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7.3 练习2　离散型随机变量的方差 　　　　　　　　　　　　
1. (2025·山西长治高二期中)已知离散型随机变量X的分布列为
X －1 0 1
P p
且Y=3X＋2，则D(Y)等于(　A　)
A. 5 B. 7
C. D.
【解析】由题意有＋p=1，解得p=，
∴E(X)=－1×＋0×＋1×=，∴D(X)=，
∴D(Y)=9D(X)=9×=5.
2. (2025·江西南昌高二期末)若随机变量X服从两点分布，且E(X)=0.4，则D(X)等于(　A　)
A. 0.24 B. 2.4
C. 0.28 D. 2.8
【解析】设P(X=0)=p，P(X=1)=1－p，∴E(X)=0×p＋1×(1－p)=1－p=0.4，
∴p=0.6，1－p=0.4，
∴D(X)=(0－0.4)2×0.6＋(1－0.4)2×0.4=0.24.
3. (2025·河南信阳高二期末)随机变量ξ的分布列如表所示，若E(ξ)=，则D(ξ)等于(　C　)
ξ －1 0 1 2
P 2a a 2a b
A. B.
C. D.
【解析】由已知可得得a=b=，∴D(ξ)=.
4. (2025·山东东营高二期末)袋中有2个白球，3个红球，从中随机连续抽取4次，每次取一个球.若每次抽取后都不放回，设取到红球的个数为X，则X的方差为(　A　)
A. B.
C. D.
【解析】X的可能取值为2，3，P(X=2)=，P(X=3)=，故E(X)=2×＋3×，D(X)=.
5. 有统计资料表明，甲、乙2位运动员在以往比赛中的得分情况为
X1(甲得分) 0 1 2
P 0.2 0.5 0.3
X2(乙得分) 0 1 2
P 0.3 0.3 0.4
现有一场比赛，适合派去参加的运动员是(　A　)
A. 甲 B. 乙
C. 甲、乙均可 D. 无法确定
【解析】E(X1)=0×0.2＋1×0.5＋2×0.3=1.1，E(X2)=0×0.3＋1×0.3＋2×0.4=1.1，D(X1)=1.12×0.2＋0.12×0.5＋0.92×0.3=0.49，D(X2)=1.12×0.3＋0.12×0.3＋0.92×0.4=0.69，∴E(X1)=E(X2)，D(X1)＜D(X2)，故在平均得分相同的情况下，甲比乙得分稳定，适合派甲去参加.
6. 设a＞0，已知随机变量ξ的分布列为
ξ －1 0 2
P a 2a 3a
下列方差值中，最大的是(　C　)
A. D(ξ)
B. D(|ξ|)
C. D(2ξ－1)
D. D(2|ξ|＋1)
【解析】由题意得，a＋2a＋3a=1，解得a=，则E(ξ)=－1×＋0×＋2×，E(|ξ|)=1×＋0×＋2×，∴D(ξ)=，D(|ξ|)=，∴D(2ξ－1)=4×，D(2|ξ|＋1)=4×，∴D(2ξ－1)＞D(2|ξ|＋1)＞D(ξ)＞D(|ξ|).
7. 随机变量ξ的分布列为
ξ 1 a 9
P b 1－2b b
其中1＜a＜9，0＜b＜，则下列说法中，正确的是(　C　)
A. 若a=5，则当0＜b＜时，E(ξ)随b的增大而增大
B. 若a=5，则当0＜b＜时，E(ξ)随b的增大而减小
C. 若b=，则当a=5时，D(ξ)有最小值
D. 若b=，则当a=5时，D(ξ)有最大值
【解析】若a=5，则E(ξ)=1×b＋5×(1－2b)＋9×b=5，A，B错误；若b=，则E(ξ)=1×＋a×＋9×，D(ξ)=(6a2－60a＋438)，其对称轴为a==5，则当a=5时，D(ξ)有最小值，C正确，D错误.
