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四川省成都市实验外国语学校2025-2026学年下期期中考试八年级数学学科试题
1．下列图案中，可以看成是由某一个基础图形通过平移得到的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：A、此选项中的图案可以由圆旋转得到，故不符合题意；
B、此选项中的图案可以由菱形旋转得到，故不符合题意；
C、此选项中的图案可以由菱形平移得到，故符合题意；
D、此选项中的图案可以由等腰直角三角形旋转得到，故不符合题意．
故答案为：C．
【分析】平移只会改变图形的位置、不会改变图形的大小、形状及方向；旋转只会改变图形的位置与方向，不会改变图形的大小及形状；轴对称只会改变图形的位置与方向，不会改变图形的大小及形状，据此逐一判断得出答案.
2．若，则下列结论错误的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：、∵，∴，故本选项不符合题意；
、∵，∴，∴，故本选项符合题意；
、∵，∴，故本选项不符合题意；
、∵，∴，故本选项不符合题意.
故答案为：B．
【分析】①不等式的性质：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变，②不等式的性质：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，③不等式的性质：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，据此逐一判断得出答案.
3．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、是单项式乘多项式的运算，不符合题意；
B、右边结果不是积的形式，不符合题意；
C、是多项式与多项式的乘法运算，不符合题意；
D、属于因式分解，符合题意．
故选：D．
【分析】
根据因式分解定义，因式分解的核心是将一个多项式拆解变形为几个整式乘积的形式，依据这个定义，逐一判断每个选项是否符合要求.
4．如图，在中，，线段的垂直平分线交于点E，交于点D，则的周长为（　　）
A．21 B．14 C．13 D．9
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵线段的垂直平分线交于点E，交于点D，
∴，
∴的周长，
故选：C．
【分析】
依据线段垂直平分线的性质可知，利用这个等量关系，结合三角形的周长公式计算得到最终结果.
5．已知关于x的方程的解是，则a的值为（　　）
A．2 B．1 C． D．
【答案】C
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：将代入，
可得：，
∴3a=2a-1，
∴a=-1，
故答案为：C.
【分析】将代入，再求出a的值即可.
6．如图，在等腰三角形中，是中线，，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵在等腰三角形中，是中线，，
∴，，
∴，
∴．
故选：C．
【分析】
首先由等腰三角形顶角平分线的性质，可得，再根据等腰三角形底角相等的性质，得到，最后借助三角形内角和定理计算出的度数，进而得到最终结果.
7．如图，三角板中，，，将它绕点逆时针旋转，得到，点的对应点分别是点，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】旋转的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵三角板中，，，
∴，
由旋转的性质可得，
∴，
故选：C．
【分析】
先利用直角三角形两锐角互余计算出的度数，再结合旋转的性质得到的度数，最终即可求出对应结果.
8．某学校组织学生春游，租赁甲型客车和乙型客车共10辆，已知每辆甲型客车可坐40人，每辆乙型客车可坐30人，该校需要乘坐客车出游的师生共360人，要求全部师生都有座位且空座位不超过10个，那么可以有哪些租车方案？若设租赁甲型客车辆，则下列不等式组正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：设租赁甲型客车辆，则租赁乙型客车辆，根据题意得，
故选：C．
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，设租赁甲型客车辆，得到租赁乙型客车辆，结合全部师生都有座位且空座位不超过10个，列出不等式组，即可得到答案．
9．如图，将沿向右平移得到，若，，则　 　．
【答案】2
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：由平移的性质可知：，
故答案为：．
【分析】
依据平移的性质可知，平移后图形对应点连接而成的线段长度相等，据此即可解答该题.
10．若分式的值为零，则的值为　 　．
【答案】-3
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：要使分式的值为零，需同时满足：
分子为零：，解得或；
分母不为零：，解得．
综上，的值为．
故答案为：-3．
【分析】由分式值为零的条件“ 分子为零且分母不为零 ”建立混合组，求解即可得出得出x的值.
11．如图，在中，，若沿图中虚线剪去，则　 　．
【答案】250°
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵，
∴
∵沿图中虚线剪去后的图形为四边形，且四边形的内角和度数为
∴
故答案为：250°.
【分析】先根据三角形的内角和定理求出∠A+∠C=110°，然后根据四边形的内角和定理可求出∠1+∠2=250°.
12．已知，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】分式的值；约分
【解析】【解答】解：因为，
所以，
故答案为：．
【分析】把2a=3b代入待求分式，分子、分母分别合并同类项后，再约分即可得出答案.
13．如图，一次函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为　 　．
【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数y=kx+4中，，
∴y随x的增大而减小，
∵一次函数的图象经过点，
∴当时，，
∴当时，，
即关于的不等式的解集为．
故答案为：x＜1.
【分析】求关于x的不等式kx+4＞2的解集，就是求一次函数y=kx+4的函数值y＞2时，对应的自变量x的取值范围，从而结合一次函数y=kx+b(k、b为常数，且k≠0)中，当k＞0时，y随x的增大而增大，当k＜0时，y随x的增大而减小，求解即可.
14．按要求解答下列问题：
（1）因式分解：
（2）因式分解：
（3）解方程：
（4）解方程：
（5）解不等式组：
（6）解不等式组：
【答案】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：，
去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，
∴是原方程的解；
（4）解：，
去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，
∴是原方程的解；
（5）解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组无解；
（6）解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：．
【知识点】因式分解﹣提公因式法；解一元一次不等式组；因式分解﹣十字相乘法；去分母法解分式方程
【解析】【分析】（1）由于多项式各项具有公共的因式xy，故直接用提公因式法分解因式即可；
（2）由于多项式各项具有公共的因式a，故先提公因式，再用十字相乘法分解到每一个因式都不能再分解为止；
（3）根据两内项之积等于两外项之积将分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，再检验即可得出原方程根的情况；
（4）先在方程两边同时乘以x-2(注意，左边的1不能漏乘)约去分母，将分式方程转化为整式方程，再解整式方程，最后对方程的解进行检验即可；
（5）分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集即可；
（6）分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集即可.
