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专题06 三角函数
考点分类 五年考情（2022-2026） 命题规律
考点01 同角三角函数的基本关系及诱导公式 2026全国一卷、2025北京卷 2024北京卷 2023年全国甲卷、2023年全国乙卷、2022浙江卷 考查三角函数化简求值或特殊值求三角函数值，注重公式的变形能力及跨模块融合
考点02 三角恒等变换 2026全国二卷、2026上海卷 2025年全国一卷、2025年全国二卷、2025上海卷 2024年新课标Ⅰ卷、2024年新课标Ⅱ卷、2024年全国甲卷 2023年新课标Ⅰ卷、2023年新课标Ⅱ卷、2023上海卷 2022年新高考全国Ⅱ卷、2022北京卷、2022上海卷、2022浙江卷 考查两角和与差的正弦、余弦、正切公式、辅助角及倍角公式变形应用和半角公式变形应用。它不仅是独立的考点，更是解决复杂三角函数问题（如求值、化简、证明、图像与性质分析等）不可或缺的基本工具
考点03 三角函数的图像与性质 2026全国一卷、2026北京卷、2026天津卷、2026上海卷、 2025年全国一卷、2025年全国二卷、2025北京卷、2025天津卷、= 2025上海卷、 2024年新课标Ⅰ卷、2024年新课标Ⅱ卷、2024年全国甲卷、2024北京卷、2024天津卷、2024上海卷 2023年新课标Ⅰ卷、2023年新课标Ⅱ卷、2023年全国甲卷、2023年全国乙卷、2023北京卷、2023天津卷、2023上海卷、 2022年新高考全国Ⅰ卷、2022年新高考全国Ⅱ卷、2022年全国甲卷、 2022年全国乙卷、2022北京卷、2022天津卷、2022上海卷、2022浙江卷 考查三角函数图象伸缩变换、周期性、单调性、最值、奇偶性、对称性问题，其中参数ω的范围问题是重难点
考点01 同角三角函数的基本关系及诱导公式
1．（2026·全国一卷·高考真题）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，，，
即集合，且集合，所以.
2．（2023·全国甲卷·高考真题）设甲：，乙：，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【分析】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解.
【详解】当时，例如但，即推不出；
当时，，即能推出.
综上可知，甲是乙的必要不充分条件.
故选：B
3．（2022·浙江·高考真题）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解.
【详解】因为可得：
当时，，充分性成立；当时，，必要性不成立；
所以当，是的充分不必要条件.
故选：A.
4．（2025·北京·高考真题）已知，且，.写出满足条件的一组的值________，_________．
【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一）
【分析】根据角的三角函数的关系可得角的等量关系，从而可得满足条件的一组解.
【详解】因为，，
所以的终边关于轴对称，且不与轴重合，故且，
即，故取可满足题设要求；
故答案为：；（答案不唯一）
5．（2024·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于原点对称.若，则的最大值为________．
【答案】/
【分析】首先得出，结合三角函数单调性即可求解最值.
【详解】由题意，从而，
因为，所以的取值范围是，的取值范围是，
当且仅当，即时，取得最大值，且最大值为.
故答案为：.
6．（2023·全国乙卷·高考真题）若，则________．
【答案】
【分析】根据同角三角关系求，进而可得结果.
【详解】因为，则，又因为，则，
且，解得或（舍去），
所以.
故答案为：.
7．（2023·全国甲卷·高考真题）若为偶函数，则________．
【答案】2
【分析】利用偶函数的性质得到，从而求得，再检验即可得解.
【详解】因为为偶函数，定义域为，
所以，即，则，故，
此时，所以，
又定义域为，故为偶函数，所以.
故答案为：2.
考点02 三角恒等变换
1．（2026·全国二卷·高考真题）已知为第二象限角，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用二倍角公式化简可得，结合角的范围分别求出，即可求解.
【详解】由，得：
因为是第二象限角，所以，，化简得：，即
由于，解得：，因为，所以，所以
2．（2025·全国二卷·高考真题）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用二倍角余弦公式得，则，最后再根据两角差的正弦公式即可得到答案.