8. (多选) (2025·河北邢台高二检测)已知离散型随机变量X，Y满足Y=3X－1，其中X的分布列如下表所示，则下列结论中，正确的有(　ACD　)
X 1 3 6
P
A. E(X)=3 B. E(Y)=9
C. D(X)=5 D. D(Y)=45
【解析】由分布列可得E(X)=1×＋3×＋6×=3，A正确；E(Y)=E(3X－1)=3E(X)－1=3×3－1=8，B错误；D(X)=(1－3)2×＋(3－3)2×＋(6－3)2×=5，C正确；D(Y)=D(3X－1)=32·D(X)=45，D正确.
9. (多选)(2025·广东深圳高二期中)有甲、乙两种品牌的手表，它们的日走时误差为X和Y (单位：s)，甲品牌的日走时误差分布列为
X －1 0 1
P 0.1 0.8 0.1
乙品牌的日走时误差分布列为
Y －2 －1 0 1 2
P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
下列结论中，正确的有(　AC　)
A. 甲品牌的手表走时更稳定
B. 乙品牌的手表走时更稳定
C. D(X)=0.2
D. D(Y)=1.4
【解析】E(X)=－1×0.1＋0×0.8＋1×0.1=0，E(Y)=－2×0.1＋(－1)×0.2＋0×0.4＋1×0.2＋2×0.1=0；D(X)=(－1)2×0.1＋02×0.8＋12×0.1=0.2，D(Y)=(－2)2×0.1＋(－1)2×0.2＋0×0.4＋12×0.2＋22×0.1=1.2，∵E(X)=E(Y)=0，D(X)＜D(Y)，∴甲品牌的手表走时更稳定，A，C正确；B，D错误.
10. 若X是离散型随机变量，P(X=x1)=，P(X=x2)=，且x1＜x2，又已知E(X)=，D(X)=，则x1＋x2的值为　3　.
【解析】∵E(X)=x1＋x2=，∴x2=4－2x1，D(X)=，∵x1＜x2，∴∴x1＋x2=3.
11. (2025·湖南长沙高二检测)已知随机变量X取所有的值1，2，…，n是等可能的，且E(X)=3，则D(2X＋1)=　8　.
【解析】由题意可得P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=…=P(X=n)=，则E(X)=(1＋2＋3＋…＋n)==3，解得n=5，∴D(X)=[(1－3)2＋(2－3)2＋(3－3)2＋(4－3)2＋(5－3)2]=2，∴D(2X＋1)=4D(X)=8.
12. 某大学毕业生分别向甲、乙、丙3个公司投递了个人简历，若该毕业生得到甲公司面试机会的概率为，得到乙、丙2个公司面试机会的概率均为p，且3个公司是否让其面试是相互独立的.设X为该毕业生得到面试机会的公司个数.若P(X=0)=，则D(X)= 　.
【解析】由P(X=0)=知，×(1－p)2=，得p=，由题意知X为该毕业生得到面试机会的公司个数，则X的所有可能取值为0，1，2，3，P(X=1)=，P(X=2)=，P(X=3)=，∴E(X)=0×＋1×＋2×＋3×，∴D(X)=.
13. 设0＜p＜1，随机变量ξ的分布列为
ξ 0 1 2
P
当p在(0， 1)内增大时，下列说法中，正确的是(　D　)
A. D(ξ)减小
B. D(ξ)增大
C. D(ξ)先减小后增大
D. D(ξ)先增大后减小
【解析】由随机变量ξ的分布列知E(ξ)=0×＋1×＋2×=p＋，∴方差D(ξ)==－p2＋p＋=，则D(ξ)是关于p的二次函数，其图象开口向下，对称轴为p=，∴在(0，1)内D(ξ)先增大后减小.
14. (2025·山东济宁高二期中)某公司销售员统计了自己3月份出差一次离公司的距离X(单位：km)的可能取值为20，30，32，36，且发生的概率依次为0.1，0.3，2t，t.
