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8.3 列联表与独立性检验　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 想要检验喜欢参加体育活动是否与性别有关，应该检验(　D　)
A. 零假设H0：男性喜欢参加体育活动
B. 零假设H0：女性不喜欢参加体育活动
C. 零假设H0：喜欢参加体育活动与性别有关
D. 零假设H0：喜欢参加体育活动与性别无关
【解析】独立性检验假设有反证法的意味，应假设两类变量(而非变量的属性)无关，这时的χ2应该很小.如果χ2很大，则可以否定假设，如果χ2很小，则不能够肯定或者否定假设.
2. 已知两个分类变量X，Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，观察下列各图，其中两个分类变量X，Y之间关系最强的是(　D　)
A.　　 　B.
C.　 　　D.
【解析】等高条形图中和相差越大，两个分类变量之间关系越强.
3. (2025·山东青岛高二期末)为调查某医院一段时间内婴儿出生的时间和性别的关联性，得到如下2×2列联表：
晚上 白天 总计
女 30
男 30
总计 40 90
则χ2的值最接近[附：χ2=，n=a＋b＋c＋d](　B　)
A. 18 B. 11 C. 8 D. 6
【解析】由题意可得2×2列联表：
晚上 白天 总计
女 30 20 50
男 10 30 40
总计 40 50 90
∴χ2==11.025，∴χ2的值最接近11.
4. 假设有两个分类变量X，Y，它们的可能取值分别为{x1， x2}和{y1， y2}，其2×2列联表为
y1 y2 合计
x1 a b a＋b
x2 c d c＋d
合计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d
以下各组数据中，对于同一个样本能说明X与Y有关系的可能性最大的一组为(　C　)
A. a=2，b=3，c=3，d=7
B. a=1，b=4，c=2，d=8
C. a=1，b=4，c=4，d=1
D. a=9，b=1，c=4，d=1
【解析】计算各选项中的值，值越大，说明相应的两个分类变量有关系的可能性越大；对于A，，对于B，=0，对于C，，对于D，，由于＞0，C正确.
5. K2的部分临界值如下表所示.下列说法中，正确的是(　A　)
P(K2≥k0) 0.1 0.05 0.025 0.01
k0 2.706 3.841 5.024 6.635
A. 一组数据的标准差为0，则这组数据中的数均相等
B. 两组数据的标准差相等，则这两组数据的平均数相等
C. 若两个变量的相关系数越接近于0，则这两个变量的相关性越强
D. 已知变量X，Y，由它们的样本数据计算得到K2的观测值k≈5.527，则在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为变量X，Y没有关系
【解析】对于A，由题意，若一组数据x1，x2，…，xn的标准差s==0，则有x1=x2=…=xn=，A正确；对于B，两组数据的标准差相等，若是都为1和都为2的两组数据，则这两组数据的平均数不相等，B错误；对于C，两个变量的相关系数越接近于0，两个变量的相关性越弱，C错误；对于D，k≈5.527＞5.024，根据独立性检验原理，在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为变量X，Y有关系，D错误.
6. (多选)有两个分类变量X，Y，其2×2列联表如表所示：
X Y 合计
Y1 Y2
X1 a 20－a 20
X2 15－a 30＋a 45
合计 15 50 65
A其中a，15－a均为大于5的整数，若依据小概率值α=0.05的独立性检验，认为X，Y有关，则a的值可以为(　CD　)
A. 6 B. 7
C. 8 D. 9
【解析】由题意可知
χ2=≥3.841=x0.05，根据a＞5，且15－a＞5，a∈Z，得当a=8，或a=9时满足题意.
7. (多选)为了解高二学生是否喜爱物理学科与性别的关联性，某学校随机抽取了200名学生进行统计.得到如图所示的列联表，则下列说法中，正确的有(　AC　)
性别 物理学科
喜爱 不喜爱
男 60 40
女 20 80
参考公式：χ2=，其中n=a＋b＋c＋d.
