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新疆维吾尔自治区巴音郭楞蒙古自治州2025-2026学年第二学期期末监测高一数学试题
一、单选题
1．下列命题正确的是（ ）
A．单位向量都相等 B．若，，则
C．零向量没有方向 D．若，则
2．复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．设是两个不共线的向量，若向量与共线，则（ ）
A．2 B． C． D．
4．在中，内角A，B，C所对的边为a，b，c，若，则（ ）
A． B．或 C． D．或
5．某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名去参加比赛，则下列事件是互斥而不对立的事件是（ ）
A．“恰有一名男生”和“全是男生” B．“至少有一名男生”和“至少有一名女生”
C．“至少有一名男生”和“全是男生” D．“至少有一名男生”和“全是女生”
6．现要举办A，B两个活动，每个活动进行一次，已知先举办活动A，活动A失误的概率为，不失误的概率为．若活动A没有失误，则活动B失误的概率为，不失误的概率为；若活动A出现失误，则活动B失误与否的概率均为，则这两个活动有且仅有一个失误的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，点O是线段BC上靠近点B的三等分点，过点O的直线分别交直线AB、AC于点M、N．设，，则的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
8．已知圆台上底面半径为1，下底面半径为2，球与圆台的两个底面和侧面均相切，则该圆台的侧面积与球的表面积之比为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知复数满足，则（ ）
A．的实部是 B．的虚部是
C． D．在复平面内所对应的点位于第二象限
10．某校为了鼓励同学们利用课余时间阅读，开展了读书周活动.如图是某班甲、乙两名同学在一周内每天阅读时间的折线图，根据该折线图，下列结论正确的是（ ）
A．甲同学阅读时间更加稳定
B．乙同学的平均阅读时间等于甲同学的平均阅读时间
C．乙同学阅读时间的极差为20
D．甲同学阅读时间的75%分位数为25
11．在探究正方体表面展开图的活动中，该正方体的表面展开图如图所示，则在该正方体中（ ）
A．与异面
B．平面
C．平面
D．平面与平面的夹角为
三、填空题
12．已知向量，且向量与向量的夹角为，则_______．
13．设随机事件满足，则__________．
14．某几何体由圆锥挖去一个圆柱而得，且圆柱的上底面与圆锥内接，如图所示，已知该圆锥的底面半径，圆柱的底面半径，且圆锥侧面展开图的圆心角为，则该几何体的体积为___________．
四、解答题
15．已知向量，．
(1)若，求；
(2)若，，求与夹角的余弦值．
16．在三角形中，角所对的边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)若，三角形的面积为，求三角形的周长.
17．期末考试结束后，某校从高一1000名学生中随机抽取50名学生，统计他们数学成绩，成绩全部介于65分到145分之间，将统计结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，，第八组.如图是按上述分组方法得到的频率分数分布直方图的一部分.
(1)求第七组的频率；
(2)用样本数据估计该校的1000名学生这次考试成绩的平均分；
(3)若从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，求他们的分差的绝对值大于10分的概率.
18．如图，四棱锥中，平面，底面是正方形，，为中点．
(1)求证：平面；
(2)求证：平面；
(3)求直线与平面所成角的大小．
19．某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案．
方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；
方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过．
假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是，，，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．求：
(1)该应聘者用方案一考试通过的概率；
(2)该应聘者用方案二考试通过的概率．
参考答案
1．D
解析：A选项：单位向量的模长都为，但方向不一定相同，因此不一定相等，A错误；
B选项：若，则且时，与不一定平行，B错误；
C选项：零向量的方向是任意的，并非“没有方向”，C错误；
D选项：若，则两向量模长相等且方向相同，因此，D正确．
2．B
解析：，
则共轭复数为，对应的点，在第二象限.
故选：B.
3．B
解析：由共线向量定理可知存在实数，使得，
即，又与是不共线向量，
所以解得.
故选：B．
4．D
解：在中，，
由正弦定理得，
所以，
所以或，
故选：D
5．A
解析：对于A，“恰有一名男生”和“全是男生”不能同时发生，但可以同时不发生，A是；
对于B，“至少有一名男生”和“至少有一名女生”可以同时发生，即一名男生和一名女生的事件，A不是；
对于C，“至少有一名男生”和“全是男生”可以同时发生，全是男生的事件，C不是；
对于D，“至少有一名男生”和“全是女生”不能同时发生，但必有一个发生，D不是.
