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四川省遂宁市船山区九年级2026中考二模数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1． 2019年8月，宁波舟山港即使受到台风影响，铁矿石吞吐量仍然超过了776万吨，环比上升11.04%．其中776万吨用科学记数法表示为（　　）
A．0.776×107 吨 B．7.76×106吨
C．776×104吨 D．7.76×104吨
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：万吨吨 吨
故答案为：B.
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
2．如图，已知直线a// b，直线c与a，b分别交于点A，B，若∠1＝120°，则∠2＝（　　）
A．60° B．120° C．30° D．15°
【答案】A
【知识点】对顶角及其性质；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：如图，
解：∵∠1=120°，∠1与∠3是对顶角，
∴∠1=∠3=120°，
∵直线a∥b，
故选：A．
【分析】根据对顶角相等求出∠3的度数，再根据两直线平行，同旁内角互补解答即可．
3．在平面直角坐标系中，已知点A（-4，3）与点B关于原点对称，则点B的坐标为（　　）
A．（-4，-3） B．（4，3） C．（4，-3） D．（-4，3）
【答案】C
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点A（﹣4，3），点A与点B关于原点对称，
∴点B（4，﹣3）．
故选：C．
【分析】根据关于原点的对称点的横、纵坐标互为相反数解答即可．
4．下列几何体中，主视图与俯视图不相同的是（　　）
A．正方体 B．正四棱锥
C．圆柱 D．球
【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A.正方体的主视图与俯视图都是正方形，此选项不符合题意；
B. 正四棱锥的主视图是三角形，俯视图是带对角线的正方形，此选项符合题意；
C. 圆柱的主视图与俯视图都是长方形，此选项不符合题意；
D. 球的主视图与俯视图都是圆，此选项不符合题意；
故选：B．
【分析】
根据主视图、左视图、俯视图的定义，是分别从物体的正面、左面、上面三个方向观察物体得到的图形，根据这个定义来分析即可.
5．使有意义的x的取值范围在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：∵有意义
∴
解得：
在数轴上表示为：
故答案为：B.
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数求出x的取值范围，然后在数轴上表示即可.
6．如图，四边形ABCD内接于圆O， ∠BOD=108°，则∠BCD的度数是(　　)
A．127° B．108° C．126° D．125°
【答案】C
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵对的圆周角是，圆心角是，，
∴，
∵A、B、C、D四点共圆，
∴，
∴，
故选：C．
【分析】根据圆周角定理求出的度数，然后根据圆内接四边形的性质解答即可．
7．如果等腰三角形的周长为16，那么这个等腰三角形腰长x的取值范围是（　　）
A．x＞3 B．x＜6 C．3＜x＜6 D．4＜x＜8
【答案】D
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：∵等腰三角形的周长是16，腰长为x，
∴底边长为：16﹣2x，
∴，解得：4＜x＜8．
故选：D．
【分析】腰长为x，可得底边长为：16﹣2x，然后根据三角形三边关系可得2x＞16﹣2x>0，求出x的取值范围即可．
8．已知一次函数 的图象如图所示，则 与 的图象为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数的图象；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：根据题意得： ，
∴ ，
∴一次函数 的图象经过第一、二、四象限，反比函数 的图象位于第一、三象限内.
故答案为：A.
【分析】一次函数y=kx+b，当k＞0，b＞0时，图象经过第一、二、三象限，一次函数y=kx+b，当k＞0，b＜0时，图象经过第一、三、四象限，一次函数y=kx+b，当k＜0，b＞0时，图象经过第一、二、四象限，一次函数y=kx+b，当k＜0，b＜0时，图象经过第二、三、四象限；反比例函数 ， 当k＞0时，图象经过第一、三象限，当k＜0时，图象经过第二、四象限，据此判断即可得出答案.
9．小慧去花店购买鲜花，若买5支玫瑰和3支百合，则她所带的钱还剩下10元；若买3支玫瑰和5支百合，则她所带的钱还缺4元.若只买8支玫瑰，则她所带的钱还剩下（　　）
A．31元 B．30元 C．25元 D．19元
【答案】A
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设玫瑰花每支x元，百合花每支y元，小慧带的钱数是a元，由题意，
得 ，
将两方程相减得y-x=7，
∴y=x+7，
将y=x+7代入5x+3y=a-10
得8x=a-31，
∴若只买8支玫瑰花，则她所带的钱还剩31元。
故答案为：A
【分析】设玫瑰花每支x元，百合花每支y元，小慧带的钱数是a元，根据若买5支玫瑰花和3支百合花所带的钱还剩10元，若买3支玫瑰花和5支百合花所带的钱还差4元，列出方程组，根据等式的性质，将两个等式相减即可得出y-x=7，即y=x+7，将y=x+7代入其中的一个方程，即可得出8x=a-31.从而得出答案。
10．将全体正偶数排成一个三角形数阵：
按照以上排列的规律，第10行第5个数是（　　）
A．98 B．100 C．102 D．104
【答案】B
【知识点】用代数式表示数值变化规律；探索规律-数阵类规律
【解析】【解答】观察数字的变化可知：
第n行有n个偶数，
因为第1行的第1个数是： ；
第2行的第1个数是： ；
第3行的第1个数是：；
…
所以第n行的第1个数是： ，
所以第10行第1个数是：，
所以第10行第5个数是： ．
故选：B．
【分析】
先观察这些数字的变化规律，可以发现从第一行开始，每一行数字的数量和行数相等，也就是第n行一共包含n个偶数，先推导出第n第一个数的表达式，就可以求解本题.
