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陕西省咸阳市礼泉县2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）
1．下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．多项式的公因式是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，两地被池塘隔开，小明先在外选一点，然后分别测出的中点，并测出的长为，则的长为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，点为内部一点，连接，过点分别作于点，于点，且，若，则（　　）
A． B． C． D．
5．若解分式方程 产生增根，则m的值为（　　）
A．1 B．-4 C．-5 D．-3
6．如图，在平面直角坐标系中，一次函数（、均为常数，且）的图象经过、两点，则的解集是（　　）
A． B． C． D．
7．随着生活水平的提高和环保意识的增强，小亮家购置了新能源电动汽车，这样他乘电动汽车比乘公交车上学所需的时间少用了15分钟，已知电动汽车的平均速度是公交车的2.5倍，小亮家到学校的距离为8千米．若设乘公交车平均每小时走x千米，则可列方程为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，在中，平分，交于点，且，连接，延长与交于点，连接、．下列结论中：①；②是等边三角形；③；④．其中所有正确结论的序号是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．若分式有意义，则实数的取值范围是　 　．
10．已知一个多边形的内角和与它的外角和相加等于，则这个多边形的边数是　 　．
11．因式分解：9x2﹣4=　 　．
12．不等式的正整数解有　 　个．
13．如图，在四边形中，，将边绕点顺时针旋转得到线段，点的对应点恰好落在边上，过点作交的延长线于点，连接，已知，则的长度为　 　．
三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）
14．因式分解：．
15．解方程．
16．如图，将沿直线方向平移到的位置（点、、的对应点分别是点、、），延长、相交于点．若，求的度数．
17．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为．
（1）将平移后，点的对应点的坐标为，画出平移后的．（点、、的对应点分别是点、、）
（2）画出以原点为对称中心，且与成中心对称的．（点、、的对应点分别是点、、）
18．解不等式组：并把解集在下列数轴上表示出来．
19．如图，在中，，为右侧一点，连接、、，，，求证：是的垂直平分线．
20．如图，的对角线与相交于点，，求的周长．
21．如图，有一块五边形模具，现要在模具内部设计一个孔，使得孔到边、边的距离相等，且孔到点的距离与孔到点的距离相等，请你找出孔的位置．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
22．先化简，再求值：，其中．
23．如图，的对角线相交于点，过点且分别与相交于点．连接．求证：四边形是平行四边形．
24．某商场有型、型两款最受顾客喜爱的电器．在进购时发现，用12000元进购型电器的台数与用10000元进购型电器的台数相等，且一台型电器的进价比一台型电器的进价多40元．
（1）求每台型电器与每台型电器的进价分别为多少元？
（2）在型、型两款电器进价不变的情况下，该商场拟计划进购这两款电器共100台，且总费用不超过22400元，则该商场最多可以进购多少台型电器？
25．在数学课堂上，李老师带领同学们解答问题“①因式分解；②求的最值．”小明解答了问题①，小丽解答了问题②，下面是他们的解答过程：
小明的解答： 小丽的解答： 无论a为何值， ∴ 即， 则的最小值为
（1）根据小明的解答，将因式分解；
（2）根据小丽的解答，求代数式的最小值．
26．【问题探究】
（1）如图1，在中，过点作于点，，则的面积等于多少？
【延伸拓展】
（2）如图2，在等边中，、两点分别在边、上，，连接、，以为边在右侧作等边，连接．
①求证：为等边三角形；
②若，求四边形的面积．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；
D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
故答案为：C．
【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，再对各选项逐一判断即可.
2．【答案】A
【知识点】公因式的概念
【解析】【解答】解：多项式的公因式为．
故：A．
【分析】利用公因式的概念，可得到此多项式的公因式.
3．【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：是的中点，E是中点，
．
故答案为：D．
【分析】利用已知可证得为的中位线，利用三角形的中位线定理可求出AB的长.
