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7.4 练习1　二项分布　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 从一副不含大小王的扑克牌中抽牌，每次抽出1张牌，记录花色后放回，一共抽5次，记抽到黑桃牌X次，则E(X)等于(　B　)
A. B.
C. D.
【解析】由题意可知该事件满足二项分布，每次抽到黑桃牌的概率为p=，一共抽5次，即n=5，∴由二项分布的期望公式可得E(X)=np=5×.
2. 某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2 min，则这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间Y的均值为(　D　)
A. B. 1
C. D.
【解析】遇到红灯的次数X~B，∴E(X)=4×，∴E(Y)=E(2X)=2×.
3. 位于坐标原点的一个质点P按下列规则移动：质点每次移动一个单位长度，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是，则质点P移动5次后位于点(2，3)的概率是(　B　)
A. B. ·
C. · D. ·
【解析】质点由原点移动到点(2，3)需要移动5次，且必须有2次向右，3次向上，所以质点的移动方法有种，且每一次向右移动的概率都是，所以向右移动的次数X~B，所求的概率为P(X=2)=·.
4. 已知某批矿物晶体中含有大量水分子，且经过测量发现其中轻水分子、重水分子、超重水分子的比例为6∶3∶1.现利用仪器从一块矿物晶体中分离出3个水分子，用频率估计概率，则至少分离出2个轻水分子的概率为(　D　)
A. B.
C. D.
【解析】设事件M=“至少分离出2个轻水分子”，由题意知分离出1个轻水分子的概率为，分离出1个非轻水分子的概率为，∴P(M)=，故至少分离出2个轻水分子的概率为.
5. (2025·江苏南京高二检测)某同学参加篮球测试，老师规定每个同学罚篮4次，每罚进一球记5分，不进记－1分，已知该同学的罚球命中率为75%，并且每次罚球互不影响，则该同学得分的数学期望为(　D　)
A. 8 B. 10
C. 12 D. 14
【解析】设该同学罚进的球数为X，已知该同学罚球4次，每次罚球命中率为75%=0.75，且每次罚球互不影响，∴X~B(4，0.75)，∴E(X)=4×0.75=3，即该同学罚进的球数的期望为3，则不进的球数期望为4－3=1，∴该同学得分的期望为3×5＋1×(－1)=15－1=14.
6. 某数学兴趣小组设计了一个开盲盒游戏：在编号为1到4的四个箱子中随机放入奖品，每个箱子中放入奖品的个数ξ满足P(ξ=n)=k·n(n=1，2，3，4，5)，每个箱子中所放奖品的个数相互独立.游戏规定：当箱子中奖品的个数超过3时，可以从该箱中取走一个奖品，否则不从该箱中取奖品.每个参与游戏的同学依次从1到4号箱子中取奖品，4个箱子都取完后结束游戏，则某同学游戏结束时取走2个奖品的概率为(　B　)
A. B.
C. D.
【解析】∵每个箱子中放入的奖品个数ξ满足P(ξ=n)=k·n(n=1，2，3，4，5)，∴k·(1＋2＋3＋4＋5)=1，则k=，∴ξ的分布列为：
ξ 1 2 3 4 5
P
设事件A为某同学能从一个箱子中取走一个奖品，则P(A)=P(ξ＞3)=P(ξ=4)＋P(ξ=5)=，∴某同学能从一个箱子中取走一个奖品的概率为.设某同学游戏结束时取走的奖品个数为X，则X=0，1，2，3，4，∴X~B，∴P(X=m)=··，m=0，1，2，3，4，∴P(X=2)=··.
7. (2025·四川广元高二期末)若随机变量X服从二项分布B，则P(X=k)取得最大值时，k等于(　A　)
A. 2或3 B. 2
C. 3 D. 4
【解析】由题可知， 化简得到 2≤k≤3，
又k∈N，∴k=2或3.
8. (多选)(2025·广东广州高二检测)已知离散型随机变量X服从二项分布B，则下列选项中，正确的有(　ACD　)
A. E(X)=1 B. E(2X＋1)=2
C. D(X)= D. D(2X＋1)=
【解析】由于X服从二项分布B，故E(X)=np=3×=1，A正确；D(X)=np(1－p)= 3×，C正确；E(2X＋1)=2E(X)＋1=3，D(2X＋1)=22D(X)=，B错误，D正确.
