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第十五章轴对称
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在等腰三角形中，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．已知是关于x轴的对称点，则a，b的值为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，若，，的垂直平分线交于点D，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
4．如图所示，在平面直角坐标系中，的顶点都在格点上，点B的坐标为，作关于x轴对称的图形，则点A的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在锐角三角形中，的平分线交于点D，M，N分别是和上的动点，当取得最小值时，（ ）

A．2 B．4 C．6 D．8
6．已知点和点关于轴对称，则的值为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在中，，若，则等于（ ）
A．12 B．9 C．3 D．2
8．如图，在中，，，以点为圆心，长为半径作弧交于点，分别以、为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，已知中边上的垂直平分线与的平分线交于点E，交的延长线于点F，交于点G．则下列结论：
①；②；③；④．
其中正确结论序号是（ ）．
A．①② B．③④ C．①③④ D．①②④
10．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
11．下列图案中，对称轴条数最多的是（ ）
A． B． C． D．
12．关于原命题“如果，那么”和它的逆命题“如果，那么”，下列说法正确的是（ ）
A．原命题是真命题，逆命题是假命题 B．原命题、逆命题都是真命题
C．原命题是假命题，逆命题是真命题 D．原命题，逆命题都是假命题
二、填空题
13．如图，△ABC中，DE、FG分别是AB、AC的垂直平分线，BC=4cm，∠BAC=100°．则△ADF的周长是______cm，∠DAF=_______°．
14．如图，在中，点D，E分别在边，上，点A与点E关于直线对称．若，，，则的周长为 __．

15．命题“如果，那么”的逆命题是______．
16．如图，在中，，点D在AC上，且．写出图中的等腰三角形：____________________________．
17．如图，，是两个互相垂直的平面镜，，入射光线经过两次反射后，得到反射光线，若，则________．
三、解答题
18．如图，在中，是的垂直平分线，若，，求的周长？
19．如图，中，，于D，且，求．
20．如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，．
(1)在图中画出并标出字母；
(2)若点P与点C关于y轴对称，则点P的坐标为______；
(3)已知Q为y轴上一点，若的面积为8，请直接写出点Q的坐标．
21．若两条线段将一个三角形分割成三个等腰三角形，则这两条线段称为三分线．
（1）如图①，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，请在图中画出两条三分线，并标出每个等腰三角形顶角的度数（画出一种分割即可）．
（2）如图②，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，请在图中画出两条三分线，并标出每个等腰三角形顶角的度数（画出一种分割即可）．
（3）如图③，△ABC中，∠BAC为钝角，AE，DE为三分线，BD＝BE，DA＝DE，CA＝CE．
①求∠B和∠C的关系式．
②求∠BAC的取值范围．
22．图①所示的是某超市入口的双翼闸门，如图②，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度．
23．如图，在中，点是的中点，于，点O在的垂直平分线上，
(1)求证：是等腰三角形；
(2)若，求的度数．
24．图①、图②、图③均是6×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上．
(1)在图①中以为边，画一个等腰；
(2)在图②中画，使与关于直线对称；
(3)在图③中画，使与全等．
《第十五章轴对称》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C B B A B A A D A
题号 11 12
答案 D A
1．A
【分析】本题考查了等腰三角形的性质等边对等角的知识，掌握以上知识是解答本题的关键；
本题根据等腰三角形的性质等边对等角的知识，进行作答，即可求解；
【详解】解：∵，，
∴，
故选：A
2．C
【分析】根据关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数求解即可．
【详解】解：∵是关于x轴的对称点，
∴，
故选C．
【点睛】本题主要考查了关于x轴对称的点的坐标特点，解题的关键在于能够熟练掌握关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数．
3．B
【分析】本题考查了等腰三角形性质，三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线性质求得，推出，根据三角形内角和定理求出即可．
【详解】解：，，
，
∵的垂直平分线交于点D，
，
，
．
故选：B．
4．B
【分析】本题主要考查了关于x轴对称点的性质，直接利用关于x轴对称的点的坐标横坐标相同，纵坐标互为相反数，进而得出答案．
【详解】解：由题意可知，点A的坐标为，
∴点A的对应点的坐标为．
故选：B．
5．A
