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7.5 正态分布　　　　　　　　
1. 如图所示为三个正态分布X~N(0， 0.64)，Y~N(0， 1)，Z~N(0， 4)的密度曲线，则3个随机变量X，Y，Z对应曲线的序号分别依次为(　 　)
A. ①，②，③ B. ③，②，①
C. ②，③，① D. ①，③，②
2. 已知随机变量X~N(6，1)，且P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，则P(7＜X≤8)等于(　 　)
A. 0.135 8 B. 0.271 6
C. 0.135 9 D. 0.271 8
3. (2025·天津河西高二期末)已知随机变量ξ服从正态分布N(2， 4)，记函数 f(x)=P(ξ≤x)，则(　 　)
A. f(2)＜f(1)
B. f(3)＜f(2)
C. f(1)－f(3)=0
D. f(1)＋f(3)=1
4. 若X~N(0，1)，则P(－1≤X≤1)≈0.682 7，P(－2≤X≤2)≈0.954 5，P(－3≤X≤3)≈0.997 3.今有一批数量庞大的零件，假设这批零件的某项质量指标为Y(单位：毫米)，且Y~N(5.40， 0.052)，现从中随机抽取10 000个，其中恰有K个零件的该项质量指标位于区间(5.35， 5.55)，则K的估计值为(　 　)
A. 6 895 B. 8 400
C. 9 545 D. 9 973
5. (2025·广东深圳高二期末)一次期中数学考试的成绩X服从正态分布N(110，σ2). 若P(95≤X≤125)=，则从参加这次考试的考生中任意选取3名考生，至少有2名考生的成绩高于125的概率为(　 　)
A. B.
C. D.
6. (2025·山东淄博高二检测)设X~N(μ1，)，Y~N(μ2，)，这两个变量的正态曲线如图所示，则下列说法中，正确的是(　 　)
A. P(X≥μ1)≥P(X≤μ2)
B. P(Y≥σ1)≥P(Y≤σ2)
C. P(Y≥－2)≤P(X≥－2)
D. 若t＜0，则P(Y≤t)＜P(X≤t)
7. (2025·福建福州高二期末)小明上学时有时乘坐公交车，有时骑自行车，他分别记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：乘坐公交车平均用时30 min，样本方差为36；骑自行车平均用时34 min，样本方差为4.假设乘坐公交车用时X(单位：min)和骑自行车用时Y(单位：min)都服从正态分布，正态分布N(μ，σ2)中的参数μ用样本均值估计，参数σ用样本标准差估计，则(　 　)
A. P(Y＜30)＜P(Y＞45)
B. 若某天只有34 min可用，小明应选择骑自行车
C. P(X＜24)＜P(Y＞35)
D. 若某天只有40 min可用，小明应选择乘坐公交车
8. (多选)(2025·山东枣庄高二期末)已知随机变量X~N(0，1)，Y~N(0，4)，X，Y的数学期望和方差分别为E(X)，E(Y)和D(X)，D(Y)，则(　 　)
A. E(X)＜E(Y)
B. D(Y)=2D(X)
C. P(X≤－2)＋P(X≤2)=1
D. P(|X|≤1)＞P(|Y|≤1)
9. (多选)(2025·安徽合肥高二期末)某物理量的测量结果服从正态分布N(10，σ2)，则下列结论中，正确的有(　 　)
A. σ越小，该物理量在一次测量中结果落在(9.9， 10.1)内的概率越大
B. 该物理量在一次测量中结果大于10的概率为0.5
C. 该物理量在一次测量中结果小于9.99与大于10.01的概率相等
D. 该物理量在一次测量中结果落在(9.9， 10.2)与落在(10， 10.3)的概率相等
10. (2022·新高考Ⅱ卷)已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(2＜X≤2.5)=0.36，则P(X＞2.5)=　 　.
11. 某项实验的随机误差ξn~N，n为实验次数.要求|ξn|＞的概率不高于0.002 7，则至少需做　 　次实验(X~N(μ，σ2)，在该实验的误差估计中，可认为P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3).
12. (2025·广东高二阶段练习)若随机变量ξ的数学期望和方差分别为E(ξ)，D(ξ)，对于任意ε＞0，不等式P(|ξ－E(ξ)|≥ε)≤成立，某次数学考试满分150分，共有8 600名学生参加考试，全体学生的成绩ξ~N(95，62)，则分数不低于115分的学生人数最多为　 　.