11．七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，如图，在正方形纸板ABCD中，BD为对角线，E，F分别为BC，CD的中点，AP⊥EF分别交BD，EF于O，P两点，M，N分别为BO，DO的中点，连接MP，NF，沿图中实线剪开即可得到一副七巧板，则在剪开之前，关于该图形，下列说法：①图中的三角形都是等腰直角三角形；②四边形MPEB是菱形；③四边形PFDM的面积占正方形ABCD面积的．正确的有（　　）
A．只有① B．①② C．①③ D．②③
【答案】C
【知识点】七巧板与拼图制作；勾股定理；菱形的判定；正方形的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABO＝∠ADB＝∠CBD＝∠BDC＝45°，∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴△ABD、△BCD是等腰直角三角形，
∵，
∴∠APF＝∠APE＝90°，
∵E，F分别为BC，CD的中点，
∴EF是△BCD的中位线，CE＝BC，CF＝CD，
∴CE＝CF，
∵∠C＝90°，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴EFBD，EF＝BD，
∴∠APE＝∠AOB＝90°，∠APF＝∠AOD＝90°，
∴△ABO、△ADO是等腰直角三角形，
∴AO＝BO，AO＝DO，
∴BO＝DO，
∵M，N分别为BO，DO的中点，
∴OM＝BM＝BO，ON＝ND＝DO，
∴OM＝BM＝ON＝ND，
∵∠BAO＝∠DAO＝45°，
∴由正方形是轴对称图形，则A、P、C三点共线，PE＝PF＝EF＝ON＝BM＝OM，
连接PC，如图，
∴NF是△CDO的中位线，
∴NFAC，NF＝OC＝OD＝ON＝ND，
∴∠ONF＝180°－∠COD＝90°，
∴∠NOP＝∠OPF＝∠ONF＝90°，
∴四边形FNOP是矩形，
∴四边形FNOP是正方形，
∴NF＝ON＝ND，
∴△DNF是等腰直角三角形，
∴图中的三角形都是等腰直角三角形；
故①正确，
∵PEBM，PE＝BM，
∴四边形MPEB是平行四边形，
∵BE＝BC，BM＝OB，
在Rt△OBC中，BC＞OB，
∴BE≠BM，
∴四边形MPEB不是菱形；
故②错误，
∵PC＝PO＝PF＝OM，∠MOP＝∠CPF＝90°，
∴△MOP≌△CPF（SAS），
∴
，
故③正确，
故选：C.
【分析】先根据正方形的性质、三角形中位线定理得到三角形的形状判断①；然后得到四边形MPEB是平行四边形，但是PM≠BM即可判断②；最后再得到四边形PFDM的面积与正方形ABCD面积关系判断③解答即可．
12．抛物线 的对称轴是直线x=-1，其图象如图所示.下列结论：
①③若(x1，y1)和(x2，y2)是抛物线上的两点，则当 时， ；④抛物线的顶点坐标为(-1，m)，则关于 x的方程 无实数根.其中正确结论的个数是(　　)
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：①抛物线图象开口向上，
，
对称轴在直线轴左侧，
，同号，，
抛物线与轴交点在轴下方，
，
，故①正确．
②，
当时，由图象可得，
当时，，由图象可得，
，即，
故②正确．
③，，
，
点，到对称轴的距离大于点，到对称轴的距离，
，
故③错误．
④抛物线的顶点坐标为，
，
，
无实数根．
故④正确，
综上所述，①②④正确，
故选：B．
【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，与轴交点位置得到，，的正负判断①；把分别代入解析式求出函数值的取值范围，然后相乘判断②；根据距离对称轴距离越远的点的函数值越大判断③；由抛物线顶点纵坐标可得，即可得到方程根的情况判断④解答即可．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
13．分解因式：6m-3m2　 　．
【答案】3m(2-m)
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：.
【分析】提公因式3m分解因式即可．
14．分式方程的解是　 　
【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：方程两边同时乘以2x(x+1)，得
3(x+1)=4x
3x+3=4x
x=3，
检验：把x=3代入2x(x+1)=2×3(3+1)=24≠0，
∴原分式方程的解为：x=3．
故答案为：x=3．
【分析】利用解分式方程的方法解方程即可。
15．如图所示，在四边形ABCD中， ∠B=90°， AB=2， CD=8.连接AC， AC⊥CD，若 则AD长度是　 　.
