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14.1全等三角形及其性质
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，，，，点P在线段上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s），若存在某一时刻使与全等，则点Q的运动速度为（ ）
A． B． C．或 D．或
2．如图所示的两个三角形全等，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．下列各选项中的两个图形属于全等图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列两个图形是全等图形的是（ ）
A．两张同底版的照片 B．周长相等的两个长方形
C．面积相等的两个正方形 D．面积相等的两个三角形
5．如图，在四边形中，，，，，点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由点C向点D匀速运动，若与在某一时刻全等，则点Q运动速度为（ ）
A． B． C．或 D．或
6．如图，，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，已知，与交于点，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．已知≌，则的对应边是（ ）
A． B． C． D．
9．图，已知，延长交于点，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．下列各组中的两个图形属于全等图形的是（ ）
A． B． C． D．
11．下列说法正确的是（ ）
A．周长相等的三角形是全等三角形
B．形状相同大小相等的三角形是全等三角形
C．面积相等的三角形是全等三角形
D．所有的等边三角形都是全等三角形
12．如图，在的正方形方格中，每个小正方形的边长都是1．已知，则和的关系是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，与的延长线相交于点，若，则的度数为____________．（请用含的代数式表示）
14．如图，在中，，已知，点落在边上，是线段上一点，若的面积比的面积大25，点到线段和线段的距离之和为__________．
15．图中有①～⑤ 5个条形方格图，每个小方格的边长均为1，则②～⑤中由实线围成的图形与①中由实线围成的图形全等的有___________．（只填序号即可）
16．如果的三边长分别为3，5，7，的三边长分别为3，，，若这两个三角形全等，则______．
17．一个三角形的三条边的长分别是5，7，10，另一个三角形的三条边的长分别是5，，，若这两个三角形全等，则的值是_____．
三、解答题
18．如图，已知，是锐角，，，延长交于点F，交于点G．
(1)判断直线与是否垂直？请说明理由；
(2)若，求的度数．
19．如图所示，已知，和是对应角，，，求线段的长度．

