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第十三章三角形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在学习三角形的高线时，老师要求同学们画出边上的高，下列作图正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图1，中，点和点分别为上的动点，把纸片沿折叠，使得点落在的外部处，如图2所示．若，则度数为( )
A． B． C． D．
3．如图，把沿直线折叠，使点A恰好落在边上的点处，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，把纸片沿着DE折叠，当点A落在四边形内部时，则与之间的数量关系是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列长度的3条线段不能组成三角形的是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
6．下列物品中，主要利用三角形稳定性设计的是（ ）
A．伸缩式雨棚 B．可折叠的购物车
C．照相机的三脚 D．校门口的自动伸缩门
7．如图，图中三角形的个数共有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
8．如图，在中，，，则的高与的比是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，CD⊥AB于点D，已知∠ABC是钝角，则（ ）
A．线段CD是ABC的AC边上的高线 B．线段CD是ABC的AB边上的高线
C．线段AD是ABC的BC边上的高线 D．线段AD是ABC的AC边上的高线
10．唐朝李白的《行路难》有句诗“长风破浪会有时，直挂云帆济沧海．”如图是小明作的一个帆船模型抽象的几何图形，已知．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
11．一张三角形纸片如图所示，已知，若沿着虚线剪掉阴影部分纸片，记，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．无法比较和的大小
12．如图，已知，，，那么等于（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
13．在中，，，则____°．
14．木兰溪大桥全长，由我国著名桥梁专家、莆籍院士林元培设计，以莆田特色的“壶山兰水”为主题，将莆田人文景观与自然环境结合，体现了莆田地域文化和时代特征．如图，桥梁拉杆和桥面构成三角形的结构，运用的数学原理是三角形的__________
15．中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出证明三角形面积公式的出入相补法．如图所示，在中，分别取、的中点、，连接，过点作，垂足为，将分割后拼接成长方形．已知，，则的面积为______．

16．如图，图中三角形的个数为________；以为边的三角形是____________，以为一个内角的三角形是________；在中，的对边是________．
17．如图，在中，是中线，，的周长是，则的周长是______．
三、解答题
18．如图，在中，，交于点D，已知，平分，求的度数．
19．如图，在中，、、分别为的高、角平分线和中线．
(1)图中相等的角有 、 ，相等的线段有 ．
(2)当，时，求的度数．
20．如图，，，是三角形的三条边．请画出线段．由此，你能得到与的大小关系吗
21．如图，过A、B、C、D、E五个点中的任意三点画三角形．
(1)以为边画三角形，能画几个？将其画出来并写出各三角形的名称；
(2)分别指出（1）中的三角形中的等腰三角形和钝角三角形．
22．如图，一条船上午8时从海岛A出发，以10海里/时的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处，分别从A，B处望灯塔C，测得．
(1)求海岛B到灯塔C的距离；
(2)若这条船到达海岛B处后，继续向正北方向航行，问还要经过多长时间，小船与灯塔C的距离最短？
23．如图，在中，，平分，，连接．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)若，求的度数．
24．如图所示，为内一点，，求的度数．
《第十三章三角形》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B C C A C C B B A
题号 11 12
答案 A D
1．B
【分析】本题考查三角形的高的作法．从一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高．
【详解】解：边上的高，应该从C点向作垂线产生，
故选：B．
2．B
【分析】根据折叠的性质得出，，继而分别表示出，得到，即可求解．
【详解】解：根据折叠的性质得，，
∵，，，
∴，，
∵，
∴
，
∴，
∴，
∵，
∴
故选B．
【点睛】本题考查了折叠问题，三角形内角和定理，三角形的外角的性质，掌握以上知识是解题的关键．
3．C
【分析】根据折叠的性质，得，，再根据等腰三角形性质和三角形的外角性质得，然后根据三角形内角和定理求出，即可得解．
【详解】解：把沿直线折叠，使点A恰好落在边上的点处，
，，
，
，
，
，
，
故选C．
【点睛】此题考查了折叠的性质、等腰三角形性质、三角形内角与外角的性质等知识，熟练掌握这些性质是解答此题的关键．
4．C
【分析】本题考查折叠与三角形的内角和定理，折叠得到，再根据三角形的内角和定理，进行求解即可．
【详解】解：∵折叠，
∴，
∴，
∴；
故选：C．
5．A
【分析】本题主要考查了三角形三边关系，准确分析判断是解题的关键．
根据三角形的三边关系，任意两边之和必须大于第三边，否则不能组成三角形．
【详解】解：选项：，两边之和等于第三边，不满足两边之和大于第三边，故不能组成三角形．
选项：，，，满足三角形三边关系，故能组成三角形；
选项：，，，满足三角形三边关系，故能组成三角形；
选项：，，，满足三角形三边关系，故能组成三角形；
故选．
6．C
【分析】本题考查三角形的稳定性，由三角形具有稳定性，即可得到答案．
【详解】解：A、选项中的物品是应用了四边形的不稳定性，不是应用三角形的稳定性，故A不符合题意；
B、选项中的物品是应用了四边形的不稳定性，不是应用三角形的稳定性，故B不符合题意；
C、选项中的物品是应用了三角形的稳定性，故C符合题意；
D、选项中的物品是应用了四边形的不稳定性，不是应用三角形的稳定性，故D不符合题意．
故选：C．
7．C
【分析】根据三角形的定义， 找出图中所有的三角形，数出其个数即可得出结论．