(1)求X的均值和方差；
(2)若销售员出差一次，公司所给油费补贴规则如下：起步5元，若出差距离不超过3 km时，补贴5元；若出差距离超过3 km时，则超过3 km的部分按照每超出1 km(不足1 km的也按1 km计算)补贴3元，求此销售员3月份出差一次所获油费补贴的均值和方差.
解：(1)由题意，得0.1＋0.3＋2t＋t=1，解得t=0.2.
∴X的分布列为
X 20 30 32 36
P 0.1 0.3 0.4 0.2
∴E(X)=20×0.1＋30×0.3＋32×0.4＋36×0.2=31，
D(X)=(20－31)2×0.1＋(30－31)2×0.3＋(32－31)2×0.4＋(36－31)2×0.2=17.8.
(2)设此销售员3月份出差一次所获油费补贴为Y元，则Y=3(X－3)＋5=3X－4(X＞3，X∈N)，
∴E(Y)=E(3X－4)=3E(X)－4=3×31－4=89，
D(Y)=D(3X－4)=32×D(X)=32×17.8=160.2.
故此销售员3月份出差一次所获油费补贴的均值为89元，方差为160.2.
15. 甲、乙2名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量ξ，η，已知甲、乙2名射手在每次射击中射中的环数分别为7，8，9，10，且甲射中10，9，8，7环的概率分别为2a， 0.2， a， 0.2，乙射中10，9，8，7环的概率分别为0.3， 0.3， b ， b.
(1)求ξ，η的分布列；
(2)请根据射击环数的期望及方差来评价甲、乙的射击技术.
解：(1)由题意可得0.2＋2a＋a＋0.2=1，解得a=0.2；
0.3＋0.3＋2b=1，解得b=0.2；
∴ξ的分布列为
ξ 10 9 8 7
P 0.4 0.2 0.2 0.2
η的分布列为
η 10 9 8 7
P 0.3 0.3 0.2 0.2
(2)由(1)得E(ξ)=10×0.4＋9×0.2＋8×0.2＋7×0.2=8.8，D(ξ)=(10－8.8)2×0.4＋(9－8.8)2×0.2＋(8－8.8)2×0.2＋(7－8.8)2×0.2=1.36；
E(η)=10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2=8.7，
D(η)=(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2=1.21.
由于E(ξ)＞E(η)，D(ξ)＞D(η)，说明甲射击的环数的期望比乙高，但成绩没有乙稳定.
16. 某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门.首次到达此门时，系统会随机(即等可能的)打开一个通道，若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门.再次到达智能门时，系统会随机打开一个未到过的通道，直至走出迷宫为止.设ξ表示走出迷宫所需的小时数.
(1)求ξ的分布列；
(2)求ξ的均值和方差.
解：(1)ξ的所有可能取值为1，3，4，6，
当ξ=1时，直接从1号通道走出，则P(ξ=1)=；当ξ=3时，先走2号通道，再走1号通道，则P(ξ=3)=；当ξ=4时，先走3号通道，再走1号通道，则P(ξ=4)=；当ξ=6时，先走2号通道，再走3号通道，最后再走1号通道，或者先走3号通道，再走2号通道，最后再走1号通道，则P(ξ=6)=2××1=，
∴ξ的分布列为
ξ 1 3 4 6
P
(2)E(ξ)=1×＋3×＋4×＋6×，
D(ξ)=.(共23张PPT)
高中数学 选择性必修 第三册
随机变量及其分布
第七章
三、离散型随机变量的数字特征
练习2　离散型随机变量的方差
必备知识练
1. (2025·山西长治高二期中)已知离散型随机变量X的分布列为
且Y=3X＋2，则D(Y)等于(　 　)
A. 5 B. 7
C. D.
【解析】由题意有＋p=1，解得p=，
∴E(X)=－1×＋0×＋1×=，∴D(X)=，
∴D(Y)=9D(X)=9×=5.