13. 已知某正态分布的概率密度函数为f(x)=，x∈(－∞，＋∞)，则函数f(x)的极值点为　 　，X落在区间(2， 3]内的概率为　 　(若Z~N(μ，σ2)，则P(μ－σ)≤Z≤(μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤Z≤μ＋2σ)≈0.954 5).
14. 某人骑自行车上班，第一条路线较短但拥挤，到达时间X(单位：分钟)服从正态分布N(5，1)；第二条路线较长但不拥挤，到达时间Y服从N(6，0.16).若有一天他出发时离上班时间还有7分钟，他应选哪一条路线？若离上班时间还有6.5分钟，他应选哪一条路线？
15. (2025·山西太原高二期末)为提升学生的安全保护意识，某学校举办了一次“安全知识竞赛”，此次竞赛分为初赛和决赛两个阶段，初赛成绩排名前50名的学生参加决赛.已知共有2 000名学生参加了初赛，整理数据后，认为初赛成绩Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ=70，σ2=81.
(1)已知小明的初赛成绩为90分，利用该正态分布，估计小明是否有资格参加决赛.
(2)决赛规则如下：①每位学生的初赛成绩直接计入决赛成绩；②每位学生需解答20道决赛题，每题5分.每答对一道题，决赛成绩加5分，答错时既不加分也不减分.已知参加决赛的学生甲的初赛成绩为95分，他答对每道题的概率均为0.8，且每题答对与否都相互独立.求学生甲决赛成绩的数学期望.
附：若Z~N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤Z≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤Z≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤Z≤μ＋3σ)≈0.997 3.
16. 已知某军区新兵50 m步枪射击个人平均成绩X(单位：环)服从正态分布N(μ，σ2)，从中随机抽取100名新兵的个人平均成绩，得到如下的频数分布表(用频率估计概率)：
X 4 5 6 7 8 9
频数 1 2 26 40 29 2
(1)求μ和σ2的值(用样本的均值和方差代替总体的均值和方差)；
(2)从这个军区随机抽取1名新兵，求此新兵的50 m步枪射击个人平均成绩在区间(7.9，8.8]的概率(参考数据：≈0.9).7.5 正态分布　　　　　　　　
1. 如图所示为三个正态分布X~N(0， 0.64)，Y~N(0， 1)，Z~N(0， 4)的密度曲线，则3个随机变量X，Y，Z对应曲线的序号分别依次为(　A　)
A. ①，②，③ B. ③，②，①
C. ②，③，① D. ①，③，②
【解析】由题意，得σ(X)=0.8，σ(Y)=1，σ(Z)=2，∵当σ较小时，峰值高，正态曲线“瘦高”，且σ(X)＜σ(Y)＜σ(Z)，∴3个随机变量X，Y，Z对应曲线的序号分别依次为①，②，③.
2. 已知随机变量X~N(6，1)，且P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，则P(7＜X≤8)等于(　C　)
A. 0.135 8 B. 0.271 6
C. 0.135 9 D. 0.271 8
【解析】由题设可得P(5≤X≤7)≈0.682 7，P(4≤X≤8)≈0.954 5，则P(7＜X≤8)=[P(4≤X≤8)－P(5≤X≤7)]≈=0.135 9.
3. (2025·天津河西高二期末)已知随机变量ξ服从正态分布N(2， 4)，记函数 f(x)=P(ξ≤x)，则(　D　)
A. f(2)＜f(1)
B. f(3)＜f(2)
C. f(1)－f(3)=0
D. f(1)＋f(3)=1
【解析】ξ~N(2，4)，则f(x)=P(ξ≤x)是增函数，A，B，C均错误；f(2)=，f(1)=1－f(3)，即f(1)＋f(3)=1，D正确.
4. 若X~N(0，1)，则P(－1≤X≤1)≈0.682 7，P(－2≤X≤2)≈0.954 5，P(－3≤X≤3)≈0.997 3.今有一批数量庞大的零件，假设这批零件的某项质量指标为Y(单位：毫米)，且Y~N(5.40， 0.052)，现从中随机抽取10 000个，其中恰有K个零件的该项质量指标位于区间(5.35， 5.55)，则K的估计值为(　B　)
A. 6 895 B. 8 400
C. 9 545 D. 9 973
【解析】由题可得P(5.35＜Y＜5.55)=P(5.40－0.05＜Y＜5.40＋0.15)==0.84，则K~B(10 000，0.84)，∴E(K)=10 000×0.84=8 400，即K的估计值为8 400.