【答案】10
【知识点】解直角三角形；已知正弦值求边长
【解析】【解答】解：在中，
∵，
∴．
在中，
．
故答案为：10．
【分析】根据正弦的定义求出长，然后根据勾股定理求出AD长即可．
16．半径为12cm，则圆心角为45°，的扇形周长是　 　cm．
【答案】24+3π
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：扇形周长弧长，
故答案为：24+3π.
【分析】根据扇形的周长等于弧长与两半径的和解答即可.
17．若m，n是一元二次方程 的两个实数根，则 的值为　 　．
【答案】3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵，是一元二次方程的两个实数根，
∴，
∴
故答案为：3.
【分析】根据根与系数的关系可得，，然后代数式化为，然后直接代入计算即可.
18．如图，菱形ABCD的周长为8， ∠D=120°，点M为边AB的中点，点N是边AD上任一点，把∠A沿直线MN折叠，点A落在图中的点E处，当△BEC是直角三角形时，AN的长度为　 　.
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；分类讨论
【解析】【解答】解：∵菱形的周长为8，
∴，
∵点M为的中点，
∴．
由翻折可知，
∴．
①当时，
∵菱形，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，；
②当时，
则：点E落在菱形对角线上，
∵点M为的中点，为折痕，此时于点E，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴．
当或1时，是直角三角形．
故答案为：或1．
【分析】根据菱形的性质可得边长为2，根据翻折得到，分两种情况讨论：①当时，即可得到，，从而可得，，根据30°的直角三角形的性质求得的值；②当时，点E落在菱形对角线上，推理得到 为等边三角形，求出AN长解答即可．
三、计算题：本大题共1小题，共3分。
19．计算：
【答案】解：
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的混合运算；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先根据二次根式的性质化简、计算零次幂和负整数指数次幂，代入特殊角的三角函数值，然后合并同类二次根式即可.
四、解答题：本题共7小题，共93分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20．化简求值，其中 .
【答案】解：
∴原式
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【分析】先把括号内的分式通分，然后把除法化为乘法，分解因式约分化简，再根据 得到a2=a+1，整体代入计算即可.
21．已知，，，试问与相等吗？请说明理由．
【答案】解： AB 与DE 相等，理由如下：
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠ACE=∠2+∠ACE，
∴∠ACB=∠DCE，
又∵CE=CB， AC=DC，
∴△ACB≌△DCE，
∴AB=DE.
【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】根据角的和差得到∠ACB=∠DCE，然后根据SAS得到△ACB≌△DCE，根据对应边相等得到结论即可.
22．某中学为了解学生每学期诵读经典的情况，在全校范围内随机抽查了部分学生上一学期阅读量，学校将阅读量分成优秀、良好、较好、一般四个等级，绘制如下统计表：
等级 一般 较好 良好 优秀
阅读量/本 3 4 5 6
频数 12 a 14 4
频率 0.24 0.40 b c
请根据统计表中提供的信息，解答下列问题：
（1） 本次调查一共随机抽取了　 　名学生；表中　 　，　 　，　 　．
（2） 求所抽查学生阅读量的众数和平均数．
（3） 样本数据中优秀等级学生有4人，其中仅有1名男生．现从中任选派2名学生去参加读书分享会，请用树状图法或列表法求所选2名同学中有男生的概率
【答案】（1）50；20；0.28；0.08
（2）∵阅读量为4本的同学最多，有20人，
∴众数为 4；
平均数为
（3）记男生为A，女生为B1， B2， B3，列表如下：
　 A B1 B2 B3
A 　
B1 B1A 　
　
B3A B3B1 　
∴由表可知，在所选2名同学中共有12种选法，其中必有男生的选法有6种，
∴所求概率为：
【知识点】频数（率）分布表；用列表法或树状图法求概率；加权平均数及其计算；众数
【解析】【解答】解：（1）12÷0.24=50，
，
，
；
故答案为：50 20，0.28，0.08；
【分析】（1）先根据一般等级的人数除以占比求出总数，根据总数×较好等级频率求出a，再根据良好等级频数÷总数求出b，最后用整体1减去三组数据的频率求出c即可；
（2）根据众数和平均数的定义解答即可；
（3）列表得到所有等可能结果，找出符合条件的结果数，再根据概率公式计算即可．
23．已知：如图， AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点， OF⊥BC于点F，交⊙O于点E， AE与BC交于点H，连接CE，BD是⊙O的切线，与OE的延长线相交于点D.
