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8.2 练习2　一元线性回归模型的综合问题 　　　　　　　　　　　
1. 在回归分析中，R2的值越大，说明残差平方和(　B　)
A. 越大 B. 越小　　
C. 可能大也可能小 D. 以上均错
【解析】∵R2=1，∴当R2越大时，(yi)2越小，即残差平方和越小.
2. (2025·江苏南京高二检测)某种产品的投入x(单位：万元)与收入y(单位：万元)之间的关系如下表所示：
x/万元 2 4 5 6 8
y/万元 30 40 60 50 70
若y与x的经验回归方程为=6.5x＋17.5，则相应于点(2，30)的残差为(　A　)
A. －0.5 B. 0.5
C. －1.5 D. 1.5
【解析】将x=2代入回归方程中可得=6.5×2＋17.5=30.5，∴预测值为30.5，而实际值为30，∴残差为30－30.5=－0.5.
3. (2025·山东聊城高二期末)某同学根据一组数据作出如图所示的散点图，并对这组数据进行回归分析后发现遗漏了点(7，12)，增加点(7，12)后再次进行回归分析，得到的结果和原来相比(　B　)
A. 相关系数r变大
B. 决定系数R2变小
C. 残差平方和变小
D. 不变
【解析】增加点(7，12)，从散点图中可以看出拟合效果变差，|r|越接近1，相关程度越强，拟合效果越好，由于两个变量成正相关，∴相关系数变小，A错误；决定系数R2越接近1，拟合效果越好，∴决定系数变小，B正确；残差平方和越小，拟合效果越好，∴残差平方和变大，C错误；增加点(7，12)前的x的平均数为，增加点(7，12)后的x的平均数为=4，∴变大，D错误.
4. (2025·河北石家庄高二期末)下列说法中，正确的是(　D　)
A. 回归直线x＋至少经过一个样本点
B. 在回归分析模型中，决定系数R2越小，模型的拟合效果越好
C. 残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预测精确度越低
D. 当样本相关系数r＞0时，成对样本数据正相关
【解析】对于A，回归直线x＋过样本中心点，每个样本点不一定都在回归直线方程上，A错误；对于B，∵在回归分析模型中，决定系数R2越大，模型的拟合效果越好，B错误；对于C，∵残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，∴回归方程的预测精确度越高，C错误；对于D，当样本相关系数r＞0时，成对样本数据正相关，D正确.
5. 如图所示为某景点在50天内游客的累计数量y(单位：万人)与时间x(单位：天)的散点图，则下列最适宜作为此模型的回归方程类型的是(　B　)
A. =a＋bx B. =a＋bex
C. =a＋b　 D. =a＋bln x
【解析】对于A，=a＋bx对应的“直线型”的拟合函数，散点图中的点应在某直线附近，A错误；对于B，根据散点图可以看出散点大致分布在一条“指数型”函数曲线附近，则=a＋bex的图象可以反映出散点图走势，B正确；对于C，=a＋b对应的“幂函数型”的拟合函数，则其对应图象应为上凸下凹，C错误；对于D，=a＋bln x对应的“对数型”的拟合函数，则其对应图象应为上凸下凹，D错误.
6. 以模型y=cekx(c＞0)去拟合一组数据时，设z=ln y，将其变换后得到线性回归方程z=2x－1，则c等于(　C　)
A. B. e－2
C. e－1 D. e
【解析】∵y=cekx(c＞0)，∴ln y=ln(cekx)=ln c＋ln ekx=ln c＋kx，又z=ln y，
∴z=ln c＋kx=2x－1，即c=.
7. (2025·广东梅州高三模拟)某科技公司在人工智能领域逐年加大投入，根据近年来该公司对产品研发年投入额x(单位：百万元)与其年销售量y(单位：千件)的数据统计，得到散点图如图所示.用线性回归和指数型回归模型拟合y与x关系的决定系数分别为=0.891 3和=0.994 0，则根据参考数据，下列表达式中，最适宜作为模拟y与x之间关系的函数的是(　D　)
参考公式：用最小二乘法求经验回归直线方程u＋的系数公式为.
