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15.3等腰三角形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在等腰三角形中，，为边上的中线，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，和的平分线交于点，过点作的平行线交于点，交于点，则的周长为（ ）

A． B． C．5 D．不能确定
3．如图，在纸片中，，将沿折叠至，，连接，平分，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，等腰中，，垂直平分，交于点E，交于点F，点G是线段上的一动点，若的面积是，，则的周长最小值是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，是内部一点，关于、的对称点分别是点、点，连结分别与，交于点，点，连结，，下列结论：
①若，则是等边三角形；
②的周长等于线段的长；
③平分；
④．正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．将一束平行光射向凸透镜，得到如图所示的光路图．已知，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．一个等腰三角形形状的装饰品的顶角为，则它的底角为（ ）
A． B． C． D．或
8．如图，在等边三角形中，，垂足为点，点在线段上，，则（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在中，是边上的中线，点在边上，且，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在中，，为斜边上的两个点，且，，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
11．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，对角线AC、BD相交于点O，CE平分OB，且与AB交于点E．若F为CE中点，则△BEF的周长是（ ）
A．＋2 B．2＋2 C．2＋2 D．6
12．如图，在中，，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，过边长为2的等边的边上一点P，作于E，Q为延长线上一点，当时，连交边于D，则的长为_________．
14．如图，在等边中，点、分别在边、上，，点在延长线上，且，若，，则线段的长为________．
15．如图，是等边三角形，，于Q，交于点P，下列说法：①；②；③；④；⑤．其正确的有________．
16．如图，的半径为4，圆心的坐标为，点是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点，若点、点关于原点对称，则的最小值为 __．
17．若等腰三角形有一个角是60度，其中一条边长为a，则其周长是_______．
三、解答题
18．如图，在中，，，以为边，在的外部作等边三角形，E是的中点，连接并延长交于F．求的度数．
19．如图，在等边中，，点M以的速度从点B出发向点A运动（不与点A重合），点N以的速度从点C出发向点B运动（不与点B重合），设点M，N同时运动，运动时间为．
(1)在点M，N运动过程中，经过几秒时为等边三角形
(2)在点M，N运动过程中，的形状能否为直角三角形，若能，请计算运动时间；若不能，请说明理由．
20．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两个格点，如果点C也是图形中的格点，且为等腰三角形，请你在如下的网格中找到所有符合条件的点C（可以用，……表示），并画出所有三角形．
21．如图，直线l表示草原上的一条河流．一骑马少年从A地出发，去河边让马饮水，然后返回位于B地的家中．他沿怎样的路线行走，能使路程最短？作出这条最短路线．
22．如图，灯塔在海岛B的北偏西方向，某天下午2点，一艘船从海岛B出发，以20海里/时的速度由东向西航行，下午5时整到达处，此时，测得灯塔在处的北偏西方向．
(1)求处到灯塔的距离．
(2)已知在以灯塔为中心，周围32海里的范围内均有暗礁，若该船继续由东向西航行，是否有触礁的危险？请你说明理由．
23．如图，，平分，平分，和交于点E，求证：

(1)；
(2)是等腰三角形．
24．等腰三角形的底角可能是锐角吗？可能是直角吗？可能是钝角吗？请说明理由．
《15.3等腰三角形》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A D B D C B A B C
题号 11 12
答案 C A
1．A
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质等知识，理解等腰三角形底边上的高、底边的中线及顶角的平分线互相重合是解题的关键．首先根据三角形“三线合一”的性质得到，，然后根据直角三角形的两锐角互余得到答案即可．
【详解】解：∵，为边上的中线，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
2．A
【分析】本题考查平行线的性质及等腰三角形的判定，核心是利用“角平分线+平行线”推出等腰三角形，从而将的周长转化为与的长度之和．
【详解】解：∵平分，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
同理可得．
的周长为．
∵，，
