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高中数学 选择性必修 第三册
成对数据的统计分析
第八章
二、一元线性回归模型及其应用
练习1　一元线性回归模型及其参数的最小二乘估计
必备知识练
1. (2025·安徽合肥高二期末)由样本点(xi，yi)(i=1，2，3，4，5)得到y关于x的线性回归方程为=－2x＋1，若=2，则等于(　 　)
A. －5 B. －3
C. D. 2
【解析】由题意得()在=－2x＋1上，即＋1=－2×2＋1=－3.
B
2. 5天内某校当天新增感冒人数y与每日温差x(单位：℃)的数据如下表所示：
由于保存不善，有1个数据模糊不清，用m代替，已知y关于x的经验回归方程为=1.8x＋0.6，则m等于(　 　)
A. 13 B. 14
C. 15 D. 12
【解析】由=8，，∴=1.8×8＋0.6，解得m=14.
x 5 7 8 9 11
y 9 m 15 17 20
B
3. 已知变量x，y之间具有线性相关关系，根据10对样本数据求得经验回归方程为x－5.若xi=10，yi=30，则等于(　 　)
A. 2 B. 4
C. 6 D. 8
【解析】由题意得，=1，=3，将点(1，3)代入x－5中有3=5，即=8.
　D
4. (2025·广东云浮高二期末)已知一组样本点(xi，yi)(i=1，2，3，…，10)组成一个样本，得到其经验回归方程为=2x＋1，且其平均数=3.5，若增加两个样本点(0，3)和(1，4)，得到新样本的经验回归方程为=2.5x＋，则等于(　 　)
A. 0.25 B. －0.25
C. 0.5 D. －0.5
【解析】由题可知原数据=2×3.5＋1=8，则新样本的平均数'==3，'==7.25，∴=7.25－2.5×3=－0.25.
B
5. (2025·四川广元高二期末)某机构对儿童的记忆能力x和识图能力y进行统计分析，得到如下数据：
由表中数据，求得经验回归方程为=0.85x＋，若某儿童记忆能力为12，则他的识图能力的预测值为(　 　)
A. 10 B. 9.8
C. 9.5 D. 9.2
【解析】由表格中的数据可得=7，=5.75，则样本中心为(7，5.75)，代入=0.85x＋，则5.75=0.85×7＋，解得=－0.2，即=0.85x－0.2，将x=12代入可得=0.85×12－0.2=10.
x 4 6 8 10
y 3 5 7 8
A
6. (2025·安徽合肥高二期末)为了研究y关于x的线性相关关系，收集了5组样本数据(见下表).若已求得一元线性回归方程x＋0.34，则下列说法中，正确的是(　 　)
A. =0.2
B. x与y的样本是负相关
C. 当x=8时，y的预测值为2.2
D. 去掉样本点(3，1)后，x与y的样本相关系数r不会改变
【解析】=3，=1，∴样本中心点为(3，1)，将它代入x＋0.34得3＋0.34=1，解得=0.22，A错误；∵＞0，∴x与y的样本是正相关，B错误；当x=8时，=0.22×8＋0.34=2.1，C错误；由相关系数公式可知，去掉样本点(3，1)后，x与y的样本相关系数r不会改变，D正确.
x 1 2 3 4 5
y 0.5 0.9 1 1.1 1.5
D
7. 某工厂在节能降耗技术改造后，生产某产品过程中记录的产量x(单位：吨)与相应的生产能耗y(单位：吨)的几组对应数据如表所示，发现表中有个数据模糊，已知经验回归方程为=6.5x＋6，下列说法中，正确的是(　 　)
A. 模糊的数据★的值为33
B. 经验回归方程中6.5的含义是产量每增加1吨，相应的生产能耗实际增加6.5吨
C. 据此模型预测产量为8吨时，相应的生产能耗为50.9吨
D. 经验回归直线=6.5x＋6恰好经过点(4，★)
x 2 3 4 5 6
y 19 25 ★ 40 44
D
【解析】对于A，∵=4，将=4代入=6.5x＋6，故=6.5×4＋6=32，∴★=32×5－(19＋25＋40＋44)=32，A错误；对于B，经验回归方程中6.5的含义是产量每增加1吨，相应的生产能耗平均增加6.5吨，B错误；对于C，当x=8时，=6.5×8＋6=58(吨)，C错误；对于D，∵=4，=32，故=6.5x＋6必经过点(4，32)，D正确.