【详解】，
因为，则，则，
则.
故选：D.
3．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据两角和的余弦可求的关系，结合的值可求前者，故可求的值.
【详解】因为，所以，而，所以，
故即，从而，故，
故选：A.
4．（2024·全国甲卷·高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先将弦化切求得，再根据两角和的正切公式即可求解.
【详解】因为，所以，，所以，
故选：B.
5．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出，再利用二倍角的余弦公式计算作答.
【详解】因为，而，因此，
则，所以.
故选：B
【点睛】方法点睛：三角函数求值的类型及方法
（1）“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数．
（2）“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．
（3）“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围．
6．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为锐角，，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二倍角公式（或者半角公式）即可求出．
【详解】因为，而为锐角，解得：．
故选：D．
7．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.
【详解】[方法一]：直接法
由已知得：,
即：，即：；所以
故选：C
[方法二]：特殊值排除法
解法一:设β=0则sinα +cosα =0，取，排除A, B；
再取α=0则sinβ +cosβ= 2sinβ，取β，排除D；选C.
[方法三]：三角恒等变换
所以
即
故选：C.
8．（多选题）（2025·全国一卷·高考真题）已知的面积为，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】对由二倍角公式先可推知A选项正确，方法一分情况比较和的大小，方法二亦可使用正余弦定理讨论解决，方法三可结合射影定理解决，方法四可在法三的基础上，利用和差化积公式，回避讨论过程；，然后利用算出取值，最后利用三角形面积求出三边长，即可判断每个选项.
【详解】，由二倍角公式，，
整理可得，，A选项正确；
由诱导公式，，展开可得，
即，
下证.
方法一：分类讨论
若，则可知等式成立；
若，即，由诱导公式和正弦函数的单调性可知，，同理，
又，于是，
与条件不符，则不成立；
若，类似可推导出，则不成立.
综上讨论可知，，即.
方法二：边角转化
时，由，则，
于是，
由正弦定理，，
由余弦定理可知，，则，
若，则，注意到，则，
于是（两者同负会有两个钝角，不成立），于是，
结合，而都是锐角，则，
于是，这和相矛盾，
故不成立，则
方法三：结合射影定理（方法一改进）
由，结合正弦定理可得，，由射影定理可得，于是，
则，可同方法一种讨论的角度，推出，
方法四：和差化积（方法一改进）
续法三：
，可知同时为或者异号，即，展开可得，
，
即，结合和差化积，，由上述分析，，则，则，则，即，于是，可知.
由，由，则，即，
则，同理，由上述推导，，则，
不妨设，则，即，
由两角和差的正弦公式可知，C选项正确
由两角和的正切公式可得，，
设，则，
由，则，则，
于是，B选项正确，由勾股定理可知，，D选项错误.
故选：ABC
9．（2026·上海·高考真题）已知，则__________．
【答案】
【详解】．
10．（2025·上海·高考真题）已知，是平面内三个不同的单位向量．若，则的取值范围是_______．
【答案】
【分析】利用分段函数值分类讨论，可得，再根据数量积关系设出坐标，利用坐标运算，结合三角恒等变换求解模的范围可得.
【详解】若，则，
又三个向量均为平面内的单位向量，故向量两两垂直，显然不成立；
故.
不妨设，则，
不妨设，，
则，则，
则
，
由，，
则，
故.
故答案为：.
11．（2025·上海·高考真题）已知，则__________．
【答案】
【分析】利用同角三角函数关系和余弦的两角和公式求解即可.
【详解】由可得，
所以，
故答案为：
12．（2024·全国甲卷·高考真题）函数在上的最大值是______．
【答案】2
【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可.
【详解】，当时，，
当时，即时，.
故答案为：2
13．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为第一象限角，为第三象限角，，，则_______.
【答案】
【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得，再缩小的范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.
【详解】法一：由题意得，
因为，，
则，，
又因为，
则，，则，
则，联立 ，解得.
法二： 因为为第一象限角，为第三象限角，则,
，，
则
故答案为：.