4．【答案】A
【知识点】角平分线的判定；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵，，且
∴平分
∴．
故答案为：A．
【分析】利用角平分线的判定定理，可证得平分，再利用角平分线的概念可求出∠APF的度数.
5．【答案】C
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】方程两边都乘(x+4)，得x 1=m，
∵原方程增根为x= 4，
∴把x= 4代入整式方程，得m= 5，
故答案为：C.
【分析】将方程变成整式方程可得x 1=m，然后将x=-4代入求解可得m的值.
6．【答案】B
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数（、均为常数，且）的图象经过、两点，
∵当时，一次函数的图象在x轴上方
∴的解集是．
故答案为：B．
【分析】利用一次函数图象与x轴的交点的横坐标，可得到不等式的解集.
7．【答案】D
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：15分钟=小时
设乘公交车平均每小时走x千米，则电动汽车的平均速度是每小时走2.5x千米，
得：
故答案为：D．
【分析】设乘公交车平均每小时走x千米，则电动汽车的平均速度是每小时走2.5x千米，根据“乘电动汽车比乘公交车上学所需的时间少用了15分钟”列出方程即可。
8．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
又∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形；故②正确；
∴，
∵，
∴；故①正确；
∵与等底（）等高（与间的距离相等），
∴，故④正确．
∵
∴
若，则，
∵
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
但题中未限定这一条件，
∴③不一定正确；
故答案为：B．
【分析】利用平行四边形的性质和平行线的性质可推出，，，利用角平分线的概念可推出，利用等角对等边可知AB=BE=AE，由此可对②作出判断；利用等边三角形的性质可证得∠ABE=∠BAE=∠EAD，利用SAS可证得△ABC≌△EAD，可对①作出判断；再利用等底等高的两个三角形的面积相等，可对④作出判断；若=，则根据等腰三角形的性质和平行线的性质得，但题中未限定这一条件，从而可判断③不一定正确；综上所述，可得到正确结论的序号.
9．【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意得：，
解得：；
故答案为：
【分析】
根据分式有意义的条件进行分析计算即可得到结果.
10．【答案】4
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为n，
由题意得：，
解得，
∴这个多边形的边数为4．
故答案为：4．
【分析】设这个多边形的边数为n，利用多边形内角和公式、 根据一个多边形的内角和与它的外角和相加等于，可得到关于n的方程，解方程求出n的值.
11．【答案】（3x﹣2）（3x+2）
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：9x2﹣4=（3x﹣2）（3x+2）．
故答案为：（3x﹣2）（3x+2）．
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出即可．
12．【答案】2
【知识点】解一元一次不等式；一元一次不等式的特殊解
【解析】【解答】解：解不等式得：，
∴正整数解为：，两个，
故答案为：2；
【分析】先求出不等式的解集，再根据其解集找到符合的正整数即可.
13．【答案】
【知识点】旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵ 将边绕点顺时针旋转得到线段
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，即，
∴，即，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
又，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】利用旋转的性质可证得，∠ABE=90°，利用平行线的性质可求出∠BCF的度数；再利用解直角三角形可求出CF的长，同时可证得，利用SAS可证得，利用全等三角形的性质可推出△ACD是等腰直角三角形，据此可证得AC=CD，然后求出DE的长.
14．【答案】解：
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】观察此多项式的特点：含有公因式b，因此先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可得到答案.
15．【答案】解：，
原方程两边都乘，
得：，
解得：，
检验：当时，，
是原方程的解．

【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【分析】
按照去分母、移项、合并同类项、系数化为1的步骤完成解方程，最后对所得根进行检验即可。
16．【答案】解：∵平移得到，
∴≌，
∴，
在中，，
在中，，
∴，
∵，
∴
【知识点】三角形内角和定理；平移的性质
【解析】【分析】利用平移的性质及全等三角形的性质可证得，再利用三角形内角和定理及对顶角相等，可求出∠D的度数.