9. (多选)(2025·福建漳州高二期中)如图所示，某电子“实验猫”的线路图上有A，B两个即时红绿指示灯，当遇到红灯时，“实验猫”停止前行，恢复绿灯后，继续前行，A，B两个指示灯工作相互独立，且出现红灯的概率分别为，p(0＜p＜1).第一次实验到第五次实验中，“实验猫”在A处遇到红灯的次数为X，在A，B两处遇到红灯的次数之和为Y，则下列选项中，正确的有(　BCD　)
A. P(X=3)=
B. D(X)=
C. 在一次实验中，A，B两处至少遇到一次红灯的概率为p
D. 当p=时，E(Y)=
【解析】由题意可知X~A，∴P(X=3)=，D(X)=5×，A错误，B正确；一次实验中，A，B两处至少遇到一次红灯的概率为1(1－p)=p，C正确；当p=时，一次实验中没有遇到红灯的概率为，遇到一次红灯的概率为＋ ，遇到两次红灯的概率为，故一次实验中遇到红灯次数的数学期望为0×＋1×＋2×，∴E(Y)=5×，D正确.
10. (2025·河南周口高二期末)某在线教育平台推出一个学习抽奖活动，用户每天抽到奖的概率为0.8，且每天的抽奖结果相互独立.若小明连续参加5天抽奖活动，设他抽奖的天数为X，则P(X=3)=　0.204 8　.
【解析】由题设X~B(5，0.8)，则P(X=3)=0.83(1－0.8)2=0.204 8.
11. 抛掷一枚质地均匀的硬币n(3≤n≤8)次，正面向上的次数ξ服从二项分布B，若P(ξ=1)=，则方差D(ξ)= 　.
【解析】∵3≤n≤8，ξ服从二项分布B，且P(ξ=1)=，∴··，则n，解得n=6，故D(ξ)=np(1－p)=6×.
12. 随着现代科技的不断发展，手机支付的应用越来越广泛.已知某群体的每位成员使用手机支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立.设X为该群体的10位成员中使用手机支付的人数，已知方差D(X)=2.4，且P(X=4)＞P(X=6)，则均值E(X)=　4　.
【解析】依题意，知X~B(10，p)，且D(X)=10p(1－p)=2.4，即p2－p＋0.24=0，解得p=0.6，或p=0.4.又P(X=4)＞P(X=6)，∴p4·(1－p)10－4＞p6(1－p)10－6，∴(1－p)2＞p2，又0＜p＜1，则0＜p＜0.5，∴p=0.4，∴E(X)=10p=10×0.4=4.
13. (多选)某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数A=a1a2a3a4a5(例如10 100)，其中A的各位数中ak(k=2，3，4，5)出现0的概率为，出现1的概率为，记X=a2＋a3＋a4＋a5，则当程序运行一次时(　ABC　)
A. X服从二项分布
B. P(X=1)=
C. X的均值E(X)=
D. X的方差D(X)=
【解析】 由二进制数A的特点知每一个数位上的数字只能填0，1，且每个数位上的数字再填时互不影响，故五位数中后4位的所有结果有4类：
①后4个数出现0个1，X=0，概率为P(X=0)=；②后4个数位只出现1个1，X=1，概率为P(X=1)=；③后4个数位出现2个1，X=2，概率为P(X=2)=；④后4个数位上出现3个1，X=3，概率为P(X=3)=；⑤后4个数位都是1，X=4，概率为P(X=4)=，故X~B，A正确，B正确；∵X~B，∴E(X)=4×，C正确；
∴方差D(X)=4×，D错误.
14. (2025·安徽蚌埠高二期末)袋子里有除颜色外完全相同的6个小球，其中有3个白球，2个黑球，1个红球.
(1)若不放回地抽取3个小球，求既抽到白球也抽到黑球的概率；
(2)若有放回地抽取3个小球，每抽到一次红球得2分，抽到白球或黑球不得分.求积分X的分布列，以及X的期望和方差.
解：(1)既抽到白球也抽到黑球的概率P=.
(2)记抽到红球的次数为Y，Y~B，P(Y=k)=，k=0，1，2，3，
由题知，X=2Y，X=0，2，4，6，P(X=2k)=P(Y=k)，k=0，1，2，3，X的分布列为
X 0 2 4 6
P
E(X)=E(2Y)=2E(Y)=2×3×=1，
D(X)=D(2Y)=4D(Y)=4×3×.
15. 为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物.某人一次种植了n株沙柳，各株沙柳的成活与否是相互独立的，且成活率均为p，设X为成活沙柳的株数，均值E(X)为3，标准差为.