附表
α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A. 喜爱物理学科的学生中，男生的频率为
B. 女生中喜爱物理学科的频率为
C. 依据小概率值α=0.001的独立性检验，可以推断学生是否喜爱物理学科与性别有关
D. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为学生是否喜爱物理学科与性别无关
【解析】对于A，喜爱物理学科的学生共有60＋20=80(名)，故喜爱物理学科的学生中，男生的频率为，A正确；对于B，女生共有20＋80=100(名)，其中喜爱物理的女生有20名，故女生中喜爱物理学科的频率为，B错误；对于C，D，由列联表中数据可得χ2=≈33.333＞10.828，故依据小概率值α=0.001的独立性检验，可以推断学生是否喜爱物理学科与性别有关，即在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为学生是否喜爱物理学科与性别有关，C正确，D错误.
8. (多选)为了解阅读量多少与幸福感强弱之间的关系，某调查机构根据所得到的数据，绘制了如下的2×2列联表：
阅读量 幸福感 合计
强 弱
阅读量多 m 18 72
阅读量少 36 n 78
合计 90 60 150
计算得χ2≈12.981，参照下表：
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
下列结论中，正确的有(　BC　)
A. 根据小概率值α=0.01的独立性检验，可以认为“阅读量多少与幸福感强弱无关”
B. m=54
C. 根据小概率值α=0.005的独立性检验，可以认为“阅读量多少与幸福感强弱有关”
D. n=52
【解析】零假设为H0：阅读量多少与幸福感强弱无关，∵ χ2≈12.981＞6.635=x0.01，且χ2≈12.981＞7.879=x0.005，∴根据小概率值α=0.01的独立性检验，可以认为“阅读量多少与幸福感强弱有关”，根据小概率值α=0.005的独立性检验，可以认为“阅读量多少与幸福感强弱有关”，∴A错误，C正确；∵m＋36=90，18＋n=60，∴m=54，n=42，∴B正确，D错误.
9. 如图所示为调查某学校高二年级男、女学生是否喜欢徒步运动而得到的等高堆积条形图，阴影部分表示喜欢徒步的频率.已知该年级男生500人、女生400人(假设所有学生都参加了调查)，现从所有喜欢徒步的学生中按分层随机抽样的方法抽取23人，则抽取的男生人数为　15　.
【解析】根据等高堆积条形图可知：喜欢徒步的男生人数为0.6×500=300，喜欢徒步的女生人数为0.4×400=160，∴喜欢徒步的总人数为300＋160=460.按分层随机抽样的方法抽取23人，则抽取的男生人数为×23=15.
10. 为了研究高三学生的性别和身高是否大于170 cm之间的关联性，调查了200名高三学生，得到如下列联表：
性别 身高 合计
低于170 cm 不低于170 cm
女 80 20 100
男 30 70 100
合计 110 90 200
根据列联表的数据，计算得χ2=　50.505　(结果保留3位小数)；依据小概率值α=　0.001　的独立性检验，认为“高三学生的性别和身高有关联”.
【解析】χ2=≈50.505＞10.828，根据小概率值α=0.001的独立性检验，认为“高三学生的性别和身高有关联”.
11. 有甲、乙两个班级共计112人进行数学考试，按照大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表：
优秀 非优秀 总计
甲班 12 b
乙班 c 36
已知在全部112人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为，则下列说法中，正确的有　②④　(填序号).
①列联表中c的值为30，b的值为20；
②列联表中c的值为20，b的值为44；
③根据列联表中的数据，若根据小概率值α=0.05的独立性检验，能认为“成绩与班级有关系”；
④根据列联表中的数据，若根据小概率值α=0.05的独立性检验，不能认为“成绩与班级有关系”.
【解析】 由题意得在全部112人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为，则成绩优秀的学生有112×=32(人)，甲班有12人，则乙班20人，即c=20，成绩非优秀的学生有80人，乙班有36人，则甲班有44人，即b=44，故①错误，②正确；由列联表可得χ2==2.8＜3.841，根据小概率值α=0.05的χ2独立性检验，不能认为“成绩与班级有关系”，③错误，④正确.
12. 为了解铅中毒与尿棕色素为阳性之间是否有关系，分别对病人组和对照组的尿液作尿棕色素定性检查，结果如表所示.
