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浙江金华市义乌市丹溪中学2025--2026学年期中质量检测九年级数学试题卷
1． 下列各数中，比-4小的数是（　　）
A．-5 B．-3 C．0 D．1
【答案】A
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法；有理数的大小比较-绝对值比较法
【解析】【解答】解：∵-5<-4<-3<0<1，
∴ 比-4小的数是-5，
故答案为：A.
【分析】根据正数大于0，负数小于0，两个负数比较大小绝对值大的反而小比较大小解答即可.
2．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算正确，符合题意．
【分析】
根据合并同类项法则、完全平方公式、幂的相关运算法则，逐一验证每个选项的计算结果，就能得到正确答案.
3．如图是凸透镜成像原理图，已知物和像都与主光轴垂直，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵已知物和像都与主光轴垂直，，
∴，
∴，
故选：D．
【分析】
先根据题目的条件推导出，再结合平行线的性质，就可以推出最终结论.
4．某校开展“文明小卫士”活动，从学生会“督查部”的3名学生（2男1女）中随机选两名进行督导，恰好选中两名男学生的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，恰好选中两名男学生的有2种情况，
∴恰好选中两名男学生的概率是： .
故答案为：A.
【分析】利用已知条件可知此事件是抽取不放回，列出树状图，再求出所有的可能的结果数及恰好选中两名男学生的情况数，然后利用概率公式可求解.
5．利用＂配方法＂解方程，配方结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
移项，得，
两边同时加上4，得.
故答案为：A.
【分析】先将常数项移到方程右边，再在方程两边加上一次项系数一半的平方即可.
6．如图，为的弦，于点．若，则等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】圆周角定理；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
故选：A．
【分析】
先利用直角三角形的性质求出∠D的度数，再根据圆周角定理得到同弧所对的圆周角相等，即∠B=∠D，最终就可以得出题目所求的结果.
7．已知点，在反比例函数的图象上．若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵ 反比例函数 的比例系数，
∴ 函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内， 随 的增大而减小，
∵，
∴.
【分析】
先通过反比例函数比例系数的正负，判断函数图象所在的象限，以及函数在每个象限内的增减性，再结合题目给出的的取值范围，比较对应函数值的大小.
8．《九章算术》是我国现存的一部自成体系的、最古老、最经典的数学专著．其中有一道题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问：人数、物价各几何？”其大意是：假设共同买东西，如果每个人出8钱，盈余3钱；每个人出7钱，不足4钱．问：人数、物价各多少？假设人数为人，物价为钱，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：假设共同买东西，如果每个人出8钱，盈余3钱；每个人出7钱，不足4钱，且人数为人，物价为钱，
即，
故答案为：A．
【分析】根据题中的两个相等关系“ 每个人出8钱-3=总物价， 每个人出7钱+4=总物价”列关于x、y的方程组并结合各选项即可判断求解．
9．在矩形中，，，点M是边上一点（点M不与点A，D重合），连接，将沿翻折得到，连接，．当为等腰三角形时，的长为（　　）
A．或15 B．15或 C．或 D．不存在
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程；矩形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：四边形为矩形，，，
，，，
设与交于点，
由翻折的性质得：，，，，
为等腰三角形，
有以下两种情况：
①当时，过点作于，则，如图：
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
，，
，，
，
又，
，
，
即，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去）；
②当时，则，如图：
，
在中，，，
由勾股定理得：，
，，
，，
，
又，
，
，
即，
．
综上所述：的长为或，
故选：C．
【分析】
首先根据矩形的性质，可以得到，，且。设和的交点为，根据图形翻折的性质，可得，，，同时。分两种不同的情况进行讨论：① 当时，过点作，垂足为，根据等腰三角形三线合一的性质，可得。设，那么，，对使用勾股定理，可得到。之后可以证明，根据相似三角形对应边成比例，可得，也就是，解这个方程就能得到对应的即DM的长度；
② 当时，可得，结合翻折的性质可得，在中由勾股定理可以求出。再证明，根据相似三角形的性质得到，也就是，由此即可求出的长度.
10．如图①，菱形的对角线相交于点，，点为的中点，点为边上的一个动点，连接，过点作的垂线交于点，点从点出发匀速运动到点，设，，随变化的图象如图②所示，图中的值为（　　）
A． B．3 C． D．5
【答案】B
【知识点】菱形的性质；动点问题的函数图象；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴当点P与点B重合时，点Q与点C重合，当点P与点C重合时，点P与点D重合，
∴当时，，
∴，
∵，
∴，
∴；
当时，，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【分析】
先根据菱形的性质，可得对角线互相垂直，即，且对角线互相平分，。结合题意推导特殊位置情况：当点P和点B重合时，点Q会和点C重合；当点P和点C重合时，点Q会和点D重合。由此可得：当时，，因此。再通过勾股定理计算，可推出。当时，，因此可以得到方程，求解该方程就能得到最终结果.