（1） 求证：；
（2） 求证：．
【答案】（1）证明： ∵BD是⊙O的切线，
∴∠D=∠ABC，
又∵
∴∠D=∠AEC；
（2）证明：如图，连接AC，
∵OF⊥BC，
∴∠ECB=∠EAC，
又∵∠CEH=∠AEC，
∴△CEH∽△AEC，
【知识点】垂径定理；切线的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据切线的性质可得，由垂直得到，根据同角的余角相等即可得到，再根据等弧所对的圆周角相等和等量代换证明结论；
（2）连接，根据垂径定理可得，，然后根据两角对应相等得到，利用对应边成比例证明即可．
24．小张购进一批食材制作特色美食，每盒售价为50元，由于食材需要冷藏保存，导致成本逐日增加，第x天(1≤x≤15且x为整数)时每盒成本为P元，已知P与x之间满足一次函数关系；第3天时，每盒成本为21元；第7天时，每盒成本为25元，每天的销售量为y盒，y与x之间的关系如下表所示：
第x天
每天的销售量y/盒 10
（1） 求P与X的函数关系式；
（2） 若每天的销售利润为元，求与的函数关系式；
（3） 请你帮小张求出第几天的销售利润最大，最大销售利润是多少元？
【答案】（1）解： 设p= kx+b(k≠0)，
∵第3天时，每盒成本为21元；第7天时，每盒成本为25元，
解得
∴p=x+18；
（2）解： 当1≤x≤6时， w=10[50-(x+18)]=-10x+320，
当6∴ w与x的函数关系式为 ；
（3）解：当1≤x≤6时，
∵-10<0，
∴w随x的增大而减小，
∴当x=1时， w最大为-10+320=310，
当6∴当x=13时， w最大为361，
综上所述，第13天时当天的销售利润最大，最大销售利润是361元.
【知识点】分段函数；待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求一次函数的解析式即可；
（2）分为1≤x≤6或6（3）分为1≤x≤6或625．阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当a>0，b>0时，当且仅当a=b时取等号.请利用上述结论解决以下问题：
（1）当x>0时， 的最小值为　 　；当x<0时， 的最大值为　 　.
（2）当x>0时，求 的最小值.
（3）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O， △AOB、△COD的面积分别为4和9，求四边形ABCD面积的最小值.
【答案】（1）2；-2
（2）由
∵x>0，
当 时，最小值为11；
（3）设 已知
则由等高三角形可知：
∴四边形 ABCD 面积
当且仅当x=6时取等号，即四边形ABCD面积的最小值为25.
【知识点】完全平方公式及运用；三角形的面积；基本不等式
【解析】【解答】解：（1）当x＞0时，
当x＜0时，
∵
∴
∴当时，的最小值为2；当时，的最大值为-2；
故答案为：2；-2；
【分析】（1）根据题目所给结论计算即可；
（2）将的化为，根据题目结论解答即可；
（3）设S△BOC=x，已知S△AOB=4，S△COD=9，即可得到S△BOC：S△COD=S△AOB：S△AOD，用含x的式子表示S△AOD，即可用含x的代数式表示四边形ABCD的面积，然后根据题目结论解答即可．
26．如图，已知抛物线 经过A(-5，0)， B(-4，-3)两点，与 x轴的另一个交点为C，顶点为D，连结CD.
（1） 求该抛物线的表达式；
（2） 点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），设点P的横坐标为t．
①当点P在直线BC的下方运动时，求的面积的最大值；
②该抛物线上是否存在点P，使得∠PBC=∠BCD若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）将点A、B坐标代入二次函数表达式得： 解得：
故抛物线的表达式为：
令y=0，则x=-1或-5，
即点C(-1，0)；
（2）①如图1，过点 P作y轴的平行线交 BC于点 G，
将点 B、C的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线 BC的表达式为： y=x+1…②，
设点G(t，t+1)，则点
有最大值，当 时，其最大值为
②设直线BP与CD交于点H，
当点 P 在直线BC下方时，
∵∠PBC=∠BCD， ∴点H在BC的中垂线上，
线段BC的中点坐标为
过该点与 BC垂直的直线的k值为-1，
设BC中垂线的表达式为： y=-x+m，将点 代入上式并解得：
直线 BC 中垂线的表达式为： y=-x-4…③，
同理直线 CD 的表达式为： y=2x+2…④，
联立③④并解得： x=-2，即点H(-2，-2)，
同理可得直线BH 的表达式为：
联立①⑤并解得： 或-4 (舍去-4)，
故点
当点P(P')在直线BC上方时，
∵∠PBC=∠BCD， ∴BP'∥CD，
则直线BP'的表达式为：y=2x+s，将点B坐标代入上式并解得：s=5，
即直线BP'的表达式为： y=2x+5…⑥，
联立①⑥并解得： x=0或-4 (舍去-4)，
故点P(0，5)；
故点 P 的坐标为 或(0，5).
