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四川眉山市2025-2026学年高二下学期期末教学质量监测数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若函数，则( )
A. B. C. D.
2.随机变量的分布列为：
则
A. B.
C. D.
3.某班有名学生，一次考试后数学成绩，若，则估计该班学生数学成绩在分以上的人数为( )
A. B. C. D.
4.一批零件共有个，其中有个不合格．随机抽取个零件进行检测，至少有件不合格的概率是( )
A. B. C. D.
5.函数的导函数图象如左图所示，则该函数图象可能是( )
A. B.
C. D.
6.某中学科技节活动，将位学生志愿者分配到创客中心、校园电视台、体育馆三个地点参加志愿活动，若每位志愿者仅去一个地点且每个地点至少需要名学生，则不同的分配方法种数为( )
A. B. C. D.
7.若随机变量，，，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若，，，都有，则实数的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于，下列说法正确的有( )
A. 二项式系数之和为 B. 所有项系数之和为
C. D. 展开式中奇数项系数之和为
10.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 在处取得最小值
B. 方程有且仅有一个实根
C. 对任意时，函数关于单调递增
D. ，都有
11.甲罐中有个红球，个白球，乙罐中有个红球，个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．表示事件“从甲罐取出的球是红球”，表示事件“从甲罐取出的球是白球”，表示事件“从乙罐取出的球是红球”则下列结论正确的是( )
A. 为对立事件 B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.曲线在处的切线方程为 ．
13.展开式中，常数项为 ．
14.已知集合，甲、乙两人分别从的所有子集中随机抽取一个集合，两人的抽取结果相互独立，设为两人取到的集合中相同元素的个数，则的数学期望 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数在处取得极值．
求实数的值；
求函数在上的最大值和最小值．
16.本小题分
为了推动智慧课堂的普及和应用，市现对全市中小学智慧课堂的应用情况进行抽样调查，统计数据如下表：
经常应用 偶尔应用或者不应用 总计
农村学校
城市学校
总计
补全上面的列联表；
依据小概率的独立性检验，能否判断学校所在区域对智慧课堂的应用有影响？
附：，其中．
17.本小题分
某种产品每吨成本万元，其销售价格万元吨和销售量吨的变化情况如下表：
若与线性相关，求关于的经验回归方程；
根据的结论，预测要使该产品销售利润最大，销售价格是多少？结果精确到
附：参考公式，
18.本小题分
某生物科技公司研发了一种新型基因编辑技术，用于治疗遗传性疾病，实验数据显示使用第一代技术时单次编辑基因成功的概率为；使用第二代技术时单次编辑基因成功的概率为，使用第一代技术与第二代技术编辑的结果相互独立．
求使用第一代技术与第二代技术各编辑基因次，至少成功次的概率；
若该团队采用以下编辑策略：首先使用第一代技术进行最多次基因编辑，若在此过程中累计成功次，则整个实验结束；若完成次编辑后累计成功次数仍少于次，则再使用第二代技术进行次编辑，随后实验结束，求整个实验过程中基因编辑成功次数的分布列与期望；
在实际实验中，研究团队可以在任意一次基因编辑中使用第一代或第二代技术，且每次只能使用其中某一代技术．已知每次使用第一代技术的成本为元，每次使用第二代技术的成本为元，编辑一次成功的收益为元，编辑一次失败的收益为元．若某次实验需要进行次基因编辑，每次基因编辑的结果相互独立，从净收益的数学期望角度分析，第一代技术应选择使用几次？
19.本小题分
已知函数．
讨论的单调性；
设，且证明：
在区间存在唯一的极值点；
对于中的．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：由题意可得，
函数在处取得极值，
，
即经检验符合题意，
．
由知，则，
令，解得或
令，解得
函数在上单调递增，在上单调递减，
则极大值，
而，．
故函数在上的最大值和最小值分别为：
，．
16.【答案】补全的列联表如下：
经常应用 偶尔应用或者不应用 总计
农村学校
城市学校
总计
学校所在区域对智慧课堂的应用有影响
17.【答案】解：依题意，，．
．
．
因此，．
所以关于的经验回归方程为．
销售利润为．
当时，取得最大值，
所以预测销售价格是万元吨时，该产品销售利润最大．

18.【答案】解：设使用第一代技术编辑成功为事件，使用第二代技术编辑成功为事件，两次编辑至少成功一次为事件，
则，
所以，
所以使用第一代技术与第二代技术各编辑基因次，至少成功次的概率为；
根据题意，随机变量的可能取值为，
即所有实验均失败，所以；
包含第一阶段恰好成功次且第二阶段均失败和第一阶段均失败且第二阶段恰好成功次，
所以；
分为三种互斥情况：
第一阶段成功次，实验停止，概率为；
第一阶段成功次，第二阶段成功次，概率为；
第一阶段成功次，第二阶段成功次，概率为；
所以；
包含第一阶段恰好成功次且第二阶段次均成功，
所以，
所以整个实验过程中基因编辑成功次数的分布列为：
所以；
设次编辑中使用第一代技术的次数为，所以可能的取值为，
所以使用第二代次数为，
设总成本为，所以，
总成功次数期望，设净收益为，
所以，
函数值随增大而增大，所以时净收益最大，即两次均使用第一代技术．

19.【答案】解：已知函数，其定义域为，
求导得，
当时，在上恒成立，所以在上单调递增．
当时令，解得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，在上恒成立，即在上恒成立，
所以在上单调递增．
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
已知，定义域，
当时，单调递减，又因为，所以单调递增，
而也单调递增，故在上单调递增，无极值点；
求导得，设，
，
因为，所以在上为增函数，
而，，
故在上存在一个零点，且时，，
时，，故在上为减函数，在为增函数，
而，，故在上存在唯一一个零点，
且时，即，时，即，
所以在区间上存在唯一的极值点．
由得，即，
则，
令，，
求导得，
令，
求导得，
整理得
因为，所以，即在上单调递增，
所以，
所以，在上单调递增，
所以，
即．

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