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7.3 练习1　离散型随机变量的均值 　　　　　　　　　　　　
1. 已知Y=4X＋7，E(Y)=15，则E(X)等于(　C　)
A. 67 B. 11
C. 2 D. 1
【解析】E(Y)=4E(X)＋7=15，则E(X)=2.
2. 若p为非负实数，随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P p p
则E(X)的最小值为(　A　)
A. 1 B.
C. D. 2
【解析】由p≥0，p≥0，得0≤p≤，则E(X)=p＋2×p≥1.当p=时，E(X)的最小值为1.
3. 现有两台在两地独立工作的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达数为ξ，则E(ξ)的值为(　B　)
A. 0.765 B. 1.75
C. 1.765 D. 0.22
【解析】由题意可得，ξ的所有可能取值为0，1，2，P(ξ=0)=(1－0.9)×(1－0.85)=0.015；P(ξ=1)=0.9×(1－0.85)＋(1－0.9)×0.85=0.22；P(ξ=2)=0.9×0.85=
0.765，∴E(ξ)=0×0.015＋1×0.22＋2×0.765=1.75.
4. 某品牌的饮料正在进行有奖促销活动，一盒5瓶装的饮料中有2瓶有奖，消费者从中随机取出2瓶，记X为其中有奖的瓶数，则E(X)=(　C　)
A. B.
C. D. 1
【解析】依题意，X的可能取值为0，1，2，则P(X=0)=，P(X=1)=，P(X=2)=，∴E(X)=0×＋1×＋2×.
5. (2025·北京通州高二期末)设离散型随机变量X的分布列为
X －1 0 1 2
P m 0.3 n 0.3
P(|X|=1)与E(2|X|＋1)的值分别是(　A　)
A. 0.4　3 B. 0.4　2
C. 0.4　1 D. 0.2　5
【解析】根据分布列可得P(|X|=1)=P(X=1)＋P(X=－1)=1－0.3－0.3=0.4；E(|X|)=0×0.3＋1×0.4＋2×0.3=1，E(2|X|＋1)=2E(|X|)＋1=2×1＋1=3.
6. (2025·湖北武汉高二检测)若随机变量X的分布列为
X －1 0 1 2
P m n 2n m
若Y=X2，且E(Y)=，则P(X＞0)等于(　D　)
A. B. C. D.
【解析】依题意，2m＋3n=1，P(Y=0)=n，P(Y=1)=m＋2n，P(Y=4)=m，则E(Y)=m＋2n＋4m=5m＋2n=，解得m=，n=，∴P(X＞0)= P(X=1)＋P(X=2)=2n＋m=.
7. 已知纸箱中有3个红球，2个白球，现从中随机抽取2个球，记X为其中白球的个数，则E(5X＋1)为(　B　)
A. 4 B. 5
C. 6 D. 7
【解析】依题意，X的可能取值为0，1，2，则P(X=0)=，P(X=1)=，P(X=2)=，∵E(X)=0×＋1×＋2×，∴E(5X＋1)=5E(X)＋1=5.
8. (多选)(2025·广东佛山高二期中)已知离散型随机变量X的分布列如下表所示，则(　BC　)
X 2 4 7
P q 2q
A. q= B. q=
C. E(X)=4 D. E(2－3X)=10
【解析】由离散型随机变量分布列的性质可得＋q＋2q=1，解得q=，A错误，B正确；由期望公式可得E(X)=2×＋4×＋7×=4，C正确；E(2－3X)=2－3E(X)=－10，D错误.
9. (多选)体育课排球发球项目测试的规则如下：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止，设某学生一次发球成功的概率为p(p≠0)，发球次数为X，若X的均值E(X)＞1.75，则p的取值可以为(　AB　)
A. B.
C. D.
【解析】由题意，随机变量X的所有可能取值为1，2，3，可得P(X=1)=p，P(X=2)=p(1－p)，P(X=3)=(1－p)2，则E(X)=p＋2p(1－p)＋3(1－p)2=p2－3p＋3，又E(X)＞1.75，即p2－3p＋3＞1.75，解得p＞，或p＜，由0＜p≤1，得0＜p＜，即p∈，∴A，B符合题意.
