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高中数学 选择性必修 第三册
随机变量及其分布
第七章
一、条件概率与全概率公式
练习1　条件概率
必备知识练
1. (2025·河南漯河高二期末)某校开展安全知识竞赛，每个参赛选手从6道题(其中选择题4道，填空题2道)中不放回地依次抽取2道题作答，则在第一次抽到选择题的条件下，第二次抽到填空题的概率为(　 　)
A. B.
C. D.
【解析】在第一次抽到选择题的条件下，第二次抽到填空题，即在3道选择题和2道填空题中随机抽一题，抽到填空题的概率P=.
C
2. (2025·天津滨海新高二期末)同时抛掷一颗红骰子和一颗蓝骰子，观察向上的点数，记“红骰子向上的点数小于3”为事件A，“两颗骰子点数之和不大于4”为事件B，则P(B|A)等于(　 　)
A. B.
C. D.
【解析】用(x，y)表示两个骰子向上的点数，x表示红骰子向上的点数，y表示蓝骰子向上的点数，事件A的所有基本事件的个数为2×6=12；事件AB的所有基本事件有：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)共5个，∴P(B|A)=.
D　
3. (2025·四川广元高二期末)已知事件A和B满足P(A)=，P(B)=，P(A|B)=，则P(B|A)等于(　 　)
A. B.
C. D.
【解析】由概率的乘法公式可得P(AB)=P(B)·P(A|B)=，由条件概率公式可得P(B|A)=.
　B
4. 经统计，某射击运动员进行两次射击时，第一次击中9环的概率为0.6，在第一次击中9环的条件下，第二次也击中9环的概率为0.8.那么她两次均击中9环的概率为(　 　)
A. 0.24 B. 0.36
C. 0.48 D. 0.75
【解析】设该射击运动员“第一次击中9环”为事件A，“第二次击中9环”为事件B，则由题意得P(A)=0.6，P(B|A)=0.8，∴她两次均击中9环的概率为P(AB)=P(A)P(B|A)=0.6×0.8=0.48.
C
5. (2025·山东淄博高二期末)从装有3个白球、4个红球的箱子中不放回地随机取两次，每次取一个球，A表示事件“两次取出的球颜色相同”，B表示事件“两次取出的球中至少有1个是红球”，则P(B|A)等于(　 　)
A. B.
C. D.
【解析】由题意可得P(A)=，AB表示事件“两次取出的球均是红球”，则P(AB)=，故P(B|A)=.
D
6. (2025·江苏泰州高二期末)已知随机事件A，B，P(A)=，P(B)=，P(A|B)=，则P(|A)等于(　 　)
A. B.
C. D.
【解析】∵P(A)=，P(B)=，P(A|B)=，∴P(AB)=P(B)·P(A|B)=，由条件概率公式可得P(B|A)=×2==P(B)，∴P(|A)=1－P(B|A)=1.
C
7. (2025·福建南平高二期末)如图所示，用A1，A2，A3，A4四个不同元件连接成一个系统，当A1和A4正常工作且A2和A3至少有一个正常工作时系统正常.已知A1，A2，A3，A4正常工作的概率分别为，则在系统正常工作的条件下，A2，A3同时正常工作的概率为(　 　)
A. B.
C. D.
【解析】设事件A为“系统正常工作”，事件B为“A2和A3同时正常工作”，则P(A)=，P(AB)=，P(B|A)=.
A　
8. (多选)(2025·福建三明高二期末)设A，B是一个随机试验中的两个事件，且P(A)=，P(AB)=，P(B|)=，则(　 　)
A. P(B|A)= B. P(A)=
C. P(B)= D. P(|A)=
【解析】对于A，P(B|A)=，A正确；对于B，由P(A)=P(AB)＋P(A)，得P(A)=P(A)－P(AB)=，B正确；对于C，由P(B|)=，且P()=1－P(A)=，得P(B)=P(B|)P()=，∴P(B)=P(B)＋P(AB)=，C错误；对于D，∵P(|A)=，D正确.
