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17.2用公式法分解因式
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若k为自然数，则的值总能（ ）
A．被3整除 B．被4整除 C．被5整除 D．被7整除
2．已知，则的值为（　　）
A．57 B．120 C． D．
3．把多项式分解因式，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．若，则n等于（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
5．将多项式因式分解的结果为（ ）
A． B． C． D．
6．多项式与多项式的公因式是（ ）
A．2 B．x C．1 D．
7．定义：如果一个正整数能表示成两个正整数m，n的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．例如，就是一个“智慧数”，可以利用进行研究．下列结论：①所有的正奇数都是“智慧数”；②除4以外所有能被4整除的正整数都是“智慧数”；③被4除余2的正整数都不是“智慧数”．其中正确的结论有（ ）个．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
8．因式分解的结果为（ ）
A． B． C． D．
9．已知a，b，c为三边，且满足，则是（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．不能确定
10．某同学粗心大意，分解因式时，把式子中的一部分弄污了，那么你认为式子中的所对应的代数式是（ ）
A． B． C． D．
11．如果x2+kx﹣10＝（x﹣5）（x+2），则k应为（　　）
A．﹣3 B．3 C．7 D．﹣7
12．整式可以写成（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．分解因式： __________
14．一个直角三角形斜边长为a，直角边长分别为b，c，若它的面积为6，斜边长为5，则的值为________．
15．若正方形的面积是，则该正方形的边长为_____．
16．计算：________．
17．分解因式：=___________．
三、解答题
18．若，，求多项式的值．
19．下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．
回答下列问题：
解：设，
原式第一步
第二步
第三步
第四步)
(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的 ；
(2)该同学因式分解的结果是否彻底？ （填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 ．
(3)以上方法叫做“换元法”．请你模仿以上方法对进行因式分解．
20．如图，有若干张的边长为a的小正方形①、长为b宽为a的长方形②以及边长为b的大正方形③的三种纸片．
(1)如果现有小正方形①1张，大正方形③2张，长方形②3张，其中．请你将它们拼成一个大长方形（画出图示），并运用面积之间的关系，将多项式分解因式．
(2)已知长方形②的周长为6，面积为1，求小正方形①与大正方形③的面积之和．
21．【发现问题】现有图1中的A，B，C三种卡片若干，用这些卡片可以拼成各式各样的图形，根据这些图形的面积的不同表示可以将一些多项式因式分解．
例：用1张A卡片，2张B卡片，1张C卡片拼成如图2的图形，用两种方法表示该图形的面积，可以得到等式．
(1)【小试牛刀】请把表示图3面积的多项式因式分解（直接写出等式即可）．
(2)【自主探索】请利用图1的卡片，将多项式因式分解，并画出图形．
22．运算能力从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图①），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图②）．
(1)上述操作能验证的等式是 （填选项）．
A．
B．
C．
(2)若，，求的值．
(3)计算：．
23．【探究题】
(1)【问题情景】将下列各式因式分解，将结果直接写在横线上：___________；___________；___________；
【探究发现】观察以上三个多项式的系数，我们发现：；
(2)【归纳猜想】若多项式是完全平方式，猜想：系数之间存在的关系式是什么？
(3)【验证结论】请你写出一个不同于上面出现的完全平方式，并用此式验证你猜想的结论；
(4)【解决问题】若多项式是一个完全平方式，利用你猜想的结论求出的值．
《17.2用公式法分解因式》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D D B C D C D C B
题号 11 12
答案 A B
1．B
【分析】本题考查因式分解的应用，将利用平方差公式法进行因式分解，进而得出结论即可．
【详解】解：，
∴的值总能被4整除；
故选：B．
2．D
【分析】根据提公因式法、完全平方公式即可解决此题．
【详解】解：
，
∵，
∴原式．
故选：D．
【点睛】本题主要考查完全平方公式的变形应用、因式分解，熟练掌握完全平方公式、提公因式法是解决本题的关键．
3．D
【分析】本题考查了因式分解，根据平方差公式求解即可．
【详解】解：．
故选：D．
4．B
【分析】根据平方差公式计算即可．
【详解】解：∵
，
∴n等于4．
故选B．
【点睛】本题考查因式分解．掌握利用平方差公式分解因式是解题关键．
5．C
【分析】本题考查了因式分解，掌握平方差公式分解因式是解题的关键根据进行因式分解即可得解．
【详解】解：，
故选：．
6．D
【分析】分别分解因式即可求解．
【详解】解：，
，
公因式是．
故选：D．
【点睛】本题考查了因式分解，公因式的定义，掌握因式分解的方法是解题的关键．
7．C
【分析】本题考查了平方差公式法因式分解以及整数的奇偶性分析．理解“智慧数”的定义是解题的关键．
根据“智慧数”的定义，通过对中、的取值分析来判断各个结论是否正确．
【详解】解：∵1不能表示成两个正整数m，n的平方差，故①错误；
设能被4整除的正整数为（为正整数且），
，令，
将两式相加可得：，即，
解得：，
