资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
13.3三角形的内角与外角
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在四边形中，，点为边上一点．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，已知，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在中，直线，若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
4．如图所示，AD平分△ABC的外角∠CAE，交BC的延长线于D，若∠B＝60°，∠CAD＝75°，则∠ACD＝（ ）
A．50° B．65° C．80° D．90°
5．已知，在中，，则的大小为（ ）．
A． B． C． D．
6．在中，，，则这个三角形是（ ）三角形．
A．锐角 B．直角 C．钝角 D．不能确定
7．下面是投影屏上出示的抢答题，需回答横线上符号代表的内容．回答正确的是（ ）
已知：如图，． 求证：． 证明：延长交※于点． 则◎． 又．得▲． 故（@相等，两直线平行）．
A．◎代表 B．@代表同位角 C．▲代表 D．※代表
8．如图，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
9．在物理实验中，一位同学研究一个小木块在斜坡上滑下时的运动状态．如图，在中，，，小木块（斜坡上，且，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，平面上直线a、b分别过线段两端点（数据如图），则a、b相交所成的锐角是（　　）
A．20° B．30° C．80° D．100°
11．如图，已知直线，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，将纸片沿折叠使点A落在点处，且平分，若，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，射线AB与射线CD平行，点F为射线AB上的一定点，连接CF，点P是射线CD上的一个动点（不包括端点C），将沿PF折叠，使点C落在点E处．若，当点E到点A的距离最大时，_____．
14．在中，，三个内角中最大内角的度数为______°．
15．在中，，若，则___________度．
16．如图，中，，，平分，交于点，那么的度数是______．
17．在中，，，点是上一个动点，当取最小值时，________．
三、解答题
18．如图，在中，，平分，，，求的度数．
19．说出如图所示图形中和的度数：
20．综合与实践课上，老师让同学们以“三角形三个内角的和等于”为主题开展数学活动．某小组三位同学在纸上画出三角形并剪下，然后通过观察、实验的方法得到了“三角形三个内角的和等于”的结论，实验方法如下：
实验方法1：将撕下，然后拼接摆放如图．
实验方法2：将撕下，然后拼接摆放如图．
实验方法3：将撕下，然后把点A和点C重合拼接摆放如图．
受到实验方法1的启发，小明形成了证明该结论的想法：方法1的拼接方法直观上看，是把和移动到的右侧，且使这三个角的顶点重合，如果把这种拼接方法抽象为几何图形，那么利用所学过的知识就可以解决问题了．
小明的证明过程如下：
已知：如图，求证：
证明：延长到D，过点C作．
∵，
∴___________（两直线平行，内错角相等），（　　）
∵（平角定义）．
∴．
请你参考小明解决问题的方法1的思路，从方法2和方法3中任选一种，画图并标注字母，写出证明该结论的过程．
21．数学课上老师提出“请对三角形内角和等于进行说理．”
已知：，，是的三个内角．
对进行说理
小明给出如下说理过程，请补全证明过程．

证明：过点A作
∵
∴
______=______（__________________）
∵（__________________）
∴
听完小明的说理过程后，小亮提出：小明作辅助线的方法，就是借助平行线把三角形的三个内角转化成一个平角，这就启发我们可以借助平行线，对“如图，”进行说理．请你帮助小亮完成作图并用文字语言叙述辅助线作法，不用写出推理过程．

22．如图是三个岛的平面图，岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏西方向．
(1)从岛看两岛的视角是多少度？
(2)从岛看两岛的视角是多少度？
23．光线镜面反射时，入射光线、反射光线、法线（经过入射点并垂直于反射面的直线）在同一平面内并且入射光线、反射光线在法线的两侧，反射角等于入射角．如图①，为一镜面，为入射光线、入射点为，为法线，为反射光线，此时．
(1)如图①，求证：；
(2)两平面镜，相交于点，一束光线从点A出发，经过平面镜两次反射后恰好过点．
①如图②，若两束光线，相交于点，请探究与之间的数量关系；
②如图③，若两束光线，所在的直线相交于点，与之间满足的等量关系是______．
24．如图，在中，的平分线交于点．点是边上的一个动点，过点作交边于点．设的度数为．
(1)如图，当点在线段上运动时（不与重合），作的外角的平分线，交的延长线于点．
①_____；（用含的代数式表示）
②当时，求的度数；
(2)类比（1）的思路，当点在线段上运动时（不与重合），作的外角的平分线，交直线于点（点不与点重合），求的度数．（用含的代数式表示）