11． 若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是　 　.
【答案】x≥1
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意可得：
3x-3≥0，解得：x≥1
故答案为： x≥1
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案.
12．分解因式： 　 　.
【答案】7(m+2)(m-2)
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
故答案为： 7(m+2)(m-2)
【分析】提公因式，结合平方差公式即可求出答案.
13．已知圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积为　 　．
【答案】
【知识点】圆锥的计算；扇形的面积
【解析】【解答】解：圆锥的底面半径为4cm，母线长为6cm，
代入圆锥的侧面积公式得：S＝π×4×6＝24π（cm2），
故答案为：24π．
【分析】根据圆锥的侧面积公式S=πrl，代数求解即可．
14． 方程 的解为　 　.
【答案】x=2
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：
去分母可得，2x+x-6=0
移项，合并同类项可得，3x=6
系数化为1可得，x=2
经检验，x=2是原方程的解
故答案为：x=2
【分析】去分母转化为整式方程，再解方程即可求出答案.
15．如图，在等边三角形中，点在边上，，连接，点在线段上，连接．若，，则的值为　 　．
【答案】6.5
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，延长至点，使得，连接、，
∵，
∴为等边三角形，，
∴，
∵等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
，，
，
又，
，
，
∴，
，
；
故答案为：．
【分析】
延长到点，让延长后满足，再连接和，根据条件不难推出是等边三角形，接着可以证明，由此得到对应边相等，即，再证明，利用相似的性质算出的长度，最后结合线段和差关系就能求出的长度.
16．如图，在中，为对角线上一点，线段与线段关于过点的直线对称，点的对应点在线段上，，与相交于点，连接，且，则四边形与的面积之比为　 　．
【答案】
【知识点】平行四边形的性质；轴对称的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：设直线与、相交于点、，连接，如图：
，
∵线段与线段关于过点O的直线l对称，点A的对应点在线段上，
∴直线，、、三点共线，
∵，
∵，
∴，
∴设，则，，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
由对称性可得，，故，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴与的对应高之比为，
∴的边上的高为，
∴，，
∴，，
∴四边形与的面积之比为．
【分析】
假设直线分别和AD、BC交于点G与点F，连接CB'。结合题目的已知条件可以得到直线lAD，B、C、B'三点在同一条直线上。设AA'=k，得到A'D=3k，AD=BC=4k。根据相似三角形的性质，能推导出比例关系。利用图形的对称性推得，，由此可以得到。进一步计算可得，且。证明，根据相似三角形的性质，能够得到中，边对应的高为。分别计算可得四边形，平行四边形，代入后即可得到最终结果.
17．计算：
【答案】解：
．
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】
先对立方根、零指数幂的运算分别化简，再计算减法即可得出结果.
18．解不等式组
【答案】解：
解不等式①得，
解不等式②得，
∴原不等式组的解集为
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】
先分别解出两个不等式的解集，再找出两个解集的公共部分，即为不等式组的解集.
19．如图，是等腰直角三角形，是斜边上的中线，过点作射线．
（1）尺规作图：在射线上找一点，连接，使得（不写作法，保留作图痕迹）．
（2）根据（1）的作法，若，直接写出的长．
【答案】（1）解：根据题意，以点C为圆心，以为半径画弧交于点F，连接，如图，
（2）
【知识点】等腰三角形的判定与性质；矩形的判定与性质；尺规作图-作三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】（2）解：过点C作于点H，
是等腰直角三角形，是斜边上的中线，，
，，，
，
，
，
故四边形是矩形，
，
．
【分析】（1）以点C作为圆心，取的长度为半径画弧，该弧与的交点即为点F，最后连接，就完成作图了。
（2）过点C作，交AE于点H，再结合矩形的判定定理就可以完成求解.