组别 尿棕色素 合计
阳性数 阴性数
铅中毒病人组 29 7 36
对照组 9 28 37
合计 38 35 73
试画出列联表的等高堆积条形图，分析铅中毒病人组和对照组的尿棕色素阳性数有无差别，铅中毒与尿棕色素为阳性之间是否有关系.
解：等高堆积条形图如图所示.
其中两个浅色条的高分别代表铅中毒病人组和对照组样本中尿棕色素为阳性的频率.
由图可以直观地看出铅中毒病人组与对照组的尿棕色素为阳性的频率差异明显，因此铅中毒与尿棕色素为阳性之间有关系.
13. 某中学为探究“周末使用手机时长是否影响学业成绩”，随机调查100名学生，得到部分统计数据如下表：
学业成绩 使用手机≤2小时 使用手机＞2小时
良好 m 20
不良好 n 40
记事件A=“学业成绩良好且使用手机≤2小时”，事件B=“学业成绩不良好且使用手机≤2小时”，已知事件A的频率是事件B的频率的3倍.
(1)求表中的m，n的值；
(2)记使用手机≤2小时的学生中学业成绩良好的概率为P，求P的估计值；
(3)根据上述数据，请画出2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为“周末使用手机时长”与“学业成绩”有关？请说明理由.
参考数据：χ2=，其中n=a＋b＋c＋d.
α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
解：(1)由样本容量为100，得m＋n＋20＋40=100，则m＋n=40，又事件A的频率是事件B的频率的3倍，则=3×，则m=3n，则n=10，m=30.
(2)∵在样本中用手机≤2小时的学生学业成绩良好的概率为=0.3，根据用样本估计总体，估计总体中用手机≤2小时的学生学业成绩良好的频率为0.3，再由频率估计概率，使用手机≤2小时的学生中学业成绩良好的概率P=0.3.
(3)根据题意可得列联表为：
学业成绩 使用手机≤2小时 使用手机＞2小时 合计
良好 30 20 50
不良好 10 40 50
合计 40 60 100
零假设为H0：周末使用手机时长与学业成绩没有关联，则χ2=≈16.667＞3.841，则可推断假设不成立，则有95%的把握认为“周末使用手机时长”与“学业成绩”有关.
14. 某种疾病可分为A，B两种类型，为了解该疾病的类型与患者性别是否相关，在某地区随机抽取了若干名该疾病的患者进行调查，发现女性患者人数是男性患者的2倍，男性患A型疾病的人数占男性患者的，女性患A型疾病的人数占女性患者的.若本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为所患疾病的类型与患者性别有关”的结论，则被调查的男性患者至少有　12　人.
参考公式：χ2=，其中n=a＋b＋c＋d.
附表：
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【解析】设男性患者有x人，则女性患者有2x人，得2×2列联表如下所示.
性别 疾病类型 合计
A型 B型
男 x
女 2x
合计 3x
零假设为H0：患者所患疾病类型与患者性别无关.根据列联表中的数据，经计算得到χ2=，要使在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为所患疾病类型与患者性别有关，则≥7.879，解得x≥11.818 5，∵∈N*，∈N*，∴x的最小整数值为12，∴男性患者至少有12人.
15. 为了解学生对某项运动的喜欢程度，某校随机调查了200名学生，得到如下列联表：
　 　 喜欢程度 性别　　　 喜欢 感觉一般 合计
男 30 70 100
女 50 50 100
合计 80 120 200
(1)根据小概率值α=0.005的独立性检验，分析学生对该运动的喜欢程度是否与性别有关；
(2)从这200人中随机选出了5名男生和3名女生作为代表，其中有2名男生和2名女生喜欢该运动.现从这8名代表中任选3名男生和2名女生进一步交流，求这5人中恰有2人喜欢该运动的概率.
