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16.3乘法公式
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．运用乘法公式计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．在下面的正方形分割方案中，可以验证的图形是（ ）
A． B．
C． D．
3．若（n为正整数），则X－2022的末位数字是（ ）
A．4 B．6 C．2或4 D．0或6
4．如图，阴影部分是边长为a的大正方形中减去一个边长为b的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割，拼，形成新的图形，给出下列三种割拼方法，其中能够验证平方差公式的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
5．计算的结果是（　　）
A． B． C． D．
6．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知，，则的值为（ ）
A．4 B． C．5 D．
8．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差那么称该正整数为“和谐数”，如，，则8和16称为“和谐数”，在不超过100的正整数中所有的“和谐数”之和为（ ）
A．625 B．624 C．623 D．622
9．若，则（ ）
A．3 B．6 C． D．
10．计算的结果是　　
A．2 B． C． D．1
11．如图，在边长为的正方形中，减去一个边长为的小正方形（），将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于、的恒等式（ ）
A． B．
C． D．
12．下列各式能用平方差公式计算的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知：， ，则＝_____．
14．已知，则m的值为________．
15．若关于x、y的方程组的解是，的值为 _______
16．若，，则___________．
17．利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．根据图1，可以得到两数和的平方公式：______；根据图2，可以得到两数差的平方公式：______．
三、解答题
18．已知
(1)求的值
(2)求的值
19．先化简，再求值：，其中．
20．如图1，是一个长为、宽为的长方形， 沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形， 然后按图2的形状拼成一个正方形．
(1)请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积．
方法1： ；
方法2： ；
(2)观察图2，请你写出三个代数式、 、之间的等量关系式： ；
(3)根据（2）中的结论，若， 则 ．
(4)有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示．如图3，它表示了，试画出一个几何图形，使它的面积能表示．
21．数形结合是数学学习中经常使用的数学方法之一，在研究代数问题时，我们常常可以通过构造几何图形，用面积直观地推导公式．
(1)观察下图，通过下图中阴影部分面积的表示可以得到我们熟悉的数学公式 ．
(2)请你借助下面的正方形，画出能说明完全平方公式的图形，并在图上标注清楚相应的字母．（只画出图形，不写推理过程）
(3)有两个大小不同的正方形A和B，现将A，B并列放置后构造新的正方形得到图①，其阴影部分的面积为20；将B放在A的内部得到图②，其阴影部分（正方形）的面积为9．求正方形A、B的面积之和．
22．正方形的边长增加了，面积相应增加了．求这个正方形原来的面积．
23．如图1，在中，于点D．
(1)求证：；
(2)如图2，点E在上，连接交于点F，若，求证：平分；
(3)如图3，在（2）的条件下，过A作，交的延长线于点G，交的延长线于点H．若的面积为40，且，求的值．
24．已知，求代数式的值．
《16.3乘法公式》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B C D A B C B B D
题号 11 12
答案 C A
1．B
【分析】根据，利用平方差公式解答即可．
本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键．
【详解】解：根据，
故选：B．
2．B
【分析】此题考查了完全平方公式的几何应用，根据图形进行列式表示图形的面积即可得出答案．
【详解】解：由A选项可得：，故本选项不符合题意；
由B选项可得：，故本选项符合题意；
由C选项可得：，故本选项不符合题意；
由选项D可得：，故本选项不符合题意，
故选：B．
3．C
【分析】根据平方差公式把X化简，然后总结22n的尾数特征，计算即可．
【详解】解：X=（2n-1）（2n+1）+1
=22n-1+1
=22n，
∵22=4，24=16，26=64，28=256，
∴22n的末位数字是4或6，
∴X-2022的末位数字是2或4，
故选：C．
【点睛】本题考查的是尾数特征、平方差公式，正确得出22n的尾数特征是解题的关键．
4．D
【分析】本题考查平方差公式与几何图形的面积，利用两种不同的方法分别表示出阴影部分的面积，逐一进行判断即可．
【详解】解：对于①，阴影部分的面积：左边表示为，右边表示为
∴，能够验证平方差公式；
对于②，阴影部分的面积左边表示为：，右边表示为：
∴，能够验证平方差公式；
对于③，阴影部分的面积左边表示为：，右边表示为：
∴，能够验证平方差公式；
故选D．
5．A
【分析】本题主要考查了平方差公式，直接根据平方差公式计算求解即可．
【详解】解：，
故选：A．
6．B
【分析】本题考查整式的运算，根据同底数幂的乘法，去括号，单项式乘以多项式，完全平方公式，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、，原选项计算错误；
B、，原选项计算正确；
C、，原选项计算错误；
D、，原选项计算错误；
故选B．
7．C
【分析】本题考查平方差公式的应用，解题思路是利用平方差公式 ，将已知条件直接代入求解．
【详解】解：∵ ，
且 ，，
∴ ，
∴ ．
故选C．
8．B
【分析】根据定义将不超过100的正整数中所有的“和谐数”表示出来，相加化简．
【详解】解：由题意，设“和谐数”为（n为自然数），
，得，
∴n的最大值为12，，最大的“和谐数”可表示为，
∵不超过100的正整数中所有的“和谐数”之和为
；
故选： B
【点睛】本题考查平方差公式，有理数运算；根据题意运用平方差公式确定满足题意的最大的和谐数是解题的关键．
9．B
【分析】根据平方差公式，平方根计算解答即可．
本题考查了平方差公式，平方根，熟练掌握公式是解题的关键．
【详解】解：，
，
故
故，（舍去），
故选：B．
10．D
【分析】根据平方差公式计算可得选项.