14．（2023·上海·高考真题）已知，则=__________.
【答案】/
【分析】由正切的倍角公式求解
【详解】已知，则.
故答案为：
15．（2022·上海·高考真题）已知，则_________.
【答案】
【分析】由两角和的正切公式求解即可．
【详解】，
故答案为：
16．（2022·北京·高考真题）若函数的一个零点为，则________；________．
【答案】 1
【分析】先代入零点，求得A的值，再将函数化简为，代入自变量，计算即可.
【详解】∵，∴
∴
故答案为：1，
17．（2022·浙江·高考真题）若，则__________，_________．
【答案】
【分析】先通过诱导公式变形，得到的同角等式关系，再利用辅助角公式化简成正弦型函数方程，可求出，接下来再求．
【详解】[方法一]：利用辅助角公式处理
∵，∴，即，
即，令，，
则，∴，即，
∴ ，
则.
故答案为：；.
[方法二]：直接用同角三角函数关系式解方程
∵，∴，即，
又，将代入得，解得，
则.
故答案为：；.
考点03 三角函数的图像与性质
1．（2026·北京·高考真题）（），将向轴正方向平移个单位，得到的函数图像与图像关于轴对称，则的取值个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】平移后函数为，与关于轴对称可知函数值互为相反数，利用正弦相等得方程，排除不恒成立情形，得到的取值个数.
【详解】将向右平移个单位得
.
由题意，与的图像关于轴对称，即恒成立，
即. 分两种情形讨论：
①，对任意不恒成立，舍去；
②，化简得
，即.
由得，
对应，因此的取值个数为3.
2．（2026·天津·高考真题）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】A、B、D项，结合特殊点即可排除；C项，求出奇偶性和单调性，即可判断.
【详解】由题意，
由题意及图得，函数为奇函数，且当时，，
对A选项，当时，，与图象不符，故A错误；
对B选项，当时，，与图象不符，故B错误；
对D选项，当时，，与图象不符，故D错误；
对C选项，在中，
，即该函数为奇函数，
，与图象相符，故C正确.
3．（2025·北京·高考真题）设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．3
【答案】C
【分析】由辅助角公式化简函数解析式，再由正弦函数的最小正周期与零点即可求解.
【详解】函数，
设函数的最小正周期为T，由可得，
所以，即；
又函数在上存在零点，且当时，，
所以，即；
综上，的最小值为4.
故选：C.
4．（2025·天津·高考真题），在上单调递增，且为它的一条对称轴，是它的一个对称中心，当时，的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．0
【答案】A
【分析】利用正弦函数的对称性得出，根据单调性得出，从而确定，结合对称轴与对称中心再求出，得出函数解析式，利用整体思想及正弦函数的性质即可得解.
【详解】因为函数在上单调递增，且为它的一条对称轴，
所以时函数取最大值，
又因为是它的一个对称中心，
所以，，
设的最小正周期为，由正弦函数的对称性可知，
即，
又在上单调递增，则，
∴，则，，
∵，∴时，，∴，
当时，，
由正弦函数的单调性可知.
故选：A
5．（2025·全国一卷·高考真题）已知点是函数的图象的一个对称中心，则a的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据正切函数的对称中心的结论求解.
【详解】根据正切函数的性质，的对称中心横坐标满足，
即的对称中心是，
即，
又，则时最小，最小值是，
即.
故选：B
6．（2025·上海·高考真题）已知，不等式在中的整数解有m个．关于m的个数，以下不可能的是（ ）．
A．0 B．338 C．674 D．1012
【答案】D
【分析】由题设可得，结合正切函数的周期分或时，和两种情况讨论求解即可.
【详解】由，即，
对于，周期为，
且，，
当或时，不等式在中无整数解；
当时，若不等式有在内只有1个整数解，
比如时，此时在内的整数解为，
而，
则在中可能有个整数解；
若不等式有在内只有2个整数解，
比如时，此时在内的整数解为或，
则在中可能有个整数解；
由于，
则在内最多只有2个整数解，因此在中不可能有1012个整数解.