【分析】作点B关于AD的对称点B′，过点B′作B′N⊥AB于N交AD于M，根据轴对称确定最短路线，B′N的长度即为BM+MN的最小值，根据∠BAC=60°判断出△ABB′是等边三角形，再根据等边三角形的性质求解即可．
【详解】解：如图，作点B关于AD的对称点B′，

由垂线段最短，过点B′作B′N⊥AB于N交AD于M，B′N最短，
由轴对称性质，BM=B′M，
∴BM+MN=B′M+MN=B′N，
由轴对称的性质，AD垂直平分BB′，
∴AB=AB′，
∵∠BAC=60°，
∴△ABB′是等边三角形，
∵AB=4，
∴，
故选A．
【点睛】本题考查了轴对称确定最短路线问题，等边三角形的判定与性质，确定出点M、N的位置是解题的关键，作出图形更形象直观．
6．B
【分析】本题考查平面直角坐标系的知识，解题的关键是掌握平面直角坐标系中点关于轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数，根据题意，，，求出，，进行解答，即可．
【详解】解：∵点和点关于轴对称，
∴，，
解得：，，
∴．
故选：B．
7．A
【分析】由题意中三个角的比及三角形内角和定理可得出三角形为直角三角形且有一个角是，根据角所对直角边是斜边的一半即可得．
【详解】解：∵，
∴根据三角形内角和定理可得：，，，
在中，
∵，
∴，
故选：A．
【点睛】题目主要考查三角形内角和定理、直角三角形中角的性质，熟练运用此性质是解题关键．
8．A
【分析】本题主要考查了尺规作图—作垂线、直角三角形两锐角互余等知识，理解并掌握作垂线的尺规作图方法是解题关键．根据“直角三角形两锐角互余”可得，结合题意可知，然后计算的度数即可．
【详解】解：∵，，
∴，
由作图可知，，
∴．
故选：A．
9．D
【分析】主要题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识点，熟记全等三角形的判
定与性质是解题的关键．
如图：连接和，根据线段垂直平分线求出，根据角平分线性质求出，证出，根据全等三
角形的性质及线段的和差即可解答．
【详解】解：如图：连接和，
∵是的垂直平分线，
∴，
∵平分，，
∴，故①正确，符合题意；
在和中，
，
∴，
∴，故②正确，符合题意；
∵平分，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，即，即④正确，符合题意；
根据题意，无法求出，故③错误，不符合题意．
综上，正确的有①②④．
故选∶D．
10．A
【分析】轴对称：在平面内，如果一个图形沿一条直线对折，对折后的两部分都能完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线就是其对称轴，根据轴对称图形的定义进行判定．
【详解】解：A．平行四边形不是轴对称图形，故此项符合题意；
B．等腰三角形的是轴对称图形，它的对称轴是底边上的中线，故此项不符合题意；
C．矩形的轴对称图形，它的对称轴是过两组对边的两条中垂线，故此项不符合题意；
D．菱形是轴对称图形，它的对称轴是两条对角线，故此项不符合题意．
故选：A
【点睛】本题主要考查了轴对称的定义及在实际当中的运用，理解轴对称图形的定义是解答关键．
11．D
【分析】此题主要考查了轴对称图形，熟练确定轴对称图形的对称轴条数是解答本题的关键．根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，进行判断即可．
【详解】解：根据轴对称图形的意义可知：对称轴条数最多的是D选项，有无数条，
故选：D．
12．A
【分析】根据互逆命题的定义即把一个命题的题设和结论互换和性质定理进行解答，即可求出答案．
【详解】解：如果，那么，所以原命题是真命题；
命题“如果，那么”的逆命题是如果，那么，不一定成立，是假命题；
故原命题是真命题，逆命题是假命题
故选：A．
【点睛】此题考查了互逆命题，掌握互逆命题的定义即两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题是解题的关键．
13． 4 20
【分析】根据“垂直平分线上的点到两边的距离相等”可得AD=BD，AF=CF，即可求出△ADF的周长，根据等边对等角可知∠B=∠BAD，∠C=∠CAF，最后根据三角形的内角和即可求出∠DAF的度数．
【详解】解：∵DE、FG分别是AB、AC的垂直平分线，
∴AD=BD，AF=CF，
△ADF的周长=AD+AF+DF=BD+CF+DF=BC=4cm，
∵AD=BD，AF=CF，
∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAF，
设∠B=∠BAD=x，∠C=∠CAF=y，
在△ABC中，2x+2y+∠DAF=180°，
∵x+y+∠DAF=100°，
∴x+y=80°，
∴∠DAF=20°，
故答案为：4，20
【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线上的点到两边的距离相等以及等腰三角形的性质是解题的关键．
14．10
【分析】根据轴对称的性质可得，，进而得出，再根据三角形的周长公式，即可求解．
【详解】解：∵点A与点E关于直线对称，
∴，，
∵，
∴，
∵，，，
∴的周长．
故答案为：10．
【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，解题的关键是掌握成轴对称的图象对应边相等，对应角相等．
15．如果，那么
【分析】根据逆命题的定义，写出逆命题即可．
【详解】如果，那么
故答案为：如果，那么．
【点睛】本题考查了逆命题的问题，掌握逆命题的定义是解题的关键．
16．，，
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，掌握有两边相等的三角形是等腰三角形是解题的关键．
根据有两边相等的三角形是等腰三角形的定义，结合题目给出的边相等的条件，找出图中符合要求的三角形．
【详解】解：，
是等腰三角形；
，
是等腰三角形；
，
是等腰三角形；