8. (多选)设(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x2 026，y2 026)是变量x和y的2 026个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的经验回归直线，如图所示，下列结论中，正确的有
(　 　)
A. 直线l过点(， )
B. 直线l过点(x1 013，y1 013)
C. x和y的样本相关系数在区间[－1，0)上
D. 因为2 026是偶数，所以分布在直线l两侧的样本点的个数一定相同
【解析】经验回归直线一定过样本中心点，但不一定过某个样本点，A正确，B错误；由题图可知x和y的样本相关系数在区间[－1，0)上，C正确；不能根据2 026是偶数就断定分布在直线l两侧的样本点的个数相同，D错误.
AC
9. (多选)(2025·安徽滁州高二期末)若某中学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系.根据一组样本数据(xi， yi)(i=1，2，…， n)，用最小二乘法建立的回归方程为=0.75x－75.716，则下列结论中，正确的有(　 　)
A. y与x具有负线性相关关系
B. 回归直线过样本点的中心(， )
C. 若该中学某女生身高增加1 cm，则其体重可能增加0.75 kg
D. 若该中学某女生身高为160 cm，则可断定其体重必为44.28 kg
【解析】∵回归直线方程为=0.75x－75.716，∴y与x具有正线性相关关系，A错误；又回归直线必过样本点的中心()，B正确；∵回归直线方程=0.75x－75.716中=0.75，∴若该中学某女生身高增加1 cm，则其体重可能增加0.75 kg，C正确；当x=160时，=0.75×160－75.716≈44.28，∴若该中学某女生身高为160 cm，则其体重约为44.28 kg，D错误.
BC
10. 已知变量x与y的一组观测数据如下表所示：
根据表中数据得到y关于x的经验回归方程为x＋1，则=___，当x=8时，y的预测值为___.
【解析】由题可知=3，=7，∴7=3＋1 =2，当x=8时，y的预测值为8×2＋1=17.
x 1 2 3 4 5
y 3 5 7 9 11
2
17
11. 某工厂为确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，得到5组数据(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，(x4，y4)，(x5，y5)，根据收集到的数据可知=20，由最小二乘法求得经验回归方程为=0.6x＋48，则y1＋y2＋y3＋y4＋y5=______.
【解析】∵经验回归直线过点()，∴将=20代入经验回归方程得=60，∴y1＋y2＋y3＋y4＋y5==300.
300
12. 已知x和y之间的一组数据如下表所示.y与x线性相关，且回归方程为x＋0.25，m为x的方差的0.6倍，则当x=8时，=________.
【解析】=1.5，则m=0.6×=0.75，由表格可得=3.25，将(1.5，3.25)代入回归直线x＋0.25，可得3.25=1.5＋0.25，解得=2，则=2x＋0.25，当x=8，则=2×8＋0.25=16.25.
x 0 1 2 3
y m m＋2 5 2m＋3
16.25
13. (2025·陕西咸阳高二期末)研究人员对某种口腔药物的使用时间x(单位：分钟)与口腔内细菌的含量水平y进行了检测，得到了口腔内细菌的含量水平与口腔药物使用时间的数据，如下表所示：
(1)根据散点图可以判断，y与x呈线性相关关系，求y关于x的经验回归方程；
(2)经过对这种细菌的研究发现，当口腔内细菌含量水平低于5时，可认为口腔处于健康状态，求该口腔药物使用多长时间后口腔处于健康状态(结果精确到整数).
附：用最小二乘法求经过点(u1，v1)，(u2，v2)，(u3，v3)，…，(ui，vi)的经验回归方程u＋的系数公式，.
x 1 2 3 4 5
y 92 85 73 65 52
解：(1)∵=3，=73.4，
xiyi=1×92＋2×85＋3×73＋4×65＋5×52=1 001，=1＋4＋9＋16＋25=55，
∴=－10，∴=73.4＋10×3=103.4，∴y关于x的经验回归方程为=－10x＋103.4.
(2)要使口腔内细菌含量水平低于5，则－10x＋103.4＜5，解得x＞9.84，故该口腔药物使用10分钟后口腔处于健康状态.
关键能力练
14. (多选)月亮公转与自转的周期大约为27天，人们根据长时间的观测，统计了月亮升起的时间y(称为“月出时间”，单位：时)与天数x(x为农历日数，x∈N*，且0≤x≤30)的有关数据如表所示，并且根据表中数据，求得y关于x的经验回归方程为=0.8x＋.