故选：D.
7．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）当时，曲线与的交点个数为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【分析】画出两函数在上的图象，根据图象即可求解
【详解】因为函数的最小正周期为，
函数的最小正周期为，
所以在上函数有三个周期的图象，
在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：
由图可知，两函数图象有6个交点.
故选：C
8．（2024·上海·高考真题）下列函数的最小正周期是的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据辅助角公式、二倍角公式以及同角三角函数关系并结合三角函数的性质一一判断即可 .
【详解】对A，，周期，故A正确；
对B，，周期，故B错误；
对于选项C，，是常值函数，不存在最小正周期，故C错误；
对于选项D，，周期，故D错误，
故选：A．
9．（2024·北京·高考真题）设函数.已知，，且的最小值为，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据三角函数最值分析周期性，结合三角函数最小正周期公式运算求解.
【详解】由题意可知：为的最小值点，为的最大值点，
则，即，
且，所以.
故选：B.
10．（2024·天津·高考真题）已知函数的最小正周期为．则在区间上的最小值是（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】D
【分析】结合周期公式求出，得，再整体求出当时，的范围，结合正弦三角函数图象特征即可求解.
【详解】因为函数的最小正周期为，则，所以，
即，当时，，
所以当，即时，
故选：D
11．（2023·上海·高考真题）已知，函数在区间上最小值为，在区间上的最小值为变化时，下列不可能的是（ ）
A．且 B．且 C．且 D．且
【答案】C
【分析】根据给定条件，举例说明，结合正弦函数的性质排除不可能的选项作答.
【详解】因为函数的最小正周期是，因此只需考查离原点最近的右侧一个周期内的区间即可，
当时，，，而，，
因此在上的最小值，在上的最小值，A可能；
当时，，，
因此在上的最小值，在上的最小值，B可能；
当时，，，
因此在上的最小值，在上的最小值，D可能；
对于C，若，则，
若，则区间的长度，并且且，
即且与矛盾，所以C不可能.
故选：C
【点睛】结论点睛：闭区间上的连续函数既有最大值，又有最小值.
12．（2023·全国甲卷·高考真题）函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】先利用三角函数平移的性质求得，再作出与的部分大致图像，考虑特殊点处与的大小关系，从而精确图像，由此得解.
【详解】因为向左平移个单位所得函数为，所以，
而显然过与两点，
作出与的部分大致图像如下，

考虑，即处与的大小关系，
当时，，；
当时，，；
当时，，；
所以由图可知，与的交点个数为.
故选：C.
13．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入即可得到答案.
【详解】因为在区间单调递增，
所以，且，则，，
当时，取得最小值，则，，
则，，不妨取，则，
则，
故选：D.
14．（2023·天津·高考真题）已知函数的图象关于直线对称，且的一个周期为4，则的解析式可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由题意分别考查函数的最小正周期和函数在处的函数值，排除不合题意的选项即可确定满足题意的函数解析式.
【详解】由函数的解析式考查函数的最小周期性：
A选项中，B选项中，
C选项中，D选项中，
排除选项CD，
对于A选项，当时，函数值，故是函数的一个对称中心，排除选项A，
对于B选项，当时，函数值，故是函数的一条对称轴，
故选：B.
15．（2022·全国甲卷·高考真题）将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先由平移求出曲线的解析式，再结合对称性得，即可求出的最小值.
【详解】由题意知：曲线为，又关于轴对称，则，
解得，又，故当时，的最小值为.
故选：C.
16．（2022·全国甲卷·高考真题）设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由的取值范围得到的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可．
【详解】解：依题意可得，因为，所以，
要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，又，的图象如下所示：

则，解得，即．
故选：C．
17．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（ ）
A．1 B． C． D．3
【答案】A
【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解.
【详解】由函数的最小正周期T满足，得，解得，
又因为函数图象关于点对称，所以，且，
所以，所以，，
所以.
