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13.2与三角形有关的线段
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．一个三角形的两边长分别为和，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最小值是（　　）
A． B． C． D．
2．已知三角形的两边长分别是3和5，则第三边长a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，工人师傅砌门时，常用木条固定门框，使其不变形，这种做法的根据是（ ）
A．两点之间线段最短 B．矩形的对称性
C．矩形的四个角都是直角 D．三角形的稳定性
4．若等腰三角形的周长为，一边长为，则底边长为（ ）
A． B． C． D．或
5．如图，是的中线，连接，的面积是10，则的面积是（ ）
A． B．5 C．3 D．
6．现有长度分别为15cm和20cm的小棒，要从下面四种长度的小棒中选取其中一根小棒拼成三角形，则所选择的小棒是（ ）
A．5cm B．25cm C．35cm D．40cm
7．如图，的角平分线与中线交于点，对于下列结论：①是的角平分线；②是的中线；③；④．其中正确的是（　　）
A．①② B．①③ C．①④ D．②④
8．如图，在中，，垂足为D，，．E，F为边，上两点，点，关于直线对称，点为线段上一动点，则的最小值是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
9．如图，在中，，，，，点是线段上一点，则线段的长度不可能是（　　）
A． B． C． D．
10．绝缘梯是电力工程的专用登高工具，如图，绝缘梯模型中的长度都为，则A，B两点之间的距离可能是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，用三角板作的边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在中，D，E分别是边，的中点，若的面积为8，则的面积为（ ）
A． B．2 C． D．3
二、填空题
13．如图，点C在直线l外，点A、B在直线l上，点D是的中点，已知，的面积为9，则的最小值为______．
14．如图，已知中，，，，为边上一点，，为上一点，过点作于点，于点，求的值______．
15．我国建造的港珠澳大桥全长55公里，集桥、岛、隧于一体，是世界最长的跨海大桥．如图，这是港珠澳大桥中的斜拉索桥，那么你能推断出斜拉索大桥中运用的数学原理是_______．
16．三角形具有稳定性的原因________________________________．
17．杜师傅在做完门框后，为防止门框变形常常需钉两根斜拉的木条，这样做的数学原理是 ________．
三、解答题
18．如图，在中，E是中线的中点，的面积是1，求的面积．
19．已知的三边长分别为a，b，c，且，求b的取值范围．
20．如图，是等腰三角形，．试画出边上的中线和高以及的平分线．从中你发现了什么？
21．如图，在中，是钝角，完成下列画图，并用适当的符号在图中表示．
(1)边上的高；
(2)边上的高．
22．综合与实践
问题情境：
如图1，学校有一块三角形空地，其中米，米，米．点在边上，点在边上，米，米，在范围内种植谷物．
思考探究：
（1）种植谷物的面积为_________平方米．
方案设计：
现需要在剩余空地上分割出一块三角形空地种植玉米（为种植玉米三角形空地的一个顶点），其面积与种植谷物的面积相同．
（2）可以利用全等三角形面积相等的方法设计方案．
①欣欣的方案：如图2，在边上选取一点，在边上选取点，当时，即可使种植玉米的面积与种植谷物的面积相同，求此时的长．
②彤彤认为还有其他全等情况也符合设计要求，请直接写出其他符合设计要求的方案中的长．（点在边上，点在边上）
（3）畅畅想到了利用中线分割的方法，如图3，选取的中点，连接，选取的中点，连接，则即为符合条件的种植玉米的三角形空地．请说明畅畅的想法是否正确，并说明理由．
23．如图，，是四边形的对角线，且，相交于点O．求证：
(1)；
(2)．
24．如图，在中，，，是边上的高，是的平分线，求的度数．
《13.2与三角形有关的线段》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C D D D B B B A A
题号 11 12
答案 D B
1．A