17．【答案】（1）见解析；
（2）见解析；
【知识点】作图﹣平移；作图﹣中心对称
【解析】【解答】解：（1）如图，即为所作
（2）如图，即为所作．
【分析】（1）利用点A平移得到点A1，可得到平移的方法，据此可得到平移后的点B1、C1的位置，然后画出，并写出点B1、C1的坐标.
（2）根据网格结构找出A、B、C关于原点O的中心对称点的位置，然后顺次连接即可．
（1）解：如图，即为所作；
（2）解：如图，即为所作．
18．【答案】解：，解①得，
解②得，
∴，
如图，
【知识点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】先分别求出不等式组中的两个不等式的解集，再确定出不等式组的解集，然后把解集在数轴上表示即可．
19．【答案】证明：∵，，
∴为等边三角形，
∴，
∴在的垂直平分线上，
∵，
∴在的垂直平分线上，
∴是的垂直平分线
【知识点】等边三角形的判定与性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【分析】利用有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，可证得为等边三角形，可证得BA=BC，再利用线段垂直平分线的判定可证得结论.
20．【答案】解：∵四边形是平行四边形，
∴
．
，
的周长为
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【分析】利用平行四边形的性质可可求出OA+OB的长，据此可求出△AOB的周长.
21．【答案】解：如图，点即为所求．
【知识点】尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】利用到角两边相等的点在角的平分线上，到线段两端点相等的点在线段的中垂线上，得到点为的角平分线和线段的中垂线的交点，利用尺规作角平分线和垂线的方法，作图即可.
22．【答案】原式，
当，原式
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先将括号内的分式通分计算，再将除法变为乘法进行化简计算，然后将a的值代入化简后的代数式进行计算.
23．【答案】解：∵的对角线相交于点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】利用平行四边形的性质和平行线的性质可证得OA=OC，，再利用AAS可证得△AOE≌△COF，利用全等三角形的性质可知OE=OF，然后利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，可证得结论.
24．【答案】（1）解：设每台型电器的进价为x元，则每台型电器的进价为元，根据题意得：
，
解得：，
经检验：是原方程的解，
（元），
答：每台型电器的进价为240元，则每台型电器的进价为元；
（2）解：设购型电器m台，则B型电器台，根据题意得：
，
解得：，
答：该商场最多可以进购60台型电器．
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）首先设每台型电器的进价是x元，结合两种电器进价的差价，可得每台型电器的进价为元；再根据“用12000元进购型电器的台数和用10000元进购型电器的台数相等”这一等量关系，即可列出对应分式方程，求解后就能得到两种电器的进价。
（2）设购进型电器m台，根据两种电器共购进100台，可得B型电器的数量为台，再根据“购进两种电器的总费用不超过22400元”列出不等式，解不等式后即可得到相关取值范围.
（1）解：设每台型电器的进价为x元，则每台型电器的进价为元，根据题意得：
，
解得：，
经检验：是原方程的解，
（元），
答：每台型电器的进价为240元，则每台型电器的进价为元；
（2）解：设购型电器m台，则B型电器台，根据题意得：
，
解得：，
答：该商场最多可以进购60台型电器．
25．【答案】（1）解：
（2）解：
，
∵无论a为何值，
∴
即，
则的最小值为
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解﹣添（拆）项法
【解析】【分析】（1）利用添项法可得到，再利用平方差公式分解因式即可.
（2）利用添项法及完全平方公式将原式转化为，再利用偶次方的非负性解答．
（1）解：
；
（2）解：
，
∵无论a为何值，
∴
即，
则的最小值为.
26．【答案】解：（1）∵四边形是平行四边形，∴，
∵，
∴平行四边形的面积为；
（2）①∵是等边三角形，
∴，，
∴，即，
在中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形；
②∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
如图所示，过点作于点，则，
∵，
∴，，
∴，
∴
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质可求出CD的长，再利用平行四边形的面积公式计算即可.
