3斜列中，第5个数为35.显然，1＋3＋6＋10＋15=35.现有这样的结论：第m－1斜列中(从右上到左下)前k个数之和，一定等于第m斜列中的第k个数.
试用含有m，k(m，k∈N*)的数学公式表示上述结论，并给予证明.(共20张PPT)
高中数学 选择性必修 第三册
计数原理
第六章
三、二项式定理
练习2　二项式系数的性质
必备知识练
1. 若(x＋3y)n的展开式的各项系数之和等于(7a＋b)10的展开式的二项式系数之和，则n的值为(　 　)
A. 5 B. 8
C. 10 D. 15
【解析】(7a＋b)10展开式的二项式系数之和为210，令x=1，y=1，得(x＋3y)n展开式的各项系数之和为4n，由题意知4n=210，解得n=5.
A
2. 已知的展开式中各项系数之和为243，则实数a的值为(　 　)
A. 1 B. 2
C. 3 D. －2
【解析】令x=1，则(a＋1)5=243，解得a=2.
B
3. 已知关于x的二项式的展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a的值为(　 　)
A. 1 B. ±1
C. 2 D. ±2
【解析】由题意知2n=32，即n=5，在二项展开式的通项Tk＋1=()5－k=ak中，令15－5k=0，得k=3，∴a3=80，解得a=2.
C
4. (2025·天津高二期末)已知(1－2x)n的展开式中第4项与第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数之和为(　 　)
A. 128 B. 256
C. 512 D. 1 024
【解析】由二项式系数的性质可知，第4项的二项式系数为，第7项的二项式系数为，当时，可知n=3＋6=9，∴奇数项的二项式系数之和为29－1=28=256.
B
5. (2025·山东济南高二检测)若(2x－1)5=a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a0＋a2＋a4的值为(　 　)
A. －121 B. －122
C. 121 D. 122
【解析】由(2x－1)5=a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，令x=1，得(2－1)5=1=a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5①，令x=－1，得(－2－1)5=(－3)5=a0－a1＋a2－a3＋a4－a5②，①＋②，得2(a0＋a2＋a4)=1－35=－242，∴a0＋a2＋a4=－121.
A
6. 若(1－2x)2 025=a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 025x2 025(x∈R)，则＋…＋的值为
(　 　)
A. 2 B. 0
C. －2 D. －1
【解析】(1－2x)2 025=a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 025x2 025，令x=0，得a0=1.令x=，得0=a0＋＋…＋，
∴＋…＋=0－a0=－1.
D
7. 已知的展开式中，第3项的系数与倒数第3项的系数之比为，则展开式中二项式系数最大的项为(　 　)
A. 第3项 B. 第4项
C. 第5项 D. 第6项
【解析】的展开式的通项为Tk＋1=()n－k··2k·，则T3=·22·，其系数为4.倒数第3项为Tn－1=·2n－2·x5－2n，其系数为2n－2.依题意2n－2=4×4，则n=6，∴展开式中二项式系数最大的项为第4项.
　B
8. (多选)设(2x－1)7=a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6＋a7x7，则下列结论中，正确的有(　 　)
A. a2＋a5=588
B. a1＋a2＋…＋a7=1
C. a1＋a3＋a5＋a7=
D. |a1|＋|a2|＋…＋|a7|=37－1
【解析】∵(2x－1)7展开式的通项为Tk＋1=·(2x)7－k(－1)k=(－1)k27－kx7－k，又(2x－1)7=a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6＋a7x7，∴a2=(－1)527－5=－84，a5=(－1)227－2=672，则a2＋a5=588，A正确；令x=1，则(2－1)7=a0＋a1＋a2＋…＋a6＋a7=1，令x=0，则(0－1)7=a0=－1；令x=－1，则(－2－1)7=a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7=－37，故a1＋a2＋…＋a7=1－a0=2，B错误；a1＋a3＋a5＋a7=，C正确；|a1|＋|a2|＋…＋|a7|=a1－a2＋a3－a4＋a5－a6＋a7=－(a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7)＋a0=37－1，D正确.
ACD
9. (多选)若的二项展开式共有8项，则关于该二项展开式，下列说法中正确的有(　 　)
A. 二项式系数之和为128
B. 项数为奇数的各项系数之和为－64
C. 有理项共有4项
D. 第4项与第5项的系数相等且最大
【解析】∵的二项展开式共有8项，故n=7，则二项式系数之和为27=128，A正确；的展开式的通项为Tk＋1=(－1)k，故项数为奇数的各项系数之和为=64，B错误；根据Tk＋1=(－1)k，当k取0，2，4，6时，Tk＋1=(－1)k为有理项，共有4项，C正确；T4=，T5=x，第4项与第5项的系数互为相反数，D错误.
