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第十四章全等三角形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，已知方格纸中是个相同的小正方形，则的度数为（ ）°

A． B． C． D．
2．如图，△ABC≌△AEF，AB＝AE，∠B＝∠E，则下列结论：①AC＝AF；②∠FAB＝∠EAB；③EF＝BC；④∠EAB＝∠FAC．其中正确的是( )
A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①②③
3．如图，已知AC平分∠PAQ，点B、D分别在边AP、AQ上．如果添加一个条件后可推出AB＝AD，那么该条件不可以是（　　）
A．BD⊥AC B．BC＝DC C．∠ACB＝∠ACD D．∠ABC＝∠ADC
4．如图，已知AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE＝DF，连接BF，CE．下列说法正确的是（ ）
①BD＝CD；②∠BAD＝∠CAD；③△BDF≌△CDE；④BF∥CE；⑤CE＝AE
A．①② B．③⑤ C．①③④ D．①④⑤
5．如图，一束光贴着正方形网格背景布射向平面镜，其反射光线为（ ）
A． B． C． D．
6．两个三角形的两条边及其中一条边的对角对应相等，下面说法正确的有（ ）
（1）这两个三角形一定全等；
（2）这两个三角形不一定全等；
（3）相等的角为锐角时，这两个三角形全等；
（4）相等的角是钝角时，这两个三角形全等．
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
7．如图，在用尺规作图得到过程中，运用的三角形全等的判定方法是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，已知，，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，已知，求作：，使．
作法：（1）以点为圆心，任意长为半径作，分别交，于点，，连接；
（2）以为圆心，的长为半径作弧，交于点，连接，；
（3）作射线，即为所求作的角．下列结论正确的是（ ）
A．的依据是两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
B．
C．
D．是等腰三角形
10．如图，电信部门要在内部修建一座电视信号发射塔．按照要求，发射塔到两个城镇、的距离相等，到两条公路和的距离也必须相等．则发射塔应该修建在（　　）
A．两个角的角平分线的交点
B．线段的垂直平分线与的角平分线的交点
C．的角平分线与线段的垂直平分线的交点
D．线段的垂直平分线与线段的垂直平分线的交点
11．如图，是的中线，E，F分别是和延长线上的点．且，连接，下列说法：①和的面积相等；②；③；④．其中，正确的说法有（　　）
A．②③ B．①③ C．①②③④ D．①②③
12．如图，，分别是的高和角平分线，与相交于G，平分交于E，交于M，连接交于H，且．有下列结论：①；②是等边三角形；③；④其中，正确的结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
13．线段垂直平分线的性质定理的逆定理：到线段两端________相等的点在线段的垂直平分线上．角平分线性质定理的逆定理：角的内部，到角两边________相等的点，在这个角的平分线上．
14．如图，在中，点是高、的交点，且，则=____度．
15．如图，在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以小于长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，在内两弧交于点；③作射线，交于点．若的长为2，则点到的最短距离为______．
16．如图，在中，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点，．若，则形状为 _________________．
17．如图，是的角平分线，，，，的面积是3，则的面积为______．
三、解答题
18．已知：在平面直角坐标系中，抛物线过点、、．
(1)求抛物线的表达式和顶点的坐标；
(2)点在抛物线对称轴上，，求点的坐标；
(3)抛物线的对称轴和轴相交于点，把抛物线平移，得到新抛物线的顶点为点，，的延长线交原抛物线为，，求新抛物线的表达式．
19．如图，在中，，在的上方作，使，且，与交于点，连接．
(1)若平分，求证：．
(2)求的度数．
20．阅读下列材料，并完成相应的任务．
尺规作图起源于古希腊的数学课题，指的是只用没有刻度的直尺和圆规作图，并且只允许使用有限次，来解决不同的平面几何作图问题．
(1)如图，在中．求作：
①的角平分线；
②线段BC的垂直平分线，线段BC的垂直平分线与的角平分线交于点D，与交于点E．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，可不写作法与作图结论）．
(2)在（1）的条件下，分别连接，，若，求的度数．
21．如图，已知直线和与相交，点E是上一点，请用尺规作图法在上求作一点F，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
22．星期六，数学兴趣小组的同学一起到校园参加社会实践活动，他们利用一根长的竿子来测量旗杆的高度．方法如下：如图，在旗杆前选一点P，使，并测得，然后把竖直的竿子（）在水平地面上前后移动（点，，，，在同一平面内且，，在同一直线上），使，此时测得．请根据这些数据，计算出旗杆的高度．
23．如下图，在和中，，连接交于点P．求与之间的数量关系以及的度数．
24．（1）萧县某中学计划为学生暑期军训调配备如图（1）所示的折叠凳，这样设计的折叠凳坐着舒适、稳定．这种设计所运用的数学原理是____________．
（2）图（2）是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿和的长度相等，交点O是它们的中点，为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度设计为，则由以上信息可推得的长度是多少？请说明理由．

《第十四章全等三角形》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C B C B B B B D B
题号 11 12
答案 B A
1．C
【分析】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等三角形的判定和性质．
首先证明三角形全等，根据全等三角形的性质可得对应角相等，再由余角的定义和等量代换可得与的和为.