参考数据：令ωi=ln yi
(xi－)2 (xi)·(yi) (xi)·(ωi)
3 2.5 0.5 10 12 6
A. =1.2x－1.1 B. =0.6x－1.3
C. =e1.2x－1.1 D. =e0.6x－1.3
【解析】由用线性回归和指数型回归模型拟合y与x关系的决定系数分别为=0.891 3和=0.994 0，得，则指数型回归模型最适宜模拟y与x的关系，排除A，B；设y与x之间关系的函数为，两边取对数得ln x＋，设=ln ，则x＋，∴=0.6，=0.5－0.6×3=－1.3，即ln =0.6x－1.3，=e0.6x－1.3，C错误，D正确.
8. (多选)两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)可建立经验回归方程=bx＋a，下列说法中，正确的有(　AD　)
A. 相关系数|r|越接近1，变量x，y的相关性越强
B. 落在回归直线方程上的样本点越多，回归直线方程拟合效果越好
C. 残差ei=(bxi＋a)－yi
D. 决定系数R2越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差
【解析】对于A，相关系数|r|越接近1，相关性越强，A正确；对于B，回归直线方程拟合效果的强弱由决定系数R2决定，B错误；对于C，残差ei=yi=yi－(bxi＋a)，C错误；对于D，决定系数R2越小，残差平方和越大，效果越差，D正确.
9. (多选)某电子商务平台每年都会举行“年货节”商业促销狂欢活动，现统计了该平台从2016年到2024年共9年“年货节”期间的销售额(单位：亿元)并作出散点图，将销售额y看成是关于年份序号x(2016年作为第1年)的函数.运用相关软件，分别选择经验回归直线和三次函数回归曲线进行拟合，效果如图所示，则下列说法中，正确的有(　AC　)
A. 销售额y与年份序号x呈正相关关系
B. 三次函数回归模型的残差平方和大于线性回归模型的残差平方和
C. 三次函数回归曲线的拟合效果好于经验回归直线的拟合效果
D. 根据三次函数回归曲线可以预测2025年“年货节”期间的销售额约为1 698.719亿元
【解析】由散点图的变化趋势可知，销售额y与年份序号x呈正相关关系，A正确；由散点图以及线性回归模型和三次函数回归模型的位置关系可知，三次函数回归模型的残差平方和小于线性回归模型的残差平方和，B错误；∵0.999＞0.936，∴三次函数回归曲线的拟合效果好于经验回归直线的拟合效果，C正确；∵三次函数为y2=0.168x3＋28.141x2－29.027x＋6.889，∴当x=10时，y2=2 698.719(亿元)，D错误.
10. 甲、乙、丙、丁4位同学分别对A，B两个变量的线性相关性作试验，并用回归分析的方法分别求得相关系数r与残差平方和m如下表所示：
甲 乙 丙 丁
r 0.82 0.78 0.69 0.85
m 106 115 124 103
　丁　同学的试验结果体现了A，B两个变量更强的线性相关性.
【解析】由题表可知，丁同学的相关系数r最大且残差平方和m最小，故丁同学的试验结果体现了A，B两个变量更强的线性相关性.
11. (2025·河南驻马店高二检测)以曲线Y=cekX拟合一组数据时，经Z=ln Y代换后的线性回归方程为Z=3X＋5，则c=　e5　，k=　3　.
【解析】∵Y=cekX，∴ln Y=ln (cekX)=ln c＋ln ekX=ln c＋kX，令Z=ln Y，则Z=ln c＋kX，又Z=3X＋5，∴ln c=5，k=3，则c=e5，k=3.
12. 在线性回归分析模型中，变量x与y相对应的四组数据为(－1，1.5)，(1，0.5)，(2，0)，(4，－1)，R2表示解释变量对于响应变量变化的贡献率，则R2=　1　.
附：=，
，R2=1.
