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16.2整式的乘法
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列计算不正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．观察下列等式：
；
；
…
小明发现其中蕴含着一定的运算规律，并利用这个运算规律求出了式子的值，这个值为（ ）
A． B． C． D．
3．若，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．由的取值而定
4．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列运算是同底数幂的除法的是（ ）
A． B． C． D．
6．若，则常数，的值分别为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
7．已知，，，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
8．下列各式中，计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，甲、乙、丙、丁四名同学给出了四种表示该长方形面积的多项式：①；②；③；④．你认为正确的有（ ）
A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④
10．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
11．下列计算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．计算的结果是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
13．计算：________．
14．计算：__________．
15．（1）______； （2）______；
（3）______；（4）______；
（5）______； （6）______．
16．___________
17．小明与小亮在做游戏时，两人各报一个整式，将小亮报的整式作为除式，小明报的整式作为被除式，要求商必须为．若小明报的整式是，则小亮应报的整式是____________．
三、解答题
18．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
19．计算：
(1)；
(2)．
20．请你用图形直观解释．
21．阅读材料并解答问题：
我们已经知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示．例如：就可以用图（1）或图（2）等图形的面积表示．

(1)请写出图（3）所表示的代数恒等式：________；
(2)试画出一个几何图形，使它的面积能表示等式；
(3)请仿照上述方法另写一个含有的代数恒等式，并画出与之对应的几何图形．
22．如图，山西某小区准备在一个长为米，宽为米的矩形草坪上修建两条宽为a米的小道，其余部分用来种植花草．
(1)求种植花草的面积；
(2)当时，求种植花草的面积．
23．阅读以下材料：指数与对数有密切的联系，它们之间可以互相转化．对数的定义：一般地，若（，且），那么叫做以为底的对数，记作：，比如：可以转化为对数，对数式，可以转化为指数式．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：（，，，）理由如下：
设，，则，，
，由对数的定义得，
又，
，
请解决以下问题：
(1)将指数式转化为对数式_____；
(2)求证：（，，，）；
(3)拓展运用：计算．
24．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2024年11、12月和2025年1月的日历．选择其中相邻五格成一个十字星（如图），将十字星左右两数、上下两数分别相乘，再相减，简称为“十字差”，例如：，不难发现，结果都是48．
(1)请你再选择两个类似的部分试一试，看看是否符合这个规律；
(2)请你利用整式的运算对以上的规律加以证明．
《16.2整式的乘法》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B D D C D C C D C
题号 11 12
答案 B B
1．A
【分析】运用合并同类项法则，幂的乘方，同底数幂的除法，同底数幂的乘法法则处理．
【详解】解：A. ；原计算错误，本选项符合题意；
B. ，计算正确，本选项不合题意；
C. ；计算正确，本选项不合题意；
D. ；计算正确，本选项不合题意；
故选：A
【点睛】本题考查合并同类项法则，幂的乘方，同底数幂的除法，同底数幂的乘法法则处理；掌握相关运算法则是解题的关键．
2．B
【分析】本题考查了整式的乘法，找出式子的规律是解题的关键．根据给定的式子的规律可得，然后将变形为，再计算即可．
【详解】解：由题意可得：
，
∴
，
故选：B．
3．D
【分析】本题主要考查多项式乘以多项式及整式的加减运算，熟练掌握各个运算是解题的关键；由题意可得，然后问题可求解．
【详解】解：∵，
∴
；
∴M与N的大小关系由x的取值而定；
故选D．
4．D
【分析】本题考查整式的乘除运算，涉及积的乘方、单项式除以单项式、平方差公式及单项式乘乘以单项式等知识，由积的乘方、单项式除以单项式、平方差公式及单项式乘乘以单项式逐一验证各选项的正确性即可得到答案，熟记整式的乘除运算法则是解决问题的关键．
【详解】解：A、的运算中，系数的立方为，的立方为，故结果应为，而非，选项计算错误，不符合题意；
B、中，系数，，，故结果应为，而非，选项计算错误，不符合题意；
C、应用平方差公式，应为，而非，，选项计算错误，不符合题意；
D、中，系数均为，，，故结果为，选项计算正确，符合题意；
故选：D．
5．C
【分析】本题主要考查同底数幂相除的法则，熟记法则是正确解决本题的关键．
根据同底数幂相除的性质，幂相除时底数不变，指数相减即可解答．
【详解】解：A、是合并同类项运算，不符合题意；
B、为单项式除以单项式，不符合题意；
C、是同底数幂的除法，符合题意；
D、为幂的乘方运算，不符合题意，
故选：C．
6．D
【分析】先根据多项式乘多项式是运算法则计算，得出，再根据，由此可得，即可得出，，进而得出答案．
本题考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．
【详解】解：，，
，
，，
解得：，．
故选：D．
7．C
【分析】本题主要考查了幂的乘方计算，同底数幂乘除法计算，求出，则，可得，据此可判断A；根据得到，则，据此可判断A、B；计算出，则可得，则，据此可判断C．
【详解】解：∵，，，
∴，即，
∴，
∴，即，故D结论正确，不符合题意；