【详解】解：在和中，
，
，
，
，
故选：C；

2．C
【分析】根据全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等结合图象解答即可．
【详解】解：∵△ABC≌△AEF，
∴AC=AF，EF=BC，∠EAF=∠BAC，故①③正确；
∵∠EAF=∠BAC，
∴∠FAC=∠EAB≠∠FAB，故②错误，④正确；
综上所述，结论正确的是①③④．
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟记性质并准确识图，准确确定出对应边和对应角是解题的关键．
3．B
【分析】首先分析选项添加的条件，再根据全等三角形的判定方法判断．
【详解】解：添加A选项中条件可用ASA判定两个三角形全等，故选项错误，不符合题意；
添加B选项中条件无法判定两个三角形全等，故选项正确，符合题意；
添加C选项中条件可用ASA判定两个三角形全等，故选项错误，不符合题意；
添加D选项中条件可用AAS证明三角形全等，故选项错误，不符合题意．
故选：B．
【点睛】此题考查了三角形全等的判定方法，解题的关键是知道判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
4．C
【分析】①根据三角形的中线直接进行判断即可；
②一般三角形一条边上的中线不一定是这条边所对的角的平分线；
③根据“SAS”直接进行判断即可；
④根据三角形全等的性质直接判定∠F＝∠DEC，根据平行线的判定方法得出结果；
⑤根据全等三角形的性质可以判定CE＝BF，不能判定CE＝AE．
【详解】解：①∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，故①正确；
②∵AD为△ABC的中线，
∴BD＝CD，∠BAD和∠CAD不一定相等，故②错误；
③在△BDF和△CDE中
∴△BDF≌△CDE（SAS），故③正确；
④∵△BDF≌△CDE，
∴∠F＝∠DEC，
∴，故④正确；
⑤∵△BDF≌△CDE，
∴CE＝BF，故⑤错误；
综上分析可知，①③④正确，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形中线的定义，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图，是解题的关键．
5．B
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质的应用，根据入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角即可得到答案．掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】解：如图，
设小正方形的边长为个单位长度，
∴，，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴光线与镜面的夹角等于入射光线与镜面的夹角．
故选：B．
6．B
【分析】画出图形，分别满足两边及一个锐角对应相等，两边与一个钝角对应相等，从而可得结论．
【详解】解：如图，两个三角形的两条边及其中一条边的对角对应相等，满足，
但是不能判定三角形的全等．
当时，
与不全等，
只有当相等的角是钝角时，这两个三角形全等．
当时，
此时完全重合的两个三角形全等，
则说法正确的只有（2）（4）．
故选：．
【点睛】本题考查的是三角形全等的判定，掌握利用图形理解三角形的判定方法是解题的关键．
7．B
【分析】根据作法可得，可利用证明，即可求解．
【详解】解：根据作法得：，
∵，
∴．
故选：B
【点睛】本题主要考查了尺规作图——作一个角等于已知角，全等三角形的判定，熟练掌握作一个角等于已知角的作法，全等三角形的判定定理是解题的关键．
8．B
【分析】本题考查了三角形全等的性质定理，根据两个三角形全等，可得到对应边相等，进而可得到答案，准确找到对应边是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴cm，cm，
即cm，
故选：B．
9．D
【分析】本题考查了尺规作图，三角形的不等关系，等腰三角形的判定．根据题干中的作图步骤即可判断各选项．
【详解】解：A．由作法知：，
∴，故A不正确；
B．由作法知：，
由三角形三边关系得，故B不正确；
C．不能证明，故C不正确；
D．由作法知，点在圆O上，则，
∴是等腰三角形，故D正确．
故选：D．
10．B
【分析】本题考查了角平分线的性质定理，线段垂直平分线的性质，熟练掌握以上性质的应用是解题的关键．根据发射塔到两个城镇A、B的距离相等，可知发射塔在线段的垂直平分线上，再根据发射塔到两条公路的距离也必须相等，可知发射塔在的角平分线上，综上即可推出答案．
【详解】解：∵发射塔到两个城镇A、B的距离相等，
∴发射塔应修建在线段的垂直平分线上，
又∵发射塔到两条公路和的距离也必须相等，
∴发射塔应修建在的角平分线上，
∴发射塔应修建在线段的垂直平分线与的角平分线的交点．
故选：B．
11．B