（1）解：；
（2）解：；
（3）解：，
去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，
∴是原方程的解；
（4）解：，
去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，
∴是原方程的解；
（5）解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组无解；
（6）解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：．
15．先化简：，再从的范围内选取一个合适的整数作为的值代入求值．
【答案】解：
．
当时，原分式有意义，则原式．
【知识点】分式有无意义的条件；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】
先按照分式混合运算的规则对原式化简，再选一个让原式分式有意义的$x$的取值代入计算，就可以得到结果.
16．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为．（每个方格的边长均为1个单位长度）
（1）若和关于原点成中心对称，则点的坐标为__________．
（2）的面积为__________．
（3）将绕点逆时针旋转，画出旋转后得到的．
【答案】（1）
（2）
（3）解：如图所示，即为所求．
【知识点】三角形的面积；关于原点对称的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转；作图﹣中心对称
【解析】【解答】
（1）
解：∵和关于原点成中心对称，，
∴点的坐标为；
（2）
解：由题意得，
【分析】
（1）平面直角坐标系中，关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，依据这个性质即可得到对应点的坐标，得到答案；
（2）通过割补法，用包含三角形的矩形面积减去周围多余直角三角形的面积，即可求出；
（3）根据题目给定的旋转中心、旋转方向和旋转角度，结合网格的特征可以确定出点的对应位置，依次描点、连线就能得到旋转后的三角形.
（1）解：∵和关于原点成中心对称，，
∴点的坐标为；
（2）解：由题意得，
（3）解：如图所示，即为所求．
17．某文具店计划购进、两种文件袋，购进款共用960元，购进款共用1680元．款数量是款的1.5倍，款的单价比款贵4元．
（1）求、两款文件袋的单价；
（2）一共再购买两款文件袋共65个，总费用不超过1690元，求最少购进多少个款文件袋．
【答案】（1）解：设款文件袋的单价为元，则款文件袋的单价为元，
由题意得，，
解得，，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：款文件袋的单价为24元，款文件袋的单价为28元；
（2）解：设购进款文件袋个，则购进款文件袋个，
由题意得，，
解得，，
又为整数，
的最小值为．
答：最少购进33个款文件袋
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）先设A款文件袋的单价为x元，则B款文件袋的单价为(x+4)元，由总价除以单价等于数量及“用1680元购进B款文具袋的数量是用960元购进A款文具袋的数量的1.5倍”列出分式方程，求解并检验即可解答；
（2）先设购进A款文件袋m个，则购进B款文具袋(65-m)个，由单价乘以数量等于总价及“ 购买两款文件袋共65个，总费用不超过1690元 ”列出不等式，求出m的最小整数解即可.
（1）解：设款文件袋的单价为元，则款文件袋的单价为元，
由题意得，，
解得，，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：款文件袋的单价为24元，款文件袋的单价为28元．
（2）解：设购进款文件袋个，则购进款文件袋个，
由题意得，，
解得，，
又为整数，
的最小值为．
答：最少购进33个款文件袋．
18．如图1，直线：与直线交于轴上一点，点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，．
（1）求直线的函数表达式；
（2）若线段的垂直平分线与轴交于点，求的面积；
（3）点是直线上的一个动点，在轴上找一点，连接，当是以为底边的等腰直角三角形时，直接写出点的坐标．
【答案】（1）解：在中，当时，，
∴，
∵点在轴正半轴上，，
∴；
设直线的函数表达式为，
∴，
∴，
∴直线的函数表达式为；
（2）解：如图所示，∵线段的垂直平分线与轴交于点，
∴，
设，则，
由（1）得，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
∴；
（3）解：点F的坐标为或.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；线段垂直平分线的性质；勾股定理；三角形全等的判定-AAS；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】（3）解：在中，当时，，
∴；
如图3-1所示，过点E作轴于点H，
∵是以为底边的等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在中，当时，，解得，
∴，
∴，
∴点F的坐标为；
如图3-2所示，过点E作轴于点H，
同理可证明，
∴，
在中，当时，，解得，
∴，
∴，
∴点F的坐标为；
综上所述，点F的坐标为或．
【分析】（1）令直线AB解析式中的x=0算出对应的函数值可得点A的坐标，根据OC的长度及x轴上点的坐标特点得出点C的坐标，然后利用待定系数法即可求出直线AC的解析式；
（2）由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得到AP=CP，设，则，，在Rt△OCP中，由勾股定理建立方程求解得出p的值，从而得到AP的长，最后根据三角形面积公式列式计算即可求出△APC的面积；
（3）令直线AB解析式中的y=0，算出对应的自变量x的值，可得点B的坐标；当点F在y轴的正半轴上时，点E在线段AC时，如图图3-1，过点E作EH⊥x轴于点H，由等腰直角三角形性质得BE=BF，由角的构成、直角三角形两锐角互余及同角的余角相等推出∠HEB=∠OBF，从而由“AAS”证△BOF≌△EHB，由全等三角形的对应边相等得EH=OB=2，OF=BH，将y=-2代入直线AC的就像哈斯算出对应自变量x的值，得到点E的坐标，由OF=BH求出OF的长，进而根据y轴上点的坐标特点得到点F的坐标；当点F在y轴的负半轴上时，点E在线段AC延长线上时，如图3-2，同理求解即可，综上，即可得出答案.