故选：A
6．C
解析：记事件E表示“活动A失误”，事件F表示“活动B失误”，这两个活动有且仅有一个失误的概率为.
7．B
解析：在中，由点O是线段BC上靠近点B的三等分点，得，
则，即，
而，，则，
由共线，得，所以.
8．C
解析：由已知得球与圆台都是旋转体，则取过轴的任意一个截面来分析均可.
如图，于，则，，
由切线长相等可知，，，
所以，
故圆台侧面积，
再算球的半径，在中由勾股定理求解即可.
设球的半径为，则，
在中，，即，
所以球的表面积，
故该圆台的侧面积与球的表面积之比为．
9．AD
解析：；
对于A，由实部定义知：的实部为，A正确；
对于B，，的虚部是，B错误；
对于C，，C错误；
对于D，对应的点为，位于第二象限，D正确.
故选：AD.
10．BD
解析：甲同学阅读时间从小到大排列为，
乙同学阅读时间从小到大排列为，
则甲同学的平均阅读时间为，
乙同学的平均阅读时间为，
故乙同学的平均阅读时间等于甲同学的平均阅读时间，B正确；
甲同学的阅读时间的方差为
乙同学的阅读时间的方差为，
因为，所以乙同学阅读时间更加稳定，故A错误；
乙同学阅读时间的极差为，故C错误；
因为，所以甲同学阅读时间的75%分位数为第个数，故D正确.
11．ABD
解析：将展开图还原为正方体，如下图所示，
由图可知，与是异面直线，A选项正确.
根据正方体的性质可知，所以四边形是平行四边形，
所以，因为平面，平面，
所以平面，所以B选项正确.
由于与所成的角为，所以与平面不垂直，C选项错误.
平面即平面，根据正方体的性质可知，
平面与平面的夹角为，D选项正确.
12．6
解析：向量，且与的夹角为，
则，
.
故答案为：6
13．
解析：由题意得．
故答案为：
14．
解析：设圆锥的母线长为，圆锥的高为，
因为圆锥侧面展开图的圆心角为，
所以，所以，圆锥的高，
设圆柱的高为，则，解得，
所以该几何体的体积为．
故答案为：.
15．(1)
(2)．
解析：（1）因为，
所以，解得，
则，故．
（2）因为，所以，
解得，则，
所以，
即与夹角的余弦值为．
16．(1)
(2)
解析：（1）因为，由余弦定理可得，
整理可得，则，
且，所以.
（2）因为，，且，即，则
又因为的面积为，即，则，
可得，即，
所以周长.
17．(1)
(2)（分）
(3)
解析：（1）由频率分布直方图得第七组的频率为：；
（2）用样本数据估计该校的1000名学生这次考试成绩的平均分为：（分）；
（3）由频率分布直方图知，
样本成绩属于第六组的有（人），设为，
样本成绩属于第八组的有（人），设为，，
从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，有
，，，，，
，，，，共10种，
其中他们的分差得绝对值大于10分包含的基本事件有
，，，
，，共6种，
所以他们的分差的绝对值大于10分的概率.
18．(1)证明：连接，交于点，连接，
因为四边形是正方形，所以为中点，
又为中点，所以，
因为平面，平面，
所以平面．
(2)证明：因为四边形是正方形，所以，
又平面，平面，所以，，
因为平面，
所以平面，又平面，所以，
在中，因为为中点，则，
因为平面，
所以平面．
(3)
解析：（1）略．
（2）略．
（3）因为平面，平面，所以，
又四边形是正方形，所以，
因为平面，所以平面，
连接， 则直线与平面所成角的平面角为，
又平面，所以，
在正方形中，，
因为平面，平面，所以，
因为，所以，
在中，，，
所以直线与平面所成角为．
19．(1)
(2)
解析：（1）记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为，，，
则，，，
应聘者用方案一考试通过的概率：
；
（2）应聘者用方案二选择任意两科的概率为，
考试通过的概率：
.

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