X －1 0 1
P p
A
2. (2025·江西南昌高二期末)若随机变量X服从两点分布，且E(X)=0.4，则D(X)等于
(　 　)
A. 0.24 B. 2.4
C. 0.28 D. 2.8
【解析】设P(X=0)=p，P(X=1)=1－p，∴E(X)=0×p＋1×(1－p)=1－p=0.4，∴p=0.6，
1－p=0.4，
∴D(X)=(0－0.4)2×0.6＋(1－0.4)2×0.4=0.24.
　A　
3. (2025·河南信阳高二期末)随机变量ξ的分布列如表所示，若E(ξ)=，则D(ξ)等于
(　 　)
A. B.
C. D.
【解析】由已知可得得a=b=，∴D(ξ)=.
ξ －1 0 1 2
P 2a a 2a b
C
4. (2025·山东东营高二期末)袋中有2个白球，3个红球，从中随机连续抽取4次，每次取一个球.若每次抽取后都不放回，设取到红球的个数为X，则X的方差为(　 　)
A. B.
C. D.
【解析】X的可能取值为2，3，P(X=2)=，P(X=3)=，故E(X)=2×＋3×，D(X)=.
A
5. 有统计资料表明，甲、乙2位运动员在以往比赛中的得分情况为
现有一场比赛，适合派去参加的运动员是(　 　)
A. 甲 B. 乙
C. 甲、乙均可 D. 无法确定
【解析】E(X1)=0×0.2＋1×0.5＋2×0.3=1.1，E(X2)=0×0.3＋1×0.3＋2×0.4=1.1，D(X1)=1.12×0.2＋0.12×0.5＋0.92×0.3=0.49，D(X2)=1.12×0.3＋0.12×0.3＋0.92×0.4=0.69，∴E(X1)=E(X2)，D(X1)＜D(X2)，故在平均得分相同的情况下，甲比乙得分稳定，适合派甲去参加.
X1(甲得分) 0 1 2
P 0.2 0.5 0.3
X2(乙得分) 0 1 2
P 0.3 0.3 0.4
A
6. 设a＞0，已知随机变量ξ的分布列为
下列方差值中，最大的是(　 　)
A. D(ξ) B. D(|ξ|)
C. D(2ξ－1) D. D(2|ξ|＋1)
【解析】由题意得，a＋2a＋3a=1，解得a=，则E(ξ)=－1×＋0×＋2×，E(|ξ|)=1×＋0×＋2×，∴D(ξ)=，D(|ξ|)=，∴D(2ξ－1)=4×，D(2|ξ|＋1)=4×，∴D(2ξ－1)＞D(2|ξ|＋1)＞D(ξ)＞D(|ξ|).
ξ －1 0 2
P a 2a 3a
　C
7. 随机变量ξ的分布列为
其中1＜a＜9，0＜b＜，则下列说法中，正确的是(　 　)
A. 若a=5，则当0＜b＜时，E(ξ)随b的增大而增大
B. 若a=5，则当0＜b＜时，E(ξ)随b的增大而减小
C. 若b=，则当a=5时，D(ξ)有最小值
D. 若b=，则当a=5时，D(ξ)有最大值
ξ 1 a 9
P b 1－2b b
C
【解析】若a=5，则E(ξ)=1×b＋5×(1－2b)＋9×b=5，A，B错误；若b=，则E(ξ)=1×＋a×＋9×，D(ξ)=(6a2－60a＋438)，其对称轴为a==5，则当a=5时，D(ξ)有最小值，C正确，D错误.
8. (多选) (2025·河北邢台高二检测)已知离散型随机变量X，Y满足Y=3X－1，其中X的分布列如下表所示，则下列结论中，正确的有(　 　)
A. E(X)=3 B. E(Y)=9
C. D(X)=5 D. D(Y)=45
【解析】由分布列可得E(X)=1×＋3×＋6×=3，A正确；E(Y)=E(3X－1)=3E(X)－1=3×3－1=8，B错误；D(X)=(1－3)2×＋(3－3)2×＋(6－3)2×=5，C正确；D(Y)=D(3X－1)=32·D(X)=45，D正确.