ABD
9. (多选)(2025·江苏南京高二期中)已知分别为随机事件A，B的对立事件，P(A)＞0，P(B)＞0，则(　 　)
A. 当A，B独立时，P(A|B)=P(A)
B. 当A，B互斥时，P(A|B)=P(B|A)
C. P(B|A)＋P(|A)=P(A)
D. P(B|A)＋P(|A)=1
【解析】若A，B独立，则P(AB)=P(A)P(B)，P(A|B)==P(A)，A正确；若A，B互斥，则P(AB)=0，P(A|B)==0，P(B|A)==0，B正确；P(B|A)＋P(|A)==1，C错误，D正确.
ABD
10. 有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取1粒，则这粒种子能长成幼苗的概率为______.
【解析】记“种子发芽”为事件A，“种子长成幼苗”为事件AB(发芽，又成活)，出芽后的幼苗成活率为P(B|A)=0.8，又P(A)=0.9，故P(AB)=P(B|A)·P(A)=0.72.
　0.72
11. (2025·重庆高二期末)在一次考试中，共有8道题可供选择，已知某考生会答其中5道题，随机从中抽4道题供该考生回答，至少答对2道题视为及格，则该考生在第一题不会答的情况下及格的概率为_______.
【解析】设事件A=“从8道题中抽4道题，第一题不会答”，事件B=“从8道题中抽4道题，至少有2道题会答”.n(A)=，n(AB)=().则P(B|A)=，∴该考生在第一题不会答的情况下及格的概率为.

12. 近年来新能源汽车产业持续快速发展，动力蓄电池技术是新能源汽车的核心技术.已知某品牌新能源汽车的车载动力蓄电池充放电次数达到800的概率为90%，充放电次数达到1 000的概率为36%.若某用户购买的该品牌新能源汽车已经经过了800次的充放电，则他的车能够达到充放电1 000次的概率为_______.
【解析】设事件A表示“充放电次数达到800次”，事件B表示“充放电次数达到1 000次”，则P(A)=90%=0.9，P(AB)=36%=0.36.故所求事件的概率为P(B|A)==0.4.
　0.4
关键能力练
13. 如图所示，地面上有标号为1—10号的一个游戏方格，某人投掷一枚质地均匀的硬币，若硬币正面朝上，则他连续向前走2格；若硬币反面朝上，则他连续向前走3格，他从起始位置出发，若他超过10号位置，则游戏结束，那么他在8号位置停留的条件下，恰好已经投掷了四次硬币的概率为(　 　)
A. B.
C. D.
【解析】设“他在8号位置停留”为事件A，“恰好已经投掷了四次硬币”为事件B，事件A：投掷三次，一个正面两个反面，或者投掷四次全部为正面，事件AB：投掷四次全部为正面，则所求概率为P(B|A)=.
D
14. 1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，求：
(1)从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率.
(2)从2号箱取出红球的概率.
解：记事件A：最后从2号箱中取出的是红球，事件B：从1号箱中取出的是红球.
则P(B)=，P()=1－P(B)=.
(1)P(A|B)=.
(2)∵P(A|)=，
∴P(A)=P(AB)＋P(A)=P(A|B)P(B)＋P(A|)·P()=.
15. 某险种的基本保费为a(单位：元)，本年度继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与上年度出险次数的关联如下：
设该险种的一位续保人一年内出险次数与相应的概率如下：
(1)求该续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
(2)已知该续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率.
上年度出险次数 0 1 2 3 4 ≥5
保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
一年内出险次数 0 1 2 3 4 ≥5
概率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05
解：(1)设A表示事件：“该续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A发生当且仅当一年内出险次数大于1，
故P(A)=0.2＋0.2＋0.1＋0.05=0.55.
(2)设B表示事件：“该续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，则事件B发生当且仅当一年内出险次数大于3，
故P(B)=0.1＋0.05=0.15.又P(AB)=P(B)，故
P(B|A)=，
∴其保费比基本保费高出60%的概率为.
16. 在某次考试中，要从20道题中随机抽出6道题，考生至少能答对其中4道题才可通过，至少能答对其中5道题就获得优秀.已知某考生能答对其中10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀的概率.