10. (2025·北京高二期中)已知随机变量X的概率分布如表所示且P(X＞2)=0.3；则a=　0.3　；E(5X＋4)=　15　﹔
X 1 2 4
P 0.4 a b
【解析】由P(X＞2)=0.3，得P(X=4)=0.3，即b=0.3，由0.4＋a＋b=1，则a=0.3，∴E(5X＋4)=5E(X)＋4=5×(1×0.4＋2×0.3＋4×0.3)＋4=15.
11. 某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%；如果失败，一年后将丧失全部资金的50%.下表是过去200例类似项目开发的实施结果.
投资成功 投资失败
192例 8例
该公司一年后估计可获收益的均值是　4 760　.
【解析】由题意知，一年后获利6 000 元的概率为0.96，亏损25 000元的概率为0.04，故该公司一年后收益的均值是6 000×0.96＋(－25 000)×0.04=4 760(元).
12. 甲、乙、丙三人参加某次招聘会，甲应聘成功的概率为，乙、丙应聘成功的概率均为(0＜t＜3)，且三人是否应聘成功是相互独立的事件.若甲、乙、丙三人都应聘成功的概率是，设ξ表示甲、乙两人中应聘成功的人数，则ξ的均值是 　.
【解析】依题意，得甲、乙、丙三人都应聘成功的概率是，解得t=2(负值舍去)，∴乙应聘成功的概率为，则ξ的所有可能的取值为0，1，2，可得P(ξ=2)=，P(ξ=1)=，P(ξ=0)=，∴E(ξ)=2×＋1×＋0×.
13. (多选)(2025·福建福州高二期末)已知甲盒中装有3个蓝球、2个黄球，乙盒中装有2个蓝球、3个黄球，现同时从甲、乙两盒中各取出i(i=1， 2)个球交换，分别记交换后甲、乙两个盒子中蓝球个数的数学期望为Ei(X)，Ei(Y)，则下列结论中，正确的有(　AD　)
A. E1(X)＋E1(Y)=5
B. E1(X)＜E1(Y)
C. E1(X)＜E2(X)
D. E1(X)＋E1(Y)=E2(X)＋E2(Y)
【解析】对于A，B，当i=1时，P(X=2)=P(Y=3)=，P(X=3)=P(Y=2)=，P(X=4)=P(Y=1)=，∴E1(X)=2×＋3×＋4×，E1(Y)=3×＋2×＋1×，∴E1(X)＋E1(Y)==5，E1(X)＞E1(Y)，∴A正确，B错误；对于C，D，当i=2时，P(X=1)=P(Y=4)=，P(X=2)=P(Y=3)=，P(X=3)=P(Y=2)=，P(X=4)=P(Y=1)=，P(X=5)=P(Y=0)=，∴E2(X)=1×＋2×＋3×＋4×＋5×，E2(Y)=4×＋3×＋2×＋1×＋0×，∴E2(X)＜E1(X)，E2(X)＋E2(Y)==5，∴E1(X)＋E1(Y)=E2(X)＋E2(Y)，∴C错误，D正确.
14. (2025·青海西宁高二期中)袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n(n=1，2，3，4)个.现从袋中任取一球，X表示所取球的标号.
(1)求X的分布列、均值；
(2)若Y=aX＋4，E(Y)=1，求a的值.
解：(1)由题意可知袋中记上0号的有10个，记上n号的有n(n=1，2，3，4)个，由古典概型可知P(X=0)=，P(X=1)=，P(X=2)=，P(X=3)=，P(X=4)=；X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
X的均值为E(X)=0×＋1×＋2×＋3×＋4×.
(2)E(Y)=E(aX＋4)=aE(X)＋4=1，又E(X)=，则a＋4=1，∴a=－2.