【解析】依题意，=1.5，=0.25，xiyi=－1.5＋0.5＋0－4=－5，=1＋1＋4＋16=22，则=－0.5，=0.25＋0.5×1.5=1，∴y关于x的线性回归方程为=－0.5x＋1，当x1=－1时，=1.5，残差y1=0；当x2=1时，=0.5，残差y2=0；当x3=2时，=0，残差y3=0；当x4=4时，=－1，残差y4=0，∴=0，∴R2=1.
13. 已知x，y两变量之间的一组观测数据如表所示：
x 1 3 6 7 8
y 1 2 3 4 5
(1)分别从集合A={1，3，6，7，8}，B={1，2，3，4，5}中各取一个数x，y，求x＋y≥10的概率；
(2)对于表中数据，甲、乙2名同学给出的拟合直线分别为y=x＋1与y=x＋，试根据残差平方和(yi)2的大小，判断哪条直线的拟合程度更好.
解：(1)由题意知，是古典概型问题，
试验发生包含的所有样本点是分别从集合A，B中各取一个数组成数对(x，y)，共有25个，
其中满足x＋y≥10的有(6，4)，(6，5)，(7，3)，(7，4)，(7，5)，(8，2)，(8，3)，(8，4)，(8，5)，共9个.
故使x＋y≥10的概率为P=.
(2)当用y=x＋1作为拟合直线时，残差平方和为s1=＋(2－2)2＋(3－3)2＋.
当用y=x＋作为拟合直线时，残差平方和为s2=(1－1)2＋(2－2)2＋＋(4－4)2＋，∴s1＞s2，故用直线y=x＋的拟合效果更好.
14. 某种农作物可以生长在滩涂和盐碱地，其灌溉方式是将海水稀释后进行灌溉.某实验基地为了研究海水浓度x(单位：%)对亩产量y(单位：吨)的影响，通过在试验田的种植实验，测得了该农作物的亩产量与海水浓度的数据如下表所示.
海水浓度x 3 4 5 6 7
亩产量y 0.57 0.53 0.44 0.36 0.30
残差 －0.01 0.02 m n 0
绘制散点图发现，可以用线性回归模型拟合亩产量y(单位：吨)与海水浓度x(单位：%)之间的相关关系，用最小二乘法计算得y与x之间的线性回归方程为=－0.07x＋.
(1)求m，n的值；
(2)统计学中常用决定系数R2来刻画回归效果，R2越大，回归效果越好，如假设R2=0.85，就说明响应变量y的差异有85%是解释变量x引起的.请计算决定系数R2(结果精确到0.01)，并指出亩产量的变化多大程度上是由灌溉海水浓度引起的.
参考公式：，残差=yi，决定系数R2=1，其中=0.051.
解：(1)∵=5，=0.44，∴0.44=－0.07×5＋，即=0.79，∴线性回归方程为=－0.07x＋0.79，
∴=－0.07×5＋0.79=0.44，m=y3=0.44－0.44=0.=－0.07×6＋0.79=0.37，n=y4=0.36－0.37=－0.01.
(2)(yi)2=(－0.01)2＋0.022＋02＋(－0.01)2＋02=0.000 6，∴决定系数R2=1≈0.99.故亩产量的变化有99%是由灌溉海水浓度的变化引起的.
15. 某互联网公司为了确定下一季度的前期广告投入计划，收集了近6个月广告投入量x(单位：万元)和收益y(单位：万元)的数据，如表所示：
月份 1 2 3 4 5 6
广告投入量x 2 4 6 8 10 12
收益y 14.21 20.31 31.8 31.18 37.83 44.67
用两种模型①=bx＋a，②=aebx对以上数据分别进行拟合，得到相应的经验回归方程并进行残差分析，得到如图所示的残差图及一些统计量的值.
xiyi
7 30 1 464.24 364
(1)根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，并说明该公司应选择哪个模型.
解：应该选择模型①，∵模型①的带状区域比模型②的带状区域窄，∴模型①的拟合效果更好，经验回归方程的预测精度更高.
(2)残差绝对值大于2的数据被认为是异常数据，需要剔除：
(i)剔除异常数据后，求出(1)中所选模型的经验回归方程；
(ii)当广告投入量x=18时，(1)中所选模型收益的预测值是多少？
附：对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其经验回归直线x＋的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.
