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7.4 练习3　二项分布与超几何分布的综合应用 　　　　　　　　　　
1. 某档深受观众喜爱的电视节目采用组团比赛的方式进行，参赛选手需要参加五场公开比赛，其中5场中有4场获胜，就能取得参加决赛的资格.若某参赛选手每场比赛获胜的概率为，则这名选手能参加决赛的概率为(　 　)
A. B.
C. D.
2. (2025·四川成都高二检测)设随机变量X~B(2，p)，且E(X)=，随机变量Y=2X－1，则D(Y)等于(　 　)
A. B.
C. 2 D. 3
3. (2025·河北石家庄高二期末)一个箱子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球，60个红球，从中随机地摸出20个，用X表示有放回地摸球时摸到黄球的个数，用Y表示不放回地摸球时摸到的黄球个数，X，Y的概率分布图如下所示，则下列结论中，正确的是(　 　)
A. D(X)＞D(Y)
B. D(X)＜D(Y)
C. E(X)＞E(Y)
D. E(X)＜E(Y)
4. (2025·广东广州高二期末)如图所示，一个质点在随机外力的作用下，从原点0处出发，每隔1秒等可能地向左或向右移动一个单位，共移动5次，则质点最终位于－1的位置的概率为(　 　)
A. B.
C. D.
5. (2025·福建福州期中)设袋中有8个红球，4个白球，若从袋中任取4个球，则其中有且只有3个红球的概率为(　 　)
A. 1
B.
C.
D. 1
6. 《周易·系辞》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化中五行术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图所示，白圈为阳数，黑点为阴数.若从这10个数中任取3个数，则这3个数中至少有2个阳数的概率为(　 　)
A. B.
C. D.
7. (2025·江苏南京高二期中)已知甲袋中装有3个红球、2个白球；乙袋中装有1个红球、3个白球.从甲、乙袋中各随机摸出2个球，设X为摸出的红球总数，则X的期望值E(X)等于(　 　)
A. 1.2 B. 1.4
C. 1.7 D. 1.8
8. (多选)(2025·河南南阳高二期末)下列说法中，正确的有(　 　)
A. 若随机变量X服从两点分布，且P(X=0)=，则E(X)=
B. 某实验室有6只小白鼠，其中有3只已经测量过某项指标，若从这6只小白鼠中随机取出3只，则恰好有2只测量过该指标的概率为
C. 若随机变量X服从二项分布B，则P(X=5)＞P(X=6)
D. 若随机变量X服从二项分布B，且Y=3X－1，则E(Y)=15，D(Y)=16
9. (多选)下列说法中，正确的有(　 　)
A. 某学校有2 025名学生，其中男生1 013人，女生1 012人，现选派10名学生参加学校组织的活动，记男生的人数为X，则X服从超几何分布
B. 若随机变量X的均值E(X)=2 025，则E(X－1)=2 024
C. 若随机变量X的方差D(X)=2，则D(3X＋2 025)=6
D. 若随机变量X~B(2 025， 0.5)，则P(X≤1 012)=P(X≥1 013)
10. 某同学上学路上要经过3个红绿灯，在每个红绿灯处遇到红灯的概率均为，且在各红绿灯处是否遇到红灯是相互独立的，记X为遇到红灯的次数，若Y=3X＋5，则Y的标准差为 　.
11. 某校为了解高三学生的身体素质状况，从某项体育测试成绩中随机抽取了n个学生成绩进行分析，得到成绩频率分布直方图(如图所示).已知成绩在[90， 100]的学生人数为8，且有4个女生的成绩在[50， 60)中，则n=　 　，现从成绩在[50，60)的样本中随机抽取2名学生，记所抽取学生中女生的人数为ξ，则ξ的均值是 　.
12. 某车间有日生产95件零件的熟练工人3人，有日生产55件零件的新工人2人，从这5人中任意抽取2人，则这2人的日生产零件件数之和X的标准差为　 　.
13. 为了降低大气污染和能源消耗，某品牌汽车制造商研发了两款电动汽车(车型A和车型B)，并在“十一”黄金周期间同时投放市场.为了了解这两款车型在“十一”黄金周的销售情况，制造商随机调查了5家4S店的销量(单位：台)，得到如下数据：
4S店 甲 乙 丙 丁 戊
车型A 6 6 13 8 11
车型B 12 9 13 6 4
现从这5家4S店中任选3家举行促销活动，用X表示其中车型A销量超过车型B销量的4S店的家数，则D(X)= 　.