（1）解：根据题意，以点C为圆心，以为半径画弧交于点F，连接，如图，
则点F即为所求；
（2）解：过点C作于点H，
是等腰直角三角形，是斜边上的中线，，
，，，
，
，
，
故四边形是矩形，
，
．
20．在学校组织的知识竞赛中，成绩分为，，，四个等级，表示竞赛成绩（单位：分），其中九（1）班竞赛成绩统计图如图所示．
（1）求九（1）班A等级的百分比．
（2）已知九（1）班竞赛成绩的中位数为86分，小艾、小义本次成绩在九（1）班排名（从高到低）分别是第15名、第16名，小艾的成绩是87分，求小义的成绩．
（3）金乌同学为了预估全校1000名同学中A等级的总人数，随机抽取了50名学生的成绩，结果A等级人数比九（1）班的多了5人，请你估计该校A等级的总人数．
【答案】（1）解：，
答：九（1）班A等级的百分比为；

（2）解：∵一共有名学生，
∴将这30名学生的成绩按照从高到低的顺序排列，中位数为第15名的成绩和第16名的成绩的平均数，
∵九（1）班竞赛成绩的中位数为86分，小艾、小义本次成绩在九（1）班排名（从高到低）分别是第15名、第16名，小艾的成绩是87分，
∴小义的成绩是分；
（3）解：名，
答：估计该校A等级的总人数为280名．
【知识点】频数（率）分布直方图；条形统计图；中位数；用样本所在的频率区间估计总体数量
【解析】【分析】（1）样本中A级的占比，用A级的学生人数除以抽取的总人数，再转化为百分比即可；
（2）根据中位数的定义，找到排序后对应位置的数值，即可求出样本成绩的中位数；
（3）要估计全校1000名学生中成绩达到A级的总人数，只需要用总人数乘以样本中A级人数的占比，计算即可得到结果.
（1）解：，
答：九（1）班A等级的百分比为；
（2）解：∵一共有名学生，
∴将这30名学生的成绩按照从高到低的顺序排列，中位数为第15名的成绩和第16名的成绩的平均数，
∵九（1）班竞赛成绩的中位数为86分，小艾、小义本次成绩在九（1）班排名（从高到低）分别是第15名、第16名，小艾的成绩是87分，
∴小义的成绩是分；
（3）解：名，
答：估计该校A等级的总人数为280名．
21．某临街商铺想做一款落地窗以展示商品，为防止商品久晒受损，需保证冬至日正午时分太阳光不能照进落地窗．如图，已有的遮阳棚，遮阳棚前段下摆的自然垂直长度，遮阳棚的固定高度，．
（1）如图，求遮阳棚上的B点到墙面的距离；
（2）如图，冬至日正午时，该商铺所在地区的太阳的高度角约是（光线与地面的夹角），请通过计算判断该商铺的落地窗方案是否可行．（参考数据：，，）
【答案】（1）解：如图所示，过点B作于，
在中，，
．
即的点到墙面的距离为；
（2）解：如图，延长交于点，延长交于点，
可得，，，
在中，，，
，
由题意，四边形是矩形，则，
由可知，，
在中，，
即：，
，
，所以光线刚好不能照射到商户内，方案可行．
【知识点】勾股定理；解直角三角形的其他实际应用；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】
（1）过点作于，根据可求解；
（2）延长交于点，延长交于点，用勾股定理求得AH的值，再根据，求出的长，将IF与比较大小即可判断求解．
（1）解：如图所示，过点B作于，
在中，，
．
即的点到墙面的距离为；
（2）解：如图，延长交于点，延长交于点，
可得，，，
在中，，，
，
由题意，四边形是矩形，则，
由可知，，
在中，，
即：，
，
，所以光线刚好不能照射到商户内，方案可行．
22．如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点，点是线段上异于端点的一点，过点作轴的垂线．交反比例函数的图象于点．
（1）求的值；
（2）若，求点坐标；
（3）双曲线关于轴对称的图象为，直接写出射线绕点旋转后与的交点坐标．
【答案】（1）解：∵点在反比例函数上，
∴，即，
将代入正比例函数中，
得，
解得：；

（2）解：∵在直线上，
设，
∵过点作轴的垂线．交反比例函数的图象于点．
∴，
∵，
∴，
整理得：，
解得：或（不符合题意舍去），
∴；

（3）射线绕点旋转后与的交点坐标为或.
【知识点】公式法解一元二次方程；待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；轴对称的性质；旋转的性质
【解析】【解答】（3）解：∵双曲线关于轴对称的图象为，
∴，
如图，
由旋转可得：，，
过作轴于，过作轴于，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
当时，，
∴在的图象上；
由反比例函数是中心对称图形可得：，
∴射线绕点旋转后与的交点坐标为或.
【分析】
（1）已知点落在反比例函数的图象上，将点A坐标代入反比例函数解析式即可求出，因此得到A点坐标为，再把A点坐标代入正比例函数解析式，即可计算求出正比例函数的系数。
（2）先设点B的坐标为，根据题意，过点B作y轴的垂线，交反比例函数图象于点D，可知点D和点B的纵坐标相同，将纵坐标代入反比例函数解析式即可得到点D的横坐标，因此得到D点坐标为，再根据BD的长度为2，列出等式，解这个一元二次方程就能得到点B的坐标。
（3）双曲线绕原点顺时针旋转90°后，可以得到旋转后的双曲线解析式为。
如图，根据旋转的性质可得：旋转后对应线段相等，即，旋转角为90°，即。过A作轴，垂足为K，过旋转后的点作轴，垂足为L，通过角的关系可以证明，根据全等三角形对应边相等，即可得到，将坐标代入旋转后的双曲线解析式，即可验证点在的图象上；再根据反比例函数是中心对称图形，中心对称点关于原点对称，即可得到另一个交点坐标为，即可得到最终结论.