故选：A
18．（2022·北京·高考真题）已知函数，则（ ）
A．在上单调递减 B．在上单调递增
C．在上单调递减 D．在上单调递增
【答案】C
【分析】化简得出，利用余弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项.
【详解】因为.
对于A选项，当时，，则在上单调递增，A错；
对于B选项，当时，，则在上不单调，B错；
对于C选项，当时，，则在上单调递减，C对；
对于D选项，当时，，则在上不单调，D错.
故选：C.
19．（2022·天津·高考真题）关于函数，给出下列结论：
①的最小正周期为；
②在上单调递增；
③当时，的取值范围为；
④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到．
其中正确结论的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据三角函数的图象与性质，以及变换法则即可判断各说法的真假．
【详解】因为，所以的最小正周期为，①不正确；
令，而在上递增，所以在上单调递增，②正确；因为，，所以，③不正确；
由于，所以的图象可由的图象向右平移个单位长度得到，④不正确．
故选：A．
20．（2022·浙江·高考真题）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【答案】D
【分析】根据三角函数图象的变换法则即可求出．
【详解】因为，所以把函数图象上的所有点向右平移个单位长度即可得到函数的图象．
故选：D.
21．（多选题）（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）对于函数和，下列说法中正确的有（ ）
A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值
C．与有相同的最小正周期 D．与的图象有相同的对称轴
【答案】BC
【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可.
【详解】A选项，令，解得，即为零点，
令，解得，即为零点，
显然零点不同，A选项错误；
B选项，显然，B选项正确；
C选项，根据周期公式，的周期均为，C选项正确；
D选项，根据正弦函数的性质的对称轴满足，
的对称轴满足，
显然图像的对称轴不同，D选项错误.
故选：BC
22．（多选题）（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数的图像关于点中心对称，则（ ）
A．在区间单调递减
B．在区间有两个极值点
C．直线是曲线的对称轴
D．直线是曲线的切线
【答案】AD
【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出．
【详解】由题意得：，所以，，
即，
又，所以时，，故．
对A，当时，，由正弦函数图象知在上是单调递减；
对B，当时，，由正弦函数图象知只有1个极值点，由，解得，即为函数的唯一极值点；
对C，当时，，，直线不是对称轴；
对D，由得：，
解得或,
从而得：或,
所以函数在点处的切线斜率为，
切线方程为：即．
故选：AD．
23．（2026·上海·高考真题）已知三角函数（，，，），若，当或时其导数为0，初始速度为0，且速度第一次达到4时用时为0.1秒，则__________．
【答案】
【分析】利用已知条件结合三角函数的性质构造方程组求出，结合初速度为0，求出，结合第一次达到最大值的时间构造方程求出，进而求出解析式．
【详解】由题意知，和时，导数为0，即的最小值为0，最大值为4，
又，
所以，解得，故；
已知初速度为0，则，解得，
已知，则，
速度第一次达到4时用时秒，则，即，
此时．
24．（2026·全国一卷·高考真题）已知（，）是偶函数，在区间上单调递增．则__________，__________．
【答案】
【分析】根据单调性和周期性可得.解法一：根据偶函数可得，并代入结合单调性检验即可；解法二：根据题意可得，即可得，根据导数与单调性的关系分析求解；解法三：分析可知在处取到极小值，可得，进而可得结果.
【详解】设函数的最小正周期为，由题意可知，
因为函数在上单调递增，则，即，
可得，解得，
且，，则.
解法一：因为函数为偶函数，
则，，且，
则，，
若，则，
即或，不符合题意，
若，则，
即或，符合题意；
且或；
综上所述：，.
解法二：因为，
若函数为偶函数，则，即，
且，则，
若，则，，
即或在内恒成立，
可知函数在上单调递减，不符合题意，
若，则，，
即或在内恒成立，
可知函数在上单调递增，符合题意，
且或；
综上所述：，.
解法三：因为函数为偶函数，且函数在上单调递增，
可知在处取到极小值，则，，且，
则，，则，
即或，符合题意；
且或.