X 1 3 6
P
ACD
9. (多选)(2025·广东深圳高二期中)有甲、乙两种品牌的手表，它们的日走时误差为X和Y (单位：s)，甲品牌的日走时误差分布列为
乙品牌的日走时误差分布列为
下列结论中，正确的有(　 　)
A. 甲品牌的手表走时更稳定 B. 乙品牌的手表走时更稳定
C. D(X)=0.2 D. D(Y)=1.4
【解析】E(X)=－1×0.1＋0×0.8＋1×0.1=0，E(Y)=－2×0.1＋(－1)×0.2＋0×0.4＋1×0.2＋2×0.1=0；D(X)=(－1)2×0.1＋02×0.8＋12×0.1=0.2，D(Y)=(－2)2×0.1＋(－1)2×0.2＋0×0.4＋12×0.2＋22×0.1=1.2，∵E(X)=E(Y)=0，D(X)＜D(Y)，∴甲品牌的手表走时更稳定，A，C正确；B，D错误.
X －1 0 1
P 0.1 0.8 0.1
Y －2 －1 0 1 2
P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
AC
10. 若X是离散型随机变量，P(X=x1)=，P(X=x2)=，且x1＜x2，又已知E(X)=，D(X)=，则x1＋x2的值为_______.
【解析】∵E(X)=x1＋x2=，∴x2=4－2x1，D(X)=，∵x1＜x2，∴∴x1＋x2=3.
　3
11. (2025·湖南长沙高二检测)已知随机变量X取所有的值1，2，…，n是等可能的，且E(X)=3，则D(2X＋1)=_____.
【解析】由题意可得P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=…=P(X=n)=，则E(X)=(1＋2＋3＋…＋n)==3，解得n=5，∴D(X)=[(1－3)2＋(2－3)2＋(3－3)2＋(4－3)2＋(5－3)2]=2，∴D(2X＋1)=4D(X)=8.
　8　
12. 某大学毕业生分别向甲、乙、丙3个公司投递了个人简历，若该毕业生得到甲公司面试机会的概率为，得到乙、丙2个公司面试机会的概率均为p，且3个公司是否让其面试是相互独立的.设X为该毕业生得到面试机会的公司个数.若P(X=0)=，则D(X)=_______.
【解析】由P(X=0)=知，×(1－p)2=，得p=，由题意知X为该毕业生得到面试机会的公司个数，则X的所有可能取值为0，1，2，3，P(X=1)=，P(X=2)=，P(X=3)=，∴E(X)=0×＋1×＋2×＋3×，∴D(X)=.
　
关键能力练
13. 设0＜p＜1，随机变量ξ的分布列为
当p在(0， 1)内增大时，下列说法中，正确的是(　 　)
A. D(ξ)减小 B. D(ξ)增大
C. D(ξ)先减小后增大 D. D(ξ)先增大后减小
【解析】由随机变量ξ的分布列知E(ξ)=0×＋1×＋2×=p＋，∴方差D(ξ)==－p2＋p＋=，则D(ξ)是关于p的二次函数，其图象开口向下，对称轴为p=，∴在(0，1)内D(ξ)先增大后减小.
ξ 0 1 2
P
D　
14. (2025·山东济宁高二期中)某公司销售员统计了自己3月份出差一次离公司的距离X(单位：km)的可能取值为20，30，32，36，且发生的概率依次为0.1，0.3，2t，t.
(1)求X的均值和方差；
(2)若销售员出差一次，公司所给油费补贴规则如下：起步5元，若出差距离不超过3 km时，补贴5元；若出差距离超过3 km时，则超过3 km的部分按照每超出1 km(不足1 km的也按1 km计算)补贴3元，求此销售员3月份出差一次所获油费补贴的均值和方差.
解：(1)由题意，得0.1＋0.3＋2t＋t=1，解得t=0.2.