【详解】解：
．
故选：D．
11．C
【分析】本题考查了平方差公式与几何图形，利用图形面积相等建立等式是解题的关键．
分别表示出两个图形中阴影部分的面积，根据阴影部分面积相等即可得到答案．
【详解】解：∵正方形中，，
梯形中，，
∴关于、的恒等式为：．
故选：C．
12．A
【分析】根据平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2对各选项分别进行判断．
【详解】A.，是用平方差公式计算，符合题意
B.=，是完全平方公式计算，不符合题意；
C.，是完全平方公式计算，不符合题意；
D.，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查平方差公式，涉及完全平方公式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
13．
【分析】将代入计算可得．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了代数求值，解题的关键是掌握完全平方公式及其变形．
14．1
【分析】本题考查了完全平方公式的应用．
先根据完全平方公式得到，再解方程即可．
【详解】解：
解得：，
故答案为：．
15．63
【分析】本题考查了二元一次方程的解，平方差公式，灵活运用平方差公式简化运算是解题关键．将代入方程组，得到关于、的方程组，再结合平方差公式，整体代入求值即可．
【详解】解：将代入方程组，得，
，
故答案为：63．
16．1
【详解】本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式是关键．
把原式变形为，再利用平方差公式计算即可得到答案．
【点睛】解：
，
故答案为：1．
17．
【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景问题，在图1中分别用两种不同的方法求正方形的面积即可得，在图2中分别用两种不同的方法求正方形的面积即可得， 熟练掌握其性质并能通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释是解决此题的关键．
【详解】解：图1中大正方形的面积为，
也可以由一个边长为的小正方形，一个边长为的小正方形和两个长为a，宽为b的长方形的面积的和得到
∴
图2中左上角的正方形的面积为，
也可以由一个边长为的大正方形，一个边长为的小正方形，减去两个长为m，宽为n的长方形的面积得到，
∴，
故答案为：，．
18．(1)7
(2)47
【分析】本题考查了完全平方公式变形求值．
（1）根据完全平方公式变形求值即可；
（2）由（1）知，根据完全平方公式变形求值即可．
【详解】（1）解：由，
两边平方得，
所以；
（2）解：由（1）知，
两边平方得，
所以．
19．，
【分析】此题考查了完全平方公式和多项式的乘法，求代数式的值等知识，利用完全平方公式和多项式乘法法则展开，再合并同类项得到化简结果，再把字母的值代入计算即可．
【详解】解：原式，
当时，
原式．
20．(1)，
(2)
(3)
(4)见解析（答案不唯一）
【分析】本题考查了完全平方公式和多项式乘多项式的几何背景，注意仔细观察图形，表示出各图形的面积是关键．
（1）根据阴影部分的边长为小长方形的长减去宽，再根据正方形的面积求解或用大正方形的面积减去4个长方形的面积；
（2）根据大正方形面积减去4个小长方形面积等于小正方形面积可得等式；
（3）根据（2）中结论，得，据此可得答案；
（4）画出长，宽的长方形即可．
【详解】（1）解：方法1：小正方形的边长为，则图2中阴影部分的面积为；
方法2：图2中阴影部分的面积，
故答案为：，．
（2）解：三个代数式、 、之间的等量关系式，
故答案为：．
（3）解：由（2）可知，，
把代入得，，
解得，
故答案为：．
（4）解：如图，
21．(1)
(2)见解析
(3)正方形A、B的面积之和为29
【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景和平方差公式，解题的关键是根据图形得出数量关系．
（1）根据阴影部分的面积相等列出等式即可；
（2）根据画出图形即可；
（3）设正方形A、B的边长分别为m，n，根据图①和图②中的阴影面积得到，，然后利用完全平方公式的变形求解即可
【详解】（1）解：图一中阴影面积
图二中阴影面积
∵阴影部分的面积相等
∴；
（2）解：如图所示，

大正方形的面积为
大正方形的面积还可以表示为
∴
∴；
（3）解：设正方形 A、B 的边长分别为 m，n，
∵图①中阴影部分的面积为20，
∴，即，
∵图②中阴影部分（正方形）的面积为9，
即
∴正方形A、B的面积之和为29．
22．
【分析】本题考查了完全平方公式的应用、一元一次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．设这个正方形原来的边长是，根据正方形的面积公式建立方程，解方程可得的值，由此即可得．
【详解】解：设这个正方形原来的边长是．
由题意得：，
整理得：，
解得，
则这个正方形原来的面积为．
答：这个正方形原来的面积为．
23．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据同角的余角相等进行解答即可；
（2）根据同角的余角相等得出，根据三角形外角的性质得出，根据等式性质得出，即可证明结论；
（3）证明，得出，根据三角形面积公式得出，即可得出，根据，利用完全平方公式变形得出，根据，得出即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，，且，
∴，
∴，
∴平分；
（3）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵的面积为40，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，余角的性质，垂线定义，完全平方公式变形求值，直角三角形两锐角互余，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握相关的性质．
24．
【分析】首先求出，再根据完全平方公式，多项式除以单项式化简代数式得出原式，代入即可得出答案．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查代数式求值，完全平方公式，多项式除以单项式，得出，正确化简代数式是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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