∵，，
∴，
∴，
∴，故A结论正确，不符合题意；
∴，故B结论正确，不符合题意；
∵，
∴，
∴，故C结论错误，符合题意；
故选；C．
8．C
【分析】本题考查了整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
根据合并同类项，同底数幂的乘法，除法，幂的乘方法则进行计算，逐一判断即可解答．
【详解】解：、与不能合并，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
9．D
【分析】本题考查了整式乘法的应用，根据长方形面积公式判断各式是否正确即可，根据图形正确列出算式是解题的关键．
【详解】解：根据长方形面积：①，该选项正确，符合题意；
②由①将看作整体，去括号得：，该选项正确，符合题意；
③由①将看作整体，去括号得：，该选项正确，符合题意；
由①去括号得：，该选项正确，符合题意；
∴正确的有①②③④，
故选：D．
10．C
【分析】本题考查的是单项式乘单项式，解题的关键是熟练掌握其法则，根据单项式乘单项式运算法则，可知系数相乘，相同的字母指数相加即可解答．
【详解】解：，
故选：C．
11．B
【分析】根据单项式乘以单项式法则，进行运算，即可一一判定．
【详解】解：A.，故该选项错误，不符合题意；
B.，故该选项正确，符合题意；
C.，故该选项错误，不符合题意；
D.，故该选项错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了单项式乘以单项式法则，熟练掌握和运用单项式乘以单项式法则是解决本题的关键．
12．B
【分析】根据单项式乘以多项式法则计算，即可求解．
【详解】解：，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了单项式乘以多项式，熟练掌握单项式乘以多项式法则是解题的关键．
13．
【分析】运用有理数乘法法则和同底数幂的乘法法则进行计算．
【详解】解：．
14．
【分析】本题考查单项式乘以多项式，根据单项式乘以多项式的运算法则计算求解，即可解题．
【详解】解：；
故答案为：．
15． 1
【分析】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方、单项式除以单项式、积的乘方，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
（1）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，计算即可；
（2）根据幂的乘方的运算法则计算即可；
（3）根据单项式除以单项式的运算法则计算即可；
（4）根据零指数幂即可解答；
（5）逆用积的乘方进行计算即可；
（6）根据积的乘方与幂的乘方进行计算即可．
【详解】解：（1），
故答案为：；
（2），
故答案为：；
（3），
故答案为：；
（4），
故答案为：1；
（5），
故答案为：；
（6），
故答案为：．
16．
【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，
根据“用单项式分别乘以多项式的每一项，再把所得的结果相加”计算即可．
【详解】解：原式
．
故答案为：．
17．
【分析】根据被除式、除式和商的关系列出代数式，再利用整式除法运算法则求解即可．
【详解】解：根据题意，小亮报的整式为
，
故答案为：．
【点睛】本题考查整式的除法，熟练掌握整式除法运算法则，正确列出代数式是解答的关键．
18．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了单项式除以单项式，积的乘方，单项式的乘除混合运算，掌握相关运算法则是解题的关键．
（1）利用单项式除以单项式的法则计算即可；
（2）利用单项式除以单项式的法则计算即可；
（3）利用单项式除以单项式的法则计算即可；
（4）先算积的乘方，再利用单项式的乘除法则计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
19．(1)
(2)
【分析】本题考查了单项式乘以多项式；
（1）用单项式乘以多项式的每一项，即可求解；
（2）用单项式乘以多项式的每一项，即可求解；
掌握项式乘以多项式的法则是解题的关键．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
20．解：设为正数，且满足，构造长为，宽为的大长方形，大长方形面积为．
在大长方形中截去一个长为、宽为的小长方形，截去小长方形的面积为．
剩余图形是长为，宽为的长方形，因此剩余图形面积可表示为．
剩余图形面积也可以表示为大长方形面积减去截去小长方形的面积，即．
两种计算方式得到的是同一个图形的面积，因此．
【分析】构造长为，宽为的大长方形，在大长方形中截去一个长为、宽为的小长方形，根据等面积法可得等式．
【详解】略
21．(1)
(2)见解析
(3)，图见解析
【分析】（1）图（3）中大长方形的长为，宽为，根据题意列出恒等式；
（2）设计一个长方形的长为，宽为的大长方形即可；
（3）设计一个长方形的长为，宽为的大长方形即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：如图所示：
；
（3）解：恒等式，如图所示：
．
【点睛】本题主要考查了多项式乘法的几何背景，应从整体和部分两方面来理解多项式乘法的几何意义；主要围绕图形面积展开分析．
22．(1)平方米
(2)18平方米
【分析】本题考查多项式与多项式相乘，解题的关键是学会用平移的思想求面积，熟练掌握多项式的乘法运算法则．
（1）利用平移思想结合长方形的面积公式进行求解即可；
（2）把a，b的值代入进而求出答案．
【详解】（1）解：根据题意，得，
平方米．
答：种植花草的面积为平方米；
（2）解：当时，
原式（平方米）．
答：种植花草的面积为18平方米．
23．(1)
(2)见解析
(3)2
【分析】本题考查了新定义的知识解题，理解新定义，找到指数和对数的关系是求解本题的关键．
（1）根据若（，且），有求解，即可解题；
（2）类比于（，，，）的证明过程求解，即可解题；
（3）根据对数运算法则与求解，即可解题．
【详解】（1）解：根据题意可知指数式转化为对数式为，
故答案为：．
（2）解：设，，则，，
，由对数的定义得，
又，
；
（3）解：
．
24．(1)见解析
(2)见解析
【分析】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握整式的混合运算是解题关键．
（1）利用日历表得出符合规律的几组数据；
（2）利用公式表示出以上规律，进而计算得出答案．
【详解】（1）解：例如：，，
同样符合这个规律；
（2）设这四个数中最小的数为n，
以上规律可表示为：，
则．
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