5. (2025·广东深圳高二期末)一次期中数学考试的成绩X服从正态分布N(110，σ2). 若P(95≤X≤125)=，则从参加这次考试的考生中任意选取3名考生，至少有2名考生的成绩高于125的概率为(　B　)
A. B.
C. D.
【解析】∵X~N(110，σ2)，P(95≤X≤125)=，故P(X＞125)=，从参加这次考试的考生中任意选取3名考生，至少有2名考生的成绩高于125的概率为P=··.
6. (2025·山东淄博高二检测)设X~N(μ1，)，Y~N(μ2，)，这两个变量的正态曲线如图所示，则下列说法中，正确的是(　D　)
A. P(X≥μ1)≥P(X≤μ2)
B. P(Y≥σ1)≥P(Y≤σ2)
C. P(Y≥－2)≤P(X≥－2)
D. 若t＜0，则P(Y≤t)＜P(X≤t)
【解析】由正态分布密度曲线图象的对称性知，μ1＜0＜μ2，由图象形状可得σ1＞σ2＞0，如图所示.
对于A，由图象可得P(X≥μ1)＜P(X≤μ2)，A错误；对于B，若σ1＞σ2＞μ2，则P(Y≥σ1)＜P(Y≤σ2)，B错误；对于C，结合图象的对称性知，P(Y≥－2)＞P(X≥－2)，C错误；对于D，若t＜0，结合图象的对称性知P(Y≤t)＜P(X≤t)，D正确.
7. (2025·福建福州高二期末)小明上学时有时乘坐公交车，有时骑自行车，他分别记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：乘坐公交车平均用时30 min，样本方差为36；骑自行车平均用时34 min，样本方差为4.假设乘坐公交车用时X(单位：min)和骑自行车用时Y(单位：min)都服从正态分布，正态分布N(μ，σ2)中的参数μ用样本均值估计，参数σ用样本标准差估计，则(　C　)
A. P(Y＜30)＜P(Y＞45)
B. 若某天只有34 min可用，小明应选择骑自行车
C. P(X＜24)＜P(Y＞35)
D. 若某天只有40 min可用，小明应选择乘坐公交车
【解析】对于A，依题意得随机变量X的均值为E(X)=30，方差为D(X)=36，即X~N(30，62)，μ1=30，σ1=6，随机变量Y的均值为E(Y)=34，方差为D(Y)=4，则Y~N(34，22)，μ2=34，σ2=2，∴P(Y＜30)=P(Y＞38)＞P(Y＞45)，A错误；对于C，P(X＜24)=P(X＜30－6)=，P(Y＞35)＞P(Y＞36)=P(Y＞34＋2)=，∵P(μ1－σ1＜X＜μ1＋σ1)=P(μ2－σ2＜X＜μ2＋σ2)，∴P(X＜24)＜P(Y＞35)，C正确；对于B，X与Y的密度曲线大致如下，
若某天只有34 min可用，由图可知P(X≤34)＞P(Y≤34)=，∴小明应选择乘坐公交车，B错误；对于D，若某天只有40 min可用，由图可知P(X＞40)＞P(Y＞40)，∴P(X≤40)=1－P(X＞40)＜P(Y≤40)=1－P(Y＞40)，∴小明应选择骑自行车，D错误.
8. (多选)(2025·山东枣庄高二期末)已知随机变量X~N(0，1)，Y~N(0，4)，X，Y的数学期望和方差分别为E(X)，E(Y)和D(X)，D(Y)，则(　CD　)
A. E(X)＜E(Y)
B. D(Y)=2D(X)
C. P(X≤－2)＋P(X≤2)=1
D. P(|X|≤1)＞P(|Y|≤1)
【解析】由题可知，X~N(0，1)，Y~N(0，4).对于A，E(X)=E(Y)=0，A错误；对于B，D(Y)=4，D(X)=1，∴D(Y)=4D(X)，B错误；对于C，P(X≤－2)=P(X≥2)，∴P(X≤－2)＋P(X≤2)=1，C正确；对于D，由E(X)=E(Y)，σX＜σY，∴随机变量X的正态曲线更高瘦，而随机变量Y的正态曲线更矮胖，∴P(|X|≤1)＞P(|Y|≤1)，D正确.
