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2025-2026学年度第二学期期末重点校联考
高一数学
出题学校蓟州一中桥北学校
第I卷（共32分）
一、选择题（本题共8小题，每题4分，共32分)
21
1.已知复数z满足z=
1-7
,则z在复平面内对应的点所在的象限为
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
2.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b=2V6,c=2V2,
C=30°，则B=
A.30°
B.60°
C.90°
D.60°或120°
3.边长为2的正方形ABCD,E为CD的中点，则AC·BE的值为
A.2
B.3
C.1
D.4
4.设m,n表示两条不重合的直线，a,B,Y表示三个不重合的平面，则下列说法正
确的是
A.若m∥n,nc,则m/1a
B.若a⊥Y,B⊥y,则a11B
C.若m⊥，n⊥a,则ml∥n
D.若mca,nca,m/1B,n/IB,则a/1B
5.如图，矩形OA'BC是水平放置的一个平面图形的直观图，其中OA'=6,OC=2,则原
图形是
A.面积为12的矩形
B.面积为12√2的菱形
C.面积为24的矩形
D.面积为24√2的菱形
6.下列说法错误的是
A,5人站成一排，“甲站正中间”与“乙站正中间”是互斥事件
B.抛掷一枚质地均匀的骰子一次，则向上面的点数是3的整数倍的概率为
C.数据7.0,7.4,7.6,8.4,8.6,8.7,9.0,9.1的25%分位数为7.4
D.某班级共有学生55人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法抽取10人参加
一项活动，如果女生抽了4人，则该班级有33名男生
7.已知e,2,e是在同一平面内的三个单位向量，且·=0，·>0,2·3<0，
则|e+e2+I的取值范围为
A.(1,V⑤B.(2,V⑤C.(1,V2+1]D.(V2,V2+1]
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尚斑：3亿人都在用的扫描ApP
、7
8.正方体ABCD-AB,C,D的棱长为2，E,F,G分别为BC,CC1,BB的中点，点P
为线段A,G上的动点，则以下列结论正确的个数是
D
①直线D,D与直线AF垂直
②直线AG与平面AEF平行
③点G与点C到平面AEF的距离相等
④平面AEF截正方体所得的截面周长为3√2+2√5
D
⑤三棱锥P-AEF的体积为定值
A.1
B.2
C.3
D.4
第Ⅱ卷（非选择题共84分）
二、填空题（本题共6小题，每题4分，共24分）
9.已知复数2=4-31
则z的模是
1+2i
10.某市开展“全民阅读”实施效果的调查研究，按区域划分为核心区、开发区、远郊区，
其中核心区与开发区共有2800人，从所有人员中按照各区采用分层抽样的方法抽取
45人进行调研.其中已知从远郊区抽取10人，则远郊区的人数为
1.向量a,i满足d=2,同=1，且石⊥(a+,则向量a-26在向量上的投影向
量为
(用向量表示)
12.世园会志愿者招聘正如火如茶进行着，甲、乙、丙三名大学生跃跃欲试，已知甲能被
录用的概率为子，甲、乙两人都不能被录用的概率为7，乙、丙两人都能被录用的
概率为。，甲、乙、丙三名大学生能否被录用相互独立。则乙能被录用的概率为
,甲、乙、丙三人至少有两人能被录用的概率为
13.如图，在正方形ABCD中，E为BC的中点，将DACD沿直线AC折起至△ACP处，
使得点P在平面ABC上的投影在直线AE上，若三棱锥P-ABC外接球的体积为
3π，则三棱锥P-ABC的体积为
3
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尚：3亿人都在用的扫描ApP2025-2026 学年度第二学期期末重点校联考
高一数学答案
一、选择题（本题共 8 小题,每题 4 分,共 32 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D A C D C A C
二、填空题（本题共 6 小题,每题 4 分,共 24 分）
9. 10. 800 11.
12. ； 13. 14. ；4．
三、解答题（本题共 5小题，共 64分）
15. （本题满分 12分）
（1）分设 ， ，
，又 ， 或 ，
或 ………………6分
（3）因为 ，
所以 ， ，
因为 与 的夹角为锐角，
所以 且 与 不共线 ………………10 分
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即 解得 且
即 k的取值范围是 ………………12 分
16. （本题满分 12分）
（1）因为 ，由正弦定理得 ，
所以 ，即 ． ………………2分
又由余弦定理得 ， ………………4分
又 ，所以 ． ……………5分
（2）因为 ， ，
由余弦定理得 ，解得 ，
所以 ． ………………8分
（3）由余弦定理得 ，所以 ．
所以 ， ． ………………10
分
所以 ．…………12
分
17. （本题满分 14分）
（1）法一：证明：连接 交 于点 ,连接 ,
在正三棱柱 中，四边形 为矩形，所以 为 中点，
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又因为 为 中点，所以 ,又 ,
所以 .