15. (2025·绍兴高二期末)有A和B两道谜语，小张猜对A谜语的概率为0.8，猜对得奖金10元；猜对B谜语的概率为0.5，猜对得奖金20元.每次猜谜的结果相互独立.
(1)若小张猜完了这两道谜语，记小张猜对谜语的道数为随机变量X，求随机变量X的分布列与期望；
(2)现规定：只有在猜对第一道谜语的情况下，才有资格猜第二道.如果猜谜顺序由小张选择，为了获得更多的奖金，他应该选择先猜哪一道谜语？
解：(1)由题意可得，X的可能取值为0，1，2，P(X=0)=(1－0.8)×(1－0.5)=0.1，P(X=1)=0.8×(1－0.5)＋(1－0.8)×0.5=0.5，P(X=2)=0.8×0.5=0.4，
则分布列为
X 0 1 2
P 0.1 0.5 0.4
则E(X)=0×0.1＋1×0.5＋2×0.4=1.3.
(2)设选择先猜A谜语得到的奖金为Y元，选择先猜B谜语得到的奖金为Z元，
则随机变量Y的可能取值为0，10，30，
可得P(Y=0)=1－0.8=0.2，P(Y=10)=0.8×(1－0.5)=0.4，P(Y=30)=0.8×0.5=0.4，∴随机变量Y的分布列为
Y 0 10 30
P 0.2 0.4 0.4
∴期望E(Y)=10×0.4＋30×0.4=16；
又由随机变量Z的可能取值为0，20，30，
可得P(Z=0)=0.5，P(Z=20)=0.5×(1－0.8)=0.1，P(Z=30)=0.5×0.8=0.4，随机变量Z的分布列为
Z 0 20 30
P 0.5 0.1 0.4
∴期望E(Z)=20×0.1＋30×0.4=14，
∴E(Y)＞E(Z)，小明应该先猜A谜语.(共20张PPT)
高中数学 选择性必修 第三册
随机变量及其分布
第七章
三、离散型随机变量的数字特征
练习1　离散型随机变量的均值
必备知识练
1. 已知Y=4X＋7，E(Y)=15，则E(X)等于(　 　)
A. 67 B. 11
C. 2 D. 1
【解析】E(Y)=4E(X)＋7=15，则E(X)=2.
C
2. 若p为非负实数，随机变量X的分布列为
则E(X)的最小值为(　 　)
A. 1 B.
C. D. 2
【解析】由p≥0，p≥0，得0≤p≤，则E(X)=p＋2×p≥1.当p=时，E(X)的最小值为1.
X 0 1 2
P p p
A
3. 现有两台在两地独立工作的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达数为ξ，则E(ξ)的值为(　 　)
A. 0.765 B. 1.75
C. 1.765 D. 0.22
【解析】由题意可得，ξ的所有可能取值为0，1，2，P(ξ=0)=(1－0.9)×(1－0.85)=0.015；P(ξ=1)=0.9×(1－0.85)＋(1－0.9)×0.85=0.22；P(ξ=2)=0.9×0.85=0.765，∴E(ξ)=0×0.015＋1×0.22＋2×0.765=1.75.
B
4. 某品牌的饮料正在进行有奖促销活动，一盒5瓶装的饮料中有2瓶有奖，消费者从中随机取出2瓶，记X为其中有奖的瓶数，则E(X)=(　 　)
A. B.
C. D. 1
【解析】依题意，X的可能取值为0，1，2，则P(X=0)=，P(X=1)=，P(X=2)=，∴E(X)=0×＋1×＋2×.
　C　
5. (2025·北京通州高二期末)设离散型随机变量X的分布列为
P(|X|=1)与E(2|X|＋1)的值分别是(　 　)
A. 0.4　3 B. 0.4　2
C. 0.4　1 D. 0.2　5
【解析】根据分布列可得P(|X|=1)=P(X=1)＋P(X=－1)=1－0.3－0.3=0.4；E(|X|)=0×0.3＋1×0.4＋2×0.3=1，E(2|X|＋1)=2E(|X|)＋1=2×1＋1=3.