(1)求n和p的值，并写出X的分布列；
(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率.
解：由题意知，X~B(n，p)，
P(X=k)=pk(1－p)n－k，k=0，1，…，n.
(1)由E(X)=np=3，D(X)=np(1－p)=，解得n=6，p=.故X的分布列为
X 0 1 2 3 4 5 6
P
(2)记“需要补种沙柳”为事件A，则P(A)=P(6－X≥3)=P(X≤3)，得P(A)=，
∴需要补种沙柳的概率为.
16. 如图所示，竖直平面内有一个“游戏滑道”，空白部分表示光滑滑道，黑色正方形表示障碍物，自上而下第一行有1个障碍物，第二行有2个障碍物，……，依此类推.把一个半径适当且光滑均匀的小球从入口A投入滑道，小球将自由下落.已知小球每次遇到正方形障碍物的上顶点时，向左、右两边下落的概率都是.记小球遇到第n行第m个障碍物(从左至右)的上顶点的概率为P(n，m).
(1)求P(4，1)，P(4，2)的值，并猜想P(n，m)的表达式(不必证明)；
(2)已知f(x)=设小球遇到第6行第m个障碍物(从左至右)的上顶点时，得到的分数为ξ=f(m)，试求ξ的分布列.
解：(1)P(4，1)=，P(4，2)=.
猜想P(n，m)=.
(2)ξ=3，2，1，P(ξ=3)=P(6，1)＋P(6，6)=，
P(ξ=2)=P(6，2)＋P(6，5)=，
P(ξ=1)=P(6，3)＋P(6，4)=.
故ξ的分布列为
ξ 3 2 1
P7.4 练习1　二项分布　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 从一副不含大小王的扑克牌中抽牌，每次抽出1张牌，记录花色后放回，一共抽5次，记抽到黑桃牌X次，则E(X)等于(　 　)
A. B.
C. D.
2. 某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2 min，则这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间Y的均值为(　 　)
A. B. 1
C. D.
3. 位于坐标原点的一个质点P按下列规则移动：质点每次移动一个单位长度，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是，则质点P移动5次后位于点(2，3)的概率是(　 　)
A. B. ·
C. · D. ·
4. 已知某批矿物晶体中含有大量水分子，且经过测量发现其中轻水分子、重水分子、超重水分子的比例为6∶3∶1.现利用仪器从一块矿物晶体中分离出3个水分子，用频率估计概率，则至少分离出2个轻水分子的概率为(　 　)
A. B.
C. D.
5. (2025·江苏南京高二检测)某同学参加篮球测试，老师规定每个同学罚篮4次，每罚进一球记5分，不进记－1分，已知该同学的罚球命中率为75%，并且每次罚球互不影响，则该同学得分的数学期望为(　 　)
A. 8 B. 10
C. 12 D. 14
6. 某数学兴趣小组设计了一个开盲盒游戏：在编号为1到4的四个箱子中随机放入奖品，每个箱子中放入奖品的个数ξ满足P(ξ=n)=k·n(n=1，2，3，4，5)，每个箱子中所放奖品的个数相互独立.游戏规定：当箱子中奖品的个数超过3时，可以从该箱中取走一个奖品，否则不从该箱中取奖品.每个参与游戏的同学依次从1到4号箱子中取奖品，4个箱子都取完后结束游戏，则某同学游戏结束时取走2个奖品的概率为(　 　)
A. B.
C. D.
7. (2025·四川广元高二期末)若随机变量X服从二项分布B，则P(X=k)取得最大值时，k等于(　 　)
A. 2或3 B. 2
C. 3 D. 4
8. (多选)(2025·广东广州高二检测)已知离散型随机变量X服从二项分布B，则下列选项中，正确的有(　 　)
A. E(X)=1 B. E(2X＋1)=2
C. D(X)= D. D(2X＋1)=
9. (多选)(2025·福建漳州高二期中)如图所示，某电子“实验猫”的线路图上有A，B两个即时红绿指示灯，当遇到红灯时，“实验猫”停止前行，恢复绿灯后，继续前行，A，B两个指示灯工作相互独立，且出现红灯的概率分别为，p(0＜p＜1).第一次实验到第五次实验中，“实验猫”在A处遇到红灯的次数为X，在A，B两处遇到红灯的次数之和为Y，则下列选项中，正确的有(　 　)
A. P(X=3)=
B. D(X)=
C. 在一次实验中，A，B两处至少遇到一次红灯的概率为p
D. 当p=时，E(Y)=
10. (2025·河南周口高二期末)某在线教育平台推出一个学习抽奖活动，用户每天抽到奖的概率为0.8，且每天的抽奖结果相互独立.若小明连续参加5天抽奖活动，设他抽奖的天数为X，则P(X=3)=　 　.