解：记事件A为“该考生6道题全答对”，事件B为“该考生答对了其中5道题，有一道题答错”，事件C为“该考生答对了其中4道题，有2道题答错”，事件D为“该考生在这次考试中通过”，事件E为“该考生在这次考试中获得优秀”，则A，B，C两两互斥，且D=A∪B∪C，E=A∪B，
可知P(D)=P(A∪B∪C)=P(A)＋P(B)＋P(C)=，P(AD)=P(A)，P(BD)=P(B)，
P(E|D)=P(A|D)＋P(B|D)==
.故所求的概率为.7.1练习1　条件概率　　　　　　　　　　　　　　　　
1. (2025·河南漯河高二期末)某校开展安全知识竞赛，每个参赛选手从6道题(其中选择题4道，填空题2道)中不放回地依次抽取2道题作答，则在第一次抽到选择题的条件下，第二次抽到填空题的概率为(　 　)
A. B.
C. D.
2. (2025·天津滨海新高二期末)同时抛掷一颗红骰子和一颗蓝骰子，观察向上的点数，记“红骰子向上的点数小于3”为事件A，“两颗骰子点数之和不大于4”为事件B，则P(B|A)等于(　 　)
A. B.
C. D.
3. (2025·四川广元高二期末)已知事件A和B满足P(A)=，P(B)=，P(A|B)=，则P(B|A)等于(　 　)
A. B.
C. D.
4. 经统计，某射击运动员进行两次射击时，第一次击中9环的概率为0.6，在第一次击中9环的条件下，第二次也击中9环的概率为0.8.那么她两次均击中9环的概率为(　 　)
A. 0.24 B. 0.36
C. 0.48 D. 0.75
5. (2025·山东淄博高二期末)从装有3个白球、4个红球的箱子中不放回地随机取两次，每次取一个球，A表示事件“两次取出的球颜色相同”，B表示事件“两次取出的球中至少有1个是红球”，则P(B|A)等于(　 　)
A. B.
C. D.
6. (2025·江苏泰州高二期末)已知随机事件A，B，P(A)=，P(B)=，P(A|B)=，则P(|A)等于(　 　)
A. B.
C. D.
7. (2025·福建南平高二期末)如图所示，用A1，A2，A3，A4四个不同元件连接成一个系统，当A1和A4正常工作且A2和A3至少有一个正常工作时系统正常.已知A1，A2，A3，A4正常工作的概率分别为，则在系统正常工作的条件下，A2，A3同时正常工作的概率为(　 　)
A. B.
C. D.
8. (多选)(2025·福建三明高二期末)设A，B是一个随机试验中的两个事件，且P(A)=，P(AB)=，P(B|)=，则(　 　)
A. P(B|A)= B. P(A)=
C. P(B)= D. P(|A)=
9. (多选)(2025·江苏南京高二期中)已知分别为随机事件A，B的对立事件，P(A)＞0，P(B)＞0，则(　 　)
A. 当A，B独立时，P(A|B)=P(A)
B. 当A，B互斥时，P(A|B)=P(B|A)
C. P(B|A)＋P(|A)=P(A)
D. P(B|A)＋P(|A)=1
10. 有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取1粒，则这粒种子能长成幼苗的概率为　 　.
11. (2025·重庆高二期末)在一次考试中，共有8道题可供选择，已知某考生会答其中5道题，随机从中抽4道题供该考生回答，至少答对2道题视为及格，则该考生在第一题不会答的情况下及格的概率为 　.
12. 近年来新能源汽车产业持续快速发展，动力蓄电池技术是新能源汽车的核心技术.已知某品牌新能源汽车的车载动力蓄电池充放电次数达到800的概率为90%，充放电次数达到1 000的概率为36%.若某用户购买的该品牌新能源汽车已经经过了800次的充放电，则他的车能够达到充放电1 000次的概率为　 　.
13. 如图所示，地面上有标号为1—10号的一个游戏方格，某人投掷一枚质地均匀的硬币，若硬币正面朝上，则他连续向前走2格；若硬币反面朝上，则他连续向前走3格，他从起始位置出发，若他超过10号位置，则游戏结束，那么他在8号位置停留的条件下，恰好已经投掷了四次硬币的概率为(　 　)
A. B.
C. D.
14. 1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，求：
(1)从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率.
(2)从2号箱取出红球的概率.
15. 某险种的基本保费为a(单位：元)，本年度继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数 0 1 2 3 4 ≥5
保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
设该险种的一位续保人一年内出险次数与相应的概率如下：
一年内出险次数 0 1 2 3 4 ≥5
概率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05
(1)求该续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
(2)已知该续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率.