（2）①根据等边三角形的性质可推出AB=AC，∠BAD=∠CAF，AD=AF，利用SAS可证，利用全等三角形的性质可证得，据此可证得结论；②根据题意可证四边形是平行四边形，如图所示，过点作于点，则，由等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理得到的长，结合平行四边形的面积即可求解．
1 / 1陕西省咸阳市礼泉县2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）
1．下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；
D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
故答案为：C．
【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，再对各选项逐一判断即可.
2．多项式的公因式是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】公因式的概念
【解析】【解答】解：多项式的公因式为．
故：A．
【分析】利用公因式的概念，可得到此多项式的公因式.
3．如图，两地被池塘隔开，小明先在外选一点，然后分别测出的中点，并测出的长为，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：是的中点，E是中点，
．
故答案为：D．
【分析】利用已知可证得为的中位线，利用三角形的中位线定理可求出AB的长.
4．如图，点为内部一点，连接，过点分别作于点，于点，且，若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】角平分线的判定；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵，，且
∴平分
∴．
故答案为：A．
【分析】利用角平分线的判定定理，可证得平分，再利用角平分线的概念可求出∠APF的度数.
5．若解分式方程 产生增根，则m的值为（　　）
A．1 B．-4 C．-5 D．-3
【答案】C
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】方程两边都乘(x+4)，得x 1=m，
∵原方程增根为x= 4，
∴把x= 4代入整式方程，得m= 5，
故答案为：C.
【分析】将方程变成整式方程可得x 1=m，然后将x=-4代入求解可得m的值.
6．如图，在平面直角坐标系中，一次函数（、均为常数，且）的图象经过、两点，则的解集是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数（、均为常数，且）的图象经过、两点，
∵当时，一次函数的图象在x轴上方
∴的解集是．
故答案为：B．
【分析】利用一次函数图象与x轴的交点的横坐标，可得到不等式的解集.
7．随着生活水平的提高和环保意识的增强，小亮家购置了新能源电动汽车，这样他乘电动汽车比乘公交车上学所需的时间少用了15分钟，已知电动汽车的平均速度是公交车的2.5倍，小亮家到学校的距离为8千米．若设乘公交车平均每小时走x千米，则可列方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：15分钟=小时
设乘公交车平均每小时走x千米，则电动汽车的平均速度是每小时走2.5x千米，
得：
故答案为：D．
【分析】设乘公交车平均每小时走x千米，则电动汽车的平均速度是每小时走2.5x千米，根据“乘电动汽车比乘公交车上学所需的时间少用了15分钟”列出方程即可。
8．如图，在中，平分，交于点，且，连接，延长与交于点，连接、．下列结论中：①；②是等边三角形；③；④．其中所有正确结论的序号是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
又∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形；故②正确；
∴，
∵，
∴；故①正确；
∵与等底（）等高（与间的距离相等），
∴，故④正确．
∵
∴
若，则，
∵
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
但题中未限定这一条件，
∴③不一定正确；
故答案为：B．
【分析】利用平行四边形的性质和平行线的性质可推出，，，利用角平分线的概念可推出，利用等角对等边可知AB=BE=AE，由此可对②作出判断；利用等边三角形的性质可证得∠ABE=∠BAE=∠EAD，利用SAS可证得△ABC≌△EAD，可对①作出判断；再利用等底等高的两个三角形的面积相等，可对④作出判断；若=，则根据等腰三角形的性质和平行线的性质得，但题中未限定这一条件，从而可判断③不一定正确；综上所述，可得到正确结论的序号.
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．若分式有意义，则实数的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意得：，
解得：；
故答案为：
【分析】
根据分式有意义的条件进行分析计算即可得到结果.
10．已知一个多边形的内角和与它的外角和相加等于，则这个多边形的边数是　 　．
【答案】4
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为n，
由题意得：，
解得，
∴这个多边形的边数为4．
故答案为：4．
【分析】设这个多边形的边数为n，利用多边形内角和公式、 根据一个多边形的内角和与它的外角和相加等于，可得到关于n的方程，解方程求出n的值.