∴X的分布列为
∴E(X)=20×0.1＋30×0.3＋32×0.4＋36×0.2=31，
D(X)=(20－31)2×0.1＋(30－31)2×0.3＋(32－31)2×0.4＋(36－31)2×0.2=17.8.
X 20 30 32 36
P 0.1 0.3 0.4 0.2
(2)设此销售员3月份出差一次所获油费补贴为Y元，则Y=3(X－3)＋5=3X－4(X＞3，X∈N)，
∴E(Y)=E(3X－4)=3E(X)－4=3×31－4=89，
D(Y)=D(3X－4)=32×D(X)=32×17.8=160.2.
故此销售员3月份出差一次所获油费补贴的均值为89元，方差为160.2.
15. 甲、乙2名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量ξ，η，已知甲、乙2名射手在每次射击中射中的环数分别为7，8，9，10，且甲射中10，9，8，7环的概率分别为2a， 0.2， a， 0.2，乙射中10，9，8，7环的概率分别为0.3， 0.3， b ， b.
(1)求ξ，η的分布列；
(2)请根据射击环数的期望及方差来评价甲、乙的射击技术.
解：(1)由题意可得0.2＋2a＋a＋0.2=1，解得a=0.2；
0.3＋0.3＋2b=1，解得b=0.2；
∴ξ的分布列为
ξ 10 9 8 7
P 0.4 0.2 0.2 0.2
η的分布列为
η 10 9 8 7
P 0.3 0.3 0.2 0.2
(2)由(1)得E(ξ)=10×0.4＋9×0.2＋8×0.2＋7×0.2=8.8，D(ξ)=(10－8.8)2×0.4＋(9－8.8)2×0.2＋(8－8.8)2×0.2＋(7－8.8)2×0.2=1.36；
E(η)=10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2=8.7，
D(η)=(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2=1.21.
由于E(ξ)＞E(η)，D(ξ)＞D(η)，说明甲射击的环数的期望比乙高，但成绩没有乙稳定.
16. 某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门.首次到达此门时，系统会随机(即等可能的)打开一个通道，若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门.再次到达智能门时，系统会随机打开一个未到过的通道，直至走出迷宫为止.设ξ表示走出迷宫所需的小时数.
(1)求ξ的分布列；
(2)求ξ的均值和方差.
解：(1)ξ的所有可能取值为1，3，4，6，
当ξ=1时，直接从1号通道走出，则P(ξ=1)=；当ξ=3时，先走2号通道，再走1号通道，则P(ξ=3)=；当ξ=4时，先走3号通道，再走1号通道，则P(ξ=4)=；当ξ=6时，先走2号通道，再走3号通道，最后再走1号通道，或者先走3号通道，再走2号通道，最后再走1号通道，则P(ξ=6)=2××1=，
∴ξ的分布列为
(2)E(ξ)=1×＋3×＋4×＋6×，
D(ξ)=.
ξ 1 3 4 6
P7.3 练习2　离散型随机变量的方差 　　　　　　　　　　　　
1. (2025·山西长治高二期中)已知离散型随机变量X的分布列为
X －1 0 1
P p
且Y=3X＋2，则D(Y)等于(　 　)
A. 5 B. 7
C. D.
2. (2025·江西南昌高二期末)若随机变量X服从两点分布，且E(X)=0.4，则D(X)等于(　 　)
A. 0.24 B. 2.4
C. 0.28 D. 2.8
3. (2025·河南信阳高二期末)随机变量ξ的分布列如表所示，若E(ξ)=，则D(ξ)等于(　 　)
ξ －1 0 1 2
P 2a a 2a b
A. B.
C. D.
4. (2025·山东东营高二期末)袋中有2个白球，3个红球，从中随机连续抽取4次，每次取一个球.若每次抽取后都不放回，设取到红球的个数为X，则X的方差为(　 　)