《13.3三角形的内角与外角》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B C D C B A A C A
题号 11 12
答案 D C
1．C
【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角定理，掌握相关知识是解决问题的关键．由，，可求得，已知，利用三角形外角定理可知，则题目可求．
【详解】解：∵，，
∴，
，
，
．
故选：C．
2．B
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，延长交于点，由平行线的性质可得，即得，再根据三角形的外角性质即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，延长交于点，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：．
3．C
【分析】先由平行线的性质求出，再利用三角形内角和即可求出．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴．
4．D
【分析】先根据角平分线的定义可得，再根据三角形的外角性质可得，然后在中，根据三角形的内角和定理即可得．
【详解】解：∵平分，，
∴，
∵，
∴，
在中，，
故选：D．
【点睛】本题考查了角平分线、三角形的外角性质、三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键．
5．C
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，掌握三角形内角和恒为是解题的关键．
直接利用三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵在中，，且，
∴．
故选C．
6．B
【分析】本题考查了三角形的分类及三角形内角和定理的应用，先根据已知求出，再根据三角形内角和定理求出，进而即可判断求解，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴这个三角形是直角三角形，
故选：．
7．A
【分析】根据三角形的外角性质、平行线的判定定理解答即可．
【详解】解：延长交于点．
则．
又．得．
故（内错角相等，两直线平行）．
∴※代表，◎代表，▲代表，@代表内错角，
∴A选项说法正确，符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查的是三角形的外角性质、平行线的判定，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
8．A
【分析】本题考查等边对等角，三角形的内角和定理与三角形的外角，根据等边对等角，结合三角形的外角的性质以及三角形的内角和定理，进行求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故选A．
9．C
【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，平行线的性质，由三角形的内角和可得 再由平行线的性质即可求的度数，解答的关键是明确三角形的内角和为熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等．
【详解】解：∵，，
，
故选：．
10．A
【分析】此题考查三角形的外角性质．根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得答案．
【详解】解：a，b相交所成的锐角．
故答案选A．
11．D
【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据三角形的内角和定理得到的度数，然后根据平行线的性质得到的度数，再根据角的和差解题即可．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故选D．
12．C
【分析】连接．根据三角形外角的性质，得：．由角平分线的性质及三角形内角和定理得．由折叠的性质得．进而可求解．
【详解】解：如图，连接，
，
．
平分，平分，
，．
．
．
是由沿折叠得到．
．
，，
故选：C．
【点睛】本题主要考查三角形内角和定理、角平分线的定义、图形折叠的性质，三角形外角的性质，熟练掌握三角形内角和定理、角平分线的定义、图形折叠的性质，三角形外角的性质是解决本题的关键．
13．/59度
【分析】利用三角形三边关系可知：当E落在AB上时，AE距离最大，利用且，得到，再根据折叠性质可知：，利用补角可知，进一步可求出．
【详解】解：利用两边之和大于第三边可知：当E落在AB上时，AE距离最大，如图：
∵且，
∴，
∵折叠得到，
∴，
∵，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查三角形的三边关系，平行线的性质，折叠的性质，补角，角平分线，解题的关键是找出：当E落在AB上时，AE距离最大，再解答即可．
14．
【分析】本题考查了三角形的内角和定理，解题关键是掌握三角形的内角和定理并能熟练运用求解．
根据三角形的内角和定理，结合三个角的比例求出最大内角的度数．
【详解】解：∵在中，，
∴三个内角中最大内角的度数为，