11．因式分解：9x2﹣4=　 　．
【答案】（3x﹣2）（3x+2）
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：9x2﹣4=（3x﹣2）（3x+2）．
故答案为：（3x﹣2）（3x+2）．
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出即可．
12．不等式的正整数解有　 　个．
【答案】2
【知识点】解一元一次不等式；一元一次不等式的特殊解
【解析】【解答】解：解不等式得：，
∴正整数解为：，两个，
故答案为：2；
【分析】先求出不等式的解集，再根据其解集找到符合的正整数即可.
13．如图，在四边形中，，将边绕点顺时针旋转得到线段，点的对应点恰好落在边上，过点作交的延长线于点，连接，已知，则的长度为　 　．
【答案】
【知识点】旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵ 将边绕点顺时针旋转得到线段
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，即，
∴，即，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
又，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】利用旋转的性质可证得，∠ABE=90°，利用平行线的性质可求出∠BCF的度数；再利用解直角三角形可求出CF的长，同时可证得，利用SAS可证得，利用全等三角形的性质可推出△ACD是等腰直角三角形，据此可证得AC=CD，然后求出DE的长.
三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）
14．因式分解：．
【答案】解：
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】观察此多项式的特点：含有公因式b，因此先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可得到答案.
15．解方程．
【答案】解：，
原方程两边都乘，
得：，
解得：，
检验：当时，，
是原方程的解．

【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【分析】
按照去分母、移项、合并同类项、系数化为1的步骤完成解方程，最后对所得根进行检验即可。
16．如图，将沿直线方向平移到的位置（点、、的对应点分别是点、、），延长、相交于点．若，求的度数．
【答案】解：∵平移得到，
∴≌，
∴，
在中，，
在中，，
∴，
∵，
∴
【知识点】三角形内角和定理；平移的性质
【解析】【分析】利用平移的性质及全等三角形的性质可证得，再利用三角形内角和定理及对顶角相等，可求出∠D的度数.
17．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为．
（1）将平移后，点的对应点的坐标为，画出平移后的．（点、、的对应点分别是点、、）
（2）画出以原点为对称中心，且与成中心对称的．（点、、的对应点分别是点、、）
【答案】（1）见解析；
（2）见解析；
【知识点】作图﹣平移；作图﹣中心对称
【解析】【解答】解：（1）如图，即为所作
（2）如图，即为所作．
【分析】（1）利用点A平移得到点A1，可得到平移的方法，据此可得到平移后的点B1、C1的位置，然后画出，并写出点B1、C1的坐标.
（2）根据网格结构找出A、B、C关于原点O的中心对称点的位置，然后顺次连接即可．
（1）解：如图，即为所作；
（2）解：如图，即为所作．
18．解不等式组：并把解集在下列数轴上表示出来．
【答案】解：，解①得，
解②得，
∴，
如图，
【知识点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】先分别求出不等式组中的两个不等式的解集，再确定出不等式组的解集，然后把解集在数轴上表示即可．
19．如图，在中，，为右侧一点，连接、、，，，求证：是的垂直平分线．
【答案】证明：∵，，
∴为等边三角形，
∴，
∴在的垂直平分线上，
∵，
∴在的垂直平分线上，
∴是的垂直平分线
【知识点】等边三角形的判定与性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【分析】利用有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，可证得为等边三角形，可证得BA=BC，再利用线段垂直平分线的判定可证得结论.
20．如图，的对角线与相交于点，，求的周长．
【答案】解：∵四边形是平行四边形，
∴
．
，
的周长为
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【分析】利用平行四边形的性质可可求出OA+OB的长，据此可求出△AOB的周长.
21．如图，有一块五边形模具，现要在模具内部设计一个孔，使得孔到边、边的距离相等，且孔到点的距离与孔到点的距离相等，请你找出孔的位置．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
【答案】解：如图，点即为所求．
【知识点】尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】利用到角两边相等的点在角的平分线上，到线段两端点相等的点在线段的中垂线上，得到点为的角平分线和线段的中垂线的交点，利用尺规作角平分线和垂线的方法，作图即可.