A. B.
C. D.
5. 有统计资料表明，甲、乙2位运动员在以往比赛中的得分情况为
X1(甲得分) 0 1 2
P 0.2 0.5 0.3
X2(乙得分) 0 1 2
P 0.3 0.3 0.4
现有一场比赛，适合派去参加的运动员是(　 　)
A. 甲 B. 乙
C. 甲、乙均可 D. 无法确定
6. 设a＞0，已知随机变量ξ的分布列为
ξ －1 0 2
P a 2a 3a
下列方差值中，最大的是(　 　)
A. D(ξ)
B. D(|ξ|)
C. D(2ξ－1)
D. D(2|ξ|＋1)
7. 随机变量ξ的分布列为
ξ 1 a 9
P b 1－2b b
其中1＜a＜9，0＜b＜，则下列说法中，正确的是(　 　)
A. 若a=5，则当0＜b＜时，E(ξ)随b的增大而增大
B. 若a=5，则当0＜b＜时，E(ξ)随b的增大而减小
C. 若b=，则当a=5时，D(ξ)有最小值
D. 若b=，则当a=5时，D(ξ)有最大值
8. (多选) (2025·河北邢台高二检测)已知离散型随机变量X，Y满足Y=3X－1，其中X的分布列如下表所示，则下列结论中，正确的有(　 　)
X 1 3 6
P
A. E(X)=3 B. E(Y)=9
C. D(X)=5 D. D(Y)=45
9. (多选)(2025·广东深圳高二期中)有甲、乙两种品牌的手表，它们的日走时误差为X和Y (单位：s)，甲品牌的日走时误差分布列为
X －1 0 1
P 0.1 0.8 0.1
乙品牌的日走时误差分布列为
Y －2 －1 0 1 2
P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
下列结论中，正确的有(　 　)
A. 甲品牌的手表走时更稳定
B. 乙品牌的手表走时更稳定
C. D(X)=0.2
D. D(Y)=1.4
10. 若X是离散型随机变量，P(X=x1)=，P(X=x2)=，且x1＜x2，又已知E(X)=，D(X)=，则x1＋x2的值为　 　.
11. (2025·湖南长沙高二检测)已知随机变量X取所有的值1，2，…，n是等可能的，且E(X)=3，则D(2X＋1)=　 　.
12. 某大学毕业生分别向甲、乙、丙3个公司投递了个人简历，若该毕业生得到甲公司面试机会的概率为，得到乙、丙2个公司面试机会的概率均为p，且3个公司是否让其面试是相互独立的.设X为该毕业生得到面试机会的公司个数.若P(X=0)=，则D(X)=　.
13. 设0＜p＜1，随机变量ξ的分布列为
ξ 0 1 2
P
当p在(0， 1)内增大时，下列说法中，正确的是(　 　)
A. D(ξ)减小
B. D(ξ)增大
C. D(ξ)先减小后增大
D. D(ξ)先增大后减小
14. (2025·山东济宁高二期中)某公司销售员统计了自己3月份出差一次离公司的距离X(单位：km)的可能取值为20，30，32，36，且发生的概率依次为0.1，0.3，2t，t.
(1)求X的均值和方差；
(2)若销售员出差一次，公司所给油费补贴规则如下：起步5元，若出差距离不超过3 km时，补贴5元；若出差距离超过3 km时，则超过3 km的部分按照每超出1 km(不足1 km的也按1 km计算)补贴3元，求此销售员3月份出差一次所获油费补贴的均值和方差.
15. 甲、乙2名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量ξ，η，已知甲、乙2名射手在每次射击中射中的环数分别为7，8，9，10，且甲射中10，9，8，7环的概率分别为2a， 0.2， a， 0.2，乙射中10，9，8，7环的概率分别为0.3， 0.3， b ， b.
(1)求ξ，η的分布列；
(2)请根据射击环数的期望及方差来评价甲、乙的射击技术.
16. 某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门.首次到达此门时，系统会随机(即等可能的)打开一个通道，若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门.再次到达智能门时，系统会随机打开一个未到过的通道，直至走出迷宫为止.设ξ表示走出迷宫所需的小时数.
(1)求ξ的分布列；
(2)求ξ的均值和方差.

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