其中，农历二十二日是分界线，从农历二十二日开始，月亮就要到第二天(即农历二十三日00：00)才升起，则(　 　)
A. 经验回归直线过点(10，14.4)
B. =6.8
C. 预测月出时间为16时的那天是农历十三日
D. 预测农历27日的月出时间为农历二十八日早上4：00
x 2 4 7 10 15 22
y 8.1 9.4 12 14.4 18.5 24
AD
【解析】=10，=14.4，故经验回归直线过点(10，14.4)，A正确；将点(10，14.4)代入=0.8x＋，得=6.4，B错误；∵=0.8x＋6.4，当y=16时，x=12，∴月出时间为农历十二日16时，C错误；∵农历二十七日时，即x=27，代入得=0.8×27＋6.4=28，∴月出时间应该为农历二十八日早上4：00，D正确.
15. 一台机器由于较长时间的使用，其按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺陷，每小时生产的有缺陷零件的数量随机器运转的速率而变化，下表为抽样试验结果：
(1)作出散点图；
(2)如果y与x有线性相关关系，求经验回归方程；
(3)若实际生产中，允许每小时生产的产品中有缺陷的零件最多为10个，那么机器的运转速度应控制在什么范围内？(结果保留一位小数)
转速x(转/秒) 16 14 12 8
每小时生产有缺陷的零件数y(件) 11 9 8 5
解：(1)作出散点图，如图所示.
(2)=12.5，=8.25，xiyi=438，=660，
∴≈0.728 6，
≈8.25－0.728 6×12.5=－0.857 5.故经验回归方程为=0.728 6x－0.857 5.
(3)要使y≤10，则0.728 6x－0.857 5≤10，得x≤14.901 9.故机器的转速应控制在14.9转/秒以下.
16. 某企业计划投资两个新型项目，投资新型项目A的投资额m(单位：十万元)与纯利润n(单位：万元)的关系式为n=1.7m－0.5，投资新型项目B的投资额x(单位：十万元)与纯利润y(单位：万元)的散点图如图所示.
(1)求y关于x的线性回归方程；
(2)若该企业有一笔资金Q(单位：万元)用于投资A，B两个项目中的一个，为了收益最大化，应如何设计投资方案？
附：回归直线x＋的斜率和截距的最小二乘估计分别为.
解：(1)由散点图可知，x取1，2，3，4，5时，y的值分别为2，3，5，7，8，
∴=3，=5，=1.6，则=5－1.6×3=0.2.
故y关于x的线性回归方程为=1.6x＋0.2.
(2)∵投资新型项目A的投资额m(单位：十万元)与纯利润n(单位：万元)的关系式为n=1.7m－0.5，∴若投资A项目，则该企业所得纯利润为1.7×0.5=0.17Q－0.5(万元)；∵y关于x的线性回归方程为=1.6x＋0.2，∴若投资B项目，则该企业所得纯利润为1.6×＋0.2=0.16Q＋0.2(万元).∵0.17Q－0.5－(0.16Q＋0.2)=0.01Q－0.7，∴当Q＜70时，投资B项目；当Q=70时，投资A或B项目；当Q＞70时，投资A项目.8.2 练习1　一元线性回归模型及其参数的最小二乘估计　　　　　　　　　　　　　　　
1. (2025·安徽合肥高二期末)由样本点(xi，yi)(i=1，2，3，4，5)得到y关于x的线性回归方程为=－2x＋1，若=2，则等于(　 　)
A. －5 B. －3
C. D. 2
2. 5天内某校当天新增感冒人数y与每日温差x(单位：℃)的数据如下表所示：
x 5 7 8 9 11
y 9 m 15 17 20
由于保存不善，有1个数据模糊不清，用m代替，已知y关于x的经验回归方程为=1.8x＋0.6，则m等于(　 　)
A. 13 B. 14
C. 15 D. 12
3. 已知变量x，y之间具有线性相关关系，根据10对样本数据求得经验回归方程为x－5.若xi=10，yi=30，则等于(　 　)
A. 2 B. 4
C. 6 D. 8
4. (2025·广东云浮高二期末)已知一组样本点(xi，yi)(i=1，2，3，…，10)组成一个样本，得到其经验回归方程为=2x＋1，且其平均数=3.5，若增加两个样本点(0，3)和(1，4)，得到新样本的经验回归方程为=2.5x＋，则等于(　 　)
A. 0.25 B. －0.25