（1）解：∵点在反比例函数上，
∴，即，
将代入正比例函数中，
得，
解得：；
（2）解：∵在直线上，
设，
∵过点作轴的垂线．交反比例函数的图象于点．
∴，
∵，
∴，
整理得：，
解得：或（不符合题意舍去），
∴；
（3）解：∵双曲线关于轴对称的图象为，
∴，
如图，
由旋转可得：，，
过作轴于，过作轴于，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
当时，，
∴在的图象上；
由反比例函数是中心对称图形可得：，
∴射线绕点旋转后与的交点坐标为或.
23．已知二次函数．
（1）求该二次函数图象的对称轴；
（2）当时，y的最大值为8，求a的值；
（3）若点和点在该函数图象上，点是二次函数图象上的任意一点，满足，求的取值范围．
【答案】（1）解：，
该二次函数图象的对称轴为直线
（2）解：由（1）可知，该二次函数图象的对称轴为直线，
当时，抛物线开口向上，离对称轴越远函数值越大．
，且，，，
当时，y取得最大值，此时，，
，
解得；
当时，抛物线开口向下，在顶点处取得最大值，
当时，y取得最大值，此时，，
，
解得，，
综上，a的值为或．

（3）解：由题可知，是最小的函数值，
由（1）可知，该二次函数图象的对称轴为直线，
故当时，抛物线开口向上，此时，点为顶点，
，，
当时，，
，
，
∴关于关于的函数图象开口向下，当时取最大值，
∵，
随的增大而减小，
当时，，
∴；
当时，抛物线开口向下，无最小值，不符合题意，舍去，
综上，的取值范围是．

【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】（1）根据抛物线的对称轴公式，完成这一小问的求解；
（2）结合抛物线的开口方向，分不同情况进行讨论求解；
（3）先根据题目的条件，得到是该抛物线的最小值，再结合抛物线的开口方向分情况讨论即可得到结论．
（1）解：，
该二次函数图象的对称轴为直线．
（2）解：由（1）可知，该二次函数图象的对称轴为直线，
当时，抛物线开口向上，离对称轴越远函数值越大．
，且，，，
当时，y取得最大值，此时，，
，
解得；
当时，抛物线开口向下，在顶点处取得最大值，
当时，y取得最大值，此时，，
，
解得，，
综上，a的值为或．
（3）解：由题可知，是最小的函数值，
由（1）可知，该二次函数图象的对称轴为直线，
故当时，抛物线开口向上，此时，点为顶点，
，，
当时，，
，
，
∴关于关于的函数图象开口向下，当时取最大值，
∵，
随的增大而减小，
当时，，
∴；
当时，抛物线开口向下，无最小值，不符合题意，舍去，
综上，的取值范围是．
24．如图，已知是的直径，是上一点，过作直线与的延长线交于点，过点A作于点，连结、，且．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，，求与的长度；
（3）在（2）的条件下，若为上的一动点，且在直线上方，连结．当四边形面积最大时，求的长度．
【答案】（1）解：连接，
则，
∴，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴直线是的切线；
（2）∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得（舍去）或；

（3）解：过点E作于点G，
则，
当四边形面积最大时，面积最大，点F到的距最大，点F是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．

【知识点】圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆与三角形的综合
【解析】【分析】
（1）连接，由等腰三角形性质可得，结合对顶角相等可推出。因为AE是的直径，根据直径所对圆周角为直角，可得，进一步推导可得，即，因此直线是的切线；
（2）由OD和OA都是半径，可推出，因此。在Rt△ADE中，结合已知AD=8，计算可得。再证明，根据相似三角形对应边成比例得，即。最后设半径为r，则OD=r，OB=OE+BE=r+BE，在Rt△ODB中，由勾股定理，代入化简计算最终可得；
（3）过点E作，垂足为G，因此。我们知道四边形的面积由的面积和固定部分的面积组成，因此当四边形ADEF面积取最大值时，的面积也恰好取得最大值，此时点F是弧AE的中点，即的中点，由此可得弦长，进而可推出。根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，因此，结合EG⊥DF，可得，因此△DEG是等腰直角三角形，计算得到。结合已知条件，在Rt△EGF中由勾股定理可得，因此DF = DG + FG =.