（1）解：在中，当时，，
∴，
∵点在轴正半轴上，，
∴；
设直线的函数表达式为，
∴，
∴，
∴直线的函数表达式为；
（2）解：如图所示，∵线段的垂直平分线与轴交于点，
∴，
设，则，
由（1）得，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
∴；
（3）解：在中，当时，，
∴；
如图3-1所示，过点E作轴于点H，
∵是以为底边的等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在中，当时，，解得，
∴，
∴，
∴点F的坐标为；
如图3-2所示，过点E作轴于点H，
同理可证明，
∴，
在中，当时，，解得，
∴，
∴，
∴点F的坐标为；
综上所述，点F的坐标为或．
19．已知 ， ，则 　 　.
【答案】
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵2x-y= ，xy=2，
∴
故答案为： .
【分析】先将原式提取公因式xy，再代值计算即得结果.
20．若关于x的分式方程有增根，则　 　．
【答案】2
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：原方程可变形为，
两边同乘最简公分母，得，
因为分式方程有增根，所以最简公分母，即增根为，
将代入整式方程，得，
即，
解得．
故答案为：2．
【分析】分式方程的增根可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值，据此可求解．
21．如图，在中，，为上一点．若，，，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：如图，过点作于点，
则．
，
，
．
，
，
，
，
．
故答案为：.
【分析】过点C作CE⊥DB于点E，由等腰三角形的三线合一得DE=BE=BD=1，由线段和差得出AE=2，由含30°角直角三角形的性质得出AC=2AE=4，由勾股定理算出CE与CB即可.
22．若关于的不等式组有解且仅有两个偶数解，且关于的分式方程的解为非负数，则满足条件的所有整数的值的和为　 　．
【答案】24
【知识点】分式方程的解及检验；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：解第一个不等式得：，
解第二个不等式得：，
∵原不等式组有解且仅有两个偶数解，
∴这两个偶数解为，0，
∴，
解得：，
原分式方程去分母得：，
解得：，
∵原分式方程的解为非负数，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
综上4≤a≤8，且a≠6，
∵a为整数，
∴或5或7或8，
则．
故答案为：24.
【分析】将a作为常数，按照解不等式的步骤分别求出每个一元一次不等式的解集，再根据不等式组有解且仅有两个偶数解得到a的不等式，求解得出a的取值范围；再将a作为常数解分式方程得y=a-4，根据分式方程的解为非负数列出关于字母a的不等式组得出的取值范围，综上确定出a的物质范围，最后结合a为整数求出符合题意的a的值，再求和即可.
23．如图，等边中，是上一点，且，点为AB边上一动点，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转至，连接、，则的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图， 过点N作NF⊥AC于点F，过点D作DH⊥AM于点H， 则，
∵为等边三角形，
∴，，
由旋转性质得，，
∴ ∠ FDM=∠FDN+∠MDN=60°+∠FDN= ∠BAC+ ∠DMA=60°+ ∠DMA
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点N的运动轨迹是直线，且该直线与直线平行，在的右侧，与的距离是，
作点C关于该直线的对称点E，连接，则，
∴，
∵两点之间线段最短，
∴当点A，N，E三点共线时，最小，即最小，
连接交该直线于G，则，，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：.
【分析】过点N作NF⊥AC于点F，过点D作DH⊥AM于点H，则∠DHM=∠NFD=90°，由等边三角形性质得∠BAC=60°，AC=AB=6，由角的构成及三角形外角性质推出∠AMD=∠NDF，从而用“AAS”证明△MDH≌△DNF，由全等三角形的对应边相等得出FN=DH，由含30°角直角三角形的性质求出AH=1，利用勾股定理求出，得出点N的运动轨迹是直线，且该直线与直线AC平行，在AC的右侧，与AC的距离是，作点C关于该直线的对称点E，连接NE，则NE=CN，说明当点A，N，E三点共线时，AN+NE最小，即AN+CN最小；连接CE交该直线于G，则，，根据勾股定理求出AE的长即可.
24．按要求解答下列问题：
（1）若关于，的二元一次方程组的解满足，求的取值范围；
（2）已知a，b，c是的三条边，且满足，请判断的形状并说明理由．
【答案】（1）解：，
①-②得2x+2y=-8m+14，
∴x+y=-4m+7，
∵x+y≥2
∴-4m+7≥2
解得，．
（2）解：是等腰三角形，理由如下：
，
，
．
a，b，c是的三条边，
．
且，
，即，
是等腰三角形
【知识点】解一元一次不等式；加减消元法解二元一次方程组；因式分解的应用-判断三角形形状
【解析】【分析】（1）用方程组中的方程①-②可得x+y=-4m+7，整体代入x+y≥2，求解即可得出m的取值范围；
（2）△ABC是等腰三角形，理由如下：首先将方程左边进而二二分组（第一二项一组，第三四项一组），第一组内利用平方差公式分解因式，第二组内利用提取公因式法分解因式，然后组间利用提取公因式法分解因式，根据a、b、c为三角形的三边长可得a+b+c＞0，从而可得a-c=0，然后根据等腰三角形定义可得结论.