9. (多选)(2025·安徽合肥高二期末)某物理量的测量结果服从正态分布N(10，σ2)，则下列结论中，正确的有(　ABC　)
A. σ越小，该物理量在一次测量中结果落在(9.9， 10.1)内的概率越大
B. 该物理量在一次测量中结果大于10的概率为0.5
C. 该物理量在一次测量中结果小于9.99与大于10.01的概率相等
D. 该物理量在一次测量中结果落在(9.9， 10.2)与落在(10， 10.3)的概率相等
【解析】σ2为数据的方差，∴σ越小，数据在均值附近越集中，∴测量结果落在(9.9，10.1)内的概率越大，A正确；由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量在一次测量中结果大于10的概率为0.5，B正确；由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量在一次测量中结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，C正确；∵该物理量一次测量中结果落在(9.9，10.0)的概率与落在(10.2，10.3)的概率不相等，∴一次测量结果落在(9.9，10.2)的概率与落在(10，10.3)的概率不相等，D错误.
10. (2022·新高考Ⅱ卷)已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(2＜X≤2.5)=0.36，则P(X＞2.5)=　0.14　.
【解析】∵X~N(2，σ2)，∴P(X＜2)=P(X＞2)=0.5，∴P(X＞2.5)=P(X＞2)－P(2＜X≤2.5)=0.5－0.36=0.14.
11. 某项实验的随机误差ξn~N，n为实验次数.要求|ξn|＞的概率不高于0.002 7，则至少需做　2 305　次实验(X~N(μ，σ2)，在该实验的误差估计中，可认为P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3).
【解析】由题得P＞1－0.002 7=0.997 3，即P＞0.997 3，而P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3，∴μ－3σ＞，μ＋3σ＜.
又ξn~N，∴μ=0，σ=，∴－3，3，即，
解得n＞2 304，故至少需做2 305次实验.
12. (2025·广东高二阶段练习)若随机变量ξ的数学期望和方差分别为E(ξ)，D(ξ)，对于任意ε＞0，不等式P(|ξ－E(ξ)|≥ε)≤成立，某次数学考试满分150分，共有8 600名学生参加考试，全体学生的成绩ξ~N(95，62)，则分数不低于115分的学生人数最多为　387　.
【解析】∵ξ~N(95，62)，∴E(ξ)=95，D(ξ)=62，取ε=20，则P(|ξ－95|≥20)≤=0.09，∴P(ξ≥115)=P(ξ－95≥20)=P(|ξ－95|≥20)≤
×0.09=0.045，∴分数不低于115分的学生人数最多为8 600×0.045=387.
13. 已知某正态分布的概率密度函数为f(x)=，x∈(－∞，＋∞)，则函数f(x)的极值点为　1　，X落在区间(2， 3]内的概率为　0.135 9　(若Z~N(μ，σ2)，则P(μ－σ)≤Z≤(μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤Z≤μ＋2σ)≈0.954 5).
【解析】由正态分布的概率密度函数知μ=1，σ=1，∴总体分布密度曲线关于直线x=1对称，且在x=1处取得最大值.根据正态分布密度曲线的特点可知1为f(x)的极大值点.由X~N(1，1)，知P(2＜X≤3)=[P(－1≤X≤3)－P(0≤X≤2)]=[P(1－2×1≤X≤1＋2×1)－P(1－1≤X≤1＋1)]≈×(0.954 5－0.682 7)=0.135 9.
14. 某人骑自行车上班，第一条路线较短但拥挤，到达时间X(单位：分钟)服从正态分布N(5，1)；第二条路线较长但不拥挤，到达时间Y服从N(6，0.16).若有一天他出发时离上班时间还有7分钟，他应选哪一条路线？若离上班时间还有6.5分钟，他应选哪一条路线？
解：还有7分钟时：
若选第一条路线，即X~N(5，1)，能及时到达的概率为
P1=P(X≤7)=P(X≤5)＋P(5＜X≤7)=P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ).
若选第二条路线，即Y~N(6，0.16)，能及时到达的概率为
P2=P(Y≤7)=P(Y≤6)＋P(6＜Y≤7)=P(μ－2.5σ≤Y≤μ＋2.5σ).
∵P1＜P2，∴应选第二条路线.