14. (2025·北京房山高二期末)某课题小组从某市中学生中随机抽取了100名学生，调查了他们平时整理数学错题的情况，并绘制了学生一个星期内整理数学错题天数的扇形图.将一个星期有4天及以上整理数学错题视为“经常整理”，少于4天视为“不经常整理”.每名学生是否“经常整理”数学错题是相互独立的.用频率估计概率.
(1)从全市中学生中随机抽取1名学生，估计该学生“经常整理”数学错题的概率；
(2)从全市中学生中随机抽取4名学生，设其中“经常整理”数学错题的人数为X，求X的分布列及数学期望.
15. (2025·陕西咸阳高二期末)随机选取某市6所中学调研“徒步走”活动的参加情况，统计各校参加的学生人数，所得数据如下表所示：
学校 甲 乙 丙 丁 戊 己
人数 50 55 45 48 60 56
(1)现从这6所中学中随机选出3所，记其中参加“徒步走”的学生人数不低于55的学校数量为X，求X的分布列和数学期望.
(2)在“徒步走”活动的终点设置挑战游戏，每位“徒步走”活动的参与者都可参与挑战，每次挑战都需要闯3关，且参与者每次挑战至少通过其中2关，才视为挑战成功，每关是否通过互不影响.已知参与者小明每关通过的概率均为.
(i)求小明1次挑战成功的概率.
(ii)若小明进行多次挑战，且希望挑战成功的总次数的期望大于3，则理论上他至少需挑战多少次？7.4 练习3　二项分布与超几何分布的综合应用 　　　　　　　　　　
1. 某档深受观众喜爱的电视节目采用组团比赛的方式进行，参赛选手需要参加五场公开比赛，其中5场中有4场获胜，就能取得参加决赛的资格.若某参赛选手每场比赛获胜的概率为，则这名选手能参加决赛的概率为(　D　)
A. B.
C. D.
【解析】由题意可知5场中获胜的场次X~B，∴这名选手能参加决赛的概率P=.
2. (2025·四川成都高二检测)设随机变量X~B(2，p)，且E(X)=，随机变量Y=2X－1，则D(Y)等于(　B　)
A. B.
C. 2 D. 3
【解析】∵随机变量X~B(2，p)，∴E(X)=2p=，解得p=，∴D(X)=2×，∵Y=2X－1，∴D(Y)=22D(X)=4×.
3. (2025·河北石家庄高二期末)一个箱子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球，60个红球，从中随机地摸出20个，用X表示有放回地摸球时摸到黄球的个数，用Y表示不放回地摸球时摸到的黄球个数，X，Y的概率分布图如下所示，则下列结论中，正确的是(　A　)
A. D(X)＞D(Y)
B. D(X)＜D(Y)
C. E(X)＞E(Y)
D. E(X)＜E(Y)
【解析】由题意可知X服从二项分布，Y服从超几何分布，∵它们的期望相同，又超几何分布更集中在均值附近，∴D(X)＞D(Y).
4. (2025·广东广州高二期末)如图所示，一个质点在随机外力的作用下，从原点0处出发，每隔1秒等可能地向左或向右移动一个单位，共移动5次，则质点最终位于－1的位置的概率为(　B　)
A. B.
C. D.
【解析】若移动5次后质点位于－1的位置，则向左移动3次，向右移动2次，∴质点位于－1的位置的概率为P=.
5. (2025·福建福州期中)设袋中有8个红球，4个白球，若从袋中任取4个球，则其中有且只有3个红球的概率为(　C　)
A. 1
B.
C.
D. 1
【解析】从袋中任取4个球，其中红球的个数X 服从参数为N=12，M=8，n=4的超几何分布，故有3个红球的概率为 P(X=3)=.
6. 《周易·系辞》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化中五行术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图所示，白圈为阳数，黑点为阴数.若从这10个数中任取3个数，则这3个数中至少有2个阳数的概率为(　C　)
A. B.
C. D.
【解析】由题意可知，10个数中，1，3，5，7，9是阳数，2，4，6，8，10是阴数，若任取3个数中有2个阳数，则其概率P1=，若任取3个数中有3个阳数，则其概率P2=，故这3个数中至少有2个阳数的概率P=.
7. (2025·江苏南京高二期中)已知甲袋中装有3个红球、2个白球；乙袋中装有1个红球、3个白球.从甲、乙袋中各随机摸出2个球，设X为摸出的红球总数，则X的期望值E(X)等于(　C　)
A. 1.2 B. 1.4
C. 1.7 D. 1.8
【解析】设Y为从甲袋中摸出的红球个数，Z为从乙袋中摸出的红球个数，则Y服从超几何分布，故E(Y)=2×，同理E(Z)=2×，故E(X)=E(Y＋Z)=E(Y)＋E(Z)=1.7.