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等底等高的三角形的面积相等，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图是解题的关键．根据三角形中线的定义可得，根据等底等高的三角形的面积相等判断出①正确，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，全等三角形对应角相等可得，再根据内错角相等，两直线平行可得，由已知无法判定②④，从而可得答案．
【详解】解：∵是的中线，
∴，
∴和面积相等，故①正确；
∵为的中线，
∴，和不一定相等，故②错误；
在和中，
，
∴，
∴，
∴，故③正确；
∵，
∴，无法得到，故④错误，
正确的结论为：①③．
故选B．
12．A
【分析】解题时，首先针对每个结论，结合已知条件逐步分析：
①利用“是高”得直角三角形两锐角互余，再结合角平分线定义，求出的度数，最后根据三角形内角和定理算出，判断结论①错误．
②根据现有条件，没有足够依据证明三边相等，所以判定不是等边三角形．
③延长构造全等三角形和，得出，将转化为，再利用三角形外角性质和“大角对大边”，得出，从而判断结论③错误．
④证明，得到面积相等关系，再结合和是角平分线的性质，对三角形面积进行转化，得出，判定结论④正确．通过这样逐一分析每个结论，最终确定正确结论的个数．
【详解】解：∵是的高，
∴，
∴，
∵是的角平分线，平分，
∴，，
∴，
∴，故①错误；
∵是的高，，
∴，
∵，
∴，
∵是的角平分线，平分，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴为等腰三角形，条件不足，无法得到为等边三角形，故②错误；
如图，延长交于点，
在和中，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故③错误；
在和中，
∴，
∴，
∵，平分，
∴，，
∴，故④正确；
综上所述，正确的有④，共个，
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形的高、角平分线的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定（、）及性质，三角形外角性质，“大角对大边”定理，三角形面积的计算与转化．解题思想方法有转化思想（将角的关系、面积的关系进行转化），数形结合思想（结合图形分析角和线段的关系）．解题关键为熟练运用全等三角形的判定与性质，结合角平分线、高的性质，对三角形的角、边、面积进行分析转化．易错点是在分析角的关系时，容易忽略三角形外角性质或“大角对大边”的应用条件；证明三角形全等时，易找错对应角或对应边．
13． 距离 距离
【分析】根据到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，以及角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上，进行作答即可．
【详解】解：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上；到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上；
故答案为：距离，距离．
【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质定理的逆定理以及角平分线性质定理的逆定理．熟练掌握到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上；到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上，是解题的关键．
14．
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边对等角，三角形内角和定理，先根据三角形高的定义得到，进而利用三角形内角和定理证明，进一步证明得到，即可得到．
【详解】解：∵、都是的高，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
15．2
【分析】本题考查了作角平分线，角平分线的性质，垂线段最短，熟练掌握基本作图以及角平分线的性质是解题的关键．
过点作于点，可知点到的最短距离为，根据作图可得为的角平分线，根据角平分线的性质即可求解．
【详解】解：过点作于点，点到的最短距离为，
根据作图可知为的角平分线，
∵
∴，
故答案为：2．
16．等腰直角三角形
【分析】本题主要考查全等三角形的性质，解答的关键是熟记全等三角形的性质．由全等三角形的性质可得，，再由垂直可得，则有，从而得，即可求得，即可判定．
【详解】解：，
，，
直线，
，
，
，
，
是等腰直角三角形．
故答案为：等腰直角三角形．
17．
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，有关三角形中线的三角形面积；延长交于，由可判定，由全等三角形的性质得，，由三角形的中线得，即可求解；掌握全等三角形的判定及性质，有关三角形中线的三角形面积的求法是解题的关键．