20．沿图形中的虚线，分别把下面的图形划分为两个全等图形．
21．沿图中的虚线画线，把下面的图形划分为两个全等的图形（用二种不同方法）：

22．如图，，点在的延长线上，，．
(1)求的长；
(2)求证：．
23．如下图，中，，，．点P从点A出发沿路径向终点B运动；点Q从点B出发沿路径向终点A运动．点P和点Q分别以和的速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动．在某一时刻，分别过点P，Q作于点E，于点F．若与全等，则点P运动了多长时间？
《14.1全等三角形及其性质》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B C C D B D A B C
题号 11 12
答案 B D
1．D
【分析】本题考查全等三角形的性质，设点Q的运动速度是，有两种情况：①；②，列出方程，然后求出方程的解即可．
【详解】解：设点Q的运动速度是，
∵点P的运动速度为，点Q的运动速度为，它们运动的时间为，
又∵，
∴，
∵，
∴当与全等时，有两种情况：
①，
∴，
解得：；
②，
则：，
解得：；
∴当与全等时，点Q的运动速度为或．
故选D．
2．B
【分析】本题考查全等三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的性质和数形结合的思想解答．根据题意和图形，可知是边的对角，由第一个三角形可以得到的度数，本题得以解决．
【详解】解：图中的两个三角形全等，
，
故选：B
3．C
【分析】本题考查的是全等形的识别、利用全等图形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案．
【详解】解：解：A、两个图形大小不相等，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；
B、两个图形大小不相等，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；
C、两个图形能够完全重合，是全等图形，符合题意；
D、两个图形大小不相等，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；
故选：C．
4．C
【分析】根据全等图形的定义，对各个选项逐个分析，即可得到答案．
【详解】∵两张同底版的照片，照片的尺寸可以是不一样的
∴两张同底版的照片不一定是全等图形，故选项A错误；
∵周长相等的两个长方形，分成的长和宽可以不相等
∴周长相等的两个长方形不一定是全等图形，故选项B错误；
∵两个正方形面积相等，且正方形的四条边长度相同
∴面积相等的两个正方形是全等图形，故选项C正确；
∵面积相等的两个三角形，对应的底边长和三角形的高可以不同
∴面积相等的两个三角形不一定是全等图形，故选项D错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了全等图形的知识；解题的关键是熟练掌握全等图形的性质，从而完成求解．
5．D
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，设点P运动时间为t秒，点运动速度为，则，，根据，可得或，再根据全等三角形的性质，即可求解．
【详解】解：设点P运动时间为t秒，点运动速度为，则，，
∴，
∵，
∴或，
当时，，，
∴，
解得：，
∴，
解得：；
当时，，，
∴，
解得：；
综上所述，点运动速度为或．
故选：D．
6．B
【分析】本题考查全等三角形的性质，解题的关键是掌握：全等三角形的对应边相等，对应角相等．据此解答即可．
【详解】解：∵，
∴，，，，
不能判断
∴选项A、C、D均不符合题意，选项B符合题意．
故选：B．
7．D
【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形的内角和，掌握知识点是解题的关键．
先证明，根据，可得，得到，则，即可解答．
【详解】解：令与的交点为E，如图
∵，，，
∴，，
∴
即
∵，
∴，
解得
∵，
∴，
∴．
故选D．
8．A
【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟记全等三角形的对应边相等是解题的关键．
根据全等三角形的对应边的定义判断即可．
【详解】解：∵≌，
∴的对应边是．
故选：A ．
9．B
【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形对应角相等是解题关键．由全等三角形的性质可得，即可求解．
【详解】解：，
，
，
，
故选：B．
10．C
【分析】本题考查全等图形的定义．完全重合的两个图形叫做全等图形．根据定义，逐项验证即可得到答案．
【详解】解：A、两个图形一个是圆形、一个是方形，不能完全重合，不是全等图形，本选项不符合题意；
B、两个图形，一个是正六边形、一个是正五边形，不能完全重合，不是全等图形，本选项不符合题意；
C、两个心形图案能完全重合，是全等图形，本选项符合题意；
D、两个图形一大一小，不能完全重合，不是全等图形，本选项不符合题意；
故选：C．
11．B
【分析】本题考查了全等三角形的概念，牢记概念，要从形状和大小两个方面来考虑两个三角形是否完全重合是解题的关键．
根据全等三角形的定义“能够完全重合的两个三角形”对各个选项进行判断即可．
【详解】解：A. 周长相等的三角形，形状不一定相同，大小不一定相等，所以不一定是全等三角形，原说法错误，故选项不符合题意；
B. 形状相同大小相等的三角形能够完全重合，是全等三角形，原说法正确，故选项符合题意；
C. 面积相等的三角形，形状不一定相同，所以不一定完全重合，原说法错误，故选项不符合题意；
D. 所有的等边三角形形状相同，但是大小和边长有关，边长不相等，则不能够重合，原说法错误，故选项不符合题意；
故选：．
12．D
【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的性质定理即可得到结论．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴．
故选：D．
13．/
【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
根据全等三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
14．
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形面积计算，根据全等三角形的性质得到，再根据图形面积之间的关系可得，设点P到线段和线段的距离分别为，连接，根据三角形面积计算公式可得，据此求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵的面积比的面积大25，
∴，
设点P到线段和线段的距离分别为，连接，
∵，
∴，
∴，
∴点到线段和线段的距离之和为，
故答案为：．
15．②④⑤
【分析】本题考查全等图形，根据能够完全重合的图形叫做全等图形，进行判断即可．
【详解】由全等形的概念可知，②④⑤中由实线围成的图形与①中由实线围成的图形能够完全重合，
故答案为：②④⑤．
16．6或
【分析】根据全等三角形的对应边相等分类讨论，分别求出x值判断即可．
【详解】解：∵和全等，
∴当时，解得：，
∴；
当时，解得：，
∴；
∴综上所述，或6．
故答案为：6或．
【点睛】此题考查的是根据全等三角形的性质求字母的值，掌握全等三角形的对应边相等是解决此题的关键．
17．14或12.5
【分析】本题考查的是全等三角形的性质及解二元一次方程组、求代数式的值，掌握全等三角形对应边相等是解题的关键．
根据全等三角形的对应边相等，分与7对应和与7对应两种情况计算，得到答案．
【详解】解∶两个三角形全等，
，或，，
解得∶，或，，
或12.5．
故答案为∶14或12.5．
18．(1)直线与垂直，理由见解析
(2)
【分析】本题综合考查全等三角形的性质、三角形内角和定理、平行线的性质(内错角相等)，涉及角的和差运算．
（1）通过全等转化角度，结合三角形内角和判定垂直；
（2）复用前一问结论，结合平行线性质完成角度计算．
【详解】（1）解：．
理由如下：∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由（1）知，
∵，
∴．
∵，
∴．
19．
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，理解全等三角形对应边相等是解题关键．根据全等三角形的性质可得，进而求得的值，然后由求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，即，
∴．
20．见解析
【分析】本题考查全等图形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．根据全等图形的定义画出图形即可．
【详解】解：如图所示：
或
21．见解析
【分析】本题考查了查全等图形的定义，熟练掌握相关概念是解题的关键．根据全等图形的定义：对应边都相等，对应角都相等的图形进行构造即可．
【详解】解：如图所示：

22．(1)；
(2)见解析．
【分析】本题考查了全等三角形的性质，能熟记全等三角形的性质是解决本题的关键，全等三角形的对应边相等，对应角相等．
根据全等三角形的性质得出，，再求出即可；
根据全等三角形的性质得出，根据角的和与差可证结论成立．
【详解】（1）解：，，，
，，
；
（2）证明：，
，
，
．
23．点P运动了或或
【分析】本题主要考查动点与几何图形的变换．根据点的运动规律，设点运动秒时，以为顶点的三角形和以为顶点的三角形全等，分类讨论，①如图1，在上，在上，则，；②如图2，在上，在上，则，；③如图3所示，当都在上时；④当到点停止，在上时，；⑤和都在上的情况；图形结合，根据三角形全等的判定方法即可求解．
【详解】解：设点运动秒时，以为顶点的三角形和以为顶点的三角形全等，分为五种情况：
①如图1，在上，在上，则，，

∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，即，
∴；
②如图2，在上，在上，则，，

由①知：，
∴，
∴；
∵此时，
∴此种情况不符合题意；
③当都在上时，如图3，
，
∴；
④当到点停止，在上时，，
∴时，解得；
⑤∵的速度是每秒，的速度是每秒，
∴，，
∵，
∴和都在上的情况不存在；
综上所述，点P运动了或或时，与全等．
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