∴周长为；
故选：A．
3．D
【分析】本题考查折叠变换的性质，等边三角形的判定和性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等，添加辅助线构造全等三角形是解题关键．
连接，过点作于E，于F，可得是等边三角形，得出，运用可证得，得出，再运用三角形内角和定理即可求得答案．
【详解】解：如图，连接，过点作于E，于F，
则，
由折叠可知，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵平分，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
即．
故选：D．
4．B
【分析】连接．利用三角形的面积公式求出，由垂直平分，推出，推出，由，推出，的最小值为3，由此即可解决问题．
【详解】解：如图，连接．
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的最小值为3，
∴周长的最小值为，
故选：B．
【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，两点间线段最短，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
5．D
【分析】本题主要考查了轴对称的性质及等边三角形的判定与性质，熟知轴对称的性质是解题的关键．
根据轴对称的性质，依次对所给结论进行判断即可．
【详解】
解：∵点关于、的对称点分别是点、点，
，，，．
，．
是等边三角形．
故①正确．
由轴对称可知，，，
．
故②正确．
由轴对称可知，，，
，．
，．
．
平分．
故③正确．
，，
．
，
．
．
故④正确．
故选：D．
6．C
【分析】本题考查平行线的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．如图，连接，求出可得结论．
【详解】解：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
7．B
【分析】利用等腰三角形两底角相等和三角形内角和进行计算即可，题目明确给出顶角为，不需要分类讨论．
【详解】解：．
8．A
【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形的内角和定理，掌握三线合一是解题的关键；根据等边三角形的性质可得，再根据三角形的内角和定理求解即可．
【详解】解：是等边三角形，，
，
，
，
故选：．
9．B
【分析】本题考查等腰三角形的性质与三角形内角和定理，关键是利用等腰三角形“三线合一”的性质确定，再结合等腰三角形的内角计算求出角度．
【详解】解：∵，是边上的中线，
∴，，且．
∵，
∴．
又∵，
∴为等腰三角形，
∴，
∴．
故答案为：．
10．C
【分析】设，，则，，根据等边对等角得出，，再根据三角形内角和定理得出，即可求出答案．
【详解】解：设，，则，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，等腰三角形的性质，设出适当的未知数列出方程是解题的关键．
11．C
【分析】首先证明得，代入数据求出，再由勾股定理求出，根据直角三角形性质证明，进一步可得出结论．
【详解】解：∵四边形是矩形，设与交于点，如图，
∴
∴
又
∴
∴
在矩形中，
∵CE平分OB，
∴
∴
∴
∵
∴
在中，
∴
∵为CE中点，
∴
∴的周长等于
故选：C．
【点睛】此题主要考查了矩形的性质，直角三角形的性质以及相似三角形的判定与性质，运用相似三角形的性质求出是解答此题的关键．
12．A
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理，熟记等腰三角形的性质是解题关键．先求出，再根据等腰三角形性质求出结论即可．
【详解】解：在中，，，
，
，
，
，
故选：A．
13．1
【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，三线合一，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键．
过作交于，由等边三角形的性质及平行线的性质可证得是等边三角形，于是可得，由三线合一可得，利用可证得，于是可得，进而可推出，于是得解．
【详解】解：如图，过作交于，
是等边三角形，
，
，
，，，
又，
是等边三角形，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
14．1
【分析】过点作，设，根据是等边三角形，，得到是等边三角形，已知，得到，，，在中，求得，表示出，根据是等腰三角形，，得到，即可求得线段的长．
【详解】过点作，
设，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，，
∴是等边三角形，
∵，
∴，，，
在中，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰三角形，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴
故答案为：1
【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，含有角的直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
15．①③④