25．（2026·上海·高考真题）有一个油壶，壶身视为圆柱，壶嘴视为直线且不计容积，壶底直径厘米，壶身高厘米，壶内油液面高厘米，壶嘴长厘米，与壶身夹角为，壶嘴最低点距壶底厘米，将壶身向壶嘴方向至少转_____________度可使油倒出（精确到）
【答案】
【分析】根据题意，结合条件分别表示出，然后在中，由正弦定理代入计算，即可得到结果.
【详解】
设壶嘴最低点，最高点分别是，
图中圆柱轴截面矩形，距离点最近的顶点是点，另外三个顶点分别为，
当水平液面经过点时，可将油倒出，
设倾斜角为，当液面经过点时，，
先考虑液面不超过点，即的情况，
设液面与分别交于点，
设的中点为，过作的垂线，垂足为，
则，，所以，
因为，所以，
因为，
所以，
在中，，
即，
即，
即，所以，
即，
因为，所以至少将油壶倾斜即可将油倒出.
故答案为：
26．（2025·上海·高考真题）小申同学观察发现，生活中有些时候影子可以完全投射在斜面上．某斜面上有两根长为1米的垂直于水平面放置的杆子，与斜面的接触点分别为A、B，它们在阳光的照射下呈现出影子，阳光可视为平行光：其中一根杆子的影子在水平面上，长度为0.4米；另一根杆子的影子完全在斜面上，长度为0.45米．则斜面的底角_________．（结果用角度制表示，精确到）
【答案】
【分析】先根据在处的旗杆算出阳光和水平面的夹角，然后结合处的旗杆算出斜面角.
【详解】如图，在处，，在处满足，
（其中水平面，是射过处杆子最高点的光线，光线交斜面于），
故设，则，
由勾股定理，，解得，
于是
故答案为：
27．（2025·上海·高考真题）函数在上的值域为_________．
【答案】
【分析】利用余弦函数的单调性可得.
【详解】由函数在上单调递增，在单调递减，
且，
故函数在上的值域为.
故答案为：.
28．（2024·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于原点对称.若，则的最大值为________．
【答案】/
【分析】首先得出，结合三角函数单调性即可求解最值.
【详解】由题意，从而，
因为，所以的取值范围是，的取值范围是，
当且仅当，即时，取得最大值，且最大值为.
故答案为：.
29．（2023·北京·高考真题）已知命题若为第一象限角，且，则．能说明p为假命题的一组的值为__________， _________．
【答案】
【分析】根据正切函数单调性以及任意角的定义分析求解.
【详解】因为在上单调递增，若，则，
取，
则，即，
令，则，
因为，则，
即，则.
不妨取，即满足题意.
故答案为：.
30．（2023·上海·高考真题）公园修建斜坡，假设斜坡起点在水平面上，斜坡与水平面的夹角为θ，斜坡终点距离水平面的垂直高度为4米，游客每走一米消耗的体能为，要使游客从斜坡底走到斜坡顶端所消耗的总体能最少，则______．
【答案】
【分析】方法1，根据给定条件，求出斜坡长，列出总体力关于的函数，利用导数求解作答.
方法2，根据给定条件，求出斜坡长，列出总体力关于的函数，借助辅助角公式求解作答.
【详解】方法1：依题意，斜坡长度，
因此人沿斜坡到坡顶消耗的总体力，
求导得，由，得，
当时，，当时，，
于是函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，人上坡消耗的总体力最小.
方法2：依题意，斜坡长度，
因此人沿斜坡到坡顶消耗的总体力，
由，得，即，其中锐角由确定，
显然，而，则，当且仅当，即时取等号，
此时，即，
所以当时，人上坡消耗的总体力最小.
故答案为：
31．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是________．
【答案】
【分析】令，得有3个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解.
【详解】因为，所以，
令，则有3个根，
令，则有3个根，其中，
结合余弦函数的图像性质可得，故，
故答案为：.