（1）解：，
将两个方程相加消去，可得，
解得，，
把代入方程，
解得，．
，
，
解得，．
（2）解：是等腰三角形，理由如下：
，
，
．
a，b，c是的三条边，
．
且，
，即，
是等腰三角形．
25．新定义：如果两个实数、b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“友好数对”．
例如：，使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对就是关于x的分式方程的一个“友好数对”．
（1）判断下列数对是否为关于的分式方程的“友好数对”，若是，请在括号内打“√”．若不是，打“”．
①（ ）；②（ ）．
（2）请判断数对是否有可能是关于的分式方程的“友好数对”，如果可能，请求出此时的需满足什么条件？如果不可能，请说明理由．
（3）若数对，是关于的分式方程的“友好数对”，，，试比较M、N的大小．
【答案】（1）×，√
（2）解：结论：时，数对是关于x的分式方程的“友好数对”，理由如下：
∵是方程的解，
∴，
∴，
∴，
∴，
即时，数对是关于x的分式方程的“友好数对”；
（3）解：∵数对是关于x的分式方程的“友好数对”，
∴是关于x的分式方程的解，
∴ ，
∴，
即，
∴，
，
∴，
∵，
∴，，，
∴ ， ，
∴，
∴，
∴．
【知识点】分式方程的解及检验；已知分式方程的解求参数；异分母分式的加、减法
【解析】【解答】（1）解：将a=2，b=1代入关于x的分式方程，可得
∵不是方程的解，
∴数对不是关于x的分式方程的“友好数对”；
将a=3，b=-4代入关于x的分式方程，可得
∵是方程的解，
∴数对是关于x的分式方程的“友好数对”；
故答案为：×，√；
【分析】（1） 将a=2，b=1代入关于x的分式方程，可得 ，然后再将a=2，b=1代入求出x的值，进而判断该x的值是否是的解即可得出结论；将a=3，b=-4代入关于x的分式方程，可得，然后再将a=3，b=-4代入求出x的值，进而判断该x的值是否是的解即可得出结论；
（2） 将a=n，b=n-3代入关于x的分式方程，可得 ，然后再将 a=n，b=n-3 代入表示出，将x的值代入可得关于字母n的方程，求解即可得出答案；
（3） 将a=-4，b=kn代入关于x的分式方程，可得 ，然后再将 a=-4，b=kn 代入表示出，将x的值代入可得kn=3， 即，然后将分别代入M及N所表示的式子分别通分计算，利用作差法求出M-N的值，进而根据k的取值范围判断M-N的正负即可得出结论.
（1）解：关于x的分式方程，
∵不是方程的解，
∴数对不是关于x的分式方程的“友好数对”；
∵是方程的解，
∴数对是关于x的分式方程的“友好数对”；
（2）结论：时，数对是关于x的分式方程的“友好数对”，
理由如下：
∵是方程的解，
∴，
∴，
∴，
∴，
即时，数对是关于x的分式方程的“友好数对”；
（3）解：∵数对是关于x的分式方程的“友好数对”，
∴是关于x的分式方程的解，
∴ ，
∴，
即，
∴，
，
∴，
∵，
∴，，，
∴ ， ，
∴，
∴，
∴．
26．按要求解答问题：
（1）【初步探究】
如图1，已知是等腰直角三角形，将的角的顶点与重合，将三角板绕点转动，交于M，交于．若，则与的数量关系是__________；
（2）【大胆尝试】
如图2，在三角板转动过程中，请探究线段、与之间有怎样的数量关系？并说明理由；
（3）【拓展应用】
如图3，在（2）的条件下，转动三角板，当与边的延长线相交于点时，当时，求的面积．
【答案】（1）
（2）解：，理由如下：
如图，作，截取，连接、，
为等腰直角三角形，
，，
，，
，
，
，
，，
，
，，，
，
，
，
；
（3）解：设．
，
．
由题意知点在的延长线上，
．
设，则
．
由第（2）问结论可得：
把，，代入得：
，：
即．
与有相同的高（点到斜边的距离），
∴
∵，
∴
解得：．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】（1）解：，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
；
故答案为：BC=BN；
【分析】（1）由等边对等角及三角形内角和定理得出∠A=∠B=45°，∠ACM=∠AMC，由三角形外角性质及角的构成可推出∠ACN=∠BCM，再根据角的构成及三角形外角性质推出∠BCN=BNC，由等角对等边得出BC=BN；
（2）AN2+BM2=MN2，理由如下：过点C作CK⊥CM，截取CK=CM，连接AK、NK，由等腰直角三角形性质得∠CAB=∠B=45°，AC=BC，由角的构成及同角的余角相等推出∠KCA=∠MCB，从而利用“SAS”证△KCA≌△MCB，得KA=MB，∠KAC=∠B=45°，由角的构成推出∠KAN=90°；再利用“SAS”证△KCN≌△MCN，由全等三角形的对应边相等得MN=KN，在Rt△AKN中利用勾股定理可得AN2+AK2=KN2，利用等量代换可得结论；
（3）设BM=x，则AB=3x，AB=4x；设AN=y，用线段和差表示出MN=4x-y；利用第（2）问结论列方程，化简求出AN与x的关系；由线段和差计算BN的长度，求出BN与AB的比值；利用同高三角形面积比等于底边比，结合S△BCN=8，求出△ABC的面积．
（1）解：，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
；
（2）如图，作，截取，连接、，
为等腰直角三角形，
，，
，，
，
，
，
，，
，
，，，
，
，
，
；
（3）解：设．
，
．
由题意知点在的延长线上，
．
设，则
．
由第（2）问结论可得：
把，，代入得：
，：
即．
与有相同的高（点到斜边的距离），
∴
∵，
∴
解得：．
1 / 1四川省成都市实验外国语学校2025-2026学年下期期中考试八年级数学学科试题
1．下列图案中，可以看成是由某一个基础图形通过平移得到的是（　　）
A． B．
C． D．
2．若，则下列结论错误的是（　　）
A． B． C． D．
3．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
4．如图，在中，，线段的垂直平分线交于点E，交于点D，则的周长为（　　）
A．21 B．14 C．13 D．9
5．已知关于x的方程的解是，则a的值为（　　）
A．2 B．1 C． D．
6．如图，在等腰三角形中，是中线，，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，三角板中，，，将它绕点逆时针旋转，得到，点的对应点分别是点，则（　　）
A． B． C． D．