同理，还有6.5分钟时，应选第一条路线.
15. (2025·山西太原高二期末)为提升学生的安全保护意识，某学校举办了一次“安全知识竞赛”，此次竞赛分为初赛和决赛两个阶段，初赛成绩排名前50名的学生参加决赛.已知共有2 000名学生参加了初赛，整理数据后，认为初赛成绩Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ=70，σ2=81.
(1)已知小明的初赛成绩为90分，利用该正态分布，估计小明是否有资格参加决赛.
(2)决赛规则如下：①每位学生的初赛成绩直接计入决赛成绩；②每位学生需解答20道决赛题，每题5分.每答对一道题，决赛成绩加5分，答错时既不加分也不减分.已知参加决赛的学生甲的初赛成绩为95分，他答对每道题的概率均为0.8，且每题答对与否都相互独立.求学生甲决赛成绩的数学期望.
附：若Z~N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤Z≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤Z≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤Z≤μ＋3σ)≈0.997 3.
解：(1)由题意得P(Z≥88)=P(Z≥μ＋2σ)=[1－P(μ－2σ≤Z≤μ＋2σ)]≈×(1－0.954 5)=0.022 75，
故全校2 000名参加初赛的学生中成绩不低于88分的人数为2 000×0.022 75=45.5＜50，∵90＞88，∴小明有资格参加决赛.
(2)设决赛中学生甲答对的题数为X，其决赛成绩为Y，则Y=5X＋95，由题意得X~B(20，0.8)，则E(X)=20×0.8=16，
∴E(Y)=5E(X)＋95=175.
16. 已知某军区新兵50 m步枪射击个人平均成绩X(单位：环)服从正态分布N(μ，σ2)，从中随机抽取100名新兵的个人平均成绩，得到如下的频数分布表(用频率估计概率)：
X 4 5 6 7 8 9
频数 1 2 26 40 29 2
(1)求μ和σ2的值(用样本的均值和方差代替总体的均值和方差)；
(2)从这个军区随机抽取1名新兵，求此新兵的50 m步枪射击个人平均成绩在区间(7.9，8.8]的概率(参考数据：≈0.9).
解：(1)由题意，得随机抽取的100名新兵的个人平均成绩的分布列为：
X 4 5 6 7 8 9
P 0.01 0.02 0.26 0.40 0.29 0.02
均值E(X)=4×0.01＋5×0.02＋6×0.26＋7×0.40＋8×0.29＋9×0.02=7，
方差D(X)=(4－7)2×0.01＋(5－7)2×0.02＋(6－7)2×0.26＋(7－7)2×0.40＋(8－7)2×0.29＋(9－7)2×0.02=0.8.
用样本的均值和方差代替总体的均值和方差，得μ=7，σ2=0.8.
(2)由(1)知X~N(7，0.8)，∵≈0.9，∴σ≈0.9，
∵P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，∴P(7.9＜X≤8.8)=×[P(5.2≤X≤8.8)－P(6.1≤X≤7.9]≈×(0.954 5－0.682 7)=0.135 9，
即从这个军区随机抽取1名新兵，此新兵的50 m步枪射击个人平均成绩在区间(7.9，8.8]的概率约为0.135 9.(共23张PPT)
高中数学 选择性必修 第三册
随机变量及其分布
第七章
五、正态分布
必备知识练
1. 如图所示为三个正态分布X~N(0， 0.64)，Y~N(0， 1)，Z~N(0， 4)的密度曲线，则3个随机变量X，Y，Z对应曲线的序号分别依次为(　 　)
A. ①，②，③ B. ③，②，①
C. ②，③，① D. ①，③，②
【解析】由题意，得σ(X)=0.8，σ(Y)=1，σ(Z)=2，∵当σ较小时，峰值高，正态曲线“瘦高”，且σ(X)＜σ(Y)＜σ(Z)，∴3个随机变量X，Y，Z对应曲线的序号分别依次为①，②，③.
A
2. 已知随机变量X~N(6，1)，且P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，则P(7＜X≤8)等于(　 　)
A. 0.135 8 B. 0.271 6
C. 0.135 9 D. 0.271 8
【解析】由题设可得P(5≤X≤7)≈0.682 7，P(4≤X≤8)≈0.954 5，则P(7＜X≤8)=[P(4≤X≤8)－P(5≤X≤7)]≈=0.135 9.