AC
10. (2025·北京卷)已知(1－2x)4=a0－2a1x＋4a2x2－8a3x3＋16a4x4，则a0=___；a1＋a2＋a3＋a4=______.
【解析】令x=0，则a0=1，又(1－2x)4=a0－2a1x＋4a2x2－8a3x3＋16a4x4，故(1－2x)4=a0＋a1(－2x)＋a2(－2x)2＋a3(－2x)3＋a4(－2x)4，令t=－2x，则(1＋t)4=a0＋a1t＋a2t2＋a3t3＋a4t4，令t=1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4=24，故a1＋a2＋a3＋a4=15.
15
1
11. 已知(1＋x)10=a1＋a2x＋a3x2＋…＋a11x10，若数列a1，a2，a3，…，ak(1≤k≤11，k∈Z)是一个单调递增数列，则k的最大值为_____.
【解析】(1＋x)10展开式的各项系数为其二项式系数，当n=10时，展开式的中间项第六项的二项式系数最大，故k的最大值为6.
　6
12. (2024·全国甲卷理)的展开式中，各项系数中的最大值为_____.
【解析】由题得展开式通项公式为Tr＋1=xr，0≤r≤10，且r∈Z，设展开式中第r＋1项系数最大，则 即≤r≤，又r∈Z，故r=8，∴展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为=5.
5　
关键能力练
13. 已知(1＋x)2 024=a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a2 024x2 024，则a2 023＋2a2 022＋3a2 021＋4a2 020＋…＋2 023a1＋2 024a0等于(　 　)
A. 2 024×22 024 B. 2 023×22 023
C. 2 024×22 023 D. 2 023×22 022
【解析】令x=1，则a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2 024=22 024，故2 024(a0＋a1＋a2＋a3＋…＋
a2 024)=2 024×22 024①，等式(1＋x)2 024=a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a2 024x2 024两边求导得
2 024(1＋x)2 023=a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋2 024a2 024x2 023，令x=1，则2 024×22 023=a1＋2a2＋3a3＋…＋2 024a2 024②，由①－②得a2 023＋2a2 022＋3a2 021＋4a2 020＋…＋2 023a1＋
2 024a0=2 024(a0＋a1＋a2＋…＋a2 024)－(a1＋2a2＋3a3＋…＋2 024a2 024)=2 024×22 024－
2 024×22 023=2 024×22 023.
C
14. 已知由展开式前三项的二项式系数的和等于37，求：
(1)展开式中二项式系数最大的项的系数；
(2)展开式中系数最大的项.
解：(1)依题意，=37，得n=8，∴二项式为，∴展开式中第5项的二项式系数最大，T5=×24x4=x4，∴展开式中二项式系数最大的项的系数为.
(2)设二项展开式的第r＋1项的系数最大，则解得7≤r≤8，∴展开式中系数最大的项为第8项或第9项.则T8=×27x7=28x7，T9=×28x8=28x8.
15. 设(2x－3)4=a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，求：
(1)a1＋a2＋a3＋a4；
(2)(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2；
(3)|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|.
解：(1)在(2x－3)4=a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4中，令x=1，得(2－3)4=a0＋a1＋a2＋a3＋a4=1，令x=0，得(0－3)4=a0=81，∴a1＋a2＋a3＋a4=a0＋a1＋a2＋a3＋a4－a0=1－81=－80.
(2)在(2x－3)4=a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4中，令x=1，得(2－3)4=a0＋a1＋a2＋a3＋a4①.令x=－1，得(－2－3)4=a0－a1＋a2－a3＋a4②.∴(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2=(a0－a1＋a2－a3＋a4)(a0＋a1＋a2＋a3＋a4)=(－2－3)4(2－3)4=(2＋3)4(2－3)4=625.
(3)由展开式知a0，a2，a4为正，a1，a3为负，∴|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|=－a1＋a2－a3＋a4=a0－a1＋a2－a3＋a4－a0=625－81=544.
16. 杨辉三角是我国古代数学家杨辉的一项重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律，如图所示为一个11阶杨辉三角.
(1)求第20行中从左到右的第4个数；
(2)在第2斜列中，前5个数依次为1，3，6，10，15，在第3斜列中，第5个数为35.显然，1＋3＋6＋10＋15=35.现有这样的结论：第m－1斜列中(从右上到左下)前k个数之和，一定等于第m斜列中的第k个数.