8．某学校组织学生春游，租赁甲型客车和乙型客车共10辆，已知每辆甲型客车可坐40人，每辆乙型客车可坐30人，该校需要乘坐客车出游的师生共360人，要求全部师生都有座位且空座位不超过10个，那么可以有哪些租车方案？若设租赁甲型客车辆，则下列不等式组正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
9．如图，将沿向右平移得到，若，，则　 　．
10．若分式的值为零，则的值为　 　．
11．如图，在中，，若沿图中虚线剪去，则　 　．
12．已知，则的值为　 　．
13．如图，一次函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为　 　．
14．按要求解答下列问题：
（1）因式分解：
（2）因式分解：
（3）解方程：
（4）解方程：
（5）解不等式组：
（6）解不等式组：
15．先化简：，再从的范围内选取一个合适的整数作为的值代入求值．
16．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为．（每个方格的边长均为1个单位长度）
（1）若和关于原点成中心对称，则点的坐标为__________．
（2）的面积为__________．
（3）将绕点逆时针旋转，画出旋转后得到的．
17．某文具店计划购进、两种文件袋，购进款共用960元，购进款共用1680元．款数量是款的1.5倍，款的单价比款贵4元．
（1）求、两款文件袋的单价；
（2）一共再购买两款文件袋共65个，总费用不超过1690元，求最少购进多少个款文件袋．
18．如图1，直线：与直线交于轴上一点，点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，．
（1）求直线的函数表达式；
（2）若线段的垂直平分线与轴交于点，求的面积；
（3）点是直线上的一个动点，在轴上找一点，连接，当是以为底边的等腰直角三角形时，直接写出点的坐标．
19．已知 ， ，则 　 　.
20．若关于x的分式方程有增根，则　 　．
21．如图，在中，，为上一点．若，，，则的长为　 　．
22．若关于的不等式组有解且仅有两个偶数解，且关于的分式方程的解为非负数，则满足条件的所有整数的值的和为　 　．
23．如图，等边中，是上一点，且，点为AB边上一动点，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转至，连接、，则的最小值为　 　．
24．按要求解答下列问题：
（1）若关于，的二元一次方程组的解满足，求的取值范围；
（2）已知a，b，c是的三条边，且满足，请判断的形状并说明理由．
25．新定义：如果两个实数、b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“友好数对”．
例如：，使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对就是关于x的分式方程的一个“友好数对”．
（1）判断下列数对是否为关于的分式方程的“友好数对”，若是，请在括号内打“√”．若不是，打“”．
①（ ）；②（ ）．
（2）请判断数对是否有可能是关于的分式方程的“友好数对”，如果可能，请求出此时的需满足什么条件？如果不可能，请说明理由．
（3）若数对，是关于的分式方程的“友好数对”，，，试比较M、N的大小．
26．按要求解答问题：
（1）【初步探究】
如图1，已知是等腰直角三角形，将的角的顶点与重合，将三角板绕点转动，交于M，交于．若，则与的数量关系是__________；
（2）【大胆尝试】
如图2，在三角板转动过程中，请探究线段、与之间有怎样的数量关系？并说明理由；
（3）【拓展应用】
如图3，在（2）的条件下，转动三角板，当与边的延长线相交于点时，当时，求的面积．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：A、此选项中的图案可以由圆旋转得到，故不符合题意；
B、此选项中的图案可以由菱形旋转得到，故不符合题意；
C、此选项中的图案可以由菱形平移得到，故符合题意；
D、此选项中的图案可以由等腰直角三角形旋转得到，故不符合题意．
故答案为：C．
【分析】平移只会改变图形的位置、不会改变图形的大小、形状及方向；旋转只会改变图形的位置与方向，不会改变图形的大小及形状；轴对称只会改变图形的位置与方向，不会改变图形的大小及形状，据此逐一判断得出答案.
2．【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：、∵，∴，故本选项不符合题意；
、∵，∴，∴，故本选项符合题意；
、∵，∴，故本选项不符合题意；
、∵，∴，故本选项不符合题意.
故答案为：B．
【分析】①不等式的性质：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变，②不等式的性质：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，③不等式的性质：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，据此逐一判断得出答案.
3．【答案】D
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、是单项式乘多项式的运算，不符合题意；
B、右边结果不是积的形式，不符合题意；
C、是多项式与多项式的乘法运算，不符合题意；
D、属于因式分解，符合题意．
故选：D．
【分析】
根据因式分解定义，因式分解的核心是将一个多项式拆解变形为几个整式乘积的形式，依据这个定义，逐一判断每个选项是否符合要求.
4．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵线段的垂直平分线交于点E，交于点D，
∴，
∴的周长，
故选：C．
【分析】
依据线段垂直平分线的性质可知，利用这个等量关系，结合三角形的周长公式计算得到最终结果.
5．【答案】C
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：将代入，
可得：，
∴3a=2a-1，
∴a=-1，
故答案为：C.
【分析】将代入，再求出a的值即可.
6．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵在等腰三角形中，是中线，，
∴，，
∴，
∴．
故选：C．
【分析】
首先由等腰三角形顶角平分线的性质，可得，再根据等腰三角形底角相等的性质，得到，最后借助三角形内角和定理计算出的度数，进而得到最终结果.