【分析】此题考查了三角形的三边关系，由三角形的三边关系定理可得到的取值范围，而是整数，可求的最小值，周长最小值也可求，熟练掌握三角形三边关系定理：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．
【详解】解：设第三边长是，
∵三角形的两边长分别为和，
∴，即，
∵是整数，
∴，，，，，
∴当时，三角形的周长最小值是，
故选：．
2．C
【分析】本题考查了三角形三边关系．根据三角形三边关系，第三边必须大于其他两边之差且小于其他两边之和判断即可．
【详解】解：已知三角形的两边分别为3和5，
根据三角形三边关系可知：，，
因此，第三边的取值范围为．
故选：C．
3．D
【分析】本题考查了三角形的稳定性的应用，加上木条后，不稳定的长方形门框具有了稳定的三角，即可得，解题的关键是理解题意，掌握三角形的稳定性．
【详解】解：加上木条后，组成了，不稳定的长方形门框具有了稳定的三角形，
故选：D．
4．D
【分析】本题考查等腰三角形的定义和三角形三边关系，掌握以上知识是解答本题的关键；
本题需分类讨论是腰长或底边长的情况，并验证三边是否满足关系，然后即可求解；
【详解】解：∵等腰三角形周长为，一边长为，
∴当为腰长时，底边长为，此时三边、、，满足，能构成三角形；
当为底边长时，腰长为，此时三边、、，满足，能构成三角形；
综上所述：底边长为或；
故选：D；
5．D
【分析】根据是边上的中线，得到，根据是边上的中线，解答即可．
本题考查了三角形中线的意义，三角形面积的性质，熟练掌握三角形中线的性质是解题的关键．
【详解】解：根据是边上的中线，的面积等于10，得到，
根据是边上的中线，．
故选：D．
6．B
【分析】根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，解答此题即可
【详解】解：20-15＜第三边＜20+15
5＜第三边＜35
所以再选一根25cm的小棒就能围成一个三角形
故选：B
【点睛】本题主要考查了三角形三边关系，熟练掌握三角形的三边关系，是解答此题的关键。
7．B
【分析】本题三角形的角平分线、中线的概念和性质，掌握三角形的角平分线、中线的概念是解题的关键．
根据三角形的角平分线、中线的概念判断即可．
【详解】解：∵的角平分线与中线交于点，
∴是的角平分线，，不是的中线，
故①③正确，符合题意；②错误，不符合题意；
∵不是的中线，
∴，
故④错误，不符合题意；
故选：B．
8．B
【分析】本题主要考查了轴对称 最短路线问题、三角形面积的计算等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
连接，根据轴对称的性质可得，由垂线段最短可知，即的最小值为，结合三角形面积公式求出即可．
【详解】解：如图：连接，
∵点，关于直线对称，
∴，
∴，
∵，．
∴,
∴的最小值为6，
故选B．
9．A
【分析】本题考查垂线的性质，三角形面积，熟练掌握垂线段最短是解题的关键；
利用三角形面积关系求出的长度，利用垂线段最短即可求解；
【详解】解：如图，过C作交于点，
，
，
，
，
根据垂线段最短，可得，
线段的长度不可能是；
故选：A．
10．A
【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用，三角形中，任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，据此求出的范围即可得到答案．
【详解】解：由构成三角形的条件可知，，
∵，
∴，即，
∴四个选项中，只有A选项符合题意，
故选：A．
11．D
【分析】本题主要考查了三角形的高，从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．根据高线的定义即可得出结论．
【详解】解：．作出的是中边上的高线，故该选项不符合题意；
．作出的是中边上的高线，故该选项不符合题意；
．不能作出的高，故该选项不符合题意；
．作出的是中边上的高线，故该选项符合题意．
故选：D．
12．B
【分析】本题考查三角形中线的性质，熟练掌握三角形中线的性质是解题的关键．
根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，据此先计算，再求出即可．
【详解】解：点D是边的中点，，
，
点E是边的中点，
，
故选：B．
13．6
【分析】本题考查了三角形的面积，三角形的中线，垂线段最短，熟练掌握三角形中线的性质是解题的关键．
根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形即可得出的面积，再根据当时最小即可求出结果．