试用含有m，k(m，k∈N*)的数学公式表示上述结论，并给予证明.
解：(1)=1 140.
(2)＋…＋.
证明如下：左边=＋…＋＋…＋=…==右边.6.3 练习2　二项式系数的性质　　　　　　　　　　　　　　
1. 若(x＋3y)n的展开式的各项系数之和等于(7a＋b)10的展开式的二项式系数之和，则n的值为(　A　)
A. 5 B. 8
C. 10 D. 15
【解析】(7a＋b)10展开式的二项式系数之和为210，令x=1，y=1，得(x＋3y)n展开式的各项系数之和为4n，由题意知4n=210，解得n=5.
2. 已知的展开式中各项系数之和为243，则实数a的值为(　B　)
A. 1 B. 2
C. 3 D. －2
【解析】令x=1，则(a＋1)5=243，解得a=2.
3. 已知关于x的二项式的展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a的值为(　C　)
A. 1 B. ±1
C. 2 D. ±2
【解析】由题意知2n=32，即n=5，在二项展开式的通项Tk＋1=
()5－k=ak中，令15－5k=0，得k=3，∴a3=80，解得a=2.
4. (2025·天津高二期末)已知(1－2x)n的展开式中第4项与第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数之和为(　B　)
A. 128 B. 256 C. 512 D. 1 024
【解析】由二项式系数的性质可知，第4项的二项式系数为，第7项的二项式系数为，当时，可知n=3＋6=9，∴奇数项的二项式系数之和为
29－1=28=256.
5. (2025·山东济南高二检测)若(2x－1)5=a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a0＋a2＋a4的值为(　A　)
A. －121 B. －122
C. 121 D. 122
【解析】由(2x－1)5=a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，令x=1，得(2－1)5=1=
a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5①，令x=－1，得(－2－1)5=(－3)5=a0－a1＋a2－a3＋a4－a5②，①＋②，得2(a0＋a2＋a4)=1－35=－242，∴a0＋a2＋a4=－121.
6. 若(1－2x)2 025=a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 025x2 025(x∈R)，则＋…＋的值为(　D　)
A. 2 B. 0
C. －2 D. －1
【解析】(1－2x)2 025=a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 025x2 025，令x=0，得a0=1.令x=，得0=a0＋＋…＋，
∴＋…＋=0－a0=－1.
7. 已知的展开式中，第3项的系数与倒数第3项的系数之比为，则展开式中二项式系数最大的项为(　B　)
A. 第3项 B. 第4项
C. 第5项 D. 第6项
【解析】的展开式的通项为Tk＋1=()n－k··2k·，则T3=·22·，其系数为4.倒数第3项为Tn－1=·2n－2·x5－2n，其系数为2n－2.依题意2n－2=4×4，则n=6，∴展开式中二项式系数最大的项为第4项.
8. (多选)设(2x－1)7=a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6＋a7x7，则下列结论中，正确的有(　ACD　)
A. a2＋a5=588
B. a1＋a2＋…＋a7=1
C. a1＋a3＋a5＋a7=
D. |a1|＋|a2|＋…＋|a7|=37－1
【解析】∵(2x－1)7展开式的通项为Tk＋1=·(2x)7－k(－1)k=(－1)k27－kx7－k，又(2x－1)7=a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6＋a7x7，∴a2=(－1)527－5=－84，a5=(－1)227－2=672，则a2＋a5=588，A正确；令x=1，则(2－1)7=a0＋a1＋a2＋…＋a6＋a7=1，令x=0，则(0－1)7=a0=－1；令x=－1，则(－2－1)7=a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7=－37，故a1＋a2＋…＋a7=1－a0=2，B错误；a1＋a3＋a5＋a7=，C正确；|a1|＋|a2|＋…＋|a7|=a1－a2＋a3－a4＋a5－a6＋a7=－(a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7)＋a0=37－1，D正确.
9. (多选)若的二项展开式共有8项，则关于该二项展开式，下列说法中正确的有(　AC　)
A. 二项式系数之和为128
B. 项数为奇数的各项系数之和为－64
C. 有理项共有4项
D. 第4项与第5项的系数相等且最大
【解析】∵的二项展开式共有8项，故n=7，则二项式系数之和为27=128，A正确；的展开式的通项为Tk＋1=(－1)k，故项数为奇数的各项系数之和为=64，B错误；根据Tk＋1=(－1)k，当k取0，2，4，6时，Tk＋1=(－1)k为有理项，共有4项，C正确；T4=，T5=x，第4项与第5项的系数互为相反数，D错误.