附：χ2=，
P(χ2≥k) 0.05 0.01 0.005
k 3.841 6.635 7.879
解：(1)零假设H0：学生对该运动的喜欢程度与性别无关，则χ2=≈8.333＞7.879，故根据小概率值α =0.005的独立性检验，可知零假设不成立，则学生对该运动的喜欢程度与性别有关；
(2)设进一步交流的男生喜欢该运动的人数为X，女生中喜欢该运动的人数为Y，从这8名代表中任选3名男生和2名女生的选法有=30种，则 P(X＋Y=2)=P(X=1，Y=1)＋P(X=0，Y=2)=，即这5人中恰有2人喜欢该运动的概率为.8.3 列联表与独立性检验　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 想要检验喜欢参加体育活动是否与性别有关，应该检验(　 　)
A. 零假设H0：男性喜欢参加体育活动
B. 零假设H0：女性不喜欢参加体育活动
C. 零假设H0：喜欢参加体育活动与性别有关
D. 零假设H0：喜欢参加体育活动与性别无关
2. 已知两个分类变量X，Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，观察下列各图，其中两个分类变量X，Y之间关系最强的是(　 　)
A.　　 　B.
C.　 　　D.
3. (2025·山东青岛高二期末)为调查某医院一段时间内婴儿出生的时间和性别的关联性，得到如下2×2列联表：
晚上 白天 总计
女 30
男 30
总计 40 90
则χ2的值最接近[附：χ2=，n=a＋b＋c＋d](　 　)
A. 18 B. 11 C. 8 D. 6
4. 假设有两个分类变量X，Y，它们的可能取值分别为{x1， x2}和{y1， y2}，其2×2列联表为
y1 y2 合计
x1 a b a＋b
x2 c d c＋d
合计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d
以下各组数据中，对于同一个样本能说明X与Y有关系的可能性最大的一组为(　 　)
A. a=2，b=3，c=3，d=7
B. a=1，b=4，c=2，d=8
C. a=1，b=4，c=4，d=1
D. a=9，b=1，c=4，d=1
5. K2的部分临界值如下表所示.下列说法中，正确的是(　 　)
P(K2≥k0) 0.1 0.05 0.025 0.01
k0 2.706 3.841 5.024 6.635
A. 一组数据的标准差为0，则这组数据中的数均相等
B. 两组数据的标准差相等，则这两组数据的平均数相等
C. 若两个变量的相关系数越接近于0，则这两个变量的相关性越强
D. 已知变量X，Y，由它们的样本数据计算得到K2的观测值k≈5.527，则在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为变量X，Y没有关系
6. (多选)有两个分类变量X，Y，其2×2列联表如表所示：
X Y 合计
Y1 Y2
X1 a 20－a 20
X2 15－a 30＋a 45
合计 15 50 65
A其中a，15－a均为大于5的整数，若依据小概率值α=0.05的独立性检验，认为X，Y有关，则a的值可以为(　 　)
A. 6 B. 7
C. 8 D. 9
7. (多选)为了解高二学生是否喜爱物理学科与性别的关联性，某学校随机抽取了200名学生进行统计.得到如图所示的列联表，则下列说法中，正确的有(　 　)
性别 物理学科
喜爱 不喜爱
男 60 40
女 20 80
参考公式：χ2=，其中n=a＋b＋c＋d.
附表
α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A. 喜爱物理学科的学生中，男生的频率为
B. 女生中喜爱物理学科的频率为
C. 依据小概率值α=0.001的独立性检验，可以推断学生是否喜爱物理学科与性别有关
D. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为学生是否喜爱物理学科与性别无关
8. (多选)为了解阅读量多少与幸福感强弱之间的关系，某调查机构根据所得到的数据，绘制了如下的2×2列联表：
阅读量 幸福感 合计
强 弱
阅读量多 m 18 72
阅读量少 36 n 78
合计 90 60 150
计算得χ2≈12.981，参照下表：
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
下列结论中，正确的有(　 　)
A. 根据小概率值α=0.01的独立性检验，可以认为“阅读量多少与幸福感强弱无关”
B. m=54
C. 根据小概率值α=0.005的独立性检验，可以认为“阅读量多少与幸福感强弱有关”
D. n=52
9. 如图所示为调查某学校高二年级男、女学生是否喜欢徒步运动而得到的等高堆积条形图，阴影部分表示喜欢徒步的频率.已知该年级男生500人、女生400人(假设所有学生都参加了调查)，现从所有喜欢徒步的学生中按分层随机抽样的方法抽取23人，则抽取的男生人数为　 　.