解：(i)剔除异常数据即3月份的数据后，得×(7×6－6)=7.2，×(30×6－31.8)=29.64.
xiyi=1 464.24－6×31.8=1 273.44，=364－62=328.
=3，=29.64－3×7.2=8.04，∴y关于x的经验回归方程为=3x＋8.04.
(ii)把x=18代入(i)中所求经验回归方程，得=3×18＋8.04=62.04(万元)，故收益的预测值为62.04万元.8.2 练习2　一元线性回归模型的综合问题 　　　　　　　　　　　
1. 在回归分析中，R2的值越大，说明残差平方和(　 　)
A. 越大 B. 越小　　
C. 可能大也可能小 D. 以上均错
2. (2025·江苏南京高二检测)某种产品的投入x(单位：万元)与收入y(单位：万元)之间的关系如下表所示：
x/万元 2 4 5 6 8
y/万元 30 40 60 50 70
若y与x的经验回归方程为=6.5x＋17.5，则相应于点(2，30)的残差为(　 　)
A. －0.5 B. 0.5
C. －1.5 D. 1.5
3. (2025·山东聊城高二期末)某同学根据一组数据作出如图所示的散点图，并对这组数据进行回归分析后发现遗漏了点(7，12)，增加点(7，12)后再次进行回归分析，得到的结果和原来相比(　 　)
A. 相关系数r变大
B. 决定系数R2变小
C. 残差平方和变小
D. 不变
4. (2025·河北石家庄高二期末)下列说法中，正确的是(　 　)
A. 回归直线x＋至少经过一个样本点
B. 在回归分析模型中，决定系数R2越小，模型的拟合效果越好
C. 残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预测精确度越低
D. 当样本相关系数r＞0时，成对样本数据正相关
5. 如图所示为某景点在50天内游客的累计数量y(单位：万人)与时间x(单位：天)的散点图，则下列最适宜作为此模型的回归方程类型的是(　 　)
A. =a＋bx B. =a＋bex
C. =a＋b　 D. =a＋bln x
6. 以模型y=cekx(c＞0)去拟合一组数据时，设z=ln y，将其变换后得到线性回归方程z=2x－1，则c等于(　 　)
A. B. e－2
C. e－1 D. e
7. (2025·广东梅州高三模拟)某科技公司在人工智能领域逐年加大投入，根据近年来该公司对产品研发年投入额x(单位：百万元)与其年销售量y(单位：千件)的数据统计，得到散点图如图所示.用线性回归和指数型回归模型拟合y与x关系的决定系数分别为=0.891 3和=0.994 0，则根据参考数据，下列表达式中，最适宜作为模拟y与x之间关系的函数的是(　 　)
参考公式：用最小二乘法求经验回归直线方程u＋的系数公式为.
参考数据：令ωi=ln yi
(xi－)2 (xi)·(yi) (xi)·(ωi)
3 2.5 0.5 10 12 6
A. =1.2x－1.1 B. =0.6x－1.3
C. =e1.2x－1.1 D. =e0.6x－1.3
8. (多选)两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)可建立经验回归方程=bx＋a，下列说法中，正确的有(　 　)
A. 相关系数|r|越接近1，变量x，y的相关性越强
B. 落在回归直线方程上的样本点越多，回归直线方程拟合效果越好
C. 残差ei=(bxi＋a)－yi
D. 决定系数R2越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差
9. (多选)某电子商务平台每年都会举行“年货节”商业促销狂欢活动，现统计了该平台从2016年到2024年共9年“年货节”期间的销售额(单位：亿元)并作出散点图，将销售额y看成是关于年份序号x(2016年作为第1年)的函数.运用相关软件，分别选择经验回归直线和三次函数回归曲线进行拟合，效果如图所示，则下列说法中，正确的有(　 　)
A. 销售额y与年份序号x呈正相关关系
B. 三次函数回归模型的残差平方和大于线性回归模型的残差平方和
C. 三次函数回归曲线的拟合效果好于经验回归直线的拟合效果
D. 根据三次函数回归曲线可以预测2025年“年货节”期间的销售额约为1 698.719亿元
10. 甲、乙、丙、丁4位同学分别对A，B两个变量的线性相关性作试验，并用回归分析的方法分别求得相关系数r与残差平方和m如下表所示：
甲 乙 丙 丁
r 0.82 0.78 0.69 0.85
m 106 115 124 103
　 　同学的试验结果体现了A，B两个变量更强的线性相关性.