C. 0.5 D. －0.5
5. (2025·四川广元高二期末)某机构对儿童的记忆能力x和识图能力y进行统计分析，得到如下数据：
x 4 6 8 10
y 3 5 7 8
由表中数据，求得经验回归方程为=0.85x＋，若某儿童记忆能力为12，则他的识图能力的预测值为(　 　)
A. 10 B. 9.8
C. 9.5 D. 9.2
6. (2025·安徽合肥高二期末)为了研究y关于x的线性相关关系，收集了5组样本数据(见下表).若已求得一元线性回归方程x＋0.34，则下列说法中，正确的是(　 　)
x 1 2 3 4 5
y 0.5 0.9 1 1.1 1.5
A. =0.2
B. x与y的样本是负相关
C. 当x=8时，y的预测值为2.2
D. 去掉样本点(3，1)后，x与y的样本相关系数r不会改变
7. 某工厂在节能降耗技术改造后，生产某产品过程中记录的产量x(单位：吨)与相应的生产能耗y(单位：吨)的几组对应数据如表所示，发现表中有个数据模糊，已知经验回归方程为=6.5x＋6，下列说法中，正确的是(　 　)
x 2 3 4 5 6
y 19 25 ★ 40 44
A. 模糊的数据★的值为33
B. 经验回归方程中6.5的含义是产量每增加1吨，相应的生产能耗实际增加6.5吨
C. 据此模型预测产量为8吨时，相应的生产能耗为50.9吨
D. 经验回归直线=6.5x＋6恰好经过点(4，★)
8. (多选)设(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x2 026，y2 026)是变量x和y的2 026个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的经验回归直线，如图所示，下列结论中，正确的有(　 　)
A. 直线l过点(， )
B. 直线l过点(x1 013，y1 013)
C. x和y的样本相关系数在区间[－1，0)上
D. 因为2 026是偶数，所以分布在直线l两侧的样本点的个数一定相同
9. (多选)(2025·安徽滁州高二期末)若某中学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系.根据一组样本数据(xi， yi)(i=1，2，…， n)，用最小二乘法建立的回归方程为=0.75x－75.716，则下列结论中，正确的有(　 　)
A. y与x具有负线性相关关系
B. 回归直线过样本点的中心(， )
C. 若该中学某女生身高增加1 cm，则其体重可能增加0.75 kg
D. 若该中学某女生身高为160 cm，则可断定其体重必为44.28 kg
10. 已知变量x与y的一组观测数据如下表所示：
x 1 2 3 4 5
y 3 5 7 9 11
根据表中数据得到y关于x的经验回归方程为x＋1，则=　 　，当x=8时，y的预测值为　 　.
11. 某工厂为确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，得到5组数据(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，(x4，y4)，(x5，y5)，根据收集到的数据可知=20，由最小二乘法求得经验回归方程为=0.6x＋48，则y1＋y2＋y3＋y4＋y5=　 　.
12. 已知x和y之间的一组数据如下表所示.y与x线性相关，且回归方程为x＋0.25，m为x的方差的0.6倍，则当x=8时，=　 　.
x 0 1 2 3
y m m＋2 5 2m＋3
13. (2025·陕西咸阳高二期末)研究人员对某种口腔药物的使用时间x(单位：分钟)与口腔内细菌的含量水平y进行了检测，得到了口腔内细菌的含量水平与口腔药物使用时间的数据，如下表所示：
x 1 2 3 4 5
y 92 85 73 65 52
(1)根据散点图可以判断，y与x呈线性相关关系，求y关于x的经验回归方程；
(2)经过对这种细菌的研究发现，当口腔内细菌含量水平低于5时，可认为口腔处于健康状态，求该口腔药物使用多长时间后口腔处于健康状态(结果精确到整数).
附：用最小二乘法求经过点(u1，v1)，(u2，v2)，(u3，v3)，…，(ui，vi)的经验回归方程u＋的系数公式，.