10. 为了研究高三学生的性别和身高是否大于170 cm之间的关联性，调查了200名高三学生，得到如下列联表：
性别 身高 合计
低于170 cm 不低于170 cm
女 80 20 100
男 30 70 100
合计 110 90 200
根据列联表的数据，计算得χ2=　 　(结果保留3位小数)；依据小概率值α=　 　的独立性检验，认为“高三学生的性别和身高有关联”.
11. 有甲、乙两个班级共计112人进行数学考试，按照大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表：
优秀 非优秀 总计
甲班 12 b
乙班 c 36
已知在全部112人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为，则下列说法中，正确的有　 　(填序号).
①列联表中c的值为30，b的值为20；
②列联表中c的值为20，b的值为44；
③根据列联表中的数据，若根据小概率值α=0.05的独立性检验，能认为“成绩与班级有关系”；
④根据列联表中的数据，若根据小概率值α=0.05的独立性检验，不能认为“成绩与班级有关系”.
12. 为了解铅中毒与尿棕色素为阳性之间是否有关系，分别对病人组和对照组的尿液作尿棕色素定性检查，结果如表所示.
组别 尿棕色素 合计
阳性数 阴性数
铅中毒病人组 29 7 36
对照组 9 28 37
合计 38 35 73
试画出列联表的等高堆积条形图，分析铅中毒病人组和对照组的尿棕色素阳性数有无差别，铅中毒与尿棕色素为阳性之间是否有关系.
13. 某中学为探究“周末使用手机时长是否影响学业成绩”，随机调查100名学生，得到部分统计数据如下表：
学业成绩 使用手机≤2小时 使用手机＞2小时
良好 m 20
不良好 n 40
记事件A=“学业成绩良好且使用手机≤2小时”，事件B=“学业成绩不良好且使用手机≤2小时”，已知事件A的频率是事件B的频率的3倍.
(1)求表中的m，n的值；
(2)记使用手机≤2小时的学生中学业成绩良好的概率为P，求P的估计值；
(3)根据上述数据，请画出2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为“周末使用手机时长”与“学业成绩”有关？请说明理由.
参考数据：χ2=，其中n=a＋b＋c＋d.
α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
14. 某种疾病可分为A，B两种类型，为了解该疾病的类型与患者性别是否相关，在某地区随机抽取了若干名该疾病的患者进行调查，发现女性患者人数是男性患者的2倍，男性患A型疾病的人数占男性患者的，女性患A型疾病的人数占女性患者的.若本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为所患疾病的类型与患者性别有关”的结论，则被调查的男性患者至少有　 　人.
参考公式：χ2=，其中n=a＋b＋c＋d.
附表：
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
15. 为了解学生对某项运动的喜欢程度，某校随机调查了200名学生，得到如下列联表：
　 　 喜欢程度 性别　　　 喜欢 感觉一般 合计
男 30 70 100
女 50 50 100
合计 80 120 200
(1)根据小概率值α=0.005的独立性检验，分析学生对该运动的喜欢程度是否与性别有关；
(2)从这200人中随机选出了5名男生和3名女生作为代表，其中有2名男生和2名女生喜欢该运动.现从这8名代表中任选3名男生和2名女生进一步交流，求这5人中恰有2人喜欢该运动的概率.
附：χ2=，
P(χ2≥k) 0.05 0.01 0.005
k 3.841 6.635 7.879(共28张PPT)
高中数学 选择性必修 第三册
成对数据的统计分析
第八章
三、列联表与独立性检验
必备知识练
1. 想要检验喜欢参加体育活动是否与性别有关，应该检验(　 　)
A. 零假设H0：男性喜欢参加体育活动
B. 零假设H0：女性不喜欢参加体育活动
C. 零假设H0：喜欢参加体育活动与性别有关
D. 零假设H0：喜欢参加体育活动与性别无关
【解析】独立性检验假设有反证法的意味，应假设两类变量(而非变量的属性)无关，这时的χ2应该很小.如果χ2很大，则可以否定假设，如果χ2很小，则不能够肯定或者否定假设.