【详解】解：∵点D是的中点，已知，
∴，，
∵的面积为9，
∴的面积为9，
当时，最小，
∴，
∴．
故答案为：6．
14．4
【分析】本题考查了三角形的面积，先求出，然后根据即可求出的值．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
古答案为：4．
15．三角形的稳定性
【分析】本题考查三角形的稳定性在实际生活中的应用问题，正确把握其性质是解题的关键，根据三角形的三边一旦确定，则形状大小完全确定，及三角形的稳定性．
【详解】解：可以推断出斜拉索大桥中运用的数学原理是三角形的稳定性．
故答案为：三角形的稳定性．
16．三角形的三边确定了，则三角形的形状、大小也确定了．
【分析】根据三角形三边一定则形状确定回答即可．
【详解】解：三角形的三边确定了，则三角形的形状、大小也确定了．
故答案为：三角形的三边确定了，则三角形的形状、大小也确定了．
【点睛】本题考查了三角形稳定性的理解，关键是理解三角形稳定性．
17．三角形具有稳定性
【分析】杜师傅这样做是为了构成三角形，根据三角形的三边一旦确定，则形状大小完全确定，即三角形的稳定性来解决问题．
本题主要考查了“三角形具有稳定性”，能够利用这一知识来解释一些生活现象是解题的关键．
【详解】解：杜师傅在做完门框后，为防止门框变形常常需钉两根斜拉的木条，这样做就构成了三角形，利用的数学原理是三角形的稳定性．
故答案为：三角形具有稳定性．
18．
【分析】本题考查三角形的中线．根据三角形的中线平分三角形的面积，进行求解即可．
【详解】解：作于点H，
∵E为中点，
∴，
∵，
∴，
∵是中线，
∴同理可得．
19．
【分析】根据绝对值和偶次方的非负性求出，，可得，然后根据三角形的三边关系求出，解不等式组可得答案．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
由得，
根据三角形的三边关系得，即，
∴，
由得，由得，
∴b的取值范围是．
【点睛】本题考查了绝对值和偶次方的非负性，三角形的三边关系定理，解一元一次不等式组，根据三角形的三边关系得出不等式组是解题的关键．
20．解：边上的中线和高以及的平分线，作图如图，
由图可知等腰三角形底边上的中线、高以及顶角的角平分线重合．
【分析】用直尺、量角器便可作出中线、高线及角平分线，观察三条线的位置关系即可．
【详解】略．
21．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了与三角形有关的线段，熟练掌握三角形高的定义是解题关键．
（1）过点B作，交延长线于点E，线段即为的边上的高；
（1）过点A作于点D，线段即为的边上的高；
【详解】（1）解：如图，即为边上的高．
；
（2）解：如图，即为边上的高．
22．（1）6；（2）①米；②当时，米；（3）正确，理由见解析
【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形中线的性质，灵活运用各知识点是解答本题的关键．
（1）利用三角形的面积公式计算即可；
（2）①当时，米，进而可求出的长；
②当时，米，进而可求出的长；
（3）根据中线的性质求出的面积，即可判断畅畅的想法是否正确．
【详解】解：（1）∵，米，米，
∴种植谷物的面积平方米．
故答案为：6；
（2）①∵，
∴米，
∴米；
②当时，
则米，
∴米；
（3）∵米，米，
∴平方米．
∵P是的中点，
∴平方米．
∵Q是的中点，
∴平方米．
∴，
∴此想法正确．
23．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）在和中，利用三角形三边关系即可求证结论．
（2）由（1）得，，在和中，利用三角形三边关系可得，利用等量关系即可求证结论．
【详解】（1）证明：∵在和中，，，
∴，即．
（2）由（1）得，，
同理可得，，
∴，
即．
【点睛】本题考查了三角形三边关系，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键．
24．
【分析】本题考查的是三角形的高，角平分线的含义，三角形的内角和定理的应用，先证明，求解，，，结合角平分线的定义可得，再利用三角形的内角和定理可得答案．
【详解】解：是边上的高，
．
，，
， ．
．
是的平分线，
．
．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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