X －1 0 1 2
P m 0.3 n 0.3
A
6. (2025·湖北武汉高二检测)若随机变量X的分布列为
若Y=X2，且E(Y)=，则P(X＞0)等于(　 　)
A. B.
C. D.
【解析】依题意，2m＋3n=1，P(Y=0)=n，P(Y=1)=m＋2n，P(Y=4)=m，则E(Y)=m＋2n＋4m=5m＋2n=，解得m=，n=，∴P(X＞0)= P(X=1)＋P(X=2)=2n＋m=.
X －1 0 1 2
P m n 2n m
D
7. 已知纸箱中有3个红球，2个白球，现从中随机抽取2个球，记X为其中白球的个数，则E(5X＋1)为(　 　)
A. 4 B. 5
C. 6 D. 7
【解析】依题意，X的可能取值为0，1，2，则P(X=0)=，P(X=1)=，P(X=2)=，∵E(X)=0×＋1×＋2×，∴E(5X＋1)=5E(X)＋1=5.
B
8. (多选)(2025·广东佛山高二期中)已知离散型随机变量X的分布列如下表所示，则
(　 　)
A. q= B. q=
C. E(X)=4 D. E(2－3X)=10
【解析】由离散型随机变量分布列的性质可得＋q＋2q=1，解得q=，A错误，B正确；由期望公式可得E(X)=2×＋4×＋7×=4，C正确；E(2－3X)=2－3E(X)=－10，D错误.
X 2 4 7
P q 2q
BC
9. (多选)体育课排球发球项目测试的规则如下：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止，设某学生一次发球成功的概率为p(p≠0)，发球次数为X，若X的均值E(X)＞1.75，则p的取值可以为(　 　)
A. B.
C. D.
【解析】由题意，随机变量X的所有可能取值为1，2，3，可得P(X=1)=p，P(X=2)=p(1－p)，P(X=3)=(1－p)2，则E(X)=p＋2p(1－p)＋3(1－p)2=p2－3p＋3，又E(X)＞1.75，即p2－3p＋3＞1.75，解得p＞，或p＜，由0＜p≤1，得0＜p＜，即p∈，∴A，B符合题意.
AB
10. (2025·北京高二期中)已知随机变量X的概率分布如表所示且P(X＞2)=0.3；则a=_____；E(5X＋4)=_____﹔
【解析】由P(X＞2)=0.3，得P(X=4)=0.3，即b=0.3，由0.4＋a＋b=1，则a=0.3，∴E(5X＋4)=5E(X)＋4=5×(1×0.4＋2×0.3＋4×0.3)＋4=15.
X 1 2 4
P 0.4 a b
0.3
　15　
11. 某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%；如果失败，一年后将丧失全部资金的50%.下表是过去200例类似项目开发的实施结果.
该公司一年后估计可获收益的均值是_________.
【解析】由题意知，一年后获利6 000 元的概率为0.96，亏损25 000元的概率为0.04，故该公司一年后收益的均值是6 000×0.96＋(－25 000)×0.04=4 760(元).
投资成功 投资失败
192例 8例
4 760
12. 甲、乙、丙三人参加某次招聘会，甲应聘成功的概率为，乙、丙应聘成功的概率均为(0＜t＜3)，且三人是否应聘成功是相互独立的事件.若甲、乙、丙三人都应聘成功的概率是，设ξ表示甲、乙两人中应聘成功的人数，则ξ的均值是______.
【解析】依题意，得甲、乙、丙三人都应聘成功的概率是，解得t=2(负值舍去)，∴乙应聘成功的概率为，则ξ的所有可能的取值为0，1，2，可得P(ξ=2)=，P(ξ=1)=，P(ξ=0)=，∴E(ξ)=2×＋1×＋0×.