32．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则______．

【答案】
【分析】设，依题可得，，结合的解可得，，从而得到的值，再根据以及，即可得，进而求得．
【详解】设，由可得，
由可知，或，，由图可知，
，即，．
因为，所以，即，．
所以，
所以或，
又因为，所以，．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查根据图象求出以及函数的表达式，从而解出，熟练掌握三角函数的有关性质，以及特殊角的三角函数值是解题关键．
33．（2022·全国乙卷·高考真题）记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为____________．
【答案】
【分析】首先表示出，根据求出，再根据为函数的零点，即可求出的取值，从而得解；
【详解】解： 因为，（，）
所以最小正周期，因为，
又，所以，即，
又为的零点，所以，解得，
因为，所以当时；
故答案为：
34．（2022·上海·高考真题）函数的周期为___________；
【答案】
【分析】利用降幂公式化简，即可求出答案.
【详解】,
所以的周期为：
故答案为：.
35．（2026·北京·高考真题）已知函数，，．最小正周期为，且，．
(1)求、的值；
(2)求的单调递减区间．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用两角和正弦公式化简可得，结合正弦型函数周期公式列方程求，再由列式求；
（2）根据正弦型函数单调区间求法求结论.
【详解】（1）因为，
所以，
又的最小正周期为，，
所以，所以，
因为，
所以，，
所以，，
所以，
所以，
（2）令，，可得，，
函数的单调递减区间为.
36．（2026·天津·高考真题）已知．
(1)求最小正周期；
(2)若，求的最大值和最小值；
(3)若，，求．
【答案】(1)
(2)最大值为，最小值为
(3)
【分析】（1）由正弦型函数周期计算公式计算求解；
（2）利用换元法，结合正弦函数性质求解；
（3）根据同角三角函数基本关系、二倍角公式及两角和的正弦公式计算求解.
【详解】（1）；
（2）若，则，
由正弦函数性质可知，当，即时，函数有最小值，即，
当，即时，函数有最大值，即.
所以函数的最大值为，最小值为；
（3）若，，所以，
则，，
则.
37．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数．
(1)求;
(2)设函数，求的值域和单调区间．
【答案】(1)
(2)值域为，单调递减区间为，单调递增区间为.
【分析】（1）直接由题意得，结合余弦函数的单调性即可得解；
（2）由三角恒等变换得，由此可得值域，进一步由整体代入法可得函数的单调区间.
【详解】（1）由题意，所以；
（2）由（1）可知，
所以
，
所以函数的值域为，
令，解得，
令，解得，
所以函数的单调递减区间为，
函数的单调递增区间为.
38．（2024·上海·高考真题）已知，
(1)设，求解:的值域;
(2)的最小正周期为，若在上恰有3个零点，求的取值范围.
【答案】(1);
(2)
【分析】（1）利用三角函数的性质结合换元法求出单调性，再求解值域即可.
（2）利用三角函数的性质求解参数即可.
【详解】（1）因为，所以，
因为，所以令，
由正弦函数性质得在上单调递增，在上单调递减，
所以，故，
（2）由题意得，所以，可得，
当时，，，即，，
当时，，不符合题意，
当时，，符合题意，
当时，，符合题意，
当时，，符合题意，
所以，
即，故.
39．（2023·北京·高考真题）设函数．
(1)若，求的值．
(2)已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值．
条件①：；
条件②：；
条件③：在区间上单调递减．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1).
(2)条件①不能使函数存在；条件②或条件③可解得，.
【分析】（1）把代入的解析式求出，再由即可求出的值；
（2）若选条件①不合题意；若选条件②，先把的解析式化简，根据在上的单调性及函数的最值可求出，从而求出的值；把的值代入的解析式，由和即可求出的值；若选条件③：由的单调性可知在处取得最小值，则与条件②所给的条件一样，解法与条件②相同．
【详解】（1）因为
所以，
因为，所以.
（2）因为，
所以，所以的最大值为，最小值为.
若选条件①：因为的最大值为，最小值为，所以无解，故条件①不能使函数存在；
若选条件②：因为在上单调递增，且，
所以,所以,,
所以，
又因为，所以，
所以，
所以，因为，所以.
所以，；
若选条件③：因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得最小值，即.
