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14.3角的平分线
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，是的角平分线，，垂足为F，交于点E．有下列结论：①；②；③；④的面积的面积，其中正确的有（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
2．如图，P是的平分线BD上的一点，PE⊥BC于点E，于点F．若，则PF的长是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
3．如图，在直角三角形中，，根据尺规作图的痕迹，以下结论不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，是的角平分线，，，，则点C到射线的距离是（ ）
A．5 B．3 C．2 D．无法计算
5．如图，在中，，分别平分和，，相交于点P，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．
B．与的面积比等于边与之比
C．
D．若，则
6．如图，在中，，利用尺规在、上分别截取、，使；分别以D、E为圆心、大于为长为半径作弧，两弧在内交于点F；作射线交于点G，若，P为上一动点，则的最小值为（ ）．
A．1 B． C．2 D．4
7．如图，根据尺规作图的痕迹，能判断射线AD平分的为（ ）
A．图② B．图①与图② C．图① D．以上都不对
8．如图，在中，，．用尺规作图在内部作出一个角，则（ ）
A． B． C． D．
9．如图所示，点在的内部，，，垂足分别为，，，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
10．如图，，平分，垂直平分于点G，交于点F，Q为射线上一动点．若的长的最小值为5，则的长为（ ）

A． B．5 C． D．
11．如图，在中，，平分交于点，平分交于点，、交于点．①；②若，则 ；③；④ ⑤．则上列说法一定正确的是（ ）
A．①②④ B．①②④⑤ C．①②③④ D．①②③④⑤
12．如图，平分，于点，点是射线上的一个动点，若，则的长不可能是（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
二、填空题
13．如图，在中，平分，，，若的面积为7，则点D到的距离为______．
14．如图，，以点A为圆心，小于长为半径作圆弧，分别交，于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线，交于点M．若，则______．
15．如图，E为平分线上一点，，的面积为12，则点E到直线的距离为_____．
16．如图，若于B，于C，且，，则____________．

17．如图，为了测量池塘两侧A、B间的距离，在B点同侧选取点C，经测量，然后在的一侧找到一点D，使得为的平分线，且，若的长为8米，则池塘两侧A、B之间的距离为___________．
三、解答题
18．在平面直角坐标系中有点，实数满足以下两个等式：，．
(1)时，求点P到轴的距离；
(2)若点P落在第二、第四象限的角平分线上，求点P的坐标．
19．如图所示，已知在中，平分，于点E，，交于点F，若，求的长．
20．如图，已知一块四边形模具，现工人师傅要在边上凿一个孔E，使孔E到边的距离和孔E到边的距离相等．请你利用尺规作图法在边上帮工人师傅找出孔E所在的位置．（保留作图痕迹，不写作法）
21．如图方格纸中，每个小正方形边长均为，点，点，点在小正方形的顶点上．
(1)在图中画出的边上的高以及上的中线；
(2)直接写出的面积为_____．
(3)在图中作图，在上找一点使点到和的距离相等，并在射线上找一点使．
22．已知，点C在的平分线上，点B、D分别在、上，连接、．
(1)如图1，若，请直接写出线段与的数量关系；
(2)如图2，，那么（1）中探究的结论是否成立？若成立，请给出证明：若不成立，请说明理由．
23．在中，， 的作图痕迹如图所示，交于点N，垂直平分边，交于点D，交于点E，交于点O，连接．
(1)若，，求与的面积比；
(2)若，求的度数．
《14.3角的平分线》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D B B C C C D B A
题号 11 12
答案 B D
1．C
【分析】本题需要根据角平分线的性质、垂直的定义以及全等三角形的判定与性质，对每个结论进行分析判断．
【详解】解：结论①：∵是的角平分线
∴
∵，所以
在和中：
∴
∴，结论①正确；
结论②：由可得
∵
∴是的垂直平分线
∴，结论②正确；
结论③：仅根据已知条件，无法得出，结论③错误；
结论④：∵，和以为底时，高相同
根据三角形面积公式（a为底，h为高）
∴的面积=的面积，结论④正确．
综上，正确的结论是①②④．
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质以及垂直平分线的性质，掌握“利用角平分线和垂直的条件证明三角形全等，进而得出线段相等和面积相等的关系”是解题的关键．
2．D
【分析】利用角平分线上的点到角两边的距离相等来求解．
【详解】解：是的平分线，是上一点，，，
∴．
∵，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，解题关键是熟练掌握角平分线的性质，即角平分线上的点到角两边的距离相等．
3．B