关键能力练
13. (多选)(2025·福建福州高二期末)已知甲盒中装有3个蓝球、2个黄球，乙盒中装有2个蓝球、3个黄球，现同时从甲、乙两盒中各取出i(i=1， 2)个球交换，分别记交换后甲、乙两个盒子中蓝球个数的数学期望为Ei(X)，Ei(Y)，则下列结论中，正确的有(　 　)
A. E1(X)＋E1(Y)=5
B. E1(X)＜E1(Y)
C. E1(X)＜E2(X)
D. E1(X)＋E1(Y)=E2(X)＋E2(Y)
AD
【解析】对于A，B，当i=1时，P(X=2)=P(Y=3)=，P(X=3)=P(Y=2)=，P(X=4)=P(Y=1)=，∴E1(X)=2×＋3×＋4×，E1(Y)=3×＋2×＋1×，∴E1(X)＋E1(Y)==5，E1(X)＞E1(Y)，∴A正确，B错误；对于C，D，当i=2时，P(X=1)=P(Y=4)=，P(X=2)=P(Y=3)=，P(X=3)=P(Y=2)=，P(X=4)=P(Y=1)=，P(X=5)=P(Y=0)=，∴E2(X)=1×＋2×＋3×＋4×＋5×，E2(Y)=4×＋3×＋2×＋1×＋0×，∴E2(X)＜E1(X)，E2(X)＋E2(Y)==5，∴E1(X)＋E1(Y)=E2(X)＋E2(Y)，∴C错误，D正确.
14. (2025·青海西宁高二期中)袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n(n=1，2，3，4)个.现从袋中任取一球，X表示所取球的标号.
(1)求X的分布列、均值；
(2)若Y=aX＋4，E(Y)=1，求a的值.
解：(1)由题意可知袋中记上0号的有10个，记上n号的有n(n=1，2，3，4)个，由古典概型可知P(X=0)=，P(X=1)=，P(X=2)=，P(X=3)=，P(X=4)=；X的分布列为
X的均值为E(X)=0×＋1×＋2×＋3×＋4×.
(2)E(Y)=E(aX＋4)=aE(X)＋4=1，又E(X)=，则a＋4=1，∴a=－2.
X 0 1 2 3 4
P
15. (2025·绍兴高二期末)有A和B两道谜语，小张猜对A谜语的概率为0.8，猜对得奖金10元；猜对B谜语的概率为0.5，猜对得奖金20元.每次猜谜的结果相互独立.
(1)若小张猜完了这两道谜语，记小张猜对谜语的道数为随机变量X，求随机变量X的分布列与期望；
(2)现规定：只有在猜对第一道谜语的情况下，才有资格猜第二道.如果猜谜顺序由小张选择，为了获得更多的奖金，他应该选择先猜哪一道谜语？
解：(1)由题意可得，X的可能取值为0，1，2，P(X=0)=(1－0.8)×(1－0.5)=0.1，P(X=1)=0.8×(1－0.5)＋(1－0.8)×0.5=0.5，P(X=2)=0.8×0.5=0.4，
则分布列为
则E(X)=0×0.1＋1×0.5＋2×0.4=1.3.
X 0 1 2
P 0.1 0.5 0.4
(2)设选择先猜A谜语得到的奖金为Y元，选择先猜B谜语得到的奖金为Z元，
则随机变量Y的可能取值为0，10，30，
可得P(Y=0)=1－0.8=0.2，P(Y=10)=0.8×(1－0.5)=0.4，P(Y=30)=0.8×0.5=0.4，∴随机变量Y的分布列为
∴期望E(Y)=10×0.4＋30×0.4=16；
又由随机变量Z的可能取值为0，20，30，
可得P(Z=0)=0.5，P(Z=20)=0.5×(1－0.8)=0.1，P(Z=30)=0.5×0.8=0.4，随机变量Z的分布列为
∴期望E(Z)=20×0.1＋30×0.4=14，
∴E(Y)＞E(Z)，小明应该先猜A谜语.