11. 抛掷一枚质地均匀的硬币n(3≤n≤8)次，正面向上的次数ξ服从二项分布B，若P(ξ=1)=，则方差D(ξ)= 　.
12. 随着现代科技的不断发展，手机支付的应用越来越广泛.已知某群体的每位成员使用手机支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立.设X为该群体的10位成员中使用手机支付的人数，已知方差D(X)=2.4，且P(X=4)＞P(X=6)，则均值E(X)=　 　.
13. (多选)某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数A=a1a2a3a4a5(例如10 100)，其中A的各位数中ak(k=2，3，4，5)出现0的概率为，出现1的概率为，记X=a2＋a3＋a4＋a5，则当程序运行一次时(　 　)
A. X服从二项分布
B. P(X=1)=
C. X的均值E(X)=
D. X的方差D(X)=
14. (2025·安徽蚌埠高二期末)袋子里有除颜色外完全相同的6个小球，其中有3个白球，2个黑球，1个红球.
(1)若不放回地抽取3个小球，求既抽到白球也抽到黑球的概率；
(2)若有放回地抽取3个小球，每抽到一次红球得2分，抽到白球或黑球不得分.求积分X的分布列，以及X的期望和方差.
15. 为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物.某人一次种植了n株沙柳，各株沙柳的成活与否是相互独立的，且成活率均为p，设X为成活沙柳的株数，均值E(X)为3，标准差为.
(1)求n和p的值，并写出X的分布列；
(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率.
16. 如图所示，竖直平面内有一个“游戏滑道”，空白部分表示光滑滑道，黑色正方形表示障碍物，自上而下第一行有1个障碍物，第二行有2个障碍物，……，依此类推.把一个半径适当且光滑均匀的小球从入口A投入滑道，小球将自由下落.已知小球每次遇到正方形障碍物的上顶点时，向左、右两边下落的概率都是.记小球遇到第n行第m个障碍物(从左至右)的上顶点的概率为P(n，m).
(1)求P(4，1)，P(4，2)的值，并猜想P(n，m)的表达式(不必证明)；
(2)已知f(x)=设小球遇到第6行第m个障碍物(从左至右)的上顶点时，得到的分数为ξ=f(m)，试求ξ的分布列.(共23张PPT)
高中数学 选择性必修 第三册
随机变量及其分布
第七章
四、二项分布与超几何分布
练习1　二项分布
必备知识练
1. 从一副不含大小王的扑克牌中抽牌，每次抽出1张牌，记录花色后放回，一共抽5次，记抽到黑桃牌X次，则E(X)等于(　 　)
A. B.
C. D.
【解析】由题意可知该事件满足二项分布，每次抽到黑桃牌的概率为p=，一共抽5次，即n=5，∴由二项分布的期望公式可得E(X)=np=5×.
B
2. 某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2 min，则这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间Y的均值为(　 　)
A. B. 1
C. D.
【解析】遇到红灯的次数X~B，∴E(X)=4×，∴E(Y)=E(2X)=2×.
D
3. 位于坐标原点的一个质点P按下列规则移动：质点每次移动一个单位长度，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是，则质点P移动5次后位于点(2，3)的概率是(　 　)
A. B. ·
C. · D. ·
【解析】质点由原点移动到点(2，3)需要移动5次，且必须有2次向右，3次向上，所以质点的移动方法有种，且每一次向右移动的概率都是，所以向右移动的次数X~B，所求的概率为P(X=2)=·.
B
4. 已知某批矿物晶体中含有大量水分子，且经过测量发现其中轻水分子、重水分子、超重水分子的比例为6∶3∶1.现利用仪器从一块矿物晶体中分离出3个水分子，用频率估计概率，则至少分离出2个轻水分子的概率为(　 　)
A. B.
C. D.
【解析】设事件M=“至少分离出2个轻水分子”，由题意知分离出1个轻水分子的概率为，分离出1个非轻水分子的概率为，∴P(M)=，故至少分离出2个轻水分子的概率为.