C
3. (2025·天津河西高二期末)已知随机变量ξ服从正态分布N(2， 4)，记函数 f(x)=P(ξ≤x)，则(　 　)
A. f(2)＜f(1)
B. f(3)＜f(2)
C. f(1)－f(3)=0
D. f(1)＋f(3)=1
【解析】ξ~N(2，4)，则f(x)=P(ξ≤x)是增函数，A，B，C均错误；f(2)=，f(1)=1－f(3)，即f(1)＋f(3)=1，D正确.
D
4. 若X~N(0，1)，则P(－1≤X≤1)≈0.682 7，P(－2≤X≤2)≈0.954 5，P(－3≤X≤3)≈0.997 3.今有一批数量庞大的零件，假设这批零件的某项质量指标为Y(单位：毫米)，且Y~N(5.40， 0.052)，现从中随机抽取10 000个，其中恰有K个零件的该项质量指标位于区间(5.35， 5.55)，则K的估计值为(　 　)
A. 6 895 B. 8 400
C. 9 545 D. 9 973
【解析】由题可得P(5.35＜Y＜5.55)=P(5.40－0.05＜Y＜5.40＋0.15)==0.84，则K~B(10 000，0.84)，∴E(K)=10 000×0.84=8 400，即K的估计值为8 400.
B
5. (2025·广东深圳高二期末)一次期中数学考试的成绩X服从正态分布N(110，σ2). 若P(95≤X≤125)=，则从参加这次考试的考生中任意选取3名考生，至少有2名考生的成绩高于125的概率为(　 　)
A. B.
C. D.
【解析】∵X~N(110，σ2)，P(95≤X≤125)=，故P(X＞125)=，从参加这次考试的考生中任意选取3名考生，至少有2名考生的成绩高于125的概率为P=··.
B
6. (2025·山东淄博高二检测)设X~N(μ1，)，Y~N(μ2，)，这两个变量的正态曲线如图所示，则下列说法中，正确的是(　 　)
A. P(X≥μ1)≥P(X≤μ2) B. P(Y≥σ1)≥P(Y≤σ2)
C. P(Y≥－2)≤P(X≥－2) D. 若t＜0，则P(Y≤t)＜P(X≤t)
　D
【解析】由正态分布密度曲线图象的对称性知，μ1＜0＜μ2，由图象形状可得σ1＞σ2＞0，如图所示.
对于A，由图象可得P(X≥μ1)＜P(X≤μ2)，A错误；对于B，若σ1＞σ2＞μ2，则P(Y≥σ1)＜P(Y≤σ2)，B错误；对于C，结合图象的对称性知，P(Y≥－2)＞P(X≥－2)，C错误；对于D，若t＜0，结合图象的对称性知P(Y≤t)＜P(X≤t)，D正确.
7. (2025·福建福州高二期末)小明上学时有时乘坐公交车，有时骑自行车，他分别记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：乘坐公交车平均用时30 min，样本方差为36；骑自行车平均用时34 min，样本方差为4.假设乘坐公交车用时X(单位：min)和骑自行车用时Y(单位：min)都服从正态分布，正态分布N(μ，σ2)中的参数μ用样本均值估计，参数σ用样本标准差估计，则(　 　)
A. P(Y＜30)＜P(Y＞45)
B. 若某天只有34 min可用，小明应选择骑自行车
C. P(X＜24)＜P(Y＞35)
D. 若某天只有40 min可用，小明应选择乘坐公交车
C
【解析】对于A，依题意得随机变量X的均值为E(X)=30，方差为D(X)=36，即X~N(30，62)，μ1=30，σ1=6，随机变量Y的均值为E(Y)=34，方差为D(Y)=4，则Y~N(34，22)，μ2=34，σ2=2，∴P(Y＜30)=P(Y＞38)＞P(Y＞45)，A错误；对于C，P(X＜24)=P(X＜30－6)=，P(Y＞35)＞P(Y＞36)=P(Y＞34＋2)=，∵P(μ1－σ1＜X＜μ1＋σ1)=P(μ2－σ2＜X＜μ2＋σ2)，∴P(X＜24)＜P(Y＞35)，C正确；对于B，X与Y的密度曲线大致如下，
若某天只有34 min可用，由图可知P(X≤34)＞P(Y≤34)=，∴小明应选择乘坐公交车，B错误；对于D，若某天只有40 min可用，由图可知P(X＞40)＞P(Y＞40)，∴P(X≤40)=1－P(X＞40)＜P(Y≤40)=1－P(Y＞40)，∴小明应选择骑自行车，D错误.