Y 0 10 30
P 0.2 0.4 0.4
Z 0 20 30
P 0.5 0.1 0.47.3 练习1　离散型随机变量的均值 　　　　　　　　　　　　
1. 已知Y=4X＋7，E(Y)=15，则E(X)等于(　 　)
A. 67 B. 11
C. 2 D. 1
2. 若p为非负实数，随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P p p
则E(X)的最小值为(　 　)
A. 1 B.
C. D. 2
3. 现有两台在两地独立工作的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达数为ξ，则E(ξ)的值为(　 　)
A. 0.765 B. 1.75
C. 1.765 D. 0.22
4. 某品牌的饮料正在进行有奖促销活动，一盒5瓶装的饮料中有2瓶有奖，消费者从中随机取出2瓶，记X为其中有奖的瓶数，则E(X)=(　 　)
A. B.
C. D. 1
5. (2025·北京通州高二期末)设离散型随机变量X的分布列为
X －1 0 1 2
P m 0.3 n 0.3
P(|X|=1)与E(2|X|＋1)的值分别是(　 　)
A. 0.4　3 B. 0.4　2
C. 0.4　1 D. 0.2　5
6. (2025·湖北武汉高二检测)若随机变量X的分布列为
X －1 0 1 2
P m n 2n m
若Y=X2，且E(Y)=，则P(X＞0)等于(　 　)
A. B. C. D.
7. 已知纸箱中有3个红球，2个白球，现从中随机抽取2个球，记X为其中白球的个数，则E(5X＋1)为(　 　)
A. 4 B. 5
C. 6 D. 7
8. (多选)(2025·广东佛山高二期中)已知离散型随机变量X的分布列如下表所示，则(　 　)
X 2 4 7
P q 2q
A. q= B. q=
C. E(X)=4 D. E(2－3X)=10
9. (多选)体育课排球发球项目测试的规则如下：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止，设某学生一次发球成功的概率为p(p≠0)，发球次数为X，若X的均值E(X)＞1.75，则p的取值可以为(　 　)
A. B.
C. D.
10. (2025·北京高二期中)已知随机变量X的概率分布如表所示且P(X＞2)=0.3；则a=　 　；E(5X＋4)=　 　﹔
X 1 2 4
P 0.4 a b
11. 某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%；如果失败，一年后将丧失全部资金的50%.下表是过去200例类似项目开发的实施结果.
投资成功 投资失败
192例 8例
该公司一年后估计可获收益的均值是　 　.
12. 甲、乙、丙三人参加某次招聘会，甲应聘成功的概率为，乙、丙应聘成功的概率均为(0＜t＜3)，且三人是否应聘成功是相互独立的事件.若甲、乙、丙三人都应聘成功的概率是，设ξ表示甲、乙两人中应聘成功的人数，则ξ的均值是 　.
13. (多选)(2025·福建福州高二期末)已知甲盒中装有3个蓝球、2个黄球，乙盒中装有2个蓝球、3个黄球，现同时从甲、乙两盒中各取出i(i=1， 2)个球交换，分别记交换后甲、乙两个盒子中蓝球个数的数学期望为Ei(X)，Ei(Y)，则下列结论中，正确的有(　 　)
A. E1(X)＋E1(Y)=5
B. E1(X)＜E1(Y)
C. E1(X)＜E2(X)
D. E1(X)＋E1(Y)=E2(X)＋E2(Y)
14. (2025·青海西宁高二期中)袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n(n=1，2，3，4)个.现从袋中任取一球，X表示所取球的标号.
(1)求X的分布列、均值；
(2)若Y=aX＋4，E(Y)=1，求a的值.
15. (2025·绍兴高二期末)有A和B两道谜语，小张猜对A谜语的概率为0.8，猜对得奖金10元；猜对B谜语的概率为0.5，猜对得奖金20元.每次猜谜的结果相互独立.
(1)若小张猜完了这两道谜语，记小张猜对谜语的道数为随机变量X，求随机变量X的分布列与期望；
(2)现规定：只有在猜对第一道谜语的情况下，才有资格猜第二道.如果猜谜顺序由小张选择，为了获得更多的奖金，他应该选择先猜哪一道谜语？

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