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7.2 离散型随机变量及其分布列 　　　　　　　　　　　　　　
1. (2025·河南郑州高二期末)某人进行投篮训练，最多投篮4次，命中一次就停止投篮，记投篮次数为X，则{X=3}表示的试验结果是(　D　)
A. 第2次投篮命中
B. 第3次投篮未命中
C. 前3次投篮均未命中
D. 前2次投篮均未命中，第3次投篮命中
【解析】根据变量X的意义可知：{X=3}表示前2次投篮均未命中，第3次投篮命中.
2. (2025·广东江门高二期末)若随机变量X服从两点分布，P(X=1)－P(X=0)=0.4，则P(X=1)等于(　C　)
A. 0.3 B. 0.5
C. 0.7 D. 0.8
【解析】由题可知，X服从两点分布，∴P(X=1)＋P(X=0)=1，又P(X=1)－P(X=0)=0.4，∴P(X=1)=0.7.
3. (2025·黑龙江哈尔滨高二检测)设离散型随机变量X的分布列如表所示，若随机变量Y=|X－2|，则P(Y=2)等于(　D　)
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
A. 0.2 B. 0.3
C. 0.4 D. 0.5
【解析】由分布列性质可得：0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m=1，解得m=0.3；∵Y=|X－2|，∴P(Y=2)=P(Y=0)＋P(Y=4)=0.2＋m=0.2＋0.3=0.5.
4. 园林博览会期间，“花艺园”的某个位置摆放了10盆牡丹花，编号分别为0，1，2，3，…，9，若从中任取1盆，则编号大于5的概率为(　B　)
A. B.
C. D.
【解析】设任取1盆的编号为随机变量X，∴X的可能取值为0，1，2，…，9，且P(X=0)=P(X=1)=P(X=2)=…=P(X=9)=，∴P(X＞5)=P(X=6)＋P(X=7)＋P(X=8)＋P(X=9)=.
5. (2025·江西吉安高二期末)已知随机变量X的分布列为P(X=i)=(i=2，3，4)，则P(X=2)等于(　B　)
A. B.
C. D.
【解析】由题意得P(X=i)==a，而由P(X=2)＋P(X=3)＋P(X=4)=1得a=1，化简得a=1，解得a=，∴P(X=i)=，∴P(X=2)=.
6. 一个袋中装有4个红球、3个黑球，小明从袋中随机取球，记取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球，则小明得分大于6分的概率为 (　A　)
A. B.
C. D.
【解析】记得分为X，则X的可能取值为5，6，7，8，∵P(X=7)=，P(X=8)=，∴P(X＞6)=P(X=7)＋P(X=8)=.
7. (2025·山东德州高二检测)如图所示，我国古代的珠算工具算盘的每个档(挂珠的杆)上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面2颗叫上珠，下面5颗叫下珠，若从某一档的7颗算珠中任取3颗，记上珠的个数为X，则P(X≤1)等于 (　A　)
A. B.
C. D.
【解析】方法一　由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，则P(X≤1)=P(X=0)＋P(X=1)=.
方法二　由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，则P(X≤1)=1－P(X=2)=1.
8. (多选)下列随机变量中，服从两点分布的有(　BCD　)
A. 抛掷一枚骰子，所得点数X
B. 某射击手射击一次，击中目标的次数X
C. 从装有除颜色外其余均相同的5个红球、3个白球的袋中任取1个球，设X=
D. 某人玩一局游戏，游戏获胜的次数X
【解析】由题意可知B，C，D中的随机事件只有两种结果，随机变量均服从两点分布，而抛掷一枚骰子，所得点数X的可能取值为1，2，3，4，5，6，∴A中的随机变量不服从两点分布.
9. (多选)一盒中有7个乒乓球，其中5个未使用过，2个已使用过.现从盒子中任取3个球来用，用完后再装回盒中.记盒中已使用过的球的个数为X，则下列结论中，正确的有(　AC　)
A. X的所有可能取值为3，4，5
B. X最有可能的取值为5
C. X等于3的概率为
D. X等于4的概率为
【解析】记未使用过的乒乓球为M，已使用过的乒乓球为N，任取3个球的所有可能有1个M球和2个N球、2个M球和1个N球、3个M球.M球使用后成为N球，故X的所有可能取值是3，4，5，A正确；又P(X=3)=，C正确；P(X=4)=，P(X=5)=，∴X最有可能的取值是4，B，D错误.