　D
5. (2025·江苏南京高二检测)某同学参加篮球测试，老师规定每个同学罚篮4次，每罚进一球记5分，不进记－1分，已知该同学的罚球命中率为75%，并且每次罚球互不影响，则该同学得分的数学期望为(　 　)
A. 8 B. 10
C. 12 D. 14
【解析】设该同学罚进的球数为X，已知该同学罚球4次，每次罚球命中率为75%=0.75，且每次罚球互不影响，∴X~B(4，0.75)，∴E(X)=4×0.75=3，即该同学罚进的球数的期望为3，则不进的球数期望为4－3=1，∴该同学得分的期望为3×5＋1×(－1)=15－1=14.
D
6. 某数学兴趣小组设计了一个开盲盒游戏：在编号为1到4的四个箱子中随机放入奖品，每个箱子中放入奖品的个数ξ满足P(ξ=n)=k·n(n=1，2，3，4，5)，每个箱子中所放奖品的个数相互独立.游戏规定：当箱子中奖品的个数超过3时，可以从该箱中取走一个奖品，否则不从该箱中取奖品.每个参与游戏的同学依次从1到4号箱子中取奖品，4个箱子都取完后结束游戏，则某同学游戏结束时取走2个奖品的概率为(　 　)
A. B.
C. D.
B
【解析】∵每个箱子中放入的奖品个数ξ满足P(ξ=n)=k·n(n=1，2，3，4，5)，∴k·(1＋2＋3＋4＋5)=1，则k=，∴ξ的分布列为：
设事件A为某同学能从一个箱子中取走一个奖品，则P(A)=P(ξ＞3)=P(ξ=4)＋P(ξ=5)=，∴某同学能从一个箱子中取走一个奖品的概率为.设某同学游戏结束时取走的奖品个数为X，则X=0，1，2，3，4，∴X~B，∴P(X=m)=··，m=0，1，2，3，4，∴P(X=2)=··.
ξ 1 2 3 4 5
P
7. (2025·四川广元高二期末)若随机变量X服从二项分布B，则P(X=k)取得最大值时，k等于(　 　)
A. 2或3 B. 2
C. 3 D. 4
【解析】由题可知，
化简得到 2≤k≤3，
又k∈N，∴k=2或3.
A　
8. (多选)(2025·广东广州高二检测)已知离散型随机变量X服从二项分布B，则下列选项中，正确的有(　 　)
A. E(X)=1 B. E(2X＋1)=2
C. D(X)= D. D(2X＋1)=
【解析】由于X服从二项分布B，故E(X)=np=3×=1，A正确；D(X)=np(1－p)= 3×，C正确；E(2X＋1)=2E(X)＋1=3，D(2X＋1)=22D(X)=，B错误，D正确.
ACD
9. (多选)(2025·福建漳州高二期中)如图所示，某电子“实验猫”的线路图上有A，B两个即时红绿指示灯，当遇到红灯时，“实验猫”停止前行，恢复绿灯后，继续前行，A，B两个指示灯工作相互独立，且出现红灯的概率分别为，p(0＜p＜1).第一次实验到第五次实验中，“实验猫”在A处遇到红灯的次数为X，在A，B两处遇到红灯的次数之和为Y，则下列选项中，正确的有(　 　)
A. P(X=3)=
B. D(X)=
C. 在一次实验中，A，B两处至少遇到一次红灯的概率为p
D. 当p=时，E(Y)=
BCD
【解析】由题意可知X~A，∴P(X=3)=，D(X)=5×，A错误，B正确；一次实验中，A，B两处至少遇到一次红灯的概率为1(1－p)=p，C正确；当p=时，一次实验中没有遇到红灯的概率为，遇到一次红灯的概率为＋ ，遇到两次红灯的概率为，故一次实验中遇到红灯次数的数学期望为0×＋1×＋2×，∴E(Y)=5×，D正确.
10. (2025·河南周口高二期末)某在线教育平台推出一个学习抽奖活动，用户每天抽到奖的概率为0.8，且每天的抽奖结果相互独立.若小明连续参加5天抽奖活动，设他抽奖的天数为X，则P(X=3)=___________.
【解析】由题设X~B(5，0.8)，则P(X=3)=0.83(1－0.8)2=0.204 8.
0.204 8　
11. 抛掷一枚质地均匀的硬币n(3≤n≤8)次，正面向上的次数ξ服从二项分布B，若P(ξ=1)=，则方差D(ξ)=________.
【解析】∵3≤n≤8，ξ服从二项分布B，且P(ξ=1)=，∴··，则n，解得n=6，故D(ξ)=np(1－p)=6×.