【分析】本题考查了尺规作角平分线和作垂线，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质是解决问题的关键．根据尺规作图的痕迹，得到是的角平分线，，根据角平分线的性质，，再逐项判断即可．
【详解】解：∵根据尺规作图的痕迹，是的角平分线，，
∴，A不符合题意；C不符合题意；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，D不符合题意；
无法证明，B符合题意；
故选：B．
4．B
【分析】本题考查了角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．过点C作于E，根据角平分线的性质即可求解．
【详解】解：如图，过点C作于E，
是的平分线，，，
，
即点C到边的距离为3．
故选：B．
5．C
【分析】本题考查角平分线的判定及性质，三角形的内角和定理，三角形的面积公式．
过点P作于点M，作于点N，作于点H，根据角平分线的性质及判定可证明选项A；根据三角形的面积公式可证明选项B，根据三角形的内角和定理可证明选项D，据此即可解答．
【详解】解：过点P作于点M，作于点N，作于点H，
∵平分，，，
∴，
∵平分，，，
∴，
∴，
∵，，
∴平分，
∴．故选项A的结论一定成立；
．故选项B的结论一定成立；
∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴．故选项D的结论一定成立．
根据题意无法证明选项C的结论一定成立．
故选：C
6．C
【分析】本题考查了角平分线的作法和性质，垂线段最短，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键．由作法可知，平分，由垂线段最短可知，当时有最小值，再利用角平分线的性质求解即可．
【详解】解：由作法可知，平分，
由垂线段最短可知，当时有最小值，
，
，即的最小值为2，
故选：C
7．C
【分析】根据角平分线的尺规作图方法，判断每个图中射线是否为的平分线 ．
【详解】解：∵图①的作图痕迹符合角平分线的尺规作图方法，
∴图①中射线平分，符合题意；
图②的作图痕迹是作线段的垂直平分线，得到的是线段的垂直平分线，不是，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的尺规作图，解题关键是熟练掌握角平分线的尺规作图方法，能根据作图痕迹判断是否为角平分线．
8．D
【分析】本题考查尺规作图作角平分线，与角平分线有关的三角形内角和，三角形外角的性质，由作图痕迹可得、分别平分，，得到，，最后根据求解即可．
【详解】解：如图，
由作图痕迹可得、分别平分，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
9．B
【分析】由角平分线的判定定理可知，点在的平分线上，据此解题．
【详解】，，，
点在的平分线上，
，
故选：．
【点睛】本题考查角平分线的判定定理及角平分线的性质，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
10．A
【分析】连接，过P作于E，于H，根据角平分线的性质定理得到，，根据线段垂直平分线的性质得到，由等腰三角形的性质得到，根据直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：连接，过P作于E，于H，

∵平分，的最小值为5，，
∴，，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形外角的定义与性质，熟练掌握以上性质并灵活运用是解题的关键．
11．B
【分析】设，，由角平分线的定义结合三角形内角和定理可得，再由三角形内角和定理计算即可判断①；证明，得出即可判断②；由平分，但与不一定相等即可判断③；在边上截取，连接，证明，，即可判断④；作于，于，由④可得，，推出，证明，得出，再由三角形面积公式即可判断⑤，从而得出答案．
【详解】解：①设，，
∵在中，，平分交于点，平分交于点，
∴，，，
∴，
∴，故①正确；
②∵，平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，故②正确；
③∵平分，但与不一定相等，
∴与不一定相等，故③错误；
④如图，在边上截取，连接，
，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故④正确；
⑤如图，作于，于，
，
由④可得，，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，故⑤正确；
综上所述，正确的有①②④⑤．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形外角的定义及性质、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
12．D
【分析】根据角平分线的性质得到点到的距离等于，根据垂线段最短得到，然后对各选项进行判断．
【详解】解：平分，，
点到的距离等于，即点到的距离为5，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，垂线段最短，掌握相关性质是解题的关键．
13．2
【分析】本题考查角平分线的性质，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，设点到的距离为，根据三角形的面积进行求解即可．
【详解】解：设点到的距离为，
∵平分，
∴点到的距离也为，
由题意，得：，
解得：；
故答案为：2．
14．25