8. (多选)(2025·山东枣庄高二期末)已知随机变量X~N(0，1)，Y~N(0，4)，X，Y的数学期望和方差分别为E(X)，E(Y)和D(X)，D(Y)，则(　 　)
A. E(X)＜E(Y)
B. D(Y)=2D(X)
C. P(X≤－2)＋P(X≤2)=1
D. P(|X|≤1)＞P(|Y|≤1)
【解析】由题可知，X~N(0，1)，Y~N(0，4).对于A，E(X)=E(Y)=0，A错误；对于B，D(Y)=4，D(X)=1，∴D(Y)=4D(X)，B错误；对于C，P(X≤－2)=P(X≥2)，∴P(X≤－2)＋P(X≤2)=1，C正确；对于D，由E(X)=E(Y)，σX＜σY，∴随机变量X的正态曲线更高瘦，而随机变量Y的正态曲线更矮胖，∴P(|X|≤1)＞P(|Y|≤1)，D正确.
CD
9. (多选)(2025·安徽合肥高二期末)某物理量的测量结果服从正态分布N(10，σ2)，则下列结论中，正确的有(　 　)
A. σ越小，该物理量在一次测量中结果落在(9.9， 10.1)内的概率越大
B. 该物理量在一次测量中结果大于10的概率为0.5
C. 该物理量在一次测量中结果小于9.99与大于10.01的概率相等
D. 该物理量在一次测量中结果落在(9.9， 10.2)与落在(10， 10.3)的概率相等
【解析】σ2为数据的方差，∴σ越小，数据在均值附近越集中，∴测量结果落在(9.9，10.1)内的概率越大，A正确；由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量在一次测量中结果大于10的概率为0.5，B正确；由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量在一次测量中结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，C正确；∵该物理量一次测量中结果落在(9.9，10.0)的概率与落在(10.2，10.3)的概率不相等，∴一次测量结果落在(9.9，10.2)的概率与落在(10，10.3)的概率不相等，D错误.
ABC
10. (2022·新高考Ⅱ卷)已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(2＜X≤2.5)=0.36，则P(X＞2.5)=_______.
【解析】∵X~N(2，σ2)，∴P(X＜2)=P(X＞2)=0.5，∴P(X＞2.5)=P(X＞2)－P(2＜X≤2.5)=0.5－0.36=0.14.
0.14　
11. 某项实验的随机误差ξn~N，n为实验次数.要求|ξn|＞的概率不高于0.002 7，则至少需做__________次实验(X~N(μ，σ2)，在该实验的误差估计中，可认为P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3).
【解析】由题得P＞1－0.002 7=0.997 3，即P＞0.997 3，而P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3，∴μ－3σ＞，μ＋3σ＜.又ξn~N，∴μ=0，σ=，∴－3，3，即，解得n＞2 304，故至少需做2 305次实验.
　2 305
12. (2025·广东高二阶段练习)若随机变量ξ的数学期望和方差分别为E(ξ)，D(ξ)，对于任意ε＞0，不等式P(|ξ－E(ξ)|≥ε)≤成立，某次数学考试满分150分，共有8 600名学生参加考试，全体学生的成绩ξ~N(95，62)，则分数不低于115分的学生人数最多为______.
【解析】∵ξ~N(95，62)，∴E(ξ)=95，D(ξ)=62，取ε=20，则P(|ξ－95|≥20)≤=0.09，∴P(ξ≥115)=P(ξ－95≥20)=P(|ξ－95|≥20)≤×0.09=0.045，∴分数不低于115分的学生人数最多为8 600×0.045=387.
　387
关键能力练
13. 已知某正态分布的概率密度函数为f(x)=，x∈(－∞，＋∞)，则函数f(x)的极值点为____，X落在区间(2， 3]内的概率为_____________(若Z~N(μ，σ2)，则P(μ－σ)≤Z≤(μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤Z≤μ＋2σ)≈0.954 5).