10. (2025·河北邢台高二期末)已知随机变量X服从两点分布，P(X=1)=0.56.若Y=4X－3，则P(Y=－3)=　0.44　.
【解析】由题意可得P(Y=－3)=P(X=0)=1－P(X=1)=0.44.
11. 若随机变量X的分布列如表所示：
X 0 1 2 3
P a b
则a2＋b2的最小值为 　.
【解析】由分布列的性质，知a＋b=，又a2＋b2≥，则a2＋b2的最小值为.
12. 某种儿童游戏的规则如下：先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机抽取一张，将卡片上的数字作为其资金(单位：元).随后放回该卡片，再随机抽取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金(单位：元). 若随机变量ξ1和ξ2分别表示玩家在一局游戏中获得的资金和奖金，则P(ξ2≥3)－P(ξ1≥3)=　　.
【解析】资金的分布列为
ξ1 1 2 3 4 5
P
奖金的分布列为
ξ2 1.4 2.8 4.2 5.6
P = = = =
则P(ξ2≥3)－P(ξ1≥3)==.
13. 如图所示为某市10月1日至14日的空气质量指数折线图，空气质量指数为0~50，空气质量级别为一级；空气质量指数为51~100，空气质量级别为二级；空气质量指数为101~150，空气质量级别为三级.某人随机选择10月份的1日至13日中的某一天到达该市，并停留2天.设X是此人停留期间空气质量级别不超过二级的天数，则P(X＞1)等于(　C　)
A. B.
C. D.
【解析】由题意知，X的取值范围是{0，1，2}，空气质量级别不超过二级的为10月份的1日、2日、3日、7日、12日、13日、14日，P(X＞1)=P(X=2)，即要连续两天的空气质量级别不超过二级，∴此人应在10月份的1日、2日、12日、13日中的某一天到达该市，∴P(X＞1)=P(X=2)=.
14. (2025·安徽合肥高二检测)一袋中装有编号为1，2，3，4的4个大小相同的球，现从中随机取出2个球，X表示取出的最大号码.
(1)求X＞2的概率；
(2)求X的分布列.
解：(1)依题意，P(X＞2)=P(X=3)＋P(X=4)=.
(2)X的可能取值为2，3，4，则P(X=2)=，P(X=3)=，P(X=4)=，故X的分布列为
X 2 3 4
P
15. 已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.
(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；
(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列.
解：(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，则P(A)=.
(2)由题意可知，随机变量X的可能取值为200，300，400.
则P(X=200)=，
P(X=300)=，P(X=400)=1－P(X=200)－P(X=300)=1.故X的分布列为
X 200 300 400
P
16. (2025·广东珠海高二期中)某中学总务处的老师要购买学校教学用的粉笔，某品牌的粉笔整箱出售，每箱共有20盒，根据以往的经验，其中会有某些盒的粉笔为非优质产品，其余的都为优质产品，并且每箱含有0，1，2盒非优质产品粉笔的概率为0.7，0.2和0.1.校总务处的老师设计了一种购买的方案：在决定购买一箱粉笔前，随机查看该箱的4盒粉笔，若没有非优质产品，则购买，否则不购买.设“买下所查看的一箱粉笔”为事件A，“箱中有i件非优质产品”为事件Bi(i=0， 1， 2).
(1)求P(A|B0)，P(A|B1)，P(A|B2)；
(2)随机查看该品牌某箱粉笔中的4盒，设X为非优质产品的盒数，求X的分布列.
解：(1)由已知P(A|B0)=1，P(A|B1)=，P(A|B2)=.
(2)X的可能取值为0，1，2，∴P(X=0)=0.7＋0.2×＋0.1×，P(X=1)=0.2×＋0.1×，P(X=2)=0.1×，∴随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P(共19张PPT)
高中数学 选择性必修 第三册
随机变量及其分布
第七章
二、离散型随机变量及其分布列
必备知识练
1. (2025·河南郑州高二期末)某人进行投篮训练，最多投篮4次，命中一次就停止投篮，记投篮次数为X，则{X=3}表示的试验结果是(　 　)
A. 第2次投篮命中
B. 第3次投篮未命中
C. 前3次投篮均未命中
D. 前2次投篮均未命中，第3次投篮命中
【解析】根据变量X的意义可知：{X=3}表示前2次投篮均未命中，第3次投篮命中.