14. (多选)月亮公转与自转的周期大约为27天，人们根据长时间的观测，统计了月亮升起的时间y(称为“月出时间”，单位：时)与天数x(x为农历日数，x∈N*，且0≤x≤30)的有关数据如表所示，并且根据表中数据，求得y关于x的经验回归方程为=0.8x＋.
x 2 4 7 10 15 22
y 8.1 9.4 12 14.4 18.5 24
其中，农历二十二日是分界线，从农历二十二日开始，月亮就要到第二天(即农历二十三日00：00)才升起，则(　 　)
A. 经验回归直线过点(10，14.4)
B. =6.8
C. 预测月出时间为16时的那天是农历十三日
D. 预测农历27日的月出时间为农历二十八日早上4：00
15. 一台机器由于较长时间的使用，其按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺陷，每小时生产的有缺陷零件的数量随机器运转的速率而变化，下表为抽样试验结果：
转速x(转/秒) 16 14 12 8
每小时生产有缺陷的零件数y(件) 11 9 8 5
(1)作出散点图；
(2)如果y与x有线性相关关系，求经验回归方程；
(3)若实际生产中，允许每小时生产的产品中有缺陷的零件最多为10个，那么机器的运转速度应控制在什么范围内？(结果保留一位小数)
16. 某企业计划投资两个新型项目，投资新型项目A的投资额m(单位：十万元)与纯利润n(单位：万元)的关系式为n=1.7m－0.5，投资新型项目B的投资额x(单位：十万元)与纯利润y(单位：万元)的散点图如图所示.
(1)求y关于x的线性回归方程；
(2)若该企业有一笔资金Q(单位：万元)用于投资A，B两个项目中的一个，为了收益最大化，应如何设计投资方案？
附：回归直线x＋的斜率和截距的最小二乘估计分别为.8.2 练习1　一元线性回归模型及其参数的最小二乘估计　　　　　　　　　　　　　　　
1. (2025·安徽合肥高二期末)由样本点(xi，yi)(i=1，2，3，4，5)得到y关于x的线性回归方程为=－2x＋1，若=2，则等于(　B　)
A. －5 B. －3
C. D. 2
【解析】由题意得()在=－2x＋1上，即＋1=－2×2＋1=－3.
2. 5天内某校当天新增感冒人数y与每日温差x(单位：℃)的数据如下表所示：
x 5 7 8 9 11
y 9 m 15 17 20
由于保存不善，有1个数据模糊不清，用m代替，已知y关于x的经验回归方程为=1.8x＋0.6，则m等于(　B　)
A. 13 B. 14
C. 15 D. 12
【解析】由=8，，∴=1.8×8＋0.6，解得m=14.
3. 已知变量x，y之间具有线性相关关系，根据10对样本数据求得经验回归方程为x－5.若xi=10，yi=30，则等于(　D　)
A. 2 B. 4
C. 6 D. 8
【解析】由题意得，=1，=3，将点(1，3)代入x－5中有3=5，即=8.
4. (2025·广东云浮高二期末)已知一组样本点(xi，yi)(i=1，2，3，…，10)组成一个样本，得到其经验回归方程为=2x＋1，且其平均数=3.5，若增加两个样本点(0，3)和(1，4)，得到新样本的经验回归方程为=2.5x＋，则等于(　B　)
A. 0.25 B. －0.25
C. 0.5 D. －0.5
【解析】由题可知原数据=2×3.5＋1=8，则新样本的平均数'==3，'==7.25，∴=7.25－2.5×3=－0.25.
5. (2025·四川广元高二期末)某机构对儿童的记忆能力x和识图能力y进行统计分析，得到如下数据：
x 4 6 8 10
y 3 5 7 8
由表中数据，求得经验回归方程为=0.85x＋，若某儿童记忆能力为12，则他的识图能力的预测值为(　A　)
A. 10 B. 9.8
C. 9.5 D. 9.2
【解析】由表格中的数据可得=7，=5.75，则样本中心为(7，5.75)，代入=0.85x＋，则5.75=0.85×7＋，解得=－0.2，即=0.85x－0.2，将x=12代入可得=0.85×12－0.2=10.
6. (2025·安徽合肥高二期末)为了研究y关于x的线性相关关系，收集了5组样本数据(见下表).若已求得一元线性回归方程x＋0.34，则下列说法中，正确的是(　D　)
x 1 2 3 4 5
y 0.5 0.9 1 1.1 1.5
A. =0.2
B. x与y的样本是负相关
C. 当x=8时，y的预测值为2.2
D. 去掉样本点(3，1)后，x与y的样本相关系数r不会改变
【解析】=3，=1，∴样本中心点为(3，1)，将它代入x＋0.34得3＋0.34=1，解得=0.22，A错误；∵＞0，∴x与y的样本是正相关，B错误；当x=8时，=0.22×8＋0.34=2.1，C错误；由相关系数公式可知，去掉样本点(3，1)后，x与y的样本相关系数r不会改变，D正确.