16. 在某次考试中，要从20道题中随机抽出6道题，考生至少能答对其中4道题才可通过，至少能答对其中5道题就获得优秀.已知某考生能答对其中10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀的概率.7.1练习1　条件概率　　　　　　　　　　　　　　　　
1. (2025·河南漯河高二期末)某校开展安全知识竞赛，每个参赛选手从6道题(其中选择题4道，填空题2道)中不放回地依次抽取2道题作答，则在第一次抽到选择题的条件下，第二次抽到填空题的概率为(　C　)
A. B.
C. D.
【解析】在第一次抽到选择题的条件下，第二次抽到填空题，即在3道选择题和2道填空题中随机抽一题，抽到填空题的概率P=.
2. (2025·天津滨海新高二期末)同时抛掷一颗红骰子和一颗蓝骰子，观察向上的点数，记“红骰子向上的点数小于3”为事件A，“两颗骰子点数之和不大于4”为事件B，则P(B|A)等于(　D　)
A. B.
C. D.
【解析】用(x，y)表示两个骰子向上的点数，x表示红骰子向上的点数，y表示蓝骰子向上的点数，事件A的所有基本事件的个数为2×6=12；事件AB的所有基本事件有：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)共5个，∴P(B|A)=.
3. (2025·四川广元高二期末)已知事件A和B满足P(A)=，P(B)=，P(A|B)=，则P(B|A)等于(　B　)
A. B.
C. D.
【解析】由概率的乘法公式可得P(AB)=P(B)·P(A|B)=，由条件概率公式可得P(B|A)=.
4. 经统计，某射击运动员进行两次射击时，第一次击中9环的概率为0.6，在第一次击中9环的条件下，第二次也击中9环的概率为0.8.那么她两次均击中9环的概率为(　C　)
A. 0.24 B. 0.36
C. 0.48 D. 0.75
【解析】设该射击运动员“第一次击中9环”为事件A，“第二次击中9环”为事件B，则由题意得P(A)=0.6，P(B|A)=0.8，∴她两次均击中9环的概率为P(AB)=P(A)P(B|A)=0.6×0.8=0.48.
5. (2025·山东淄博高二期末)从装有3个白球、4个红球的箱子中不放回地随机取两次，每次取一个球，A表示事件“两次取出的球颜色相同”，B表示事件“两次取出的球中至少有1个是红球”，则P(B|A)等于(　D　)
A. B.
C. D.
【解析】由题意可得P(A)=，AB表示事件“两次取出的球均是红球”，则P(AB)=，故P(B|A)=.
6. (2025·江苏泰州高二期末)已知随机事件A，B，P(A)=，P(B)=，P(A|B)=，则P(|A)等于(　C　)
A. B.
C. D.
【解析】∵P(A)=，P(B)=，P(A|B)=，∴P(AB)=P(B)·P(A|B)=，由条件概率公式可得P(B|A)=×2==P(B)，∴P(|A)=1－P(B|A)=1.
7. (2025·福建南平高二期末)如图所示，用A1，A2，A3，A4四个不同元件连接成一个系统，当A1和A4正常工作且A2和A3至少有一个正常工作时系统正常.已知A1，A2，A3，A4正常工作的概率分别为，则在系统正常工作的条件下，A2，A3同时正常工作的概率为(　A　)
A. B.
C. D.
【解析】设事件A为“系统正常工作”，事件B为“A2和A3同时正常工作”，则P(A)=，P(AB)=，P(B|A)=.
8. (多选)(2025·福建三明高二期末)设A，B是一个随机试验中的两个事件，且P(A)=，P(AB)=，P(B|)=，则(　ABD　)
A. P(B|A)= B. P(A)=
C. P(B)= D. P(|A)=
【解析】对于A，P(B|A)=，A正确；对于B，由P(A)=P(AB)＋P(A)，得P(A)=P(A)－P(AB)=，B正确；对于C，由P(B|)=，且P()=1－P(A)=，得P(B)=P(B|)P()=，∴P(B)=P(B)＋P(AB)=，C错误；对于D，∵P(|A)=，D正确.
9. (多选)(2025·江苏南京高二期中)已知分别为随机事件A，B的对立事件，P(A)＞0，P(B)＞0，则(　ABD　)
A. 当A，B独立时，P(A|B)=P(A)
B. 当A，B互斥时，P(A|B)=P(B|A)
C. P(B|A)＋P(|A)=P(A)
D. P(B|A)＋P(|A)=1
【解析】若A，B独立，则P(AB)=P(A)P(B)，P(A|B)==P(A)，A正确；若A，B互斥，则P(AB)=0，P(A|B)==0，P(B|A)==0，B正确；P(B|A)＋P(|A)==1，C错误，D正确.