D
2. 已知两个分类变量X，Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，观察下列各图，其中两个分类变量X，Y之间关系最强的是(　 　)
【解析】等高条形图中和相差越大，两个分类变量之间关系越强.
D
3. (2025·山东青岛高二期末)为调查某医院一段时间内婴儿出生的时间和性别的关联性，得到如下2×2列联表：
则χ2的值最接近[附：χ2=，n=a＋b＋c＋d](　 　)
A. 18 B. 11
C. 8 D. 6
晚上 白天 总计
女 30
男 30
总计 40 90
B
【解析】由题意可得2×2列联表：
∴χ2==11.025，∴χ2的值最接近11.
晚上 白天 总计
女 30 20 50
男 10 30 40
总计 40 50 90
4. 假设有两个分类变量X，Y，它们的可能取值分别为{x1， x2}和{y1， y2}，其2×2列联表为
以下各组数据中，对于同一个样本能说明X与Y有关系的可能性最大的一组为(　 　)
A. a=2，b=3，c=3，d=7
B. a=1，b=4，c=2，d=8
C. a=1，b=4，c=4，d=1
D. a=9，b=1，c=4，d=1
y1 y2 合计
x1 a b a＋b
x2 c d c＋d
合计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d
　C
【解析】计算各选项中的值，值越大，说明相应的两个分类变量有关系的可能性越大；对于A，，对于B，=0，对于C，，对于D，，由于＞0，C正确.
5. K2的部分临界值如下表所示.下列说法中，正确的是(　 　)
A. 一组数据的标准差为0，则这组数据中的数均相等
B. 两组数据的标准差相等，则这两组数据的平均数相等
C. 若两个变量的相关系数越接近于0，则这两个变量的相关性越强
D. 已知变量X，Y，由它们的样本数据计算得到K2的观测值k≈5.527，则在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为变量X，Y没有关系
P(K2≥k0) 0.1 0.05 0.025 0.01
k0 2.706 3.841 5.024 6.635
A
【解析】对于A，由题意，若一组数据x1，x2，…，xn的标准差s==0，则有x1=x2=…=xn=，A正确；对于B，两组数据的标准差相等，若是都为1和都为2的两组数据，则这两组数据的平均数不相等，B错误；对于C，两个变量的相关系数越接近于0，两个变量的相关性越弱，C错误；对于D，k≈5.527＞5.024，根据独立性检验原理，在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为变量X，Y有关系，D错误.
6. (多选)有两个分类变量X，Y，其2×2列联表如表所示：
A其中a，15－a均为大于5的整数，若依据小概率值α=0.05的独立性检验，认为X，Y有关，则a的值可以为(　 　)
A. 6 B. 7
C. 8 D. 9
【解析】由题意可知
χ2=≥3.841=x0.05，根据a＞5，且15－a＞5，a∈Z，得当a=8，或a=9时满足题意.
X Y 合计
Y1 Y2
X1 a 20－a 20
X2 15－a 30＋a 45
合计 15 50 65
CD
7. (多选)为了解高二学生是否喜爱物理学科与性别的关联性，某学校随机抽取了200名学生进行统计.得到如图所示的列联表，则下列说法中，正确的有(　 　)
参考公式：χ2=，其中n=a＋b＋c＋d.
附表
A. 喜爱物理学科的学生中，男生的频率为
B. 女生中喜爱物理学科的频率为
C. 依据小概率值α=0.001的独立性检验，可以推断学生是否喜爱物理学科与性别有关
D. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为学生是否喜爱物理学科与性别无关
性别 物理学科
喜爱 不喜爱
男 60 40
女 20 80
α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
AC
【解析】对于A，喜爱物理学科的学生共有60＋20=80(名)，故喜爱物理学科的学生中，男生的频率为，A正确；对于B，女生共有20＋80=100(名)，其中喜爱物理的女生有20名，故女生中喜爱物理学科的频率为，B错误；对于C，D，由列联表中数据可得χ2=≈33.333＞10.828，故依据小概率值α=0.001的独立性检验，可以推断学生是否喜爱物理学科与性别有关，即在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为学生是否喜爱物理学科与性别有关，C正确，D错误.