（1）解：连接，
则，
∴，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴直线是的切线；
（2）∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得（舍去）或；
（3）过点E作于点G，
则，
当四边形面积最大时，面积最大，点F到的距最大，点F是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
1 / 1浙江金华市义乌市丹溪中学2025--2026学年期中质量检测九年级数学试题卷
1． 下列各数中，比-4小的数是（　　）
A．-5 B．-3 C．0 D．1
2．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．如图是凸透镜成像原理图，已知物和像都与主光轴垂直，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
4．某校开展“文明小卫士”活动，从学生会“督查部”的3名学生（2男1女）中随机选两名进行督导，恰好选中两名男学生的概率是（　　）
A． B． C． D．
5．利用＂配方法＂解方程，配方结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，为的弦，于点．若，则等于（　　）
A． B． C． D．
7．已知点，在反比例函数的图象上．若，则（　　）
A． B． C． D．
8．《九章算术》是我国现存的一部自成体系的、最古老、最经典的数学专著．其中有一道题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问：人数、物价各几何？”其大意是：假设共同买东西，如果每个人出8钱，盈余3钱；每个人出7钱，不足4钱．问：人数、物价各多少？假设人数为人，物价为钱，则（　　）
A． B．
C． D．
9．在矩形中，，，点M是边上一点（点M不与点A，D重合），连接，将沿翻折得到，连接，．当为等腰三角形时，的长为（　　）
A．或15 B．15或 C．或 D．不存在
10．如图①，菱形的对角线相交于点，，点为的中点，点为边上的一个动点，连接，过点作的垂线交于点，点从点出发匀速运动到点，设，，随变化的图象如图②所示，图中的值为（　　）
A． B．3 C． D．5
11． 若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是　 　.
12．分解因式： 　 　.
13．已知圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积为　 　．
14． 方程 的解为　 　.
15．如图，在等边三角形中，点在边上，，连接，点在线段上，连接．若，，则的值为　 　．
16．如图，在中，为对角线上一点，线段与线段关于过点的直线对称，点的对应点在线段上，，与相交于点，连接，且，则四边形与的面积之比为　 　．
17．计算：
18．解不等式组
19．如图，是等腰直角三角形，是斜边上的中线，过点作射线．
（1）尺规作图：在射线上找一点，连接，使得（不写作法，保留作图痕迹）．
（2）根据（1）的作法，若，直接写出的长．
20．在学校组织的知识竞赛中，成绩分为，，，四个等级，表示竞赛成绩（单位：分），其中九（1）班竞赛成绩统计图如图所示．
（1）求九（1）班A等级的百分比．
（2）已知九（1）班竞赛成绩的中位数为86分，小艾、小义本次成绩在九（1）班排名（从高到低）分别是第15名、第16名，小艾的成绩是87分，求小义的成绩．
（3）金乌同学为了预估全校1000名同学中A等级的总人数，随机抽取了50名学生的成绩，结果A等级人数比九（1）班的多了5人，请你估计该校A等级的总人数．
21．某临街商铺想做一款落地窗以展示商品，为防止商品久晒受损，需保证冬至日正午时分太阳光不能照进落地窗．如图，已有的遮阳棚，遮阳棚前段下摆的自然垂直长度，遮阳棚的固定高度，．
（1）如图，求遮阳棚上的B点到墙面的距离；
（2）如图，冬至日正午时，该商铺所在地区的太阳的高度角约是（光线与地面的夹角），请通过计算判断该商铺的落地窗方案是否可行．（参考数据：，，）
22．如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点，点是线段上异于端点的一点，过点作轴的垂线．交反比例函数的图象于点．
（1）求的值；
（2）若，求点坐标；
（3）双曲线关于轴对称的图象为，直接写出射线绕点旋转后与的交点坐标．
23．已知二次函数．
（1）求该二次函数图象的对称轴；
（2）当时，y的最大值为8，求a的值；
（3）若点和点在该函数图象上，点是二次函数图象上的任意一点，满足，求的取值范围．
24．如图，已知是的直径，是上一点，过作直线与的延长线交于点，过点A作于点，连结、，且．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，，求与的长度；
（3）在（2）的条件下，若为上的一动点，且在直线上方，连结．当四边形面积最大时，求的长度．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法；有理数的大小比较-绝对值比较法
【解析】【解答】解：∵-5<-4<-3<0<1，
∴ 比-4小的数是-5，
故答案为：A.
【分析】根据正数大于0，负数小于0，两个负数比较大小绝对值大的反而小比较大小解答即可.
2．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算正确，符合题意．
【分析】
根据合并同类项法则、完全平方公式、幂的相关运算法则，逐一验证每个选项的计算结果，就能得到正确答案.
3．【答案】D
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵已知物和像都与主光轴垂直，，
∴，
∴，
故选：D．
【分析】
先根据题目的条件推导出，再结合平行线的性质，就可以推出最终结论.
4．【答案】A
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，恰好选中两名男学生的有2种情况，
∴恰好选中两名男学生的概率是： .
故答案为：A.
