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第十七章因式分解
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列各式能够用完全平方公式因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
2．将用提公因式法进行因式分解，应提的公因式是（ ）
A． B． C． D．
3．多项式可分解因式为，那么等于（　　）
A． B． C． D．
4．多项式的公因式是（　　）
A． B． C． D．
5．对于实数，，定义新运算“”，规定：．将多项式因式分解的结果是（ ）
A． B． C． D．
6．小刚是一位密码翻译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：东、爱、我、山、丽、美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱美丽 B．山东美丽 C．我爱山东 D．美我山东
7．分解因式的结果是（ ）
A． B． C． D．
8．下列分解因式正确的是( )
A． B．
C． D．
9．与相等的是（ ）
A． B．
C． D．
10．下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
11．下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．把多项式分解因式，下列结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．计算：_______．
14．分解因式：___________．
15．若n为正整数，则一定能被最大的正整数_______整除．
16．因式分解：_________
17．因式分解：______．
三、解答题
18．分解因式：
(1)；
(2)．
19．因式分解：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
20．写一个可以进行因式分解的多项式，并用图形解释．
21．【发现问题】现有图1中的A，B，C三种卡片若干，用这些卡片可以拼成各式各样的图形，根据这些图形的面积的不同表示可以将一些多项式因式分解．
例：用1张A卡片，2张B卡片，1张C卡片拼成如图2的图形，用两种方法表示该图形的面积，可以得到等式．
(1)【小试牛刀】请把表示图3面积的多项式因式分解（直接写出等式即可）．
(2)【自主探索】请利用图1的卡片，将多项式因式分解，并画出图形．
22．如图，在半径为的圆形钢板上冲去半径为的四个小圆孔．若，，请你利用因式分解的方法计算出剩余钢板的面积．（取3.14）
23．已知三角形的三边长分别是，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由．
24．两个差为2的正整数的积与1的和总是一个正整数的平方．
(1)是正整数______的平方；
(2)设较小的一个正整数为，写出这两个正整数的积与1的和，并说明它是一个正整数的平方；
(3)两个差为12的正偶数，设较小的数为（为正整数），若它们的积与常数的和是一个正整数的平方，求的值．
《第十七章因式分解》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C D A D C B D C B
题号 11 12
答案 C D
1．B
【分析】本题考查了公式法分解因式，掌握是解题的关键．
【详解】解：A.，不符合完全平方公式的特征，故不合题意；
B.符合完全平方公式的特征，故符合题意；
C.，不符合完全平方公式的特征，故不合题意；
D.，不符合完全平方公式的特征，故不合题意；
故选：B．
2．C
【分析】本题考查了提公因式法因式分解，要确定多项式的公因式，需找出各项的系数最大公约数和公共因式，系数3和的最大公约数为3，公共因式为，因此公因式为．
【详解】确定系数公因式：第一项系数为3，第二项系数为，最大公约数为3；
确定公共因式：两项均含有因式；
组合公因式：将系数公因式3与公共因式相乘，得到公因式，
故选：C．
3．D
【分析】本题考查了因式分解-提公因式法，利用单项式乘以多项式，进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：
∴M为：，
故选：D．
4．A
【分析】根据多项式的公因式的确定方法，即可求解．
【详解】解：多项式的公因式是．
故选：A．
【点睛】本题考查了公因式的定义．确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．
5．D
【分析】本题考查了新运算法则，因式分解，理解题意是解决本题的关键．
根据新运算定义，先计算得到多项式，然后进行因式分解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴
，
故选：D．
6．C
【分析】本题考查了因式分解的应用．
将原式提取公因式后，利用平方差公式进一步分解，结合各因式对应的字即可得出结果．
【详解】解：
，
对应“爱”，对应“我”，对应“东”，对应“山”．
四个因式组合为“爱、我、东、山”，
只有C“我爱山东”符合，
故选：C．
7．B
【分析】本题考查了利用平方差公式分解因式，利用平方差公式把原式化为，再整理即可，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：
，
故选：B．
8．D
【分析】此题主要考查了提公因式法因式分解，以及公式法因式分解，因式分解首先要提取公因式，再根据公式特点进行分解即可．
【详解】解：A. ，原式不是因式分解，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，原式因式分解错误，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，原式因式分解不彻底，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
9．C
【分析】此题考查完全平方公式进行因式分解，根据完全平方公式因式分解即可得答案．
【详解】解：，
故选：C．
10．B
【分析】本题考查了平方差公式分解因式．
根据平方差公式，判断各选项是否符合该结构即可．
【详解】解：A：，不符合平方差公式；
B：符合平方差公式，分解为，正确；
C：，可提取公因式，分解为，不符合平方差公式；
D：，可提取公因式，分解为，不符合平方差公式；
故选：B
11．C
【分析】依据因式分解的相关规则（平方差公式、完全平方公式、因式分解的结果形式要求等），对每个选项逐一分析，判断其因式分解是否正确．本题主要考查了因式分解的相关知识（平方差公式、完全平方公式的应用，以及因式分解需化为乘积形式等要求 ），熟练掌握因式分解的公式和正确形式是解题的关键．
【详解】A. ，故A错误．
B. 的右边 不是乘积形式，未完成因式分解，故B错误．
C. ，故C正确．
D. ，
故选：C．
12．D
【分析】分解因式要求结果为几个整式乘积的形式，将原式根据完全平方公式变形即可得到结果．
【详解】解： 选项：结果不是整式乘积的形式，不符合分解因式要求；
选项：展开得，与原式不符；
选项：展开得，与原式不符；
选项：，正确．
13．1
【分析】将分解成，然后利用完全平方公式分解因式即可．
【详解】
．
故答案为：1.