8. (多选)(2025·河南南阳高二期末)下列说法中，正确的有(　ABD　)
A. 若随机变量X服从两点分布，且P(X=0)=，则E(X)=
B. 某实验室有6只小白鼠，其中有3只已经测量过某项指标，若从这6只小白鼠中随机取出3只，则恰好有2只测量过该指标的概率为
C. 若随机变量X服从二项分布B，则P(X=5)＞P(X=6)
D. 若随机变量X服从二项分布B，且Y=3X－1，则E(Y)=15，D(Y)=16
【解析】对于A，∵随机变量X服从两点分布，且P(X=0)=，∴P(X=1)=，
∴E(X)=0×＋1×，A正确；对于B，恰好有2只测量过该指标的概率为P=，B正确；对于C，∵随机变量X服从二项分布B，则P(X=5)=，P(X=6)=，∴P(X=5)=P(X=6)，C错误；对于D，∵随机变量X服从二项分布B，则E(X)=8×，D(X)=8×，又Y=3X－1，∴E(Y)=3E(X)－1=15，D(Y)=9D(X)=16，D正确.
9. (多选)下列说法中，正确的有(　ABD　)
A. 某学校有2 025名学生，其中男生1 013人，女生1 012人，现选派10名学生参加学校组织的活动，记男生的人数为X，则X服从超几何分布
B. 若随机变量X的均值E(X)=2 025，则E(X－1)=2 024
C. 若随机变量X的方差D(X)=2，则D(3X＋2 025)=6
D. 若随机变量X~B(2 025， 0.5)，则P(X≤1 012)=P(X≥1 013)
【解析】对于A，根据超几何分布的定义，A正确；对于B，E(X－1)=E(X)－1=2 024，B正确；对于C，D(3X＋2 025)=9D(X)=18，C错误；对于D，∵X~B(2 025，0.5)，∴P(X=k)=·0.5k·(1－0.5)2 025－k=0.52 025，P(X≤
1 012)=0.52 025＋0.52 025＋…＋0.52 025，P(X≥1 013)=0.52 025＋0.52 025＋…＋0.52 025，根据组合数的对称性可知P(X≤1 012)=
P(X≥1 013)，D正确.
10. 某同学上学路上要经过3个红绿灯，在每个红绿灯处遇到红灯的概率均为，且在各红绿灯处是否遇到红灯是相互独立的，记X为遇到红灯的次数，若Y=3X＋5，则Y的标准差为 　.
【解析】∵该同学经过每个红绿灯时是否遇到红灯互不影响，∴可看成3重伯努利试验，即X~B，则X的方差D(X)=3×，∴Y的方差D(Y)=32·D(X)=9×=6，∴Y的标准差为.
11. 某校为了解高三学生的身体素质状况，从某项体育测试成绩中随机抽取了n个学生成绩进行分析，得到成绩频率分布直方图(如图所示).已知成绩在[90， 100]的学生人数为8，且有4个女生的成绩在[50， 60)中，则n=　50　，现从成绩在[50，60)的样本中随机抽取2名学生，记所抽取学生中女生的人数为ξ，则ξ的均值是 　.
【解析】依题意得0.016×10n=8，则n=50.成绩在[50，60)的人数为0.012×10×50=6，其中4个为女生，2个为男生.ξ的可能取值为0，1，2.P(ξ=0)=，P(ξ=1)=，P(ξ=2)=，故E(ξ)=0×＋1×＋2×.
12. 某车间有日生产95件零件的熟练工人3人，有日生产55件零件的新工人2人，从这5人中任意抽取2人，则这2人的日生产零件件数之和X的标准差为　24　.
【解析】由题意，可得X的所有可能取值为190，150，110，且P(X=190)=，P(X=150)=，P(X=110)=，则E(X)=190×＋150×＋110×=158，标准差=24.
13. 为了降低大气污染和能源消耗，某品牌汽车制造商研发了两款电动汽车(车型A和车型B)，并在“十一”黄金周期间同时投放市场.为了了解这两款车型在“十一”黄金周的销售情况，制造商随机调查了5家4S店的销量(单位：台)，得到如下数据：
4S店 甲 乙 丙 丁 戊
车型A 6 6 13 8 11
车型B 12 9 13 6 4
现从这5家4S店中任选3家举行促销活动，用X表示其中车型A销量超过车型B销量的4S店的家数，则D(X)= 　.