故答案为：．
15．60
【分析】根据直角三角形两锐角互余列式计算即可求解．
【详解】解：在中，，若，
．
故答案为：60．
【点睛】本题主要考查了直角三角形两锐角互余的性质，熟练掌握相关知识是解题关键．
16．
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的运用，解题时注意：三角形内角和等于．先根据三角形内角和，得到的度数，再根据角平分线的定义，得出，进而根据三角形内角和，即可得到的度数．
【详解】解：，，
，
平分，
，
中，，
故答案为：．
17．
【分析】此题考查了垂线段最短，直角三角形两锐角互余，解题的关键是掌握以上知识点．
首先根据垂线段最短得到当时，取最小值，然后利用直角三角形两锐角互余求解即可．
【详解】如图所示，

∵点是上一个动点
∴当时，取最小值
∴
∵
∴．
故答案为：．
18．
【分析】本题考查三角形的外角，根据三角形的外角求出，角平分线，求出的度数，再根据三角形的外角求出的度数即可．
【详解】解：∵是的一个外角，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
19．，
【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角性质，根据三角形内角和可求出的度数，根据三角形外角性质可求出的度数．
【详解】解：，
．
20．见解析
【分析】根据平行线的性质得到，再利用平角的定义得到，从而得到；
选择实验方法3进行证明，过C点作的平行线，如图1，根据平行线的性质得到，即，然后利用等量代换得到．
【详解】证明：延长到D，过点C作，
∵，
∴，
∵，
∴；
故答案为：1；两直线平行，同位角相等；
选择实验方法3进行证明：
已知：如图，
求证：
证明：过C点作的平行线，如图1，
∵，
∴，
即，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
21．；；两直线平行，内错角相等；平角定义；作图以及证明见解析
【分析】本题考查的是平行线的性质，三角形的内角和定理的证明；根据平行线的性质与平角的定义可得出推理的依据，如图，作，交于点，利用平行线的性质即可求解结论．
【详解】证明：过点作，
∵，
∴，（两直线平行，内错角相等），
（平角定义），
，
故答案为： ；；两直线平行，内错角相等；平角定义
证明：作，交于点 ，如图所示：
，
，，
，
，
即．
22．(1)度
(2)度
【分析】（）由题意可得，进而根据平行线的性质得到，再根据角的和差关系即可求解；
（）由题意可得，再根据三角形的内角和定理即可求解；
本题考查了方位角，平行线的性质，三角形内角和定理，掌握方向角的定义是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意可得，，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
答：从岛看两岛的视角是度；
（2）解：∵，，
∴，
又∵，
∴，
答：从岛看两岛的视角是度．
23．(1)见解析
(2)①，见解析；②
【分析】本题考查了角的和差，轴对称反射问题，以及三角形内角和等知识，解题的关键是利用镜面反射中反射角等于入射角的性质，结合角的和差关系进行推导．
（1）根据镜面反射中“法线垂直镜面”得出，再结合“反射角等于入射角”，利用角的和差关系，即，推导出．
（2）①由（1）的结论，设，，先得出；再根据平角定义求出，；最后利用三角形内角和，求出，进而推导出．②设，，先求出，；再根据角的差求出，同时得出，从而推导出．
【详解】（1）证明：根据题意，得，，
，
，
即．
（2）解：①由（1）可知．
设，
．
，，
；
，
即．
②设，．
，．．．
．
故答案为：．
24．(1)①；②
(2)或
【分析】本题主要考查了直角三角形两锐角互余、平行线的性质、角平分线的定义、三角形外角的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
（1）①直接根据直角三角形两锐角互余即可解答；②先求出，根据交平分线的定义可得，再根据平行线的性质可得，再根据三角形外角的性质可求得、，再根据角平分线的定义求得，最后根据三角形外角的性质即可解答；
（2）当点P在线段上和点P在线段的延长线上两种情况，先求出，根据交平分线的定义可得，再根据平行线的性质可得，再根据三角形外角的性质可求得、或，再根据角平分线的定义求得，进而求得，最后根据三角形外角的性质求解即可．
【详解】（1）解：①∵在中，，设的度数为，
∴；
②：∵，
∴，
∵的平分线交于点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵是的平分线，
∴，
∴．
（2）解：如图：当点P在线段上时，
∵在中，，设的度数为，
∴；
∵的平分线交于点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵是的平分线，
∴，
∴
∴．
如图：当点P在线段的延长线上时，
∵在中，，设的度数为，
∴；
∵的平分线交于点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵是的平分线，
∴，
∴
∴．
综上，的度数为或．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