D
2. (2025·广东江门高二期末)若随机变量X服从两点分布，P(X=1)－P(X=0)=0.4，则P(X=1)等于(　 　)
A. 0.3 B. 0.5
C. 0.7 D. 0.8
【解析】由题可知，X服从两点分布，∴P(X=1)＋P(X=0)=1，又P(X=1)－P(X=0)=0.4，∴P(X=1)=0.7.
　C
3. (2025·黑龙江哈尔滨高二检测)设离散型随机变量X的分布列如表所示，若随机变量Y=|X－2|，则P(Y=2)等于(　 　)
A. 0.2 B. 0.3
C. 0.4 D. 0.5
【解析】由分布列性质可得：0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m=1，解得m=0.3；∵Y=|X－2|，∴P(Y=2)=P(Y=0)＋P(Y=4)=0.2＋m=0.2＋0.3=0.5.
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
　D
4. 园林博览会期间，“花艺园”的某个位置摆放了10盆牡丹花，编号分别为0，1，2，3，…，9，若从中任取1盆，则编号大于5的概率为(　 　)
A. B.
C. D.
【解析】设任取1盆的编号为随机变量X，∴X的可能取值为0，1，2，…，9，且P(X=0)=P(X=1)=P(X=2)=…=P(X=9)=，∴P(X＞5)=P(X=6)＋P(X=7)＋P(X=8)＋P(X=9)=.
B
5. (2025·江西吉安高二期末)已知随机变量X的分布列为P(X=i)=(i=2，3，4)，则P(X=2)等于(　 　)
A. B.
C. D.
【解析】由题意得P(X=i)==a，而由P(X=2)＋P(X=3)＋P(X=4)=1得a=1，化简得a=1，解得a=，∴P(X=i)=，∴P(X=2)=.
B
6. 一个袋中装有4个红球、3个黑球，小明从袋中随机取球，记取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球，则小明得分大于6分的概率为 (　 　)
A. B.
C. D.
【解析】记得分为X，则X的可能取值为5，6，7，8，∵P(X=7)=，P(X=8)=，∴P(X＞6)=P(X=7)＋P(X=8)=.
A
7. (2025·山东德州高二检测)如图所示，我国古代的珠算工具算盘的每个档(挂珠的杆)上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面2颗叫上珠，下面5颗叫下珠，若从某一档的7颗算珠中任取3颗，记上珠的个数为X，则P(X≤1)等于 (　 　)
A. B.
C. D.
【解析】方法一　由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，则P(X≤1)=P(X=0)＋P(X=1)=.
方法二　由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，则P(X≤1)=1－P(X=2)=1.
A
8. (多选)下列随机变量中，服从两点分布的有(　 　)
A. 抛掷一枚骰子，所得点数X
B. 某射击手射击一次，击中目标的次数X
C. 从装有除颜色外其余均相同的5个红球、3个白球的袋中任取1个球，设X=
D. 某人玩一局游戏，游戏获胜的次数X
【解析】由题意可知B，C，D中的随机事件只有两种结果，随机变量均服从两点分布，而抛掷一枚骰子，所得点数X的可能取值为1，2，3，4，5，6，∴A中的随机变量不服从两点分布.
BCD
9. (多选)一盒中有7个乒乓球，其中5个未使用过，2个已使用过.现从盒子中任取3个球来用，用完后再装回盒中.记盒中已使用过的球的个数为X，则下列结论中，正确的有(　　)
A. X的所有可能取值为3，4，5
B. X最有可能的取值为5
C. X等于3的概率为
D. X等于4的概率为
【解析】记未使用过的乒乓球为M，已使用过的乒乓球为N，任取3个球的所有可能有1个M球和2个N球、2个M球和1个N球、3个M球.M球使用后成为N球，故X的所有可能取值是3，4，5，A正确；又P(X=3)=，C正确；P(X=4)=，P(X=5)=，∴X最有可能的取值是4，B，D错误.