【解析】由表可知，车型A销量超过车型B销量的4S店有2家，则X的所有可能取值为0，1，2，且P(X=0)=，P(X=1)=，P(X=2)=，∴E(X)=0×＋1×＋2×，D(X)=.
14. (2025·北京房山高二期末)某课题小组从某市中学生中随机抽取了100名学生，调查了他们平时整理数学错题的情况，并绘制了学生一个星期内整理数学错题天数的扇形图.将一个星期有4天及以上整理数学错题视为“经常整理”，少于4天视为“不经常整理”.每名学生是否“经常整理”数学错题是相互独立的.用频率估计概率.
(1)从全市中学生中随机抽取1名学生，估计该学生“经常整理”数学错题的概率；
(2)从全市中学生中随机抽取4名学生，设其中“经常整理”数学错题的人数为X，求X的分布列及数学期望.
解：(1)从全市中学生中随机抽取1名学生，估计该学生“经常整理”数学错题的概率为p=0.4＋0.2=0.6.
(2)由题意可得X~B(4，0.6)，X的所有可能取值为0，1，2，3，4，∴P(X=0)=，P(X=1)=，P(X=2)=，P(X=3)=，P(X=4)=，∴X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
X的数学期望为E(X)=4×0.6=2.4.
15. (2025·陕西咸阳高二期末)随机选取某市6所中学调研“徒步走”活动的参加情况，统计各校参加的学生人数，所得数据如下表所示：
学校 甲 乙 丙 丁 戊 己
人数 50 55 45 48 60 56
(1)现从这6所中学中随机选出3所，记其中参加“徒步走”的学生人数不低于55的学校数量为X，求X的分布列和数学期望.
(2)在“徒步走”活动的终点设置挑战游戏，每位“徒步走”活动的参与者都可参与挑战，每次挑战都需要闯3关，且参与者每次挑战至少通过其中2关，才视为挑战成功，每关是否通过互不影响.已知参与者小明每关通过的概率均为.
(i)求小明1次挑战成功的概率.
(ii)若小明进行多次挑战，且希望挑战成功的总次数的期望大于3，则理论上他至少需挑战多少次？
解：(1)参加“徒步走”的学生人数不低于55的学校共3所，则X的所有可能取值为0，1，2，3.P(X=0)=，P(X=1)=，P(X=2)=，P(X=3)=，则X的分布列为
X 0 1 2 3
P
∴E(X)=0×＋1×＋2×＋3×.
(2)(i)小明1次挑战成功的概率为.
(ii)小明在n轮挑战中挑战成功的总次数ξ服从二项分布，即ξ~B，由题意可得E(ξ)=n＞3，∵n∈N*，∴n≥12，
即理论上小明至少需挑战12次.(共20张PPT)
高中数学 选择性必修 第三册
随机变量及其分布
第七章
四、二项分布与超几何分布
练习3　二项分布与超几何分布的综合应用
必备知识练
1. 某档深受观众喜爱的电视节目采用组团比赛的方式进行，参赛选手需要参加五场公开比赛，其中5场中有4场获胜，就能取得参加决赛的资格.若某参赛选手每场比赛获胜的概率为，则这名选手能参加决赛的概率为(　 　)
A. B.
C. D.
【解析】由题意可知5场中获胜的场次X~B，∴这名选手能参加决赛的概率P=.
D
2. (2025·四川成都高二检测)设随机变量X~B(2，p)，且E(X)=，随机变量Y=2X－1，则D(Y)等于(　 　)
A. B.
C. 2 D. 3
【解析】∵随机变量X~B(2，p)，∴E(X)=2p=，解得p=，∴D(X)=2×，∵Y=2X－1，∴D(Y)=22D(X)=4×.
B
3. (2025·河北石家庄高二期末)一个箱子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球，60个红球，从中随机地摸出20个，用X表示有放回地摸球时摸到黄球的个数，用Y表示不放回地摸球时摸到的黄球个数，X，Y的概率分布图如下所示，则下列结论中，正确的是
(　 　)
A. D(X)＞D(Y) B. D(X)＜D(Y)
C. E(X)＞E(Y) D. E(X)＜E(Y)
【解析】由题意可知X服从二项分布，Y服从超几何分布，∵它们的期望相同，又超几何分布更集中在均值附近，∴D(X)＞D(Y).