11. (2025·河南驻马店高二检测)以曲线Y=cekX拟合一组数据时，经Z=ln Y代换后的线性回归方程为Z=3X＋5，则c=　 　，k=　 　.
12. 在线性回归分析模型中，变量x与y相对应的四组数据为(－1，1.5)，(1，0.5)，(2，0)，(4，－1)，R2表示解释变量对于响应变量变化的贡献率，则R2=　 　.
附：=，
，R2=1.
13. 已知x，y两变量之间的一组观测数据如表所示：
x 1 3 6 7 8
y 1 2 3 4 5
(1)分别从集合A={1，3，6，7，8}，B={1，2，3，4，5}中各取一个数x，y，求x＋y≥10的概率；
(2)对于表中数据，甲、乙2名同学给出的拟合直线分别为y=x＋1与y=x＋，试根据残差平方和(yi)2的大小，判断哪条直线的拟合程度更好.
14. 某种农作物可以生长在滩涂和盐碱地，其灌溉方式是将海水稀释后进行灌溉.某实验基地为了研究海水浓度x(单位：%)对亩产量y(单位：吨)的影响，通过在试验田的种植实验，测得了该农作物的亩产量与海水浓度的数据如下表所示.
海水浓度x 3 4 5 6 7
亩产量y 0.57 0.53 0.44 0.36 0.30
残差 －0.01 0.02 m n 0
绘制散点图发现，可以用线性回归模型拟合亩产量y(单位：吨)与海水浓度x(单位：%)之间的相关关系，用最小二乘法计算得y与x之间的线性回归方程为=－0.07x＋.
(1)求m，n的值；
(2)统计学中常用决定系数R2来刻画回归效果，R2越大，回归效果越好，如假设R2=0.85，就说明响应变量y的差异有85%是解释变量x引起的.请计算决定系数R2(结果精确到0.01)，并指出亩产量的变化多大程度上是由灌溉海水浓度引起的.
参考公式：，残差=yi，决定系数R2=1，其中=0.051.
15. 某互联网公司为了确定下一季度的前期广告投入计划，收集了近6个月广告投入量x(单位：万元)和收益y(单位：万元)的数据，如表所示：
月份 1 2 3 4 5 6
广告投入量x 2 4 6 8 10 12
收益y 14.21 20.31 31.8 31.18 37.83 44.67
用两种模型①=bx＋a，②=aebx对以上数据分别进行拟合，得到相应的经验回归方程并进行残差分析，得到如图所示的残差图及一些统计量的值.
xiyi
7 30 1 464.24 364
(1)根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，并说明该公司应选择哪个模型.
(2)残差绝对值大于2的数据被认为是异常数据，需要剔除：
(i)剔除异常数据后，求出(1)中所选模型的经验回归方程；
(ii)当广告投入量x=18时，(1)中所选模型收益的预测值是多少？
附：对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其经验回归直线x＋的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.(共26张PPT)
高中数学 选择性必修 第三册
成对数据的统计分析
第八章
二、一元线性回归模型及其应用
练习2　一元线性回归模型的综合问题
必备知识练
1. 在回归分析中，R2的值越大，说明残差平方和(　 　)
A. 越大 B. 越小　　
C. 可能大也可能小 D. 以上均错
【解析】∵R2=1，∴当R2越大时，(yi)2越小，即残差平方和越小.