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，直角三角形中所对的直角边是斜边的一半，等边三角形的判定和性质．熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．根据等边三角形的性质证明，即可得到①正确；根据直角三角形中所对的直角边是斜边的一半即可判断③正确，根据线段的和差关系即可证明④正确，无法证明，以及．
【详解】解：是等边三角形，
，
在和中，
，
，
，
，
，故①正确；
，
，
，
，
，③正确；
，
，
，故④正确；
无法证明，以及，故②和⑤错误；
故答案为：①③④．
16．18
【分析】由中知要使取得最小值，则需取得最小值，连接，交于点，当点位于位置时，取得最小值，据此求解可得．
【详解】解：连接，
，
，
，
，
若要使取得最小值，则需取得最小值，
连接，交于点，当点位于位置时，取得最小值，
过点作轴于点，
则，，
，
又，
，
，
故答案是：18．
【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AB取得最小值时点P的位置．
17．
【分析】根据等边三角形的判定定理证得该三角形是等边三角形，即可求出周长．
【详解】解：∵等腰三角形有一个角是60度，
∴该三角形是等边三角形，
∴该三角形的周长是3a，
故答案为：．
【点睛】此题考查等边三角形的判定定理及性质定理，熟记等边三角形的判定定理是解题的关键．
18．
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，及三角形的内角和定理，熟练掌握相关性质是解题的关键．根据题意先求出，再证明，再根据直角三角形两内角互余即可得解．
【详解】解：∵，
∴
∵是等边三角形，E是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴
19．(1)在点M，N运动过程中，经过时为等边三角形；
(2)能；或
【分析】（1）由等边三角形的判定，当时，是等边三角形，由此即可解决问题；
（2）分两种情况，由直角三角形的性质即可求解．
【详解】（1）解：运动后，，．
当时，是等边三角形．
∴．
∴．
∴在点M，N运动过程中，经过时为等边三角形；
（2）解：①如图，当时，
∵，
∴．
∴．
∴．
∴；
②如图，当时，．
∴．
∴．
∴．
∴在点M，N运动过程中，当运动时间或时，为直角三角形．
【点睛】本题考查等边三角形的性质和判定，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半．关键是分情况讨论．
20．见解析
【分析】当，和时，在网格中找出点C即可．
【详解】如图所示：
【点睛】本题考查作等腰三角形，掌握等腰三角形两边相等是解题的关键．
21．沿折线路程最短，见详解
【分析】如上图，设P是直线上任意一点，连结，以直线l为对称轴，作与线段成轴对称的线段，则．当点同在一直线上时，最短，即路程最短．
【详解】解：设P是直线l上任意一点，连结，，以直线l为对称轴，作与线段成轴对称的线段，由作图得知，直线l垂直平分，
则，（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）．
∴，
∴，
即，
所以沿折线的路线行走时路程最短．
【点睛】本题考查了两点之间直线距离最短的实际应用．
22．(1)处到灯塔的距离为60海里
(2)有危险，理由见解析
【分析】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，三角形外角的性质，等角对等边，方向角的计算，熟知相关知识是解题的关键．
（1）根据题意可证明，则，据此路程等于速度乘以时间求出的长即可得到答案；
（2）过点作，交的延长线于点，根据含30度角的直角三角形的性质求出的长，再与32海里比较即可得到结论．
【详解】（1）解：如图所示，
根据题意，得，，
（海里），
∵，
，
，
（海里）．
答：处到灯塔的距离为60海里．
（2）解：有危险．理由如下：
如图所示，过点作，交的延长线于点．
∴
（海里），
（海里），
，
若这条船继续由东向西航行会有触礁的危险．
23．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由平行线的性质可得，再由角平分线的定义可得，，从而可求证；
（2）由角平分线的定义可得，再由平行线的性质可得，从而有，由等腰三角形的判定条件可求证是等腰三角形．
【详解】（1）解：证明：，
，
平分，平分，
，，
，
；
（2）平分，
，
，
，
，
∴，
是等腰三角形．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定，平行线的性质，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系．
24．
解：等腰三角形的底角可能是锐角，不可能是直角，也不可能是钝角，理由如下：
∵等腰三角形的两个底角相等，且等腰三角形的三个内角和为180度，
∴当等腰三角形的底角为锐角时，两个底角的和小于180度，和顶角的度数之和可以为180度；
当等腰三角形的底角为直角时，两个底角的和即为180度，不符合三角形的三个内角和为180度；
当等腰三角形的底角为钝角时，两个底角的和大于180度，不符合三角形的三个内角和为180度；
故等腰三角形的底角可能是锐角，不可能是直角，也不可能是钝角.
【分析】根据等腰三角形的两个底角相等，且内角和为180度，进行说明即可.
【详解】略
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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