AC
10. (2025·河北邢台高二期末)已知随机变量X服从两点分布，P(X=1)=0.56.若Y=4X－3，则P(Y=－3)=________.
【解析】由题意可得P(Y=－3)=P(X=0)=1－P(X=1)=0.44.
　0.44
11. 若随机变量X的分布列如表所示：
则a2＋b2的最小值为________.
【解析】由分布列的性质，知a＋b=，又a2＋b2≥，则a2＋b2的最小值为.
X 0 1 2 3
P a b
　
12. 某种儿童游戏的规则如下：先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机抽取一张，将卡片上的数字作为其资金(单位：元).随后放回该卡片，再随机抽取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金(单位：元). 若随机变量ξ1和ξ2分别表示玩家在一局游戏中获得的资金和奖金，则P(ξ2≥3)－P(ξ1≥3)=_________.
【解析】资金的分布列为
奖金的分布列为
则P(ξ2≥3)－P(ξ1≥3)==.
ξ1 1 2 3 4 5
P
ξ2 1.4 2.8 4.2 5.6
P = = = =
　　
关键能力练
13. 如图所示为某市10月1日至14日的空气质量指数折线图，空气质量指数为0~50，空气质量级别为一级；空气质量指数为51~100，空气质量级别为二级；空气质量指数为101~150，空气质量级别为三级.某人随机选择10月份的1日至13日中的某一天到达该市，并停留2天.设X是此人停留期间空气质量级别不超过二级的天数，则P(X＞1)等于(　 　)
A. B.
C. D.
【解析】由题意知，X的取值范围是{0，1，2}，空气质量级别不超过二级的为10月份的1日、2日、3日、7日、12日、13日、14日，P(X＞1)=P(X=2)，即要连续两天的空气质量级别不超过二级，∴此人应在10月份的1日、2日、12日、13日中的某一天到达该市，∴P(X＞1)=P(X=2)=.
C
14. (2025·安徽合肥高二检测)一袋中装有编号为1，2，3，4的4个大小相同的球，现从中随机取出2个球，X表示取出的最大号码.
(1)求X＞2的概率；
(2)求X的分布列.
解：(1)依题意，P(X＞2)=P(X=3)＋P(X=4)=.
(2)X的可能取值为2，3，4，则P(X=2)=，P(X=3)=，P(X=4)=，故X的分布列为
X 2 3 4
P
15. 已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.
(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；
(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列.
解：(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，则P(A)=.
(2)由题意可知，随机变量X的可能取值为200，300，400.
则P(X=200)=，
P(X=300)=，P(X=400)=1－P(X=200)－P(X=300)=1.故X的分布列为
X 200 300 400
P
16. (2025·广东珠海高二期中)某中学总务处的老师要购买学校教学用的粉笔，某品牌的粉笔整箱出售，每箱共有20盒，根据以往的经验，其中会有某些盒的粉笔为非优质产品，其余的都为优质产品，并且每箱含有0，1，2盒非优质产品粉笔的概率为0.7，0.2和0.1.校总务处的老师设计了一种购买的方案：在决定购买一箱粉笔前，随机查看该箱的4盒粉笔，若没有非优质产品，则购买，否则不购买.设“买下所查看的一箱粉笔”为事件A，“箱中有i件非优质产品”为事件Bi(i=0， 1， 2).
(1)求P(A|B0)，P(A|B1)，P(A|B2)；
(2)随机查看该品牌某箱粉笔中的4盒，设X为非优质产品的盒数，求X的分布列.
解：(1)由已知P(A|B0)=1，P(A|B1)=，P(A|B2)=.