22．先化简，再求值：，其中．
【答案】原式，
当，原式
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先将括号内的分式通分计算，再将除法变为乘法进行化简计算，然后将a的值代入化简后的代数式进行计算.
23．如图，的对角线相交于点，过点且分别与相交于点．连接．求证：四边形是平行四边形．
【答案】解：∵的对角线相交于点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】利用平行四边形的性质和平行线的性质可证得OA=OC，，再利用AAS可证得△AOE≌△COF，利用全等三角形的性质可知OE=OF，然后利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，可证得结论.
24．某商场有型、型两款最受顾客喜爱的电器．在进购时发现，用12000元进购型电器的台数与用10000元进购型电器的台数相等，且一台型电器的进价比一台型电器的进价多40元．
（1）求每台型电器与每台型电器的进价分别为多少元？
（2）在型、型两款电器进价不变的情况下，该商场拟计划进购这两款电器共100台，且总费用不超过22400元，则该商场最多可以进购多少台型电器？
【答案】（1）解：设每台型电器的进价为x元，则每台型电器的进价为元，根据题意得：
，
解得：，
经检验：是原方程的解，
（元），
答：每台型电器的进价为240元，则每台型电器的进价为元；
（2）解：设购型电器m台，则B型电器台，根据题意得：
，
解得：，
答：该商场最多可以进购60台型电器．
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）首先设每台型电器的进价是x元，结合两种电器进价的差价，可得每台型电器的进价为元；再根据“用12000元进购型电器的台数和用10000元进购型电器的台数相等”这一等量关系，即可列出对应分式方程，求解后就能得到两种电器的进价。
（2）设购进型电器m台，根据两种电器共购进100台，可得B型电器的数量为台，再根据“购进两种电器的总费用不超过22400元”列出不等式，解不等式后即可得到相关取值范围.
（1）解：设每台型电器的进价为x元，则每台型电器的进价为元，根据题意得：
，
解得：，
经检验：是原方程的解，
（元），
答：每台型电器的进价为240元，则每台型电器的进价为元；
（2）解：设购型电器m台，则B型电器台，根据题意得：
，
解得：，
答：该商场最多可以进购60台型电器．
25．在数学课堂上，李老师带领同学们解答问题“①因式分解；②求的最值．”小明解答了问题①，小丽解答了问题②，下面是他们的解答过程：
小明的解答： 小丽的解答： 无论a为何值， ∴ 即， 则的最小值为
（1）根据小明的解答，将因式分解；
（2）根据小丽的解答，求代数式的最小值．
【答案】（1）解：
（2）解：
，
∵无论a为何值，
∴
即，
则的最小值为
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解﹣添（拆）项法
【解析】【分析】（1）利用添项法可得到，再利用平方差公式分解因式即可.
（2）利用添项法及完全平方公式将原式转化为，再利用偶次方的非负性解答．
（1）解：
；
（2）解：
，
∵无论a为何值，
∴
即，
则的最小值为.
26．【问题探究】
（1）如图1，在中，过点作于点，，则的面积等于多少？
【延伸拓展】
（2）如图2，在等边中，、两点分别在边、上，，连接、，以为边在右侧作等边，连接．
①求证：为等边三角形；
②若，求四边形的面积．
【答案】解：（1）∵四边形是平行四边形，∴，
∵，
∴平行四边形的面积为；
（2）①∵是等边三角形，
∴，，
∴，即，
在中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形；
②∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
如图所示，过点作于点，则，
∵，
∴，，
∴，
∴
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质可求出CD的长，再利用平行四边形的面积公式计算即可.
（2）①根据等边三角形的性质可推出AB=AC，∠BAD=∠CAF，AD=AF，利用SAS可证，利用全等三角形的性质可证得，据此可证得结论；②根据题意可证四边形是平行四边形，如图所示，过点作于点，则，由等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理得到的长，结合平行四边形的面积即可求解．
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