B　
2. (2025·江苏南京高二检测)某种产品的投入x(单位：万元)与收入y(单位：万元)之间的关系如下表所示：
若y与x的经验回归方程为=6.5x＋17.5，则相应于点(2，30)的残差为(　 　)
A. －0.5 B. 0.5
C. －1.5 D. 1.5
【解析】将x=2代入回归方程中可得=6.5×2＋17.5=30.5，∴预测值为30.5，而实际值为30，∴残差为30－30.5=－0.5.
x/万元 2 4 5 6 8
y/万元 30 40 60 50 70
A　
3. (2025·山东聊城高二期末)某同学根据一组数据作出如图所示的散点图，并对这组数据进行回归分析后发现遗漏了点(7，12)，增加点(7，12)后再次进行回归分析，得到的结果和原来相比(　 　)
A. 相关系数r变大
B. 决定系数R2变小
C. 残差平方和变小
D. 不变
【解析】增加点(7，12)，从散点图中可以看出拟合效果变差，|r|越接近1，相关程度越强，拟合效果越好，由于两个变量成正相关，∴相关系数变小，A错误；决定系数R2越接近1，拟合效果越好，∴决定系数变小，B正确；残差平方和越小，拟合效果越好，∴残差平方和变大，C错误；增加点(7，12)前的x的平均数为，增加点(7，12)后的x的平均数为=4，∴变大，D错误.
B
4. (2025·河北石家庄高二期末)下列说法中，正确的是(　 　)
A. 回归直线x＋至少经过一个样本点
B. 在回归分析模型中，决定系数R2越小，模型的拟合效果越好
C. 残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预测精确度越低
D. 当样本相关系数r＞0时，成对样本数据正相关
【解析】对于A，回归直线x＋过样本中心点，每个样本点不一定都在回归直线方程上，A错误；对于B，∵在回归分析模型中，决定系数R2越大，模型的拟合效果越好，B错误；对于C，∵残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，∴回归方程的预测精确度越高，C错误；对于D，当样本相关系数r＞0时，成对样本数据正相关，D正确.
D
5. 如图所示为某景点在50天内游客的累计数量y(单位：万人)与时间x(单位：天)的散点图，则下列最适宜作为此模型的回归方程类型的是(　 　)
A. =a＋bx
B. =a＋bex
C. =a＋b　
D. =a＋bln x
【解析】对于A，=a＋bx对应的“直线型”的拟合函数，散点图中的点应在某直线附近，A错误；对于B，根据散点图可以看出散点大致分布在一条“指数型”函数曲线附近，则=a＋bex的图象可以反映出散点图走势，B正确；对于C，=a＋b对应的“幂函数型”的拟合函数，则其对应图象应为上凸下凹，C错误；对于D，=a＋bln x对应的“对数型”的拟合函数，则其对应图象应为上凸下凹，D错误.
B
6. 以模型y=cekx(c＞0)去拟合一组数据时，设z=ln y，将其变换后得到线性回归方程z=2x－1，则c等于(　 　)
A. B. e－2
C. e－1 D. e
【解析】∵y=cekx(c＞0)，∴ln y=ln(cekx)=ln c＋ln ekx=ln c＋kx，又z=ln y，∴z=ln c＋kx=2x－1，即c=.
C
7. (2025·广东梅州高三模拟)某科技公司在人工智能领域逐年加大投入，根据近年来该公司对产品研发年投入额x(单位：百万元)与其年销售量y(单位：千件)的数据统计，得到散点图如图所示.用线性回归和指数型回归模型拟合y与x关系的决定系数分别为=0.891 3和=0.994 0，则根据参考数据，下列表达式中，最适宜作为模拟y与x之间关系的函数的是(　 　)
参考公式：用最小二乘法求经验回归直线方程u＋的系数公式为.
参考数据：令ωi=ln yi
　D
A. =1.2x－1.1 B. =0.6x－1.3
C. =e1.2x－1.1 D. =e0.6x－1.3
【解析】由用线性回归和指数型回归模型拟合y与x关系的决定系数分别为=0.891 3和=0.994 0，得，则指数型回归模型最适宜模拟y与x的关系，排除A，B；设y与x之间关系的函数为，两边取对数得ln x＋，设=ln ，则x＋，∴=0.6，=0.5－0.6×3=－1.3，即ln =0.6x－1.3，=e0.6x－1.3，C错误，D正确.
