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14.2三角形全等的判定
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在矩形纸片ABCD中，，，将沿BD折叠到位置，DE交AB于点F，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．小郑在用尺规作时，具体的操作步骤是：
（1）作射线；
（2）以点为圆心，以◆为半径作弧，交于点，交于点；
（3）以点为圆心，以★的长为半径作弧，交于点；
（4）以点为圆心，以▲的长为半径作弧，交前面的弧于点；
（5）过点作射线，则就是所要作的角．下列说法不正确的是（ ）
A．◆表示任意长 B．★与◆的长相等
C．▲与线段的长相等 D．▲与★的长相等
3．如图，在和中，，，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．如图，是的高线，AD与BE相交于点F．若，且的面积为6，则的长度为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
5．如图，已知，，那么判定的依据是（ ）
A． B． C． D．
6．两个三角形的两条边及其中一条边的对角对应相等，下面说法正确的有（ ）
（1）这两个三角形一定全等；
（2）这两个三角形不一定全等；
（3）相等的角为锐角时，这两个三角形全等；
（4）相等的角是钝角时，这两个三角形全等．
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
7．如图，在中，，是上一点，过点作于点，且，连接．若，则的长为（ ）
A．2 B．7 C．9 D．11
8．如图，的两条高，交于E，连接，，．则的度数是（ ）
A． B． C． D．
9．如图是雨伞在开合过程中某时刻的结构图，是伞骨，是连接弹簧和伞骨的支架，已知点D，E分别是的中点，，．弹簧M在向上滑动的过程中，总有，其判定依据是（ ）
A． B． C． D．
10．下图中全等的三角形有（ ）
A．图1和图2 B．图2和图3 C．图2和图4 D．图1和图3
11．如图，已知的六个元素，则下面标有序号①，②，③的三个三角形中，与全等的图形序号是（ ）
A．①和②； B．②和③； C．①和③； D．只有②．
12．下列定理中，没有逆定理的是（ ）
A．三边分别相等的两个三角形全等
B．直角三角形的两个锐角互余
C．斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等
D．对顶角相等
二、填空题
13．如图，在中，点为边的中点，连接，点、为直线上的点，连接，，且．若，，则的长度为__________．

14．如图，在中，，，，，垂足分别是E，F，若要证，先证____________________，依据是__________，再证____________________，依据是__________．
15．如图，在正方形方格纸中，与的度数和为__________．
16．如图，∠C＝∠D＝90°，添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC≌Rt△ABD．添加的条件是：____．（写一个即可）
17．如图是由九个边长为1的小正方形拼成的大正方形，图中∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5的度数为______．
三、解答题
18．如图，在中，，在的上方作，使，且，与交于点，连接．
(1)若平分，求证：．
(2)求的度数．
19．小强为了测量一幢高楼的高度，在旗杆与楼之间选定一点．测得在点观察旗杆顶端的视线与地面的夹角，测得在点观察楼顶的视线与地面的夹角，量得到楼底的距离与旗杆的高度相等，均为米，量得旗杆与楼之间的距离为米，如图，小强计算出了楼高，楼高是多少米．

20．如图，在中，，D为边上一点．
(1)请使用尺规作图的方法作，使，且，点E在外．
(2)在（1）所作图形的基础上，已知，，求的度数．
21．【问题情境】在综合与实践课上，同学们以“一个直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图1，已知直线，，，．
【问题解决】（1）如图1，求的度数．阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）．
如答图1，，（已知），
（ ）．
（已知），
（ ）（ ）（依据： ）．
【操作探究】
（2）创新小组的同学将直线向上平移，得到图2，其他条件不变，为探究的度数，该小组同学想到过点作直线的平行线．
①请你利用尺规过点作直线的平行线，并说明你作图所依据的基本事实或数学定理．（保留作图痕迹，不写作法；基本事实或数学定理写出1个即可）
②根据①的作图求的度数．
22．【活动思考一】
光的反射是生活中常见的现象，图是光的反射示意图（反射角等于入射角且法线与平面镜垂直，垂足为入射点）．
如图，小明画出了汽车与右侧后视镜的示意图，汽车用长方形表示，司机位于车内左前方的点处，，右侧后视镜用线段表示，后视镜与形成的为，司机观察车右侧后视镜的视角的度数不大于，点为线段上的任意一点，且点为入射点．
（1）若，则图中入射角等于______；
（2）请用无刻度的直尺与圆规补全图中的反射光线；
（3）由（），我们把称为司机观察车右侧的“给力视野”，当入射点与点重合时，“给力视野”最大，最大值为______．
【活动思考二】
当驾驶员坐在驾驶位置上时，由于视角的限制以及车体的遮挡，会形成我们常说的车尾盲区（如图3）．
在平直的公路上有一辆货车匀速行驶，正后方跟随一辆速度为米秒的小汽车．若此时货车司机紧急刹车，那么后方的小汽车司机也随即刹车，但小汽车司机有一个秒的反应时间．已知货车从开始刹车到完全停住的滑行距离为米，小汽车从开始刹车到完全停住的滑行距离为米，货车车尾盲区为货车正后方的米区域．小明根据题意画出了如图所示的线性示意图．
请作答：
（1）线段表示的实际意义是：______；
（2）在货车刹车前，小汽车应与货车至少保持多少米的安全距离，才不会闯入货车的车尾盲区？
23．如图，中，，将绕点逆时针旋转得到．与交于点，分别交、于点、．
(1)与的数量关系是：________；
(2)求证：；
(3)当，，三点共线时，恰好，求此时的长．
24．如图，在中，，是边上的高，将边对折，折痕为，连接，平分．求的度数；
《14.2三角形全等的判定》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D B D C B D D C D