因此，图中的等腰三角形是．
故答案为：．
17．/度
【分析】本题考查了平行线的性质，垂线，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．根据题意可得：，，，从而可得，进而可得，然后利用平行线的性质可得，从而利用平角定义进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：，，，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
18．的周长是13
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上的任意一点到线段两端点的距离相等是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质，并结合三角形周长的定义即可求解．
【详解】解：是的垂直平分线．
，
，
的周长，
答：的周长是13．
19．
【分析】本题考查了等腰三角形的判定及性质，线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理；延长至，使，由等腰三角形的性质得，由三角形外角的性质得，由线段垂直平分线的性质得 ，由等腰三角形的性质得，由三角形内角和定理得，即可求解；掌握性质，作出适当的辅助线，构建等腰是解题的关键．
【详解】解：如图，延长至，使，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：．
20．(1)见解析
(2)
(3)或
【分析】本题考查了直角坐标系下图形的绘制，点关于坐标轴对称的特征，三角形面积公式的计算，解决本题的关键是分类讨论点Q的位置．
（1）根据点的坐标画三角形即可；
（2）根据两个点关于y轴对称，则纵坐标不变，横坐标变为对应的相反数，由此求解即可；
（3）设点，根据点Q位于点A上方和点Q位于点A下方两种情况，结合面积求解即可．
【详解】（1）解：如下：
（2）解：∵点P与点C关于y轴对称，且，
∴；
故答案为：；
（3）解：∵点Q为y轴上一点，
∴设点，
当点Q位于点A上方时，
则，
即，解得，
此时点；
当点Q位于点A下方时，
则，
即，解得，
此时点；
∴点Q的坐标为或．
21．（1）见解析 （2）见解析 （3）① 3∠B+2∠C＝180°；②90°＜∠BAC＜120°．
【分析】（1）根据三分线的定义、等腰三角形的定义画出图形，使得，，是等腰三角形，并标出每个角的度数即可；
（2）根据三分线的定义、等腰三角形的定义画出图形，使得，，是等腰三角形，并标出每个角的度数即可；
（3）①设∠B=α，∠C=β，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理用α表示出∠BED、∠DEA，用β表示出∠CEA，根据平角的定义列出式子，整理得到答案；②根据三角形内角和定理得到0＜α＜60，根据①中结论计算，得到答案．
【详解】（1）如图①；
（2）如图②；
（3）①设∠B＝α，∠C＝β，
∵BD＝BE，
∴∠BED＝∠BDE（180﹣α）＝90α，
∵DA＝DE，
∴∠DEA＝∠DAE，
∴∠DEA∠BDE＝45α，
∵CA＝CE，
∴∠CEA＝∠CAE（180﹣β）＝90β，
∴90α+45α+90β＝180，
整理得，3α+2β＝180，即3∠B+2∠C＝180；
②∠BAC＝∠DAE+∠CAE
＝45α+90β
＝135（α+2β）
＝135（3α+2β）α
＝90α，
∵3α+2β＝180，
∴0＜α＜60，
∴90＜∠BAC＜120．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质、三角形内角和定理，掌握三角形内角和等于180是解题的关键．
22．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为．
【分析】本题考查的是含的直角三角形的性质．如图，过点A作于点，过点作于点，利用含的直角三角形的性质，求解，，从而可得答案．
【详解】解：如图，过点A作于点，过点作于点，
∵ 在中，，
∴，
同理可得，，
又∵双翼边缘的端点A与之间的距离为，
∴
∴当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为．
23．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质，等腰三角形性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
（1）先证明垂直平分，得出，再根据垂直平分线的性质，得出，即可得出，说明是等腰三角形；
（2），，得出，，根据，得出，根据三角形内角和定理得出，即可得出，最后根据等边对等角即可求出结果．
【详解】（1）证明：∵点是的中点，，
∴垂直平分，
∴，
∵点在的垂直平分线上，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
（2）解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
24．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据等腰三角形的性质即可得到结论；
（2）根据轴对称的性质即可得到结论；
（3）根据全等三角形的性质即可得到结论．
【详解】（1）解：如图①，即为所求；
（2）解：如图②，即为所求；
（3）解：如图③，即为所求．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、轴对称的性质、全等三角形的性质，解本题的关键在利用相关性质正确画出图形．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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