(2)X的可能取值为0，1，2，∴P(X=0)=0.7＋0.2×＋0.1×，P(X=1)=0.2×＋0.1×，P(X=2)=0.1×，∴随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P7.2 离散型随机变量及其分布列 　　　　　　　　　　　　　　
1. (2025·河南郑州高二期末)某人进行投篮训练，最多投篮4次，命中一次就停止投篮，记投篮次数为X，则{X=3}表示的试验结果是(　 　)
A. 第2次投篮命中
B. 第3次投篮未命中
C. 前3次投篮均未命中
D. 前2次投篮均未命中，第3次投篮命中
2. (2025·广东江门高二期末)若随机变量X服从两点分布，P(X=1)－P(X=0)=0.4，则P(X=1)等于(　 　)
A. 0.3 B. 0.5
C. 0.7 D. 0.8
3. (2025·黑龙江哈尔滨高二检测)设离散型随机变量X的分布列如表所示，若随机变量Y=|X－2|，则P(Y=2)等于(　 　)
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
A. 0.2 B. 0.3
C. 0.4 D. 0.5
4. 园林博览会期间，“花艺园”的某个位置摆放了10盆牡丹花，编号分别为0，1，2，3，…，9，若从中任取1盆，则编号大于5的概率为(　 　)
A. B.
C. D.
5. (2025·江西吉安高二期末)已知随机变量X的分布列为P(X=i)=(i=2，3，4)，则P(X=2)等于(　 　)
A. B.
C. D.
6. 一个袋中装有4个红球、3个黑球，小明从袋中随机取球，记取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球，则小明得分大于6分的概率为 (　 　)
A. B.
C. D.
7. (2025·山东德州高二检测)如图所示，我国古代的珠算工具算盘的每个档(挂珠的杆)上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面2颗叫上珠，下面5颗叫下珠，若从某一档的7颗算珠中任取3颗，记上珠的个数为X，则P(X≤1)等于 (　 　)
A. B.
C. D.
8. (多选)下列随机变量中，服从两点分布的有(　 　)
A. 抛掷一枚骰子，所得点数X
B. 某射击手射击一次，击中目标的次数X
C. 从装有除颜色外其余均相同的5个红球、3个白球的袋中任取1个球，设X=
D. 某人玩一局游戏，游戏获胜的次数X
9. (多选)一盒中有7个乒乓球，其中5个未使用过，2个已使用过.现从盒子中任取3个球来用，用完后再装回盒中.记盒中已使用过的球的个数为X，则下列结论中，正确的有(　 　)
A. X的所有可能取值为3，4，5
B. X最有可能的取值为5
C. X等于3的概率为
D. X等于4的概率为
10. (2025·河北邢台高二期末)已知随机变量X服从两点分布，P(X=1)=0.56.若Y=4X－3，则P(Y=－3)=　 　.
11. 若随机变量X的分布列如表所示：
X 0 1 2 3
P a b
则a2＋b2的最小值为 　.
12. 某种儿童游戏的规则如下：先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机抽取一张，将卡片上的数字作为其资金(单位：元).随后放回该卡片，再随机抽取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金(单位：元). 若随机变量ξ1和ξ2分别表示玩家在一局游戏中获得的资金和奖金，则P(ξ2≥3)－P(ξ1≥3)=　.
13. 如图所示为某市10月1日至14日的空气质量指数折线图，空气质量指数为0~50，空气质量级别为一级；空气质量指数为51~100，空气质量级别为二级；空气质量指数为101~150，空气质量级别为三级.某人随机选择10月份的1日至13日中的某一天到达该市，并停留2天.设X是此人停留期间空气质量级别不超过二级的天数，则P(X＞1)等于(　 　)
A. B.
C. D.
14. (2025·安徽合肥高二检测)一袋中装有编号为1，2，3，4的4个大小相同的球，现从中随机取出2个球，X表示取出的最大号码.
(1)求X＞2的概率；
(2)求X的分布列.
15. 已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.
(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；
(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列.
16. (2025·广东珠海高二期中)某中学总务处的老师要购买学校教学用的粉笔，某品牌的粉笔整箱出售，每箱共有20盒，根据以往的经验，其中会有某些盒的粉笔为非优质产品，其余的都为优质产品，并且每箱含有0，1，2盒非优质产品粉笔的概率为0.7，0.2和0.1.校总务处的老师设计了一种购买的方案：在决定购买一箱粉笔前，随机查看该箱的4盒粉笔，若没有非优质产品，则购买，否则不购买.设“买下所查看的一箱粉笔”为事件A，“箱中有i件非优质产品”为事件Bi(i=0， 1， 2).
(1)求P(A|B0)，P(A|B1)，P(A|B2)；
(2)随机查看该品牌某箱粉笔中的4盒，设X为非优质产品的盒数，求X的分布列.

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