题号 11 12
答案 B D
1．C
【分析】先根据矩形的性质和折叠的性质，利用“AAS”证明，得出，，设，则，根据勾股定理列出关于x的方程，解方程得出x的值，最后根据余弦函数的定义求出结果即可．
【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴CD=AB=5，AB=BC=3，，
根据折叠可知，，，，
∴在△AFD和△EFB中，
∴（AAS），
∴，，
设，则，
在中，，
即，
解得：，则，
∴，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了矩形的折叠问题，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角函数的定义，根据题意证明，是解题的关键．
2．D
【分析】本题考查了作一个角等于已知角，根据作图步骤分析，即可求解．
【详解】解：（1）作射线；
（2）以点为圆心，以的长为半径作弧，交于点，交于点；
（3）以点为圆心，以的长为半径作弧，交于点；
（4）以点为圆心，以的长为半径作弧，交前面的弧于点；
（5）过点作射线，则就是所要作的角．
其中为任意长度，与线段的长相等，
故选：D．
3．B
【分析】本题考查的知识点是全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．
根据判定后可得，最后由三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：在和中，
，
，
，
则中，．
故选：．
4．D
【分析】利用证明，得，再根据三角形面积可得的长，从而可得答案．
【详解】∵是的高线，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵的面积为6，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
5．C
【分析】本题考查全等三角形的判定．根据，证明三角形全等即可．
【详解】解：∵，
∴，
在和中，
，
∴；
故选C．
6．B
【分析】画出图形，分别满足两边及一个锐角对应相等，两边与一个钝角对应相等，从而可得结论．
【详解】解：如图，两个三角形的两条边及其中一条边的对角对应相等，满足，
但是不能判定三角形的全等．
当时，
与不全等，
只有当相等的角是钝角时，这两个三角形全等．
当时，
此时完全重合的两个三角形全等，
则说法正确的只有（2）（4）．
故选：．
【点睛】本题考查的是三角形全等的判定，掌握利用图形理解三角形的判定方法是解题的关键．
7．D
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴
∴，
故选：D ．
8．D
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，余角的性质，先证明，得出，再证明，得出，根据等腰三角形的性质求出，根据，求出，即可得出答案．
【详解】解：∵的两条高，交于E，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：D．
9．C
【分析】此题主要考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
根据全等三角形判定的“”定理即可证得．
【详解】解：，点D，E分别是的中点，
，
在和中，
．
，
故选：C．
10．D
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．根据全等三角形的判定定理解答即可．
【详解】解：A、图1和图2，只有一边一角对应相等，无法证明两三角形全等，故本选项不符合题意；
B、图2和图3，只有一边一角对应相等，无法证明两三角形全等，故本选项不符合题意；
C、图2和图4，只有一边一角对应相等，无法证明两三角形全等，故本选项不符合题意；
D、图1和图3，两边及其夹角对应相等，能证明两三角形全等，故本选项符合题意；
故选：D
11．B
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据全等三角形的判定方法，逐一判断即可解答．
【详解】解：根据“”可证第②个三角形和全等，
根据“”可证第③个三角形和全等，
故选：B．
12．D
【分析】本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
分别写出各个命题的逆命题，根据全等三角形的性质和判定定理、直角三角形的判定定理判断即可．
【详解】解：A、三边分别相等的两个三角形全等的逆命题是如果两个三角形全等，那么它们的三边分别相等，是真命题，则原命题有逆定理，不符合题意；
B、直角三角形的两个锐角互余的逆命题是两个锐角互余的三角形是直角三角形，是真命题，则原命题有逆定理，不符合题意；
C、斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等的逆命题是如果两个全等的直角三角形，那么它们的斜边和一条直角边分别对应相等，是真命题，则原命题有逆定理，不符合题意；
D、对顶角相等的逆命题为：相等的角为对顶角，此命题为假命题，则原命题没有逆定理，符合题意；
故选：D．
13．
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，利用中点性质可得，由平行线性质可得，再由对顶角相等可得，可证，由全等三角形性质可得，然后根据求出的长，进而可求出的长．
【详解】解：为边的中点
，
∵，
，
在和中，
，
∴，
，
，，
，
，
．
故答案为：．
14． （或） （或）
【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．
【详解】解：先证，依据是，再证或，依据是．
故答案为：；；；（或）；（或）；．
15．90°
【分析】首先判定△ABC≌△DEF，进而可得∠1=α，再根据余角的性质可得答案．
【详解】解：如图，
在△ABC和DEF中，
，
∴△DAE≌△CAB（SSS），
∴∠1=∠α，
∵∠2+∠α=90°，
∴∠1+∠2=90°，
故答案为：90°．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
16．AC=AD
【分析】本题是一道开放型的题目，答案不唯一，只有符合两直角三角形全等的判定定理HL即可，条件可以是AC=AD或BC=BD．