8. (多选)为了解阅读量多少与幸福感强弱之间的关系，某调查机构根据所得到的数据，绘制了如下的2×2列联表：
计算得χ2≈12.981，参照下表：
下列结论中，正确的有(　 　)
A. 根据小概率值α=0.01的独立性检验，可以认为“阅读量多少与幸福感强弱无关”
B. m=54
C. 根据小概率值α=0.005的独立性检验，可以认为“阅读量多少与幸福感强弱有关”
D. n=52
阅读量 幸福感 合计
强 弱
阅读量多 m 18 72
阅读量少 36 n 78
合计 90 60 150
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
BC
【解析】零假设为H0：阅读量多少与幸福感强弱无关，∵ χ2≈12.981＞6.635=x0.01，且χ2≈12.981＞7.879=x0.005，∴根据小概率值α=0.01的独立性检验，可以认为“阅读量多少与幸福感强弱有关”，根据小概率值α=0.005的独立性检验，可以认为“阅读量多少与幸福感强弱有关”，∴A错误，C正确；∵m＋36=90，18＋n=60，∴m=54，n=42，∴B正确，D错误.
9. 如图所示为调查某学校高二年级男、女学生是否喜欢徒步运动而得到的等高堆积条形图，阴影部分表示喜欢徒步的频率.已知该年级男生500人、女生400人(假设所有学生都参加了调查)，现从所有喜欢徒步的学生中按分层随机抽样的方法抽取23人，则抽取的男生人数为_______.
【解析】根据等高堆积条形图可知：喜欢徒步的男生人数为0.6×500=300，喜欢徒步的女生人数为0.4×400=160，∴喜欢徒步的总人数为300＋160=460.按分层随机抽样的方法抽取23人，则抽取的男生人数为×23=15.
　15　
10. 为了研究高三学生的性别和身高是否大于170 cm之间的关联性，调查了200名高三学生，得到如下列联表：
根据列联表的数据，计算得χ2=_________(结果保留3位小数)；依据小概率值α=_______的独立性检验，认为“高三学生的性别和身高有关联”.
【解析】χ2=≈50.505＞10.828，根据小概率值α=0.001的独立性检验，认为“高三学生的性别和身高有关联”.
性别 身高 合计
低于170 cm 不低于170 cm
女 80 20 100
男 30 70 100
合计 110 90 200
　50.505　
0.001
11. 有甲、乙两个班级共计112人进行数学考试，按照大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表：
已知在全部112人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为，则下列说法中，正确的有_______(填序号).
①列联表中c的值为30，b的值为20；
②列联表中c的值为20，b的值为44；
③根据列联表中的数据，若根据小概率值α=0.05的独立性检验，能认为“成绩与班级有关系”；
④根据列联表中的数据，若根据小概率值α=0.05的独立性检验，不能认为“成绩与班级有关系”.
优秀 非优秀 总计
甲班 12 b
乙班 c 36
②④
【解析】 由题意得在全部112人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为，则成绩优秀的学生有112×=32(人)，甲班有12人，则乙班20人，即c=20，成绩非优秀的学生有80人，乙班有36人，则甲班有44人，即b=44，故①错误，②正确；由列联表可得χ2==2.8＜3.841，根据小概率值α=0.05的χ2独立性检验，不能认为“成绩与班级有关系”，③错误，④正确.
12. 为了解铅中毒与尿棕色素为阳性之间是否有关系，分别对病人组和对照组的尿液作尿棕色素定性检查，结果如表所示.
试画出列联表的等高堆积条形图，分析铅中毒病人组和对照组的尿棕色素阳性数有无差别，铅中毒与尿棕色素为阳性之间是否有关系.
组别 尿棕色素 合计
阳性数 阴性数
铅中毒病人组 29 7 36
对照组 9 28 37
合计 38 35 73
解：等高堆积条形图如图所示.