　A
4. (2025·广东广州高二期末)如图所示，一个质点在随机外力的作用下，从原点0处出发，每隔1秒等可能地向左或向右移动一个单位，共移动5次，则质点最终位于－1的位置的概率为(　 　)
A. B.
C. D.
【解析】若移动5次后质点位于－1的位置，则向左移动3次，向右移动2次，∴质点位于－1的位置的概率为P=.
B
5. (2025·福建福州期中)设袋中有8个红球，4个白球，若从袋中任取4个球，则其中有且只有3个红球的概率为(　 　)
A. 1 B.
C. D. 1
【解析】从袋中任取4个球，其中红球的个数X 服从参数为N=12，M=8，n=4的超几何分布，故有3个红球的概率为 P(X=3)=.
C
6. 《周易·系辞》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化中五行术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图所示，白圈为阳数，黑点为阴数.若从这10个数中任取3个数，则这3个数中至少有2个阳数的概率为(　 　)
A. B.
C. D.
【解析】由题意可知，10个数中，1，3，5，7，9是阳数，2，4，6，8，10是阴数，若任取3个数中有2个阳数，则其概率P1=，若任取3个数中有3个阳数，则其概率P2=，故这3个数中至少有2个阳数的概率P=.
C
7. (2025·江苏南京高二期中)已知甲袋中装有3个红球、2个白球；乙袋中装有1个红球、3个白球.从甲、乙袋中各随机摸出2个球，设X为摸出的红球总数，则X的期望值E(X)等于(　 　)
A. 1.2 B. 1.4
C. 1.7 D. 1.8
【解析】设Y为从甲袋中摸出的红球个数，Z为从乙袋中摸出的红球个数，则Y服从超几何分布，故E(Y)=2×，同理E(Z)=2×，故E(X)=E(Y＋Z)=E(Y)＋E(Z)=1.7.
C
8. (多选)(2025·河南南阳高二期末)下列说法中，正确的有(　 　)
A. 若随机变量X服从两点分布，且P(X=0)=，则E(X)=
B. 某实验室有6只小白鼠，其中有3只已经测量过某项指标，若从这6只小白鼠中随机取出3只，则恰好有2只测量过该指标的概率为
C. 若随机变量X服从二项分布B，则P(X=5)＞P(X=6)
D. 若随机变量X服从二项分布B，且Y=3X－1，则E(Y)=15，D(Y)=16
【解析】对于A，∵随机变量X服从两点分布，且P(X=0)=，∴P(X=1)=，∴E(X)=0×＋1×，A正确；对于B，恰好有2只测量过该指标的概率为P=，B正确；对于C，∵随机变量X服从二项分布B，则P(X=5)=，P(X=6)=，∴P(X=5)=P(X=6)，C错误；对于D，∵随机变量X服从二项分布B，则E(X)=8×，D(X)=8×，又Y=3X－1，∴E(Y)=3E(X)－1=15，D(Y)=9D(X)=16，D正确.
ABD
9. (多选)下列说法中，正确的有(　 　)
A. 某学校有2 025名学生，其中男生1 013人，女生1 012人，现选派10名学生参加学校组织的活动，记男生的人数为X，则X服从超几何分布
B. 若随机变量X的均值E(X)=2 025，则E(X－1)=2 024
C. 若随机变量X的方差D(X)=2，则D(3X＋2 025)=6
D. 若随机变量X~B(2 025， 0.5)，则P(X≤1 012)=P(X≥1 013)
【解析】对于A，根据超几何分布的定义，A正确；对于B，E(X－1)=E(X)－1=2 024，B正确；对于C，D(3X＋2 025)=9D(X)=18，C错误；对于D，∵X~B(2 025，0.5)，∴P(X=k)=·0.5k·(1－0.5)2 025－k=0.52 025，P(X≤1 012)=0.52 025＋0.52 025＋…＋0.52 025，P(X≥1 013)=0.52 025＋0.52 025＋…＋0.52 025，根据组合数的对称性可知P(X≤1 012)=P(X≥1 013)，D正确.
ABD
10. 某同学上学路上要经过3个红绿灯，在每个红绿灯处遇到红灯的概率均为，且在各红绿灯处是否遇到红灯是相互独立的，记X为遇到红灯的次数，若Y=3X＋5，则Y的标准差为________.
【解析】∵该同学经过每个红绿灯时是否遇到红灯互不影响，∴可看成3重伯努利试验，即X~B，则X的方差D(X)=3×，∴Y的方差D(Y)=32·D(X)=9×=6，∴Y的标准差为.