(xi－)2 (xi)·(yi) (xi)·(ωi)
3 2.5 0.5 10 12 6
8. (多选)两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)可建立经验回归方程=bx＋a，下列说法中，正确的有(　 　)
A. 相关系数|r|越接近1，变量x，y的相关性越强
B. 落在回归直线方程上的样本点越多，回归直线方程拟合效果越好
C. 残差ei=(bxi＋a)－yi
D. 决定系数R2越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差
【解析】对于A，相关系数|r|越接近1，相关性越强，A正确；对于B，回归直线方程拟合效果的强弱由决定系数R2决定，B错误；对于C，残差ei=yi=yi－(bxi＋a)，C错误；对于D，决定系数R2越小，残差平方和越大，效果越差，D正确.
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9. (多选)某电子商务平台每年都会举行“年货节”商业促销狂欢活动，现统计了该平台从2016年到2024年共9年“年货节”期间的销售额(单位：亿元)并作出散点图，将销售额y看成是关于年份序号x(2016年作为第1年)的函数.运用相关软件，分别选择经验回归直线和三次函数回归曲线进行拟合，效果如图所示，则下列说法中，正确的有(　 　)
A. 销售额y与年份序号x呈正相关关系
B. 三次函数回归模型的残差平方和大于线性回归模型的残差平方和
C. 三次函数回归曲线的拟合效果好于经验回归直线的拟合效果
D. 根据三次函数回归曲线可以预测2025年“年货节”期间的销售额约为1 698.719亿元
AC
【解析】由散点图的变化趋势可知，销售额y与年份序号x呈正相关关系，A正确；由散点图以及线性回归模型和三次函数回归模型的位置关系可知，三次函数回归模型的残差平方和小于线性回归模型的残差平方和，B错误；∵0.999＞0.936，∴三次函数回归曲线的拟合效果好于经验回归直线的拟合效果，C正确；∵三次函数为y2=0.168x3＋28.141x2－29.027x＋6.889，∴当x=10时，y2=2 698.719(亿元)，D错误.
10. 甲、乙、丙、丁4位同学分别对A，B两个变量的线性相关性作试验，并用回归分析的方法分别求得相关系数r与残差平方和m如下表所示：
________同学的试验结果体现了A，B两个变量更强的线性相关性.
【解析】由题表可知，丁同学的相关系数r最大且残差平方和m最小，故丁同学的试验结果体现了A，B两个变量更强的线性相关性.
甲 乙 丙 丁
r 0.82 0.78 0.69 0.85
m 106 115 124 103
丁　
11. (2025·河南驻马店高二检测)以曲线Y=cekX拟合一组数据时，经Z=ln Y代换后的线性回归方程为Z=3X＋5，则c=_______，k=________.
【解析】∵Y=cekX，∴ln Y=ln (cekX)=ln c＋ln ekX=ln c＋kX，令Z=ln Y，则Z=ln c＋kX，又Z=3X＋5，∴ln c=5，k=3，则c=e5，k=3.
e5　1
　3
12. 在线性回归分析模型中，变量x与y相对应的四组数据为(－1，1.5)，(1，0.5)，(2，0)，(4，－1)，R2表示解释变量对于响应变量变化的贡献率，则R2=_________.
附：=，
，R2=1.
1
【解析】依题意，=1.5，=0.25，xiyi=－1.5＋0.5＋0－4=－5，=1＋1＋4＋16=22，则=－0.5，=0.25＋0.5×1.5=1，∴y关于x的线性回归方程为=－0.5x＋1，当x1=－1时，=1.5，残差y1=0；当x2=1时，=0.5，残差y2=0；当x3=2时，=0，残差y3=0；当x4=4时，=－1，残差y4=0，∴=0，∴R2=1.