【分析】利用已知条件可知此事件是抽取不放回，列出树状图，再求出所有的可能的结果数及恰好选中两名男学生的情况数，然后利用概率公式可求解.
5．【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
移项，得，
两边同时加上4，得.
故答案为：A.
【分析】先将常数项移到方程右边，再在方程两边加上一次项系数一半的平方即可.
6．【答案】A
【知识点】圆周角定理；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
故选：A．
【分析】
先利用直角三角形的性质求出∠D的度数，再根据圆周角定理得到同弧所对的圆周角相等，即∠B=∠D，最终就可以得出题目所求的结果.
7．【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵ 反比例函数 的比例系数，
∴ 函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内， 随 的增大而减小，
∵，
∴.
【分析】
先通过反比例函数比例系数的正负，判断函数图象所在的象限，以及函数在每个象限内的增减性，再结合题目给出的的取值范围，比较对应函数值的大小.
8．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：假设共同买东西，如果每个人出8钱，盈余3钱；每个人出7钱，不足4钱，且人数为人，物价为钱，
即，
故答案为：A．
【分析】根据题中的两个相等关系“ 每个人出8钱-3=总物价， 每个人出7钱+4=总物价”列关于x、y的方程组并结合各选项即可判断求解．
9．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程；矩形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：四边形为矩形，，，
，，，
设与交于点，
由翻折的性质得：，，，，
为等腰三角形，
有以下两种情况：
①当时，过点作于，则，如图：
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
，，
，，
，
又，
，
，
即，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去）；
②当时，则，如图：
，
在中，，，
由勾股定理得：，
，，
，，
，
又，
，
，
即，
．
综上所述：的长为或，
故选：C．
【分析】
首先根据矩形的性质，可以得到，，且。设和的交点为，根据图形翻折的性质，可得，，，同时。分两种不同的情况进行讨论：① 当时，过点作，垂足为，根据等腰三角形三线合一的性质，可得。设，那么，，对使用勾股定理，可得到。之后可以证明，根据相似三角形对应边成比例，可得，也就是，解这个方程就能得到对应的即DM的长度；
② 当时，可得，结合翻折的性质可得，在中由勾股定理可以求出。再证明，根据相似三角形的性质得到，也就是，由此即可求出的长度.
10．【答案】B
【知识点】菱形的性质；动点问题的函数图象；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴当点P与点B重合时，点Q与点C重合，当点P与点C重合时，点P与点D重合，
∴当时，，
∴，
∵，
∴，
∴；
当时，，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【分析】
先根据菱形的性质，可得对角线互相垂直，即，且对角线互相平分，。结合题意推导特殊位置情况：当点P和点B重合时，点Q会和点C重合；当点P和点C重合时，点Q会和点D重合。由此可得：当时，，因此。再通过勾股定理计算，可推出。当时，，因此可以得到方程，求解该方程就能得到最终结果.
11．【答案】x≥1
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意可得：
3x-3≥0，解得：x≥1
故答案为： x≥1
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案.
12．【答案】7(m+2)(m-2)
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
故答案为： 7(m+2)(m-2)
【分析】提公因式，结合平方差公式即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】圆锥的计算；扇形的面积
【解析】【解答】解：圆锥的底面半径为4cm，母线长为6cm，
代入圆锥的侧面积公式得：S＝π×4×6＝24π（cm2），
故答案为：24π．
【分析】根据圆锥的侧面积公式S=πrl，代数求解即可．
14．【答案】x=2
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：
去分母可得，2x+x-6=0
移项，合并同类项可得，3x=6
系数化为1可得，x=2
经检验，x=2是原方程的解
故答案为：x=2
【分析】去分母转化为整式方程，再解方程即可求出答案.
15．【答案】6.5
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，延长至点，使得，连接、，
∵，
∴为等边三角形，，
∴，
∵等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
，，
，
又，
，
，
∴，
，
；
故答案为：．
【分析】
延长到点，让延长后满足，再连接和，根据条件不难推出是等边三角形，接着可以证明，由此得到对应边相等，即，再证明，利用相似的性质算出的长度，最后结合线段和差关系就能求出的长度.
16．【答案】
【知识点】平行四边形的性质；轴对称的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：设直线与、相交于点、，连接，如图：
，
∵线段与线段关于过点O的直线l对称，点A的对应点在线段上，
∴直线，、、三点共线，
∵，
∵，
∴，
∴设，则，，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
由对称性可得，，故，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴与的对应高之比为，
∴的边上的高为，
∴，，
∴，，
∴四边形与的面积之比为．
【分析】
假设直线分别和AD、BC交于点G与点F，连接CB'。结合题目的已知条件可以得到直线lAD，B、C、B'三点在同一条直线上。设AA'=k，得到A'D=3k，AD=BC=4k。根据相似三角形的性质，能推导出比例关系。利用图形的对称性推得，，由此可以得到。进一步计算可得，且。证明，根据相似三角形的性质，能够得到中，边对应的高为。分别计算可得四边形，平行四边形，代入后即可得到最终结果.