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；利用一般式求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题；二次函数-角度的存在性问题；分类讨论
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式即可；
（2）①过点 P作y轴的平行线交 BC于点 G，求出直线BC 的解析式，设点G(t，t+1)，则点 根据得到函数关系式，配方为顶点式求出最值解答即可；
②当点P在直线BC下方，则H点在BC的垂直平分线上，求出其垂直平分线及CD的直线解析式，联立求出交点H的坐标，即可求出BP的解析式，并与二次函数联立求出点E的坐标即可；当点P在直线BC上方时，BP与CD平行，求出BP的解析式，并与二次函数联立求出交点坐标即可．
1 / 1四川省遂宁市船山区九年级2026中考二模数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1． 2019年8月，宁波舟山港即使受到台风影响，铁矿石吞吐量仍然超过了776万吨，环比上升11.04%．其中776万吨用科学记数法表示为（　　）
A．0.776×107 吨 B．7.76×106吨
C．776×104吨 D．7.76×104吨
2．如图，已知直线a// b，直线c与a，b分别交于点A，B，若∠1＝120°，则∠2＝（　　）
A．60° B．120° C．30° D．15°
3．在平面直角坐标系中，已知点A（-4，3）与点B关于原点对称，则点B的坐标为（　　）
A．（-4，-3） B．（4，3） C．（4，-3） D．（-4，3）
4．下列几何体中，主视图与俯视图不相同的是（　　）
A．正方体 B．正四棱锥
C．圆柱 D．球
5．使有意义的x的取值范围在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
6．如图，四边形ABCD内接于圆O， ∠BOD=108°，则∠BCD的度数是(　　)
A．127° B．108° C．126° D．125°
7．如果等腰三角形的周长为16，那么这个等腰三角形腰长x的取值范围是（　　）
A．x＞3 B．x＜6 C．3＜x＜6 D．4＜x＜8
8．已知一次函数 的图象如图所示，则 与 的图象为（　　）
A． B．
C． D．
9．小慧去花店购买鲜花，若买5支玫瑰和3支百合，则她所带的钱还剩下10元；若买3支玫瑰和5支百合，则她所带的钱还缺4元.若只买8支玫瑰，则她所带的钱还剩下（　　）
A．31元 B．30元 C．25元 D．19元
10．将全体正偶数排成一个三角形数阵：
按照以上排列的规律，第10行第5个数是（　　）
A．98 B．100 C．102 D．104
11．七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，如图，在正方形纸板ABCD中，BD为对角线，E，F分别为BC，CD的中点，AP⊥EF分别交BD，EF于O，P两点，M，N分别为BO，DO的中点，连接MP，NF，沿图中实线剪开即可得到一副七巧板，则在剪开之前，关于该图形，下列说法：①图中的三角形都是等腰直角三角形；②四边形MPEB是菱形；③四边形PFDM的面积占正方形ABCD面积的．正确的有（　　）
A．只有① B．①② C．①③ D．②③
12．抛物线 的对称轴是直线x=-1，其图象如图所示.下列结论：
①③若(x1，y1)和(x2，y2)是抛物线上的两点，则当 时， ；④抛物线的顶点坐标为(-1，m)，则关于 x的方程 无实数根.其中正确结论的个数是(　　)
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
13．分解因式：6m-3m2　 　．
14．分式方程的解是　 　
15．如图所示，在四边形ABCD中， ∠B=90°， AB=2， CD=8.连接AC， AC⊥CD，若 则AD长度是　 　.
16．半径为12cm，则圆心角为45°，的扇形周长是　 　cm．
17．若m，n是一元二次方程 的两个实数根，则 的值为　 　．
18．如图，菱形ABCD的周长为8， ∠D=120°，点M为边AB的中点，点N是边AD上任一点，把∠A沿直线MN折叠，点A落在图中的点E处，当△BEC是直角三角形时，AN的长度为　 　.
三、计算题：本大题共1小题，共3分。
19．计算：
四、解答题：本题共7小题，共93分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20．化简求值，其中 .
21．已知，，，试问与相等吗？请说明理由．
22．某中学为了解学生每学期诵读经典的情况，在全校范围内随机抽查了部分学生上一学期阅读量，学校将阅读量分成优秀、良好、较好、一般四个等级，绘制如下统计表：
等级 一般 较好 良好 优秀
阅读量/本 3 4 5 6
频数 12 a 14 4
频率 0.24 0.40 b c
请根据统计表中提供的信息，解答下列问题：
（1） 本次调查一共随机抽取了　 　名学生；表中　 　，　 　，　 　．
（2） 求所抽查学生阅读量的众数和平均数．
（3） 样本数据中优秀等级学生有4人，其中仅有1名男生．现从中任选派2名学生去参加读书分享会，请用树状图法或列表法求所选2名同学中有男生的概率
23．已知：如图， AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点， OF⊥BC于点F，交⊙O于点E， AE与BC交于点H，连接CE，BD是⊙O的切线，与OE的延长线相交于点D.
（1） 求证：；
（2） 求证：．
24．小张购进一批食材制作特色美食，每盒售价为50元，由于食材需要冷藏保存，导致成本逐日增加，第x天(1≤x≤15且x为整数)时每盒成本为P元，已知P与x之间满足一次函数关系；第3天时，每盒成本为21元；第7天时，每盒成本为25元，每天的销售量为y盒，y与x之间的关系如下表所示：
第x天
每天的销售量y/盒 10
（1） 求P与X的函数关系式；
（2） 若每天的销售利润为元，求与的函数关系式；
（3） 请你帮小张求出第几天的销售利润最大，最大销售利润是多少元？
25．阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当a>0，b>0时，当且仅当a=b时取等号.请利用上述结论解决以下问题：
（1）当x>0时， 的最小值为　 　；当x<0时， 的最大值为　 　.