13. 已知x，y两变量之间的一组观测数据如表所示：
(1)分别从集合A={1，3，6，7，8}，B={1，2，3，4，5}中各取一个数x，y，求x＋y≥10的概率；
(2)对于表中数据，甲、乙2名同学给出的拟合直线分别为y=x＋1与y=x＋，试根据残差平方和(yi)2的大小，判断哪条直线的拟合程度更好.
x 1 3 6 7 8
y 1 2 3 4 5
解：(1)由题意知，是古典概型问题，
试验发生包含的所有样本点是分别从集合A，B中各取一个数组成数对(x，y)，共有25个，
其中满足x＋y≥10的有(6，4)，(6，5)，(7，3)，(7，4)，(7，5)，(8，2)，(8，3)，(8，4)，(8，5)，共9个.
故使x＋y≥10的概率为P=.
(2)当用y=x＋1作为拟合直线时，残差平方和为s1=＋(2－2)2＋(3－3)2＋.
当用y=x＋作为拟合直线时，残差平方和为s2=(1－1)2＋(2－2)2＋＋(4－4)2＋，∴s1＞s2，故用直线y=x＋的拟合效果更好.
关键能力练
14. 某种农作物可以生长在滩涂和盐碱地，其灌溉方式是将海水稀释后进行灌溉.某实验基地为了研究海水浓度x(单位：%)对亩产量y(单位：吨)的影响，通过在试验田的种植实验，测得了该农作物的亩产量与海水浓度的数据如下表所示.
绘制散点图发现，可以用线性回归模型拟合亩产量y(单位：吨)与海水浓度x(单位：%)之间的相关关系，用最小二乘法计算得y与x之间的线性回归方程为=－0.07x＋.
(1)求m，n的值；
(2)统计学中常用决定系数R2来刻画回归效果，R2越大，回归效果越好，如假设R2=0.85，就说明响应变量y的差异有85%是解释变量x引起的.请计算决定系数R2(结果精确到0.01)，并指出亩产量的变化多大程度上是由灌溉海水浓度引起的.
参考公式：，残差=yi，决定系数R2=1，其中=0.051.
解：(1)∵=5，=0.44，∴0.44=－0.07×5＋，即=0.79，∴线性回归方程为=－0.07x＋0.79，
∴=－0.07×5＋0.79=0.44，m=y3=0.44－0.44=0.=－0.07×6＋0.79=0.37，n=y4=0.36－0.37=－0.01.
(2)(yi)2=(－0.01)2＋0.022＋02＋(－0.01)2＋02=0.000 6，∴决定系数R2=1≈0.99.故亩产量的变化有99%是由灌溉海水浓度的变化引起的.
15. 某互联网公司为了确定下一季度的前期广告投入计划，收集了近6个月广告投入量x(单位：万元)和收益y(单位：万元)的数据，如表所示：
用两种模型①=bx＋a，②=aebx对以上数据分别进行拟合，得到相应的经验回归方程并进行残差分析，得到如图所示的残差图及一些统计量的值.
月份 1 2 3 4 5 6
广告投入量x 2 4 6 8 10 12
收益y 14.21 20.31 31.8 31.18 37.83 44.67
xiyi
7 30 1 464.24 364
(1)根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，并说明该公司应选择哪个模型.
解：应该选择模型①，∵模型①的带状区域比模型②的带状区域窄，∴模型①的拟合效果更好，经验回归方程的预测精度更高.
(2)残差绝对值大于2的数据被认为是异常数据，需要剔除：
(i)剔除异常数据后，求出(1)中所选模型的经验回归方程；
(ii)当广告投入量x=18时，(1)中所选模型收益的预测值是多少？
附：对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其经验回归直线x＋的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.
解：(i)剔除异常数据即3月份的数据后，得×(7×6－6)=7.2，×(30×6－31.8)=29.64.
xiyi=1 464.24－6×31.8=1 273.44，=364－62=328.
=3，=29.64－3×7.2=8.04，∴y关于x的经验回归方程为=3x＋8.04.
(ii)把x=18代入(i)中所求经验回归方程，得=3×18＋8.04=62.04(万元)，故收益的预测值为62.04万元.

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