【详解】解：添加的条件是AC=AD，
理由是：∵∠C=∠D=90°，
∴在Rt△ABC和Rt△ABD中，
∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL），
故答案为：AC=AD（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等含有HL．
17．225°
【分析】首先判定△ABC≌△AEF，△ABD≌△AEH，可得∠5=∠BCA，∠4=∠BDA，然后可得∠1+∠5=∠1+∠BCA=90°，∠2+∠4=∠2+∠BDA=90°，即可求得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5的值．
【详解】解：如图所示：
在△ABC和△AEF中，
∴△ABC≌△AEF（SAS），
∴∠5=∠BCA，
∴∠1+∠5=∠1+∠BCA=90°，
在Rt△ABD和Rt△AEH中，
∴Rt△ABD≌Rt△AEH（HL），
∴∠4=∠BDA，
∴∠2+∠4=∠2+∠BDA=90°，
∵∠3=45°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=90°+90°+45°=225°．
故答案为：225°．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，关键是掌握全等三角形的性质：全等三角形对应角相等即可求解．
18．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质即角平分线性质，
（1）延长，交于点，由题意得，有，由垂直得，证得，有即可证明结论；
（2）过点分别作于点，于点，有，得到，可得，即可求得角度．
【详解】（1）证明：延长，交于点，如图，
，，，
，
，
．
，，
．
，，
，
，
．
（2）解：过点分别作于点，于点，如图，
．
，，
，
，
∵，
∴，
．
19．米
【分析】证明，得到（米）．
【详解】根据题意，得，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴（米）．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定是解题的关键．
20．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，尺规作图—作三角形，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键．
（1）以C为圆心，以的长为半径画弧，以B为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点E，连接，则，再由即可证明；
（2）由全等三角形的性质可得的度数，再由三角形外角的性质即可得到答案．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：∵，
∴，
∴．
21．（1），，，两直线平行，同位角相等；（2）①图见解析，基本事实为同位角相等，两直线平行（或内错角相等，两直线平行）；②．
【分析】本题考查尺规作图—作平行线，平行线的判定和性质：
（1）根据平角的定义，平行线的性质，进行作答即可；
（2）①根据同位角相等，两直线平行或内错角相等，两直线平行，尺规作一个角等于已知角，作图即可（方法不唯一）；
②根据平行线的性质，求出的度数即可．
【详解】解：（1），（已知），
．
（已知），
（依据：两直线平行，同位角相等）．
（2）①作图如下：
②∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
22．[活动思考一]（）；（）见解析；（）；[活动思考二]（）货车从开始刹车到完全停住的滑行距离为米；（）小汽车应与货车至少保持米的安全距离．
【分析】[活动思考一]
（）设与交于点，利用平行线的性质可得，根据三角形的内角和定理得出，然后根据角度和差即可求解；
（）根据作一个角等于已知角的方法即可；
（）设与交于点，当入射点与点重合时，的度数最大值为，利用平行线的性质可得，根据三角形的内角和定理得出，然后根据角度和差即可求解；
[活动思考二]
（）根据题意即可得出线段表示的实际意义；
（）先求出米，根据题意得出安全距离为，然后代入求解即可．
【详解】解：[活动思考一]
（）如图，设与交于点，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（）如图，以为圆心，任意长度为半径画弧，交分别为，连接；
以为圆心，长度为半径画弧，交弧于点；
连接；
∴即为所求；
（）如图，设与交于点，当入射点与点重合时，的度数最大值为，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即“给力视野”最大值为，
故答案为：；
[活动思考二]
（）线段表示的实际意义是：货车从开始刹车到完全停住的滑行距离为米，
故答案为：货车从开始刹车到完全停住的滑行距离为米；
（）∵（米），
∴（米），
∴小汽车应与货车至少保持米的安全距离．
【点睛】本题考查了无刻度作图—作一个角等于已知角，三角形的内角和定理，平行线的性质，垂直的定义，线段和差，掌握知识点的应用是解题的关键．
23．(1)=
(2)见解析
(3)
【分析】（1）由等腰三角形的性质可知，再由旋转的性质得，故；
（2）利用证明三角形全等；
（3）利用三角形内角和求出，在中，解出的长，进而求出的长．
【详解】（1）解：，
，
由旋转的性质可知，，
．
（2）证明：由旋转的性质可知，，，
，
即，
，
．
在与中，
，
．
（3）解：如图，，，三点共线，．
则，，
又，
，即，
，
，
，
，，
．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，含角的直角三角形的性质，解题的关键是利用旋转得到边、角的关系．
24．
【分析】本题考查折叠的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理．熟练掌握折叠的性质，证明三角形全等是解题的关键．证明，利用折叠的性质和外角的性质，以及三角形的内角和定理进行求解即可．
【详解】解：∵将边对折，折痕为，
∴，
∴，
∴，
∵，平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即：，
∴．
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