7．【答案】C
【知识点】旋转的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵三角板中，，，
∴，
由旋转的性质可得，
∴，
故选：C．
【分析】
先利用直角三角形两锐角互余计算出的度数，再结合旋转的性质得到的度数，最终即可求出对应结果.
8．【答案】C
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：设租赁甲型客车辆，则租赁乙型客车辆，根据题意得，
故选：C．
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，设租赁甲型客车辆，得到租赁乙型客车辆，结合全部师生都有座位且空座位不超过10个，列出不等式组，即可得到答案．
9．【答案】2
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：由平移的性质可知：，
故答案为：．
【分析】
依据平移的性质可知，平移后图形对应点连接而成的线段长度相等，据此即可解答该题.
10．【答案】-3
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：要使分式的值为零，需同时满足：
分子为零：，解得或；
分母不为零：，解得．
综上，的值为．
故答案为：-3．
【分析】由分式值为零的条件“ 分子为零且分母不为零 ”建立混合组，求解即可得出得出x的值.
11．【答案】250°
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵，
∴
∵沿图中虚线剪去后的图形为四边形，且四边形的内角和度数为
∴
故答案为：250°.
【分析】先根据三角形的内角和定理求出∠A+∠C=110°，然后根据四边形的内角和定理可求出∠1+∠2=250°.
12．【答案】
【知识点】分式的值；约分
【解析】【解答】解：因为，
所以，
故答案为：．
【分析】把2a=3b代入待求分式，分子、分母分别合并同类项后，再约分即可得出答案.
13．【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数y=kx+4中，，
∴y随x的增大而减小，
∵一次函数的图象经过点，
∴当时，，
∴当时，，
即关于的不等式的解集为．
故答案为：x＜1.
【分析】求关于x的不等式kx+4＞2的解集，就是求一次函数y=kx+4的函数值y＞2时，对应的自变量x的取值范围，从而结合一次函数y=kx+b(k、b为常数，且k≠0)中，当k＞0时，y随x的增大而增大，当k＜0时，y随x的增大而减小，求解即可.
14．【答案】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：，
去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，
∴是原方程的解；
（4）解：，
去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，
∴是原方程的解；
（5）解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组无解；
（6）解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：．
【知识点】因式分解﹣提公因式法；解一元一次不等式组；因式分解﹣十字相乘法；去分母法解分式方程
【解析】【分析】（1）由于多项式各项具有公共的因式xy，故直接用提公因式法分解因式即可；
（2）由于多项式各项具有公共的因式a，故先提公因式，再用十字相乘法分解到每一个因式都不能再分解为止；
（3）根据两内项之积等于两外项之积将分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，再检验即可得出原方程根的情况；
（4）先在方程两边同时乘以x-2(注意，左边的1不能漏乘)约去分母，将分式方程转化为整式方程，再解整式方程，最后对方程的解进行检验即可；
（5）分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集即可；
（6）分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集即可.
（1）解：；
（2）解：；
（3）解：，
去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，
∴是原方程的解；
（4）解：，
去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，
∴是原方程的解；
（5）解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组无解；
（6）解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：．
15．【答案】解：
．
当时，原分式有意义，则原式．
【知识点】分式有无意义的条件；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】
先按照分式混合运算的规则对原式化简，再选一个让原式分式有意义的$x$的取值代入计算，就可以得到结果.
16．【答案】（1）
（2）
（3）解：如图所示，即为所求．
【知识点】三角形的面积；关于原点对称的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转；作图﹣中心对称
【解析】【解答】
（1）
解：∵和关于原点成中心对称，，
∴点的坐标为；
（2）
解：由题意得，
【分析】
（1）平面直角坐标系中，关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，依据这个性质即可得到对应点的坐标，得到答案；
（2）通过割补法，用包含三角形的矩形面积减去周围多余直角三角形的面积，即可求出；
（3）根据题目给定的旋转中心、旋转方向和旋转角度，结合网格的特征可以确定出点的对应位置，依次描点、连线就能得到旋转后的三角形.
（1）解：∵和关于原点成中心对称，，
∴点的坐标为；
（2）解：由题意得，
（3）解：如图所示，即为所求．
17．【答案】（1）解：设款文件袋的单价为元，则款文件袋的单价为元，
由题意得，，
解得，，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：款文件袋的单价为24元，款文件袋的单价为28元；
（2）解：设购进款文件袋个，则购进款文件袋个，
由题意得，，
解得，，
又为整数，
的最小值为．
答：最少购进33个款文件袋
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）先设A款文件袋的单价为x元，则B款文件袋的单价为(x+4)元，由总价除以单价等于数量及“用1680元购进B款文具袋的数量是用960元购进A款文具袋的数量的1.5倍”列出分式方程，求解并检验即可解答；
（2）先设购进A款文件袋m个，则购进B款文具袋(65-m)个，由单价乘以数量等于总价及“ 购买两款文件袋共65个，总费用不超过1690元 ”列出不等式，求出m的最小整数解即可.