其中两个浅色条的高分别代表铅中毒病人组和对照组样本中尿棕色素为阳性的频率.
由图可以直观地看出铅中毒病人组与对照组的尿棕色素为阳性的频率差异明显，因此铅中毒与尿棕色素为阳性之间有关系.
13. 某中学为探究“周末使用手机时长是否影响学业成绩”，随机调查100名学生，得到部分统计数据如下表：
记事件A=“学业成绩良好且使用手机≤2小时”，事件B=“学业成绩不良好且使用手机≤2小时”，已知事件A的频率是事件B的频率的3倍.
(1)求表中的m，n的值；
(2)记使用手机≤2小时的学生中学业成绩良好的概率为P，求P的估计值；
(3)根据上述数据，请画出2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为“周末使用手机时长”与“学业成绩”有关？请说明理由.
参考数据：χ2=，其中n=a＋b＋c＋d.
学业成绩 使用手机≤2小时 使用手机＞2小时
良好 m 20
不良好 n 40
α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
解：(1)由样本容量为100，得m＋n＋20＋40=100，则m＋n=40，又事件A的频率是事件B的频率的3倍，则=3×，则m=3n，则n=10，m=30.
(2)∵在样本中用手机≤2小时的学生学业成绩良好的概率为=0.3，根据用样本估计总体，估计总体中用手机≤2小时的学生学业成绩良好的频率为0.3，再由频率估计概率，使用手机≤2小时的学生中学业成绩良好的概率P=0.3.
(3)根据题意可得列联表为：
零假设为H0：周末使用手机时长与学业成绩没有关联，则χ2=≈16.667＞3.841，则可推断假设不成立，则有95%的把握认为“周末使用手机时长”与“学业成绩”有关.
学业成绩 使用手机≤2小时 使用手机＞2小时 合计
良好 30 20 50
不良好 10 40 50
合计 40 60 100
关键能力练
14. 某种疾病可分为A，B两种类型，为了解该疾病的类型与患者性别是否相关，在某地区随机抽取了若干名该疾病的患者进行调查，发现女性患者人数是男性患者的2倍，男性患A型疾病的人数占男性患者的，女性患A型疾病的人数占女性患者的.若本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为所患疾病的类型与患者性别有关”的结论，则被调查的男性患者至少有_____人.
参考公式：χ2=，其中n=a＋b＋c＋d.
附表：
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
12　
【解析】设男性患者有x人，则女性患者有2x人，得2×2列联表如下所示.
零假设为H0：患者所患疾病类型与患者性别无关.根据列联表中的数据，经计算得到χ2=，要使在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为所患疾病类型与患者性别有关，则≥7.879，解得x≥11.818 5，∵∈N*，∈N*，∴x的最小整数值为12，∴男性患者至少有12人.
性别 疾病类型 合计
A型 B型
男 x
女 2x
合计 3x
15. 为了解学生对某项运动的喜欢程度，某校随机调查了200名学生，得到如下列联表：
(1)根据小概率值α=0.005的独立性检验，分析学生对该运动的喜欢程度是否与性别有关；
(2)从这200人中随机选出了5名男生和3名女生作为代表，其中有2名男生和2名女生喜欢该运动.现从这8名代表中任选3名男生和2名女生进一步交流，求这5人中恰有2人喜欢该运动的概率.
附：χ2=，
　 　 喜欢程度 性别　　　 喜欢 感觉一般 合计
男 30 70 100
女 50 50 100
合计 80 120 200
P(χ2≥k) 0.05 0.01 0.005
k 3.841 6.635 7.879
解：(1)零假设H0：学生对该运动的喜欢程度与性别无关，则χ2=≈8.333＞7.879，故根据小概率值α =0.005的独立性检验，可知零假设不成立，则学生对该运动的喜欢程度与性别有关；
(2)设进一步交流的男生喜欢该运动的人数为X，女生中喜欢该运动的人数为Y，从这8名代表中任选3名男生和2名女生的选法有=30种，则 P(X＋Y=2)=P(X=1，Y=1)＋P(X=0，Y=2)=，即这5人中恰有2人喜欢该运动的概率为.

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