10. 有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取1粒，则这粒种子能长成幼苗的概率为　0.72　.
【解析】记“种子发芽”为事件A，“种子长成幼苗”为事件AB(发芽，又成活)，出芽后的幼苗成活率为P(B|A)=0.8，又P(A)=0.9，故P(AB)=P(B|A)·P(A)=0.72.
11. (2025·重庆高二期末)在一次考试中，共有8道题可供选择，已知某考生会答其中5道题，随机从中抽4道题供该考生回答，至少答对2道题视为及格，则该考生在第一题不会答的情况下及格的概率为 　.
【解析】设事件A=“从8道题中抽4道题，第一题不会答”，事件B=“从8道题中抽4道题，至少有2道题会答”.n(A)=，n(AB)=().则P(B|A)=，∴该考生在第一题不会答的情况下及格的概率为.
12. 近年来新能源汽车产业持续快速发展，动力蓄电池技术是新能源汽车的核心技术.已知某品牌新能源汽车的车载动力蓄电池充放电次数达到800的概率为90%，充放电次数达到1 000的概率为36%.若某用户购买的该品牌新能源汽车已经经过了800次的充放电，则他的车能够达到充放电1 000次的概率为　0.4　.
【解析】设事件A表示“充放电次数达到800次”，事件B表示“充放电次数达到1 000次”，则P(A)=90%=0.9，P(AB)=36%=0.36.故所求事件的概率为P(B|A)==0.4.
13. 如图所示，地面上有标号为1—10号的一个游戏方格，某人投掷一枚质地均匀的硬币，若硬币正面朝上，则他连续向前走2格；若硬币反面朝上，则他连续向前走3格，他从起始位置出发，若他超过10号位置，则游戏结束，那么他在8号位置停留的条件下，恰好已经投掷了四次硬币的概率为(　D　)
A. B.
C. D.
【解析】设“他在8号位置停留”为事件A，“恰好已经投掷了四次硬币”为事件B，事件A：投掷三次，一个正面两个反面，或者投掷四次全部为正面，事件AB：投掷四次全部为正面，则所求概率为P(B|A)=.
14. 1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，求：
(1)从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率.
(2)从2号箱取出红球的概率.
解：记事件A：最后从2号箱中取出的是红球，事件B：从1号箱中取出的是红球.
则P(B)=，P()=1－P(B)=.
(1)P(A|B)=.
(2)∵P(A|)=，
∴P(A)=P(AB)＋P(A)=P(A|B)P(B)＋P(A|)·P()=.
15. 某险种的基本保费为a(单位：元)，本年度继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数 0 1 2 3 4 ≥5
保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
设该险种的一位续保人一年内出险次数与相应的概率如下：
一年内出险次数 0 1 2 3 4 ≥5
概率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05
(1)求该续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
(2)已知该续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率.
解：(1)设A表示事件：“该续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A发生当且仅当一年内出险次数大于1，
故P(A)=0.2＋0.2＋0.1＋0.05=0.55.
(2)设B表示事件：“该续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，则事件B发生当且仅当一年内出险次数大于3，
故P(B)=0.1＋0.05=0.15.又P(AB)=P(B)，故
P(B|A)=，
∴其保费比基本保费高出60%的概率为.
16. 在某次考试中，要从20道题中随机抽出6道题，考生至少能答对其中4道题才可通过，至少能答对其中5道题就获得优秀.已知某考生能答对其中10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀的概率.
解：记事件A为“该考生6道题全答对”，事件B为“该考生答对了其中5道题，有一道题答错”，事件C为“该考生答对了其中4道题，有2道题答错”，事件D为“该考生在这次考试中通过”，事件E为“该考生在这次考试中获得优秀”，则A，B，C两两互斥，且D=A∪B∪C，E=A∪B，
可知P(D)=P(A∪B∪C)=P(A)＋P(B)＋P(C)=，P(AD)=P(A)，P(BD)=P(B)，
P(E|D)=P(A|D)＋P(B|D)==.故所求的概率为.

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