7. 某工厂在节能降耗技术改造后，生产某产品过程中记录的产量x(单位：吨)与相应的生产能耗y(单位：吨)的几组对应数据如表所示，发现表中有个数据模糊，已知经验回归方程为=6.5x＋6，下列说法中，正确的是(　D　)
x 2 3 4 5 6
y 19 25 ★ 40 44
A. 模糊的数据★的值为33
B. 经验回归方程中6.5的含义是产量每增加1吨，相应的生产能耗实际增加6.5吨
C. 据此模型预测产量为8吨时，相应的生产能耗为50.9吨
D. 经验回归直线=6.5x＋6恰好经过点(4，★)
【解析】对于A，∵=4，将=4代入=6.5x＋6，故=6.5×4＋6=32，∴★=32×5－(19＋25＋40＋44)=32，A错误；对于B，经验回归方程中6.5的含义是产量每增加1吨，相应的生产能耗平均增加6.5吨，B错误；对于C，当x=8时，=6.5×8＋6=58(吨)，C错误；对于D，∵=4，=32，故=6.5x＋6必经过点(4，32)，D正确.
8. (多选)设(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x2 026，y2 026)是变量x和y的2 026个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的经验回归直线，如图所示，下列结论中，正确的有(　AC　)
A. 直线l过点(， )
B. 直线l过点(x1 013，y1 013)
C. x和y的样本相关系数在区间[－1，0)上
D. 因为2 026是偶数，所以分布在直线l两侧的样本点的个数一定相同
【解析】经验回归直线一定过样本中心点，但不一定过某个样本点，A正确，B错误；由题图可知x和y的样本相关系数在区间[－1，0)上，C正确；不能根据2 026是偶数就断定分布在直线l两侧的样本点的个数相同，D错误.
9. (多选)(2025·安徽滁州高二期末)若某中学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系.根据一组样本数据(xi， yi)(i=1，2，…， n)，用最小二乘法建立的回归方程为=0.75x－75.716，则下列结论中，正确的有(　BC　)
A. y与x具有负线性相关关系
B. 回归直线过样本点的中心(， )
C. 若该中学某女生身高增加1 cm，则其体重可能增加0.75 kg
D. 若该中学某女生身高为160 cm，则可断定其体重必为44.28 kg
【解析】∵回归直线方程为=0.75x－75.716，∴y与x具有正线性相关关系，A错误；又回归直线必过样本点的中心()，B正确；∵回归直线方程=0.75x－75.716中=0.75，∴若该中学某女生身高增加1 cm，则其体重可能增加0.75 kg，C正确；当x=160时，=0.75×160－75.716≈44.28，∴若该中学某女生身高为160 cm，则其体重约为44.28 kg，D错误.
10. 已知变量x与y的一组观测数据如下表所示：
x 1 2 3 4 5
y 3 5 7 9 11
根据表中数据得到y关于x的经验回归方程为x＋1，则=　2　，当x=8时，y的预测值为　17　.
【解析】由题可知=3，=7，∴7=3＋1 =2，当x=8时，y的预测值为8×2＋1=17.
11. 某工厂为确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，得到5组数据(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，(x4，y4)，(x5，y5)，根据收集到的数据可知=20，由最小二乘法求得经验回归方程为=0.6x＋48，则y1＋y2＋y3＋y4＋y5=　300　.
【解析】∵经验回归直线过点()，∴将=20代入经验回归方程得=60，∴y1＋y2＋y3＋y4＋y5==300.
12. 已知x和y之间的一组数据如下表所示.y与x线性相关，且回归方程为x＋0.25，m为x的方差的0.6倍，则当x=8时，=　16.25　.
x 0 1 2 3
y m m＋2 5 2m＋3
【解析】=1.5，则m=0.6×=0.75，由表格可得=3.25，将(1.5，3.25)代入回归直线x＋0.25，可得3.25=1.5＋0.25，解得=2，则=2x＋0.25，当x=8，则=2×8＋0.25=16.25.