（1）解：设款文件袋的单价为元，则款文件袋的单价为元，
由题意得，，
解得，，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：款文件袋的单价为24元，款文件袋的单价为28元．
（2）解：设购进款文件袋个，则购进款文件袋个，
由题意得，，
解得，，
又为整数，
的最小值为．
答：最少购进33个款文件袋．
18．【答案】（1）解：在中，当时，，
∴，
∵点在轴正半轴上，，
∴；
设直线的函数表达式为，
∴，
∴，
∴直线的函数表达式为；
（2）解：如图所示，∵线段的垂直平分线与轴交于点，
∴，
设，则，
由（1）得，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
∴；
（3）解：点F的坐标为或.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；线段垂直平分线的性质；勾股定理；三角形全等的判定-AAS；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】（3）解：在中，当时，，
∴；
如图3-1所示，过点E作轴于点H，
∵是以为底边的等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在中，当时，，解得，
∴，
∴，
∴点F的坐标为；
如图3-2所示，过点E作轴于点H，
同理可证明，
∴，
在中，当时，，解得，
∴，
∴，
∴点F的坐标为；
综上所述，点F的坐标为或．
【分析】（1）令直线AB解析式中的x=0算出对应的函数值可得点A的坐标，根据OC的长度及x轴上点的坐标特点得出点C的坐标，然后利用待定系数法即可求出直线AC的解析式；
（2）由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得到AP=CP，设，则，，在Rt△OCP中，由勾股定理建立方程求解得出p的值，从而得到AP的长，最后根据三角形面积公式列式计算即可求出△APC的面积；
（3）令直线AB解析式中的y=0，算出对应的自变量x的值，可得点B的坐标；当点F在y轴的正半轴上时，点E在线段AC时，如图图3-1，过点E作EH⊥x轴于点H，由等腰直角三角形性质得BE=BF，由角的构成、直角三角形两锐角互余及同角的余角相等推出∠HEB=∠OBF，从而由“AAS”证△BOF≌△EHB，由全等三角形的对应边相等得EH=OB=2，OF=BH，将y=-2代入直线AC的就像哈斯算出对应自变量x的值，得到点E的坐标，由OF=BH求出OF的长，进而根据y轴上点的坐标特点得到点F的坐标；当点F在y轴的负半轴上时，点E在线段AC延长线上时，如图3-2，同理求解即可，综上，即可得出答案.
（1）解：在中，当时，，
∴，
∵点在轴正半轴上，，
∴；
设直线的函数表达式为，
∴，
∴，
∴直线的函数表达式为；
（2）解：如图所示，∵线段的垂直平分线与轴交于点，
∴，
设，则，
由（1）得，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
∴；
（3）解：在中，当时，，
∴；
如图3-1所示，过点E作轴于点H，
∵是以为底边的等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在中，当时，，解得，
∴，
∴，
∴点F的坐标为；
如图3-2所示，过点E作轴于点H，
同理可证明，
∴，
在中，当时，，解得，
∴，
∴，
∴点F的坐标为；
综上所述，点F的坐标为或．
19．【答案】
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵2x-y= ，xy=2，
∴
故答案为： .
【分析】先将原式提取公因式xy，再代值计算即得结果.
20．【答案】2
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：原方程可变形为，
两边同乘最简公分母，得，
因为分式方程有增根，所以最简公分母，即增根为，
将代入整式方程，得，
即，
解得．
故答案为：2．
【分析】分式方程的增根可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值，据此可求解．
21．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：如图，过点作于点，
则．
，
，
．
，
，
，
，
．
故答案为：.
【分析】过点C作CE⊥DB于点E，由等腰三角形的三线合一得DE=BE=BD=1，由线段和差得出AE=2，由含30°角直角三角形的性质得出AC=2AE=4，由勾股定理算出CE与CB即可.
22．【答案】24
【知识点】分式方程的解及检验；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：解第一个不等式得：，
解第二个不等式得：，
∵原不等式组有解且仅有两个偶数解，
∴这两个偶数解为，0，
∴，
解得：，
原分式方程去分母得：，
解得：，
∵原分式方程的解为非负数，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
综上4≤a≤8，且a≠6，
∵a为整数，
∴或5或7或8，
则．
故答案为：24.
【分析】将a作为常数，按照解不等式的步骤分别求出每个一元一次不等式的解集，再根据不等式组有解且仅有两个偶数解得到a的不等式，求解得出a的取值范围；再将a作为常数解分式方程得y=a-4，根据分式方程的解为非负数列出关于字母a的不等式组得出的取值范围，综上确定出a的物质范围，最后结合a为整数求出符合题意的a的值，再求和即可.
23．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图， 过点N作NF⊥AC于点F，过点D作DH⊥AM于点H， 则，
∵为等边三角形，
∴，，
由旋转性质得，，
∴ ∠ FDM=∠FDN+∠MDN=60°+∠FDN= ∠BAC+ ∠DMA=60°+ ∠DMA
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点N的运动轨迹是直线，且该直线与直线平行，在的右侧，与的距离是，
作点C关于该直线的对称点E，连接，则，
∴，
∵两点之间线段最短，
∴当点A，N，E三点共线时，最小，即最小，
连接交该直线于G，则，，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：.
【分析】过点N作NF⊥AC于点F，过点D作DH⊥AM于点H，则∠DHM=∠NFD=90°，由等边三角形性质得∠BAC=60°，AC=AB=6，由角的构成及三角形外角性质推出∠AMD=∠NDF，从而用“AAS”证明△MDH≌△DNF，由全等三角形的对应边相等得出FN=DH，由含30°角直角三角形的性质求出AH=1，利用勾股定理求出，得出点N的运动轨迹是直线，且该直线与直线AC平行，在AC的右侧，与AC的距离是，作点C关于该直线的对称点E，连接NE，则NE=CN，说明当点A，N，E三点共线时，AN+NE最小，即AN+CN最小；连接CE交该直线于G，则，，根据勾股定理求出AE的长即可.