【解析】由正态分布的概率密度函数知μ=1，σ=1，∴总体分布密度曲线关于直线x=1对称，且在x=1处取得最大值.根据正态分布密度曲线的特点可知1为f(x)的极大值点.由X~N(1，1)，知P(2＜X≤3)=[P(－1≤X≤3)－P(0≤X≤2)]=[P(1－2×1≤X≤1＋2×1)－P(1－1≤X≤1＋1)]≈×(0.954 5－0.682 7)=0.135 9.
1　
　0.135 9
14. 某人骑自行车上班，第一条路线较短但拥挤，到达时间X(单位：分钟)服从正态分布N(5，1)；第二条路线较长但不拥挤，到达时间Y服从N(6，0.16).若有一天他出发时离上班时间还有7分钟，他应选哪一条路线？若离上班时间还有6.5分钟，他应选哪一条路线？
解：还有7分钟时：
若选第一条路线，即X~N(5，1)，能及时到达的概率为
P1=P(X≤7)=P(X≤5)＋P(5＜X≤7)=P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ).
若选第二条路线，即Y~N(6，0.16)，能及时到达的概率为
P2=P(Y≤7)=P(Y≤6)＋P(6＜Y≤7)=P(μ－2.5σ≤Y≤μ＋2.5σ).
∵P1＜P2，∴应选第二条路线.
同理，还有6.5分钟时，应选第一条路线.
15. (2025·山西太原高二期末)为提升学生的安全保护意识，某学校举办了一次“安全知识竞赛”，此次竞赛分为初赛和决赛两个阶段，初赛成绩排名前50名的学生参加决赛.已知共有2 000名学生参加了初赛，整理数据后，认为初赛成绩Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ=70，σ2=81.
(1)已知小明的初赛成绩为90分，利用该正态分布，估计小明是否有资格参加决赛.
(2)决赛规则如下：①每位学生的初赛成绩直接计入决赛成绩；②每位学生需解答20道决赛题，每题5分.每答对一道题，决赛成绩加5分，答错时既不加分也不减分.已知参加决赛的学生甲的初赛成绩为95分，他答对每道题的概率均为0.8，且每题答对与否都相互独立.求学生甲决赛成绩的数学期望.
附：若Z~N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤Z≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤Z≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤Z≤μ＋3σ)≈0.997 3.
解：(1)由题意得P(Z≥88)=P(Z≥μ＋2σ)=[1－P(μ－2σ≤Z≤μ＋2σ)]≈×(1－0.954 5)=0.022 75，
故全校2 000名参加初赛的学生中成绩不低于88分的人数为2 000×0.022 75=45.5＜50，∵90＞88，∴小明有资格参加决赛.
(2)设决赛中学生甲答对的题数为X，其决赛成绩为Y，则Y=5X＋95，由题意得X~B(20，0.8)，则E(X)=20×0.8=16，
∴E(Y)=5E(X)＋95=175.
16. 已知某军区新兵50 m步枪射击个人平均成绩X(单位：环)服从正态分布N(μ，σ2)，从中随机抽取100名新兵的个人平均成绩，得到如下的频数分布表(用频率估计概率)：
(1)求μ和σ2的值(用样本的均值和方差代替总体的均值和方差)；
(2)从这个军区随机抽取1名新兵，求此新兵的50 m步枪射击个人平均成绩在区间(7.9，8.8]的概率(参考数据：≈0.9).
解：(1)由题意，得随机抽取的100名新兵的个人平均成绩的分布列为：
均值E(X)=4×0.01＋5×0.02＋6×0.26＋7×0.40＋8×0.29＋9×0.02=7，
方差D(X)=(4－7)2×0.01＋(5－7)2×0.02＋(6－7)2×0.26＋(7－7)2×0.40＋(8－7)2×0.29＋(9－7)2×0.02=0.8.用样本的均值和方差代替总体的均值和方差，得μ=7，σ2=0.8.
X 4 5 6 7 8 9
频数 1 2 26 40 29 2
X 4 5 6 7 8 9
P 0.01 0.02 0.26 0.40 0.29 0.02
(2)由(1)知X~N(7，0.8)，∵0.8≈0.9，∴σ≈0.9，
∵P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，∴P(7.9＜X≤8.8)=12×[P(5.2≤X≤8.8)－P(6.1≤X≤7.9]≈12×(0.954 5－0.682 7)=0.135 9，
即从这个军区随机抽取1名新兵，此新兵的50 m步枪射击个人平均成绩在区间(7.9，8.8]的概率约为0.135 9.

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