【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义和角平分线的尺规作图， 根据平行线的性质可知，再利用角平分线的定义解答即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵根据作法可知：是的平分线，
∴，
故答案为：．
15．6
【分析】本题主要考查了角平分线上的一点到角的两边的距离相等的性质．
根据三角形面积公式得出点E到直线的距离，利用角平分线上的点到角的两边的距离相等，即可求解．
【详解】解：∵，的面积为12，
∴点E到直线的距离，
∵E为平分线上一点，
∴点E到直线的距离，
故答案为：6．
16．
【分析】由角平分线的判定定理得平分，则可得的度数，由三角形外角的性质即可求得结果．
【详解】解：∵，，，
∴平分，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：115．
【点睛】本题考查了角平分线的判定定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，运用角平分线的判定定理是解题的关键．
17．8米
【分析】本题考查了角平分线的性质及全等三角形的判定与性质．先利用角平分线的性质得出，再利用“”证明，利用全等三角形的性质得出米．
【详解】解：∵为的平分线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴米．
故答案为：8米
18．(1)
(2)
【分析】本题考查了点与坐标，角平分线的性质定理，点在各个象限的坐标特征，解二元一次方程组等知识，灵活运用这些知识是关键．
（1）当时，由可求得m的值，再由可求得y的值，从而可得点P的坐标，即可得点P到x轴的距离；
（2）根据角平分线的性质定理及点在第一、三象限的坐标特征可可设点P的坐标为，从而可得关于a与m的方程组，消去m即可求得a的值，从而可得点P的坐标；
【详解】（1）把代入，
得，
，
把代入，
得，
，
，
∴点P到轴的距离为．
（2）∵点P落在第二、第四象限的角平分线上，
∴设点P的坐标为，
把点分别代入
，，
得，
②×3-①×2得，
解得．
∴点P的坐标为．
19．
【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质，等角对等边的性质，首先由角平分线的性质得出，再由平行线的性质得出，再由已知条件得出，再由等角对等边得出，进而求出的长．
【详解】解：∵平分，
∴．
∵，
∴．
∴，
∴．
∵，
∴，，
∴，
∴．
∵，
∴．
20．见解析
【分析】此题考查了角平分线的尺规作图及角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握角平分线的尺规作图方法．
根据点E到到边的距离和孔E到边的距离相等，作出的角平分线，即可解答．
【详解】解：如图，点E即为所求．
21．(1)画图见解析；
(2)；
(3)作图见解析．
【分析】本题考查了作图——作角平分线，垂直平分线，垂直平分线的性质，三角形有关线段，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）根据网格特征即可画图；
（）先求出面积，然后通过中线性质即可求出的面积；
（）作平分线交于点，作垂直平分线交于点，点即为所求．
【详解】（1）解：如图，
∴即为所求；
（2）解：由，
∵为中线，
∴，
故答案为：；
（3）解：如图，作平分线交于点，作垂直平分线交于点，
∴点到和的距离相等， ，
∴点即为所求．
22．(1)BC＝DC
(2)成立，理由见解析
【分析】（1）根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DC=BC；
（2）过点C作CE⊥AB于E，作CF⊥AD于F，根据同角的补角相等求出∠ABC=∠CDF，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CE=CF，然后利用“角角边”证明△BCE和△DCF全等，根据全等三角形对应边相等可得DC=BC．
【详解】（1）∵AC平分∠MAN，∠ABC=∠ADC=90°，
∴DC=BC；
（2）（1）中的结论仍然成立．
理由如下：如图，过点C作CE⊥AB于E，作CF⊥AD于F，
∵∠ABC+∠ADC=180°，
∠CDF+∠ADC=180°，
∴∠ABC=∠CDF，
∵AC平分∠MAN，CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE=CF，
在△BCE和△DCF中，
，
∴△BCE≌△DCF（AAS），
∴DC=BC．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键，难点在于（2）作辅助线构造出全等三角形．
23．(1)
(2)
【分析】（1）过点作于点，根据角平分线的性质得出，再根据三角形的面积公式即可求解；
（2）根据等边对等角得出的度数，再根据线段垂直平分线的性质得出的度数，即可推出结果．
【详解】（1）解：如图，过点作于点，
由作图可知，平分，
又垂直平分边，，
，
，，
，
△与△的面积比；
（2）解：，，
，，
平分，
，
垂直平分边，
，
，
．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，尺规基本作图-作角平分线，熟练掌握线段垂直平分线的性质和角平分线的性质是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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