【详解】解：延长交于，
是的角平分线，，
，
，
，
（），
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
18．(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）利用待定系数法解得该抛物线解析式，并将其转化为顶点式，即可确定点的坐标；
（2）设点，根据勾股定理可得，，，在中，由勾股定理可得，然后代入求值，即可获得答案；
（3）首先过点作于点，根据等腰三角形“三线合一”的性质确定点为中点，易得；过点作轴于点，证明，由全等三角形的性质可得，，易知点的横坐标为，进而确定点，点，然后根据平移的性质，即可获得答案．
【详解】（1）解：将点、、代入抛物线，
可得，解得，
∴该抛物线的表达式为，
又∵，
∴顶点的坐标为；
（2）如下图，
根据题意，点在抛物线对称轴上，，
设点，
∵，，
∴，，，
在中，由勾股定理可得，
即，
解得，
∴点的坐标为；
（3）如下图，
∵原抛物线，
∴其对称轴为，
∴，
∵新抛物线的顶点为点，，
过点作于点，则，即点为中点，
∵，，
∴，
∴，
过点作轴于点，
∵，，，
∴，
∴，，
∴点的横坐标为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵把原抛物线平移，得到新抛物线，
∴新抛物线解析式为．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、利用二次函数解决几何问题、勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，解题关键是运用数形结合的思想分析问题．
19．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质即角平分线性质，
（1）延长，交于点，由题意得，有，由垂直得，证得，有即可证明结论；
（2）过点分别作于点，于点，有，得到，可得，即可求得角度．
【详解】（1）证明：延长，交于点，如图，
，，，
，
，
．
，，
．
，，
，
，
．
（2）解：过点分别作于点，于点，如图，
．
，，
，
，
∵，
∴，
．
20．(1)①作图见解析；②作图见解析
(2)
【分析】本题考查尺规作图作角平分线和作线段的垂直平分线，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，四边形内角和，熟练掌握相关作图方法和相关判定与性质是解题的关键．
（1）①利用角平分线的作法作图即可；
②利用线段垂直平分线的作法作图即可；
（2）过点分别作于，延长线于，证明，得出，证明，再证明，得出，可得，即可求解．
【详解】（1）解：①如图，即为所求作，
作法：以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于两点；
再分别以这两点为圆心，大于这两点线段的一半长为半径作弧，两弧交于一点；
过点和两弧交点作射线即可；
②如图，即为所求作，
作法：分别以，为圆心，大于为半径作弧，两弧交于两点；
连接这两点，分别与的角平分线交于点D，与交于点E，即为所求作．
（2）解：如图，过点分别作于，延长线于，
∵平分，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
21．见解析．
【分析】本题考查作图－复杂作图，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握五种基本作图．作，射线交于点F，直线即为所求．
【详解】解：如图，直线即为所求．
22．旗杆的高度是．
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定是解题的关键．根据三角形的内角和定理易得，进而得到和全等，再利用全等三角形的性质求解．
【详解】解：由题意知，，，，
，
，
，
，
，
在和中，，
，
，
，，
，即．
答：旗杆的高度是．
23．，
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，先证明得，设相交于点F，利用三角形内角和定理和角的等量代换可推出．
【详解】解：∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
如图，设相交于点F，
∵，，
∴．
24．（1）三角形具有稳定性；（2），理由见解析
【分析】（1）根据三角形的稳定性进行解答即可；
（2）证明，得，结合已知条件则可知的长度
【详解】解：（1）由题意得，这种设计所运用的数学原理是三角形具有稳定性；
故答案为：三角形具有稳定性；
（2），理由如下：
∵O是和的中点，
∴，
在△AOD和△BOC中，
，
∴，
又∵，
∴．
【点睛】本题考查了三角形的稳定性，三角形全等的性质与判定，证明是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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