17．【答案】解：
．
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】
先对立方根、零指数幂的运算分别化简，再计算减法即可得出结果.
18．【答案】解：
解不等式①得，
解不等式②得，
∴原不等式组的解集为
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】
先分别解出两个不等式的解集，再找出两个解集的公共部分，即为不等式组的解集.
19．【答案】（1）解：根据题意，以点C为圆心，以为半径画弧交于点F，连接，如图，
（2）
【知识点】等腰三角形的判定与性质；矩形的判定与性质；尺规作图-作三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】（2）解：过点C作于点H，
是等腰直角三角形，是斜边上的中线，，
，，，
，
，
，
故四边形是矩形，
，
．
【分析】（1）以点C作为圆心，取的长度为半径画弧，该弧与的交点即为点F，最后连接，就完成作图了。
（2）过点C作，交AE于点H，再结合矩形的判定定理就可以完成求解.
（1）解：根据题意，以点C为圆心，以为半径画弧交于点F，连接，如图，
则点F即为所求；
（2）解：过点C作于点H，
是等腰直角三角形，是斜边上的中线，，
，，，
，
，
，
故四边形是矩形，
，
．
20．【答案】（1）解：，
答：九（1）班A等级的百分比为；

（2）解：∵一共有名学生，
∴将这30名学生的成绩按照从高到低的顺序排列，中位数为第15名的成绩和第16名的成绩的平均数，
∵九（1）班竞赛成绩的中位数为86分，小艾、小义本次成绩在九（1）班排名（从高到低）分别是第15名、第16名，小艾的成绩是87分，
∴小义的成绩是分；
（3）解：名，
答：估计该校A等级的总人数为280名．
【知识点】频数（率）分布直方图；条形统计图；中位数；用样本所在的频率区间估计总体数量
【解析】【分析】（1）样本中A级的占比，用A级的学生人数除以抽取的总人数，再转化为百分比即可；
（2）根据中位数的定义，找到排序后对应位置的数值，即可求出样本成绩的中位数；
（3）要估计全校1000名学生中成绩达到A级的总人数，只需要用总人数乘以样本中A级人数的占比，计算即可得到结果.
（1）解：，
答：九（1）班A等级的百分比为；
（2）解：∵一共有名学生，
∴将这30名学生的成绩按照从高到低的顺序排列，中位数为第15名的成绩和第16名的成绩的平均数，
∵九（1）班竞赛成绩的中位数为86分，小艾、小义本次成绩在九（1）班排名（从高到低）分别是第15名、第16名，小艾的成绩是87分，
∴小义的成绩是分；
（3）解：名，
答：估计该校A等级的总人数为280名．
21．【答案】（1）解：如图所示，过点B作于，
在中，，
．
即的点到墙面的距离为；
（2）解：如图，延长交于点，延长交于点，
可得，，，
在中，，，
，
由题意，四边形是矩形，则，
由可知，，
在中，，
即：，
，
，所以光线刚好不能照射到商户内，方案可行．
【知识点】勾股定理；解直角三角形的其他实际应用；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】
（1）过点作于，根据可求解；
（2）延长交于点，延长交于点，用勾股定理求得AH的值，再根据，求出的长，将IF与比较大小即可判断求解．
（1）解：如图所示，过点B作于，
在中，，
．
即的点到墙面的距离为；
（2）解：如图，延长交于点，延长交于点，
可得，，，
在中，，，
，
由题意，四边形是矩形，则，
由可知，，
在中，，
即：，
，
，所以光线刚好不能照射到商户内，方案可行．
22．【答案】（1）解：∵点在反比例函数上，
∴，即，
将代入正比例函数中，
得，
解得：；

（2）解：∵在直线上，
设，
∵过点作轴的垂线．交反比例函数的图象于点．
∴，
∵，
∴，
整理得：，
解得：或（不符合题意舍去），
∴；

（3）射线绕点旋转后与的交点坐标为或.
【知识点】公式法解一元二次方程；待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；轴对称的性质；旋转的性质
【解析】【解答】（3）解：∵双曲线关于轴对称的图象为，
∴，
如图，
由旋转可得：，，
过作轴于，过作轴于，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
当时，，
∴在的图象上；
由反比例函数是中心对称图形可得：，
∴射线绕点旋转后与的交点坐标为或.