将代入，解得．
为正整数且，
、为正整数，
除4以外所有能被4整除的正整数都可以表示成两个正整数的平方差，即除4以外所有能被4整除的正整数都是“智慧数”，
故②正确；
假设存在正整数、，使得是被4除余2的正整数，即（为正整数）．
与的奇偶性相同，若与都是奇数，则都是奇数，不可能是这种偶数；
若与都是偶数，则能被4整除，也不可能是；
被4除余2的正整数都不是“智慧数”．
故③正确；
综上所述，正确的结论是②③．
故选：C．
8．D
【分析】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
原式利用完全平方公式和平方差公式分解即可．
【详解】分解：原式，
故选：D．
9．C
【分析】将已知式子因式分解为，得到，则有，即可判断三角形的形状．
本题主要考查等腰三角形的判定和因式分解 ，熟练掌握因式分解是解题的关键．
【详解】，
∵a，b，c为三边
∴
∴
∴是等腰三角形．
故选：C．
10．B
【分析】将等式右边用平方差公式展开，然后求解即可．
【详解】解：∵
∴=．
故答案为B．
【点睛】本题主要考查了平方差公式的应用，灵活运用平方差公式是解答本题的关键．
11．A
【分析】根据多项式乘以多项式把等号右边展开，即可得答案．
【详解】解：（x-5）（x+2）=x2-3x-10，
则k=-3，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了因式分解，关键是掌握x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）．
12．B
【分析】本题考查了完全平方公式，掌握完全平方公式的特征是解题的关键．
根据完全平方公式的特征进行计算即可．
【详解】解：，
，
，
．
故选：B．
13．
【分析】本题考查了利用分组分解法进行因式分解；先把前两项、后两项结合，前两项利用平方差公式分解因式，则可提取公因式，即可分解因式．
【详解】解：
；
故答案为：．
14．444
【分析】本题考查的是因式分解的应用，直角三角形的面积的计算，先求解，再把进行因式分解，再代入计算即可．
【详解】解：∵直角三角形斜边长为a，直角边长分别为b，c，斜边长为5，面积为6，
∴，，
∴，
∴
；
故答案为：
15．
【分析】本题考查了运用公式法进行因式分解，熟练掌握完全平方式的特点是解决问题的关键．
正方形的面积是边长的平方，给定表达式是一个完全平方式，运用公式法把多项式分解，即可得出答案．
【详解】解：给定面积表达式为 ，可因式分解为 ，
根据正方形面积公式，边长等于面积的算术平方根，且，，
故该正方形的边长为，
故答案为：．
16．/
【分析】接利用平方差公式把每一个算式因式分解，再进一步发现规律计算即可．
【详解】解：原式=
，
故答案为：．
【点睛】此题考查因式分解的应用，解题关键在于利用公式进行计算．
17．(a+3b)(a－3b)(a2+9b2)
【分析】运用两次平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解：原式
=(a+3b)(a－3b)(a2+9b2) ．
故答案为：(a+3b)(a－3b)(a2+9b2) ．
【点睛】本题考查运用平方差公式进行因式分解，解题关键是掌握a2-b2=(a+b)(a-b) ．
18．．
【分析】本题主要考查了提公因式法与公式法的综合运用，先将因式分解为，然后把，代入即可求解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
【详解】解：
，
当，时，
原式
．
19．(1)两数和的完全平方公式
(2)不彻底，
(3)
【分析】本题主要考查了因式分解及完全平方公式，熟练掌握完全平方公式因式分解是解题的前提，
（1）根据完全平方公式作答即可；
（2）根据因式分解的定义及完全平方公式作答即可；
（3）根据换元法及完全平方公式因式分解即可；
【详解】（1）解：第二步到第三步使用的是公式，
即两数和的完全平方公式，
故答案为：两数和的完全平方公式；
（2）解：∵，
∴该同学因式分解的结果不彻底，因式分解的最后结果是，
故答案为：不彻底，；
（3）解：设，
．
20．(1)图见解析；
(2)7
【分析】本题考查因式分解，完全平方公式与几何图形的面积问题：
（1）根据，用1个小正方形①，3个长方形和2个大正方形拼成1个大的长方形，根据长方形的面积分解因式即可；
（2）根据题意得到，利用完全平方公式变形求出即可．
【详解】（1）
解：（1）如图，
拼成边为和的长方形
∴；
（2）由题意，得：，
∴；
故小正方形①与大正方形③的面积之和为7．
21．(1)
(2)，
图形如图所示：
【分析】本题主要考查了因式分解的应用：
（1）仿照题意把图3的面积用两种方法表示出来，然后根据两种表示方法表示的面积相等即可得到答案；
（2）仿照题意画出对应的图形即可得到答案；
【详解】（1）解：由图可知，图3是由1张A卡片，3张B卡片，2张C卡片拼成的，
图3的面积为，
又图3的面积又等于一个长为，宽为的长方形面积，
；
（2）解：是由2张A卡片，5张B卡片，3张C卡片拼成的
同理可得；
22．(1)A
(2)
(3)
【分析】本题考查了平方差公式的应用，包括图形验证、代数求值，掌握平方差公式的变形与交叉约分的技巧是解题的关键．
（1）通过比较剪拼前后图形的面积，验证平方差公式；
（2）利用平方差公式，代入已知值求；
（3）将每个括号内的式子用平方差公式分解，再通过交叉约分简化计算．
【详解】（1）解：图①面积：
图②面积：
因为剪拼前后面积相等，
所以验证的等式是：
故选：A．
（2）解：，，
，
．
（3）解：原式
23．（1）；（2）；（3）见解析；（4）
【分析】本题考查了完全平方公式的综合应用、因式分解的应用、数字规律等知识点点，灵活运用完全平方公式成为解题的关键．
（1）利用完全平方公式进行分解因式即可；
（2）根据问题情境式子中的系数关系，可猜想；
（3）可用完全平方公式进行验证；
（4）多项式是完全平方式，则系数a，b，c存在的关系为，可得出，进而求出n的值即可．
【详解】（1）解：；；．
故答案为：．
（2）由情境中给的式子系数关系，可归纳猜想：．
故答案为：．
（3）验证结论：可用，
验证：∵，
∴．
（4）∵多项式是一个完全平方式，
∴，
∴，即，解得：．
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