10. (2025·北京卷)已知(1－2x)4=a0－2a1x＋4a2x2－8a3x3＋16a4x4，则a0=　1　；a1＋a2＋a3＋a4=　15　.
【解析】令x=0，则a0=1，又(1－2x)4=a0－2a1x＋4a2x2－8a3x3＋16a4x4，故(1－2x)4=a0＋a1(－2x)＋a2(－2x)2＋a3(－2x)3＋a4(－2x)4，令t=－2x，则(1＋t)4=a0＋a1t＋a2t2＋a3t3＋a4t4，令t=1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4=24，故a1＋a2＋a3＋a4=15.
11. 已知(1＋x)10=a1＋a2x＋a3x2＋…＋a11x10，若数列a1，a2，a3，…，ak(1≤k≤11，k∈Z)是一个单调递增数列，则k的最大值为　6　.
【解析】(1＋x)10展开式的各项系数为其二项式系数，当n=10时，展开式的中间项第六项的二项式系数最大，故k的最大值为6.
12. (2024·全国甲卷理)的展开式中，各项系数中的最大值为　5　.
【解析】由题得展开式通项公式为Tr＋1=xr，0≤r≤10，且r∈Z，设展开式中第r＋1项系数最大，则 即≤r≤，又r∈Z，故r=8，∴展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为=5.
13. 已知(1＋x)2 024=a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a2 024x2 024，则a2 023＋2a2 022＋3a2 021＋4a2 020＋…＋2 023a1＋2 024a0等于(　C　)
A. 2 024×22 024 B. 2 023×22 023
C. 2 024×22 023 D. 2 023×22 022
【解析】令x=1，则a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2 024=22 024，故2 024(a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2 024)=2 024×22 024①，等式(1＋x)2 024=a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a2 024x2 024两边求导得2 024(1＋x)2 023=a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋2 024a2 024x2 023，令x=1，则2 024×22 023=a1＋2a2＋3a3＋…＋2 024a2 024②，由①－②得a2 023＋2a2 022＋3a2 021＋4a2 020＋…＋2 023a1＋2 024a0=2 024(a0＋a1＋a2＋…＋a2 024)－(a1＋2a2＋3a3＋…＋2 024a2 024)=2 024×22 024－2 024×22 023=2 024×22 023.
14. 已知由展开式前三项的二项式系数的和等于37，求：
(1)展开式中二项式系数最大的项的系数；
(2)展开式中系数最大的项.
解：(1)依题意，=37，得n=8，∴二项式为，∴展开式中第5项的二项式系数最大，T5=×24x4=x4，∴展开式中二项式系数最大的项的系数为.
(2)设二项展开式的第r＋1项的系数最大，则解得7≤r≤8，∴展开式中系数最大的项为第8项或第9项.则T8=×27x7=28x7，T9=×28x8=28x8.
15. 设(2x－3)4=a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，求：
(1)a1＋a2＋a3＋a4；
(2)(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2；
(3)|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|.
解：(1)在(2x－3)4=a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4中，令x=1，得(2－3)4=a0＋a1＋a2＋a3＋a4=1，令x=0，得(0－3)4=a0=81，∴a1＋a2＋a3＋a4=a0＋a1＋a2＋a3＋a4－a0=1－81=－80.
(2)在(2x－3)4=a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4中，令x=1，得(2－3)4=a0＋a1＋a2＋a3＋a4①.令x=－1，得(－2－3)4=a0－a1＋a2－a3＋a4②.∴(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2=(a0－a1＋a2－a3＋a4)(a0＋a1＋a2＋a3＋a4)=(－2－3)4(2－3)4=(2＋3)4(2－3)4=625.
(3)由展开式知a0，a2，a4为正，a1，a3为负，∴|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|=－a1＋a2－a3＋a4=a0－a1＋a2－a3＋a4－a0=625－81=544.
16. 杨辉三角是我国古代数学家杨辉的一项重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律，如图所示为一个11阶杨辉三角.
(1)求第20行中从左到右的第4个数；
(2)在第2斜列中，前5个数依次为1，3，6，10，15，在第3斜列中，第5个数为35.显然，1＋3＋6＋10＋15=35.现有这样的结论：第m－1斜列中(从右上到左下)前k个数之和，一定等于第m斜列中的第k个数.
试用含有m，k(m，k∈N*)的数学公式表示上述结论，并给予证明.
解：(1)=1 140.
(2)＋…＋.
证明如下：左边=＋…＋＋…＋=…==右边.

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