（2）当x>0时，求 的最小值.
（3）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O， △AOB、△COD的面积分别为4和9，求四边形ABCD面积的最小值.
26．如图，已知抛物线 经过A(-5，0)， B(-4，-3)两点，与 x轴的另一个交点为C，顶点为D，连结CD.
（1） 求该抛物线的表达式；
（2） 点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），设点P的横坐标为t．
①当点P在直线BC的下方运动时，求的面积的最大值；
②该抛物线上是否存在点P，使得∠PBC=∠BCD若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：万吨吨 吨
故答案为：B.
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
2．【答案】A
【知识点】对顶角及其性质；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：如图，
解：∵∠1=120°，∠1与∠3是对顶角，
∴∠1=∠3=120°，
∵直线a∥b，
故选：A．
【分析】根据对顶角相等求出∠3的度数，再根据两直线平行，同旁内角互补解答即可．
3．【答案】C
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点A（﹣4，3），点A与点B关于原点对称，
∴点B（4，﹣3）．
故选：C．
【分析】根据关于原点的对称点的横、纵坐标互为相反数解答即可．
4．【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A.正方体的主视图与俯视图都是正方形，此选项不符合题意；
B. 正四棱锥的主视图是三角形，俯视图是带对角线的正方形，此选项符合题意；
C. 圆柱的主视图与俯视图都是长方形，此选项不符合题意；
D. 球的主视图与俯视图都是圆，此选项不符合题意；
故选：B．
【分析】
根据主视图、左视图、俯视图的定义，是分别从物体的正面、左面、上面三个方向观察物体得到的图形，根据这个定义来分析即可.
5．【答案】B
【知识点】二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：∵有意义
∴
解得：
在数轴上表示为：
故答案为：B.
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数求出x的取值范围，然后在数轴上表示即可.
6．【答案】C
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵对的圆周角是，圆心角是，，
∴，
∵A、B、C、D四点共圆，
∴，
∴，
故选：C．
【分析】根据圆周角定理求出的度数，然后根据圆内接四边形的性质解答即可．
7．【答案】D
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：∵等腰三角形的周长是16，腰长为x，
∴底边长为：16﹣2x，
∴，解得：4＜x＜8．
故选：D．
【分析】腰长为x，可得底边长为：16﹣2x，然后根据三角形三边关系可得2x＞16﹣2x>0，求出x的取值范围即可．
8．【答案】A
【知识点】反比例函数的图象；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：根据题意得： ，
∴ ，
∴一次函数 的图象经过第一、二、四象限，反比函数 的图象位于第一、三象限内.
故答案为：A.
【分析】一次函数y=kx+b，当k＞0，b＞0时，图象经过第一、二、三象限，一次函数y=kx+b，当k＞0，b＜0时，图象经过第一、三、四象限，一次函数y=kx+b，当k＜0，b＞0时，图象经过第一、二、四象限，一次函数y=kx+b，当k＜0，b＜0时，图象经过第二、三、四象限；反比例函数 ， 当k＞0时，图象经过第一、三象限，当k＜0时，图象经过第二、四象限，据此判断即可得出答案.
9．【答案】A
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设玫瑰花每支x元，百合花每支y元，小慧带的钱数是a元，由题意，
得 ，
将两方程相减得y-x=7，
∴y=x+7，
将y=x+7代入5x+3y=a-10
得8x=a-31，
∴若只买8支玫瑰花，则她所带的钱还剩31元。
故答案为：A
【分析】设玫瑰花每支x元，百合花每支y元，小慧带的钱数是a元，根据若买5支玫瑰花和3支百合花所带的钱还剩10元，若买3支玫瑰花和5支百合花所带的钱还差4元，列出方程组，根据等式的性质，将两个等式相减即可得出y-x=7，即y=x+7，将y=x+7代入其中的一个方程，即可得出8x=a-31.从而得出答案。
10．【答案】B
【知识点】用代数式表示数值变化规律；探索规律-数阵类规律
【解析】【解答】观察数字的变化可知：
第n行有n个偶数，
因为第1行的第1个数是： ；
第2行的第1个数是： ；
第3行的第1个数是：；
…
所以第n行的第1个数是： ，
所以第10行第1个数是：，
所以第10行第5个数是： ．
故选：B．
【分析】
先观察这些数字的变化规律，可以发现从第一行开始，每一行数字的数量和行数相等，也就是第n行一共包含n个偶数，先推导出第n第一个数的表达式，就可以求解本题.