24．【答案】（1）解：，
①-②得2x+2y=-8m+14，
∴x+y=-4m+7，
∵x+y≥2
∴-4m+7≥2
解得，．
（2）解：是等腰三角形，理由如下：
，
，
．
a，b，c是的三条边，
．
且，
，即，
是等腰三角形
【知识点】解一元一次不等式；加减消元法解二元一次方程组；因式分解的应用-判断三角形形状
【解析】【分析】（1）用方程组中的方程①-②可得x+y=-4m+7，整体代入x+y≥2，求解即可得出m的取值范围；
（2）△ABC是等腰三角形，理由如下：首先将方程左边进而二二分组（第一二项一组，第三四项一组），第一组内利用平方差公式分解因式，第二组内利用提取公因式法分解因式，然后组间利用提取公因式法分解因式，根据a、b、c为三角形的三边长可得a+b+c＞0，从而可得a-c=0，然后根据等腰三角形定义可得结论.
（1）解：，
将两个方程相加消去，可得，
解得，，
把代入方程，
解得，．
，
，
解得，．
（2）解：是等腰三角形，理由如下：
，
，
．
a，b，c是的三条边，
．
且，
，即，
是等腰三角形．
25．【答案】（1）×，√
（2）解：结论：时，数对是关于x的分式方程的“友好数对”，理由如下：
∵是方程的解，
∴，
∴，
∴，
∴，
即时，数对是关于x的分式方程的“友好数对”；
（3）解：∵数对是关于x的分式方程的“友好数对”，
∴是关于x的分式方程的解，
∴ ，
∴，
即，
∴，
，
∴，
∵，
∴，，，
∴ ， ，
∴，
∴，
∴．
【知识点】分式方程的解及检验；已知分式方程的解求参数；异分母分式的加、减法
【解析】【解答】（1）解：将a=2，b=1代入关于x的分式方程，可得
∵不是方程的解，
∴数对不是关于x的分式方程的“友好数对”；
将a=3，b=-4代入关于x的分式方程，可得
∵是方程的解，
∴数对是关于x的分式方程的“友好数对”；
故答案为：×，√；
【分析】（1） 将a=2，b=1代入关于x的分式方程，可得 ，然后再将a=2，b=1代入求出x的值，进而判断该x的值是否是的解即可得出结论；将a=3，b=-4代入关于x的分式方程，可得，然后再将a=3，b=-4代入求出x的值，进而判断该x的值是否是的解即可得出结论；
（2） 将a=n，b=n-3代入关于x的分式方程，可得 ，然后再将 a=n，b=n-3 代入表示出，将x的值代入可得关于字母n的方程，求解即可得出答案；
（3） 将a=-4，b=kn代入关于x的分式方程，可得 ，然后再将 a=-4，b=kn 代入表示出，将x的值代入可得kn=3， 即，然后将分别代入M及N所表示的式子分别通分计算，利用作差法求出M-N的值，进而根据k的取值范围判断M-N的正负即可得出结论.
（1）解：关于x的分式方程，
∵不是方程的解，
∴数对不是关于x的分式方程的“友好数对”；
∵是方程的解，
∴数对是关于x的分式方程的“友好数对”；
（2）结论：时，数对是关于x的分式方程的“友好数对”，
理由如下：
∵是方程的解，
∴，
∴，
∴，
∴，
即时，数对是关于x的分式方程的“友好数对”；
（3）解：∵数对是关于x的分式方程的“友好数对”，
∴是关于x的分式方程的解，
∴ ，
∴，
即，
∴，
，
∴，
∵，
∴，，，
∴ ， ，
∴，
∴，
∴．
26．【答案】（1）
（2）解：，理由如下：
如图，作，截取，连接、，
为等腰直角三角形，
，，
，，
，
，
，
，，
，
，，，
，
，
，
；
（3）解：设．
，
．
由题意知点在的延长线上，
．
设，则
．
由第（2）问结论可得：
把，，代入得：
，：
即．
与有相同的高（点到斜边的距离），
∴
∵，
∴
解得：．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】（1）解：，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
；
故答案为：BC=BN；
【分析】（1）由等边对等角及三角形内角和定理得出∠A=∠B=45°，∠ACM=∠AMC，由三角形外角性质及角的构成可推出∠ACN=∠BCM，再根据角的构成及三角形外角性质推出∠BCN=BNC，由等角对等边得出BC=BN；
（2）AN2+BM2=MN2，理由如下：过点C作CK⊥CM，截取CK=CM，连接AK、NK，由等腰直角三角形性质得∠CAB=∠B=45°，AC=BC，由角的构成及同角的余角相等推出∠KCA=∠MCB，从而利用“SAS”证△KCA≌△MCB，得KA=MB，∠KAC=∠B=45°，由角的构成推出∠KAN=90°；再利用“SAS”证△KCN≌△MCN，由全等三角形的对应边相等得MN=KN，在Rt△AKN中利用勾股定理可得AN2+AK2=KN2，利用等量代换可得结论；
（3）设BM=x，则AB=3x，AB=4x；设AN=y，用线段和差表示出MN=4x-y；利用第（2）问结论列方程，化简求出AN与x的关系；由线段和差计算BN的长度，求出BN与AB的比值；利用同高三角形面积比等于底边比，结合S△BCN=8，求出△ABC的面积．
（1）解：，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
；
（2）如图，作，截取，连接、，
为等腰直角三角形，
，，
，，
，
，
，
，，
，
，，，
，
，
，
；
（3）解：设．
，
．
由题意知点在的延长线上，
．
设，则
．
由第（2）问结论可得：
把，，代入得：
，：
即．
与有相同的高（点到斜边的距离），
∴
∵，
∴
解得：．
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