　
12. 随着现代科技的不断发展，手机支付的应用越来越广泛.已知某群体的每位成员使用手机支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立.设X为该群体的10位成员中使用手机支付的人数，已知方差D(X)=2.4，且P(X=4)＞P(X=6)，则均值E(X)=______.
【解析】依题意，知X~B(10，p)，且D(X)=10p(1－p)=2.4，即p2－p＋0.24=0，解得p=0.6，或p=0.4.又P(X=4)＞P(X=6)，∴p4·(1－p)10－4＞p6(1－p)10－6，∴(1－p)2＞p2，
又0＜p＜1，则0＜p＜0.5，∴p=0.4，∴E(X)=10p=10×0.4=4.
4
关键能力练
13. (多选)某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数A=a1a2a3a4a5(例如10 100)，其中A的各位数中ak(k=2，3，4，5)出现0的概率为，出现1的概率为，记X=a2＋a3＋a4＋a5，则当程序运行一次时(　 　)
A. X服从二项分布
B. P(X=1)=
C. X的均值E(X)=
D. X的方差D(X)=
ABC
【解析】 由二进制数A的特点知每一个数位上的数字只能填0，1，且每个数位上的数字再填时互不影响，故五位数中后4位的所有结果有4类：
①后4个数出现0个1，X=0，概率为P(X=0)=；②后4个数位只出现1个1，X=1，概率为P(X=1)=；③后4个数位出现2个1，X=2，概率为P(X=2)=；④后4个数位上出现3个1，X=3，概率为P(X=3)=；⑤后4个数位都是1，X=4，概率为P(X=4)=，故X~B，A正确，B正确；∵X~B，∴E(X)=4×，C正确；∴方差D(X)=4×，D错误.
14. (2025·安徽蚌埠高二期末)袋子里有除颜色外完全相同的6个小球，其中有3个白球，2个黑球，1个红球.
(1)若不放回地抽取3个小球，求既抽到白球也抽到黑球的概率；
(2)若有放回地抽取3个小球，每抽到一次红球得2分，抽到白球或黑球不得分.求积分X的分布列，以及X的期望和方差.
解：(1)既抽到白球也抽到黑球的概率P=.
(2)记抽到红球的次数为Y，Y~B，P(Y=k)=，k=0，1，2，3，
由题知，X=2Y，X=0，2，4，6，P(X=2k)=P(Y=k)，k=0，1，2，3，X的分布列为
E(X)=E(2Y)=2E(Y)=2×3×=1，
D(X)=D(2Y)=4D(Y)=4×3×.
X 0 2 4 6
P
15. 为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物.某人一次种植了n株沙柳，各株沙柳的成活与否是相互独立的，且成活率均为p，设X为成活沙柳的株数，均值E(X)为3，标准差为.
(1)求n和p的值，并写出X的分布列；
(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率.
解：由题意知，X~B(n，p)，
P(X=k)=pk(1－p)n－k，k=0，1，…，n.
(1)由E(X)=np=3，D(X)=np(1－p)=，解得n=6，p=.故X的分布列为
(2)记“需要补种沙柳”为事件A，则P(A)=P(6－X≥3)=P(X≤3)，得P(A)=，
∴需要补种沙柳的概率为.
X 0 1 2 3 4 5 6
P
16. 如图所示，竖直平面内有一个“游戏滑道”，空白部分表示光滑滑道，黑色正方形表示障碍物，自上而下第一行有1个障碍物，第二行有2个障碍物，……，依此类推.把一个半径适当且光滑均匀的小球从入口A投入滑道，小球将自由下落.已知小球每次遇到正方形障碍物的上顶点时，向左、右两边下落的概率都是.记小球遇到第n行第m个障碍物(从左至右)的上顶点的概率为P(n，m).
(1)求P(4，1)，P(4，2)的值，并猜想P(n，m)的表达式(不必证明)；
(2)已知f(x)=设小球遇到第6行第m个障碍物(从左至右)的上顶点时，得到的分数为ξ=f(m)，试求ξ的分布列.
解：(1)P(4，1)=，P(4，2)=.
猜想P(n，m)=.
(2)ξ=3，2，1，P(ξ=3)=P(6，1)＋P(6，6)=，
P(ξ=2)=P(6，2)＋P(6，5)=，
P(ξ=1)=P(6，3)＋P(6，4)=.
故ξ的分布列为
ξ 3 2 1
P

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