11．【答案】C
【知识点】七巧板与拼图制作；勾股定理；菱形的判定；正方形的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABO＝∠ADB＝∠CBD＝∠BDC＝45°，∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴△ABD、△BCD是等腰直角三角形，
∵，
∴∠APF＝∠APE＝90°，
∵E，F分别为BC，CD的中点，
∴EF是△BCD的中位线，CE＝BC，CF＝CD，
∴CE＝CF，
∵∠C＝90°，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴EFBD，EF＝BD，
∴∠APE＝∠AOB＝90°，∠APF＝∠AOD＝90°，
∴△ABO、△ADO是等腰直角三角形，
∴AO＝BO，AO＝DO，
∴BO＝DO，
∵M，N分别为BO，DO的中点，
∴OM＝BM＝BO，ON＝ND＝DO，
∴OM＝BM＝ON＝ND，
∵∠BAO＝∠DAO＝45°，
∴由正方形是轴对称图形，则A、P、C三点共线，PE＝PF＝EF＝ON＝BM＝OM，
连接PC，如图，
∴NF是△CDO的中位线，
∴NFAC，NF＝OC＝OD＝ON＝ND，
∴∠ONF＝180°－∠COD＝90°，
∴∠NOP＝∠OPF＝∠ONF＝90°，
∴四边形FNOP是矩形，
∴四边形FNOP是正方形，
∴NF＝ON＝ND，
∴△DNF是等腰直角三角形，
∴图中的三角形都是等腰直角三角形；
故①正确，
∵PEBM，PE＝BM，
∴四边形MPEB是平行四边形，
∵BE＝BC，BM＝OB，
在Rt△OBC中，BC＞OB，
∴BE≠BM，
∴四边形MPEB不是菱形；
故②错误，
∵PC＝PO＝PF＝OM，∠MOP＝∠CPF＝90°，
∴△MOP≌△CPF（SAS），
∴
，
故③正确，
故选：C.
【分析】先根据正方形的性质、三角形中位线定理得到三角形的形状判断①；然后得到四边形MPEB是平行四边形，但是PM≠BM即可判断②；最后再得到四边形PFDM的面积与正方形ABCD面积关系判断③解答即可．
12．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：①抛物线图象开口向上，
，
对称轴在直线轴左侧，
，同号，，
抛物线与轴交点在轴下方，
，
，故①正确．
②，
当时，由图象可得，
当时，，由图象可得，
，即，
故②正确．
③，，
，
点，到对称轴的距离大于点，到对称轴的距离，
，
故③错误．
④抛物线的顶点坐标为，
，
，
无实数根．
故④正确，
综上所述，①②④正确，
故选：B．
【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，与轴交点位置得到，，的正负判断①；把分别代入解析式求出函数值的取值范围，然后相乘判断②；根据距离对称轴距离越远的点的函数值越大判断③；由抛物线顶点纵坐标可得，即可得到方程根的情况判断④解答即可．
13．【答案】3m(2-m)
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：.
【分析】提公因式3m分解因式即可．
14．【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：方程两边同时乘以2x(x+1)，得
3(x+1)=4x
3x+3=4x
x=3，
检验：把x=3代入2x(x+1)=2×3(3+1)=24≠0，
∴原分式方程的解为：x=3．
故答案为：x=3．
【分析】利用解分式方程的方法解方程即可。
15．【答案】10
【知识点】解直角三角形；已知正弦值求边长
【解析】【解答】解：在中，
∵，
∴．
在中，
．
故答案为：10．
【分析】根据正弦的定义求出长，然后根据勾股定理求出AD长即可．
16．【答案】24+3π
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：扇形周长弧长，
故答案为：24+3π.
【分析】根据扇形的周长等于弧长与两半径的和解答即可.
17．【答案】3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵，是一元二次方程的两个实数根，
∴，
∴
故答案为：3.
【分析】根据根与系数的关系可得，，然后代数式化为，然后直接代入计算即可.
18．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；分类讨论
【解析】【解答】解：∵菱形的周长为8，
∴，
∵点M为的中点，
∴．
由翻折可知，
∴．
①当时，
∵菱形，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，；
②当时，
则：点E落在菱形对角线上，
∵点M为的中点，为折痕，此时于点E，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴．
当或1时，是直角三角形．
故答案为：或1．
【分析】根据菱形的性质可得边长为2，根据翻折得到，分两种情况讨论：①当时，即可得到，，从而可得，，根据30°的直角三角形的性质求得的值；②当时，点E落在菱形对角线上，推理得到 为等边三角形，求出AN长解答即可．
19．【答案】解：
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的混合运算；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先根据二次根式的性质化简、计算零次幂和负整数指数次幂，代入特殊角的三角函数值，然后合并同类二次根式即可.
20．【答案】解：
∴原式
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【分析】先把括号内的分式通分，然后把除法化为乘法，分解因式约分化简，再根据 得到a2=a+1，整体代入计算即可.
21．【答案】解： AB 与DE 相等，理由如下：
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠ACE=∠2+∠ACE，
∴∠ACB=∠DCE，
又∵CE=CB， AC=DC，
∴△ACB≌△DCE，
∴AB=DE.
【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】根据角的和差得到∠ACB=∠DCE，然后根据SAS得到△ACB≌△DCE，根据对应边相等得到结论即可.