【分析】
（1）已知点落在反比例函数的图象上，将点A坐标代入反比例函数解析式即可求出，因此得到A点坐标为，再把A点坐标代入正比例函数解析式，即可计算求出正比例函数的系数。
（2）先设点B的坐标为，根据题意，过点B作y轴的垂线，交反比例函数图象于点D，可知点D和点B的纵坐标相同，将纵坐标代入反比例函数解析式即可得到点D的横坐标，因此得到D点坐标为，再根据BD的长度为2，列出等式，解这个一元二次方程就能得到点B的坐标。
（3）双曲线绕原点顺时针旋转90°后，可以得到旋转后的双曲线解析式为。
如图，根据旋转的性质可得：旋转后对应线段相等，即，旋转角为90°，即。过A作轴，垂足为K，过旋转后的点作轴，垂足为L，通过角的关系可以证明，根据全等三角形对应边相等，即可得到，将坐标代入旋转后的双曲线解析式，即可验证点在的图象上；再根据反比例函数是中心对称图形，中心对称点关于原点对称，即可得到另一个交点坐标为，即可得到最终结论.
（1）解：∵点在反比例函数上，
∴，即，
将代入正比例函数中，
得，
解得：；
（2）解：∵在直线上，
设，
∵过点作轴的垂线．交反比例函数的图象于点．
∴，
∵，
∴，
整理得：，
解得：或（不符合题意舍去），
∴；
（3）解：∵双曲线关于轴对称的图象为，
∴，
如图，
由旋转可得：，，
过作轴于，过作轴于，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
当时，，
∴在的图象上；
由反比例函数是中心对称图形可得：，
∴射线绕点旋转后与的交点坐标为或.
23．【答案】（1）解：，
该二次函数图象的对称轴为直线
（2）解：由（1）可知，该二次函数图象的对称轴为直线，
当时，抛物线开口向上，离对称轴越远函数值越大．
，且，，，
当时，y取得最大值，此时，，
，
解得；
当时，抛物线开口向下，在顶点处取得最大值，
当时，y取得最大值，此时，，
，
解得，，
综上，a的值为或．

（3）解：由题可知，是最小的函数值，
由（1）可知，该二次函数图象的对称轴为直线，
故当时，抛物线开口向上，此时，点为顶点，
，，
当时，，
，
，
∴关于关于的函数图象开口向下，当时取最大值，
∵，
随的增大而减小，
当时，，
∴；
当时，抛物线开口向下，无最小值，不符合题意，舍去，
综上，的取值范围是．

【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】（1）根据抛物线的对称轴公式，完成这一小问的求解；
（2）结合抛物线的开口方向，分不同情况进行讨论求解；
（3）先根据题目的条件，得到是该抛物线的最小值，再结合抛物线的开口方向分情况讨论即可得到结论．
（1）解：，
该二次函数图象的对称轴为直线．
（2）解：由（1）可知，该二次函数图象的对称轴为直线，
当时，抛物线开口向上，离对称轴越远函数值越大．
，且，，，
当时，y取得最大值，此时，，
，
解得；
当时，抛物线开口向下，在顶点处取得最大值，
当时，y取得最大值，此时，，
，
解得，，
综上，a的值为或．
（3）解：由题可知，是最小的函数值，
由（1）可知，该二次函数图象的对称轴为直线，
故当时，抛物线开口向上，此时，点为顶点，
，，
当时，，
，
，
∴关于关于的函数图象开口向下，当时取最大值，
∵，
随的增大而减小，
当时，，
∴；
当时，抛物线开口向下，无最小值，不符合题意，舍去，
综上，的取值范围是．
24．【答案】（1）解：连接，
则，
∴，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴直线是的切线；
（2）∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得（舍去）或；

（3）解：过点E作于点G，
则，
当四边形面积最大时，面积最大，点F到的距最大，点F是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．

【知识点】圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆与三角形的综合
【解析】【分析】
（1）连接，由等腰三角形性质可得，结合对顶角相等可推出。因为AE是的直径，根据直径所对圆周角为直角，可得，进一步推导可得，即，因此直线是的切线；
（2）由OD和OA都是半径，可推出，因此。在Rt△ADE中，结合已知AD=8，计算可得。再证明，根据相似三角形对应边成比例得，即。最后设半径为r，则OD=r，OB=OE+BE=r+BE，在Rt△ODB中，由勾股定理，代入化简计算最终可得；
（3）过点E作，垂足为G，因此。我们知道四边形的面积由的面积和固定部分的面积组成，因此当四边形ADEF面积取最大值时，的面积也恰好取得最大值，此时点F是弧AE的中点，即的中点，由此可得弦长，进而可推出。根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，因此，结合EG⊥DF，可得，因此△DEG是等腰直角三角形，计算得到。结合已知条件，在Rt△EGF中由勾股定理可得，因此DF = DG + FG =.
（1）解：连接，
则，
∴，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴直线是的切线；
（2）∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得（舍去）或；
（3）过点E作于点G，
则，
当四边形面积最大时，面积最大，点F到的距最大，点F是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
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