【点睛】本题考查了利用因式分解简化运算，掌握完全平方公式是解题的关键．
14．
【分析】本题主要考查了分解因式，直接提取公因式x即可分解因式．
【详解】解：，
故答案为：．
15．12
【分析】本题考查了平方差公式，提公因式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
原式利用平方差公式变形，再提公因式，即可解答．
【详解】解：
．
∴一定能被最大的正整数12整除．
故答案为：12
16．
【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．
先提公因式，然后利用完全平方公式因式分解．
【详解】解：
．
故答案为：．
17．
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解：
．
18．(1)
(2)
【分析】本题考查了提公因式法分解因式，找到公因式是解题的关键；
（1）提取公因式m，即可分解因式；
（2）提取公因式x，即可分解因式．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
19．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键．
（1）利用平方差公式分解因式即可；
（2）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可；
（3）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可；
（4）先利用多项式乘以多项式的运算法则去括号，然后合并同类项，再利用完全平方公式分解因式即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：
；
（3）解：
（4）解：
．
20．（答案不唯一）示例多项式为，因式分解结果为，图形为：
图形解释：如图一个大长方形被分割成一个边长为的正方形，一个长、宽分别为和的长方形，一个长、宽分别为和的长方形，以及一个长、宽分别为3和2的长方形，则大长方形的面积为，而此时大长方形的边长分别为和，故面积为，因此得到．
【详解】略
21．(1)
(2)，
图形如图所示：
【分析】本题主要考查了因式分解的应用：
（1）仿照题意把图3的面积用两种方法表示出来，然后根据两种表示方法表示的面积相等即可得到答案；
（2）仿照题意画出对应的图形即可得到答案；
【详解】（1）解：由图可知，图3是由1张A卡片，3张B卡片，2张C卡片拼成的，
图3的面积为，
又图3的面积又等于一个长为，宽为的长方形面积，
；
（2）解：是由2张A卡片，5张B卡片，3张C卡片拼成的
同理可得；
22．
【分析】本题是因式分解的应用，用大圆的面积减去4个小圆的面积即可得到剩余部分的面积，然后把和的值代入后分解因式可得结果，熟练进行计算是解题的关键．
【详解】解：
，
．
23．等边三角形，理由见解析
【分析】本题考查了因式分解的应用和等边三角形的判定，正确变形、熟知非负数的性质是解题的关键；先将原式变形为，再根据非负数的性质得出且，进而可得结论．
【详解】解：该三角形是等边三角形，理由见解析：
∵，
∴，
即，
∵，，
∴且，
∴，
∴该三角形是等边三角形．
24．(1)3
(2)见解析
(3)
【分析】本题主要考查的是完全平方式的应用，把所求代数式合并成完全平方式的形式是解答此题的关键．
（1）根据有理数的混合运算进行计算即可求解；
（2）用代数式把连续的正整数表示出来，按照题中给出的关系列出式子，进行验证，只要会把最后形式写成一个完全平方式的形式就能证明此结论；
（3）可根据此结果是平方数求出常数的值．
【详解】（1）解：∵；
∴是3的平方；
（2）解：设较小的正整数为，则另一个正整数为，
这两个数的积与1的和为，
∴
，
∴原式为正整数的平方．
（3）解：设较小的正偶数为，则另一个正偶数为，
它们的积与常数a的和为，
∴
，
由配方法可知，
∴，
原式．
综上：．
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