22．【答案】（1）50；20；0.28；0.08
（2）∵阅读量为4本的同学最多，有20人，
∴众数为 4；
平均数为
（3）记男生为A，女生为B1， B2， B3，列表如下：
　 A B1 B2 B3
A 　
B1 B1A 　
　
B3A B3B1 　
∴由表可知，在所选2名同学中共有12种选法，其中必有男生的选法有6种，
∴所求概率为：
【知识点】频数（率）分布表；用列表法或树状图法求概率；加权平均数及其计算；众数
【解析】【解答】解：（1）12÷0.24=50，
，
，
；
故答案为：50 20，0.28，0.08；
【分析】（1）先根据一般等级的人数除以占比求出总数，根据总数×较好等级频率求出a，再根据良好等级频数÷总数求出b，最后用整体1减去三组数据的频率求出c即可；
（2）根据众数和平均数的定义解答即可；
（3）列表得到所有等可能结果，找出符合条件的结果数，再根据概率公式计算即可．
23．【答案】（1）证明： ∵BD是⊙O的切线，
∴∠D=∠ABC，
又∵
∴∠D=∠AEC；
（2）证明：如图，连接AC，
∵OF⊥BC，
∴∠ECB=∠EAC，
又∵∠CEH=∠AEC，
∴△CEH∽△AEC，
【知识点】垂径定理；切线的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据切线的性质可得，由垂直得到，根据同角的余角相等即可得到，再根据等弧所对的圆周角相等和等量代换证明结论；
（2）连接，根据垂径定理可得，，然后根据两角对应相等得到，利用对应边成比例证明即可．
24．【答案】（1）解： 设p= kx+b(k≠0)，
∵第3天时，每盒成本为21元；第7天时，每盒成本为25元，
解得
∴p=x+18；
（2）解： 当1≤x≤6时， w=10[50-(x+18)]=-10x+320，
当6∴ w与x的函数关系式为 ；
（3）解：当1≤x≤6时，
∵-10<0，
∴w随x的增大而减小，
∴当x=1时， w最大为-10+320=310，
当6∴当x=13时， w最大为361，
综上所述，第13天时当天的销售利润最大，最大销售利润是361元.
【知识点】分段函数；待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求一次函数的解析式即可；
（2）分为1≤x≤6或6（3）分为1≤x≤6或625．【答案】（1）2；-2
（2）由
∵x>0，
当 时，最小值为11；
（3）设 已知
则由等高三角形可知：
∴四边形 ABCD 面积
当且仅当x=6时取等号，即四边形ABCD面积的最小值为25.
【知识点】完全平方公式及运用；三角形的面积；基本不等式
【解析】【解答】解：（1）当x＞0时，
当x＜0时，
∵
∴
∴当时，的最小值为2；当时，的最大值为-2；
故答案为：2；-2；
【分析】（1）根据题目所给结论计算即可；
（2）将的化为，根据题目结论解答即可；
（3）设S△BOC=x，已知S△AOB=4，S△COD=9，即可得到S△BOC：S△COD=S△AOB：S△AOD，用含x的式子表示S△AOD，即可用含x的代数式表示四边形ABCD的面积，然后根据题目结论解答即可．
26．【答案】（1）将点A、B坐标代入二次函数表达式得： 解得：
故抛物线的表达式为：
令y=0，则x=-1或-5，
即点C(-1，0)；
（2）①如图1，过点 P作y轴的平行线交 BC于点 G，
将点 B、C的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线 BC的表达式为： y=x+1…②，
设点G(t，t+1)，则点
有最大值，当 时，其最大值为
②设直线BP与CD交于点H，
当点 P 在直线BC下方时，
∵∠PBC=∠BCD， ∴点H在BC的中垂线上，
线段BC的中点坐标为
过该点与 BC垂直的直线的k值为-1，
设BC中垂线的表达式为： y=-x+m，将点 代入上式并解得：
直线 BC 中垂线的表达式为： y=-x-4…③，
同理直线 CD 的表达式为： y=2x+2…④，
联立③④并解得： x=-2，即点H(-2，-2)，
同理可得直线BH 的表达式为：
联立①⑤并解得： 或-4 (舍去-4)，
故点
当点P(P')在直线BC上方时，
∵∠PBC=∠BCD， ∴BP'∥CD，
则直线BP'的表达式为：y=2x+s，将点B坐标代入上式并解得：s=5，
即直线BP'的表达式为： y=2x+5…⑥，
联立①⑥并解得： x=0或-4 (舍去-4)，
故点P(0，5)；
故点 P 的坐标为 或(0，5).
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；利用一般式求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题；二次函数-角度的存在性问题；分类讨论
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式即可；
（2）①过点 P作y轴的平行线交 BC于点 G，求出直线BC 的解析式，设点G(t，t+1)，则点 根据得到函数关系式，配方为顶点式求出最值解答即可；
②当点P在直线BC下方，则H点在BC的垂直平分线上，求出其垂直平分线及CD的直线解析式，联立求出交点H的坐标，即可求出BP的解析式，并与二次函数联立求出点E的坐标即可；当点P在直线BC上方时，BP与CD平行，求出BP的解析式，并与二次函数联立求出交点坐标即可．
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