【详解】图中是三角形的有：、、、、．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形， 牢记三角形的定义是解题的关键．
8．B
【分析】本题考查了三角形面积的求解，利用三角形面积公式，通过两种不同的底和高计算的面积，从而求解
【详解】解：，，
，即，
，
故选：B
9．B
【分析】根据高线的定义注意判断即可．
【详解】∵ 线段CD是ABC的AB边上的高线，
∴A错误，不符合题意；
∵ 线段CD是ABC的AB边上的高线，
∴B正确，符合题意；
∵ 线段AD是ACD的CD边上的高线，
∴C错误，不符合题意；
∵线段AD是ACD的CD边上的高线，
∴D错误，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查了三角形高线的理解，熟练掌握三角形高线的相关知识是解题的关键．
10．A
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，根据平行线的性质可得，进而根据三角形的外角的性质可得，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
11．A
【分析】本题考查了三角形的内角和定理，根据三角形的内角和定理可得，即可求解，掌握三角形的内角和定理是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
即，
故选：．
12．D
【分析】根据三角形的外角的定义及性质解答即可．
【详解】解：∵在，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选．
13．
【分析】本题考查三角形内角和定理，利用三角形内角和定理列出方程，即可求解．
【详解】解：∵在三角形中，，，，
∴，
解得：，
故答案为：．
14．稳定性
【分析】本题主要考查三角形的稳定性，熟练掌握三角形的稳定性是解题的关键．
根据三角形的稳定性求解即可．
【详解】由题意可知运用的数学原理是三角形的稳定性；
故答案为：稳定性．
15．
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形的面积等知识点，读懂图形中的信息是解题的关键．
由题意可知，，于是可得，，，，进而可得，，然后根据的面积=长方形面积即可得解．
【详解】解：由题意可知：
，，
，，，，的面积=四边形面积
，
四边形是长方形，
，
，
故答案为：．
16． ，， ，，
【分析】此题主要考查了三角形，关键是掌握三角形的相关概念．
根据三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形可得图中三角形的个数；根据组成三角形的线段叫做三角形的边；根据相邻两边组成的角叫做三角形的内角进行分析．
【详解】图中的三角形有、、、、、，共个；以为边的三角形有、、，以为一个内角的三角形是、、；中的对边是
故答案为：；；；．
17．
【分析】本题考查了三角形中线的性质，直接根据的周长的周长求解，即可解题．
【详解】解：在中，是中线即，，
的周长的周长，
的周长为，
的周长为，
故答案为：．
18．
【分析】本题考查了直角三角形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键．
根据三角形的内角和，角平分线的定义，平行线的性质即可得到结论．
【详解】解：，，
，
平分，
∴，
，
．
19．(1)，，
(2)
【分析】本题主要考查了三角形的高，中线，角平分线，三角形的外角等知识点，解题的关键是掌握它们的性质．
（1）利用三角形的高，角平分线和中线判断即可；
（2）利用三角形的角平分线和三角形的外角定理即可求得结果．
【详解】（1）解：根据角平分线的性质和三角形的高可知，
图中所有相等的角为，，
根据三角形中线的定义可知，
图中所有相等的线段为，
故答案为：，，．
（2）解：∵是的角平分线，
∴，
又，
．
20．画图见解析；能，
【分析】本题考查了三角形三边关系与线段的和差作图，解题的关键是通过线段作图结合线段的长度为正推导三边关系．
先作线段表示，再截取长度得到；结合线段长度为正，得出与的大小关系．
【详解】解： 1． 作射线，在上顺次截取，，则；
在线段上截取，则线段．
∵ 线段的长度为正，
∴ ，即．
答：与的大小关系为．
21．(1)3个，见解析；各三角形的名称分别为
(2)是等腰三角形，是钝角三角形
【分析】本题考查本题考查了三角形的定义，网格结构的知识，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）根据网格结构作出图形并回答问题；
（2）根据等腰三角形的定义和钝角三角形的定义分别作答．
【详解】（1）解：以为边的三角形能画3个，如图所示，
即为所求；
（2）解：是等腰三角形，是钝角三角形．
22．(1)海岛到灯塔的距离为20海里
(2)还要经过1小时，小船与灯塔的距离最短
【分析】本题考查了等腰三角形的判定、三角形外角的性质、含角的直角三角形的性质、垂线段最短，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）根据三角形的外角的性质，得，那么，即可求解；
（2）如图，过点作于点，根据垂线段最短，线段的长为小船与灯塔的最短距离，据此求出的长度和需要的时间即可．
【详解】（1）解：由题意得：（海里），
∵，，
∴，
∴，
∴（海里）．
答：海岛到灯塔的距离为20海里；
（2）解：如图，过点作于点，
根据垂线段最短，线段的长为小船与灯塔的最短距离，，
又∵，
∴，
在中，，
∴（海里），
（小时）．
答：还要经过1小时，小船与灯塔的距离最短．
23．(1)
证明：平分，
，
，
，
，
，
，
，
为等腰三角形；
(2)
【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的计算，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键．
（1）根据角平分线定义和平行线的性质，证明，得出，根据，得出，即可证明结论；
（2）根据等腰三角形的性质，三角形内角和求出，根据平行线的性质得到，根据平分得到，根据等边对等角得到，进而计算即可求出结果．
【详解】（1）略
（2）解：，，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
．
24．
【分析】本题考查利用外角性质求角度，涉及三角形外角性质等知识，延长交于，构造三角形的外角，再利用外角的性质即可求出的度数．数量掌握三角形外角性质，数形结合是解决问题的关键．
【详解】解：延长交于，如图所示：
分别为的外角，
∴，，
∴，
∴．
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