　
11. 某校为了解高三学生的身体素质状况，从某项体育测试成绩中随机抽取了n个学生成绩进行分析，得到成绩频率分布直方图(如图所示).已知成绩在[90， 100]的学生人数为8，且有4个女生的成绩在[50， 60)中，则n=______，现从成绩在[50，60)的样本中随机抽取2名学生，记所抽取学生中女生的人数为ξ，则ξ的均值是________.
【解析】依题意得0.016×10n=8，则n=50.成绩在[50，60)的人数为0.012×10×50=6，其中4个为女生，2个为男生.ξ的可能取值为0，1，2.P(ξ=0)=，P(ξ=1)=，P(ξ=2)=，故E(ξ)=0×＋1×＋2×.
50　
　
12. 某车间有日生产95件零件的熟练工人3人，有日生产55件零件的新工人2人，从这5人中任意抽取2人，则这2人的日生产零件件数之和X的标准差为_______.
【解析】由题意，可得X的所有可能取值为190，150，110，且P(X=190)=，P(X=150)=，P(X=110)=，则E(X)=190×＋150×＋110×=158，标准差=24.
　24
关键能力练
13. 为了降低大气污染和能源消耗，某品牌汽车制造商研发了两款电动汽车(车型A和车型B)，并在“十一”黄金周期间同时投放市场.为了了解这两款车型在“十一”黄金周的销售情况，制造商随机调查了5家4S店的销量(单位：台)，得到如下数据：
现从这5家4S店中任选3家举行促销活动，用X表示其中车型A销量超过车型B销量的4S店的家数，则D(X)=______.
【解析】由表可知，车型A销量超过车型B销量的4S店有2家，则X的所有可能取值为0，1，2，且P(X=0)=，P(X=1)=，P(X=2)=，∴E(X)=0×＋1×＋2×，D(X)=.
4S店 甲 乙 丙 丁 戊
车型A 6 6 13 8 11
车型B 12 9 13 6 4
　
14. (2025·北京房山高二期末)某课题小组从某市中学生中随机抽取了100名学生，调查了他们平时整理数学错题的情况，并绘制了学生一个星期内整理数学错题天数的扇形图.将一个星期有4天及以上整理数学错题视为“经常整理”，少于4天视为“不经常整理”.每名学生是否“经常整理”数学错题是相互独立的.用频率估计概率.
(1)从全市中学生中随机抽取1名学生，估计该学生“经常整理”数学错题的概率；
(2)从全市中学生中随机抽取4名学生，设其中“经常整理”数学错题的人数为X，求X的分布列及数学期望.
解：(1)从全市中学生中随机抽取1名学生，估计该学生“经常整理”数学错题的概率为p=0.4＋0.2=0.6.
(2)由题意可得X~B(4，0.6)，X的所有可能取值为0，1，2，3，4，∴P(X=0)=，P(X=1)=，P(X=2)=，P(X=3)=，P(X=4)=，∴X的分布列为
X的数学期望为E(X)=4×0.6=2.4.
X 0 1 2 3 4
P
15. (2025·陕西咸阳高二期末)随机选取某市6所中学调研“徒步走”活动的参加情况，统计各校参加的学生人数，所得数据如下表所示：
(1)现从这6所中学中随机选出3所，记其中参加“徒步走”的学生人数不低于55的学校数量为X，求X的分布列和数学期望.
(2)在“徒步走”活动的终点设置挑战游戏，每位“徒步走”活动的参与者都可参与挑战，每次挑战都需要闯3关，且参与者每次挑战至少通过其中2关，才视为挑战成功，每关是否通过互不影响.已知参与者小明每关通过的概率均为.
(i)求小明1次挑战成功的概率.
(ii)若小明进行多次挑战，且希望挑战成功的总次数的期望大于3，则理论上他至少需挑战多少次？
学校 甲 乙 丙 丁 戊 己
人数 50 55 45 48 60 56
解：(1)参加“徒步走”的学生人数不低于55的学校共3所，则X的所有可能取值为0，1，2，3.P(X=0)=，P(X=1)=，P(X=2)=，P(X=3)=，则X的分布列为
∴E(X)=0×＋1×＋2×＋3×.
(2)(i)小明1次挑战成功的概率为.
(ii)小明在n轮挑战中挑战成功的总次数ξ服从二项分布，即ξ~B，由题意可得E(ξ)=n＞3，∵n∈N*，∴n≥12，
即理论上小明至少需挑战12次.
X 0 1 2 3
P

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