13. (2025·陕西咸阳高二期末)研究人员对某种口腔药物的使用时间x(单位：分钟)与口腔内细菌的含量水平y进行了检测，得到了口腔内细菌的含量水平与口腔药物使用时间的数据，如下表所示：
x 1 2 3 4 5
y 92 85 73 65 52
(1)根据散点图可以判断，y与x呈线性相关关系，求y关于x的经验回归方程；
(2)经过对这种细菌的研究发现，当口腔内细菌含量水平低于5时，可认为口腔处于健康状态，求该口腔药物使用多长时间后口腔处于健康状态(结果精确到整数).
附：用最小二乘法求经过点(u1，v1)，(u2，v2)，(u3，v3)，…，(ui，vi)的经验回归方程u＋的系数公式，.
解：(1)∵=3，=73.4，
xiyi=1×92＋2×85＋3×73＋4×65＋5×52=1 001，=1＋4＋9＋16＋25=55，
∴=－10，∴=73.4＋10×3=103.4，∴y关于x的经验回归方程为=－10x＋103.4.
(2)要使口腔内细菌含量水平低于5，则－10x＋103.4＜5，解得x＞9.84，故该口腔药物使用10分钟后口腔处于健康状态.
14. (多选)月亮公转与自转的周期大约为27天，人们根据长时间的观测，统计了月亮升起的时间y(称为“月出时间”，单位：时)与天数x(x为农历日数，x∈N*，且0≤x≤30)的有关数据如表所示，并且根据表中数据，求得y关于x的经验回归方程为=0.8x＋.
x 2 4 7 10 15 22
y 8.1 9.4 12 14.4 18.5 24
其中，农历二十二日是分界线，从农历二十二日开始，月亮就要到第二天(即农历二十三日00：00)才升起，则(　AD　)
A. 经验回归直线过点(10，14.4)
B. =6.8
C. 预测月出时间为16时的那天是农历十三日
D. 预测农历27日的月出时间为农历二十八日早上4：00
【解析】=10，=14.4，故经验回归直线过点(10，14.4)，A正确；将点(10，14.4)代入=0.8x＋，得=6.4，B错误；∵=0.8x＋6.4，当y=16时，x=12，∴月出时间为农历十二日16时，C错误；∵农历二十七日时，即x=27，代入得=0.8×27＋6.4=28，∴月出时间应该为农历二十八日早上4：00，D正确.
15. 一台机器由于较长时间的使用，其按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺陷，每小时生产的有缺陷零件的数量随机器运转的速率而变化，下表为抽样试验结果：
转速x(转/秒) 16 14 12 8
每小时生产有缺陷的零件数y(件) 11 9 8 5
(1)作出散点图；
(2)如果y与x有线性相关关系，求经验回归方程；
(3)若实际生产中，允许每小时生产的产品中有缺陷的零件最多为10个，那么机器的运转速度应控制在什么范围内？(结果保留一位小数)
解：(1)作出散点图，如图所示.
(2)=12.5，=8.25，xiyi=438，=660，
∴≈0.728 6，
≈8.25－0.728 6×12.5=－0.857 5.
故经验回归方程为=0.728 6x－0.857 5.
(3)要使y≤10，则0.728 6x－0.857 5≤10，得x≤14.901 9.故机器的转速应控制在14.9转/秒以下.
16. 某企业计划投资两个新型项目，投资新型项目A的投资额m(单位：十万元)与纯利润n(单位：万元)的关系式为n=1.7m－0.5，投资新型项目B的投资额x(单位：十万元)与纯利润y(单位：万元)的散点图如图所示.
(1)求y关于x的线性回归方程；
(2)若该企业有一笔资金Q(单位：万元)用于投资A，B两个项目中的一个，为了收益最大化，应如何设计投资方案？
附：回归直线x＋的斜率和截距的最小二乘估计分别为.
解：(1)由散点图可知，x取1，2，3，4，5时，y的值分别为2，3，5，7，8，
∴=3，=5，=1.6，则=5－1.6×3=0.2.
故y关于x的线性回归方程为=1.6x＋0.2.
(2)∵投资新型项目A的投资额m(单位：十万元)与纯利润n(单位：万元)的关系式为n=1.7m－0.5，∴若投资A项目，则该企业所得纯利润为1.7×0.5=0.17Q－0.5(万元)；∵y关于x的线性回归方程为=1.6x＋0.2，∴若投资B项目，则该企业所得纯利润为1.6×＋0.2=0.16Q＋0.2(万元).∵0.17Q－0.5－(0.16Q＋0.2)=0.01Q－0.7，∴当Q＜70时，投资B项目；当Q=70时，投资A或B项目；当Q＞70时，投资A项目.

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