………………4分
法二：证明：取 的中点 ，连接 ，
由 ，得四边形 为平行四边形，所以 .
由 ， ，
得四边形 为平行四边形，所以 .
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
同理可得， 平面 .
因为 平面 ，
所以平面 平面 .
又 平面 ，所以 平面 ；………………4分
（2）由（1）法二知 ，所以 为异面直线 与
所成的角，
，
，
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，
所以 ，所以 .
所以 ，
即异面直线 与 所成角的余弦值为 . ………………9分
（3）三棱柱 为正三棱柱， 所以其体积为
.
三棱锥 的体积 . …………14 分
18. （本题满分 12分）
（1）由频率分布直方图可知，各组的组距都是 各组对应的小长方形面积之和等于总
频率 ，所以
化简得 即 即 即
所以图中 …………2分
（2）成绩在 内的频率为 则人数为 ，成绩在
内的频率为 人数为 .
所以成绩在 内的总人数为
现从这 人中采用分层随机抽样的方法抽取 人，
则成绩在 内被抽取的人数为
所以这 名学生这次竞赛成绩在 内被抽取的人数为 …………5分
（3）由已知，成绩在 记为 ，成绩在 记为 B1，B2，
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从中任取 2名同学的样本空间为：
{ A1A2, A1A3, A1A4, A1B1, A1B2,A2 A3, A2A4, A2B1, A2B2,A3 A4, A3B1, A3B2, A4B1,
A4B2,B1B2}，共 15个样本点，…………8分
设 “两人的成绩等级相同”，
则 { A1A2, A1A3, A1A4,A2 A3, A2A4,A3 A4, B1B2}包含 7个样本点，…10 分
所以抽到的都是优质果实的概率 ． …………12 分
19. （本题满分 14分）
（1）证明：因为底面 ABCD为菱形，AC交 BD于点 O，
所以 O为 AC，BD的中点．
因为△PAC为等边三角形，所以 PA＝PC，所以 PO⊥AC．
又 PB＝PD，所以 PO⊥BD，AC∩BD＝O，
又 AC，BD 平面 ABCD，所以 PO⊥平面 ABCD； …………3分
（2）解：由（1）知 PO⊥平面 ABCD，又 CD 平面 ABCD，
所以 PO⊥CD．
如图，过 O作 OE⊥CD于点 E，连接 PE，
又 PO∩OE＝O，则 CD⊥平面 POE．
又因为 PE 平面 POE，所以 CD⊥PE，
所以∠PEO为二面角 P﹣CD﹣A的平面角 ．…………6分
因为底面 ABCD为菱形，所以 AB＝AC，且 AC⊥BD．
又∠ABC＝60°，所以△ABC为等边三角形，
所以 AC＝AB＝2，
又△PAC为等边三角形，O为 AC的中点，
所以 ，
在 Rt△OCD中， ，
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所以 ，
即二面角 P﹣CD﹣A的正切值为 2． …………9分
（3）法一：取 PD中点 M，连接 OM，又 O为 BD中点，
所以 OM//PB，所以直线 OM与平面 PCD所成的角即为 N M
直线 PB与平面 PCD所成的角.
由（2）知 CD⊥平面 POE，CD 平面 PCD，
所以平面 POE⊥平面 PCD，且平面 POE 平面 PCD=PE，
在平面 POE内，过 O作 ON⊥PE，所以 ON⊥平面 PCD,连接MN，
则∠OMN即为直线 OM与平面 PCD所成的角， …………12 分
在 Rt△POB中, PO=OB= ,则 OM= PB= ，
在 Rt△ POE中 ， ， ,则
所以
所以直线 PB与平面 PCD所成角的正弦值为 . …………14 分
法二：设点 B到平面 PCD的距离为 ，直线 PB与平面 PCD所成的角为 ，则
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,
因为 PO⊥平面 ABCD， , ，
所以 .
因为 CD=2，CD⊥PE， ,
,
由 得: ,
, …………12 分
因为
所以
所以直线 PB与平面 PCD所成角的正弦值为 . …………14 分
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