以下与条件②相同．
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专题06 三角函数
考点分类 五年考情（2022-2026） 命题规律
考点01 同角三角函数的基本关系及诱导公式 2026全国一卷、2025北京卷 2024北京卷 2023年全国甲卷、2023年全国乙卷、2022浙江卷 考查三角函数化简求值或特殊值求三角函数值，注重公式的变形能力及跨模块融合
考点02 三角恒等变换 2026全国二卷、2026上海卷 2025年全国一卷、2025年全国二卷、2025上海卷 2024年新课标Ⅰ卷、2024年新课标Ⅱ卷、2024年全国甲卷 2023年新课标Ⅰ卷、2023年新课标Ⅱ卷、2023上海卷 2022年新高考全国Ⅱ卷、2022北京卷、2022上海卷、2022浙江卷 考查两角和与差的正弦、余弦、正切公式、辅助角及倍角公式变形应用和半角公式变形应用。它不仅是独立的考点，更是解决复杂三角函数问题（如求值、化简、证明、图像与性质分析等）不可或缺的基本工具
考点03 三角函数的图像与性质 2026全国一卷、2026北京卷、2026天津卷、2026上海卷、 2025年全国一卷、2025年全国二卷、2025北京卷、2025天津卷、= 2025上海卷、 2024年新课标Ⅰ卷、2024年新课标Ⅱ卷、2024年全国甲卷、2024北京卷、2024天津卷、2024上海卷 2023年新课标Ⅰ卷、2023年新课标Ⅱ卷、2023年全国甲卷、2023年全国乙卷、2023北京卷、2023天津卷、2023上海卷、 2022年新高考全国Ⅰ卷、2022年新高考全国Ⅱ卷、2022年全国甲卷、 2022年全国乙卷、2022北京卷、2022天津卷、2022上海卷、2022浙江卷 考查三角函数图象伸缩变换、周期性、单调性、最值、奇偶性、对称性问题，其中参数ω的范围问题是重难点
考点01 同角三角函数的基本关系及诱导公式
1．（2026·全国一卷·高考真题）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国甲卷·高考真题）设甲：，乙：，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
3．（2022·浙江·高考真题）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2025·北京·高考真题）已知，且，.写出满足条件的一组的值________，_________．
5．（2024·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于原点对称.若，则的最大值为________．
6．（2023·全国乙卷·高考真题）若，则________．
7．（2023·全国甲卷·高考真题）若为偶函数，则________．
考点02 三角恒等变换
1．（2026·全国二卷·高考真题）已知为第二象限角，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·全国二卷·高考真题）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·全国甲卷·高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（ ）．
A． B． C． D．
6．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为锐角，，则（ ）．
A． B． C． D．
7．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）若，则（ ）
A． B． C． D．
8．（多选题）（2025·全国一卷·高考真题）已知的面积为，若，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2026·上海·高考真题）已知，则__________．
10．（2025·上海·高考真题）已知，是平面内三个不同的单位向量．若，则的取值范围是_______．
11．（2025·上海·高考真题）已知，则__________．
12．（2024·全国甲卷·高考真题）函数在上的最大值是______．
13．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为第一象限角，为第三象限角，，，则_______.
14．（2023·上海·高考真题）已知，则=__________.
15．（2022·上海·高考真题）已知，则_________.
16．（2022·北京·高考真题）若函数的一个零点为，则________；________．
17．（2022·浙江·高考真题）若，则__________，_________．
考点03 三角函数的图像与性质
1．（2026·北京·高考真题）（），将向轴正方向平移个单位，得到的函数图像与图像关于轴对称，则的取值个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2026·天津·高考真题）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·北京·高考真题）设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．3
4．（2025·天津·高考真题），在上单调递增，且为它的一条对称轴，是它的一个对称中心，当时，的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．0
5．（2025·全国一卷·高考真题）已知点是函数的图象的一个对称中心，则a的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·上海·高考真题）已知，不等式在中的整数解有m个．关于m的个数，以下不可能的是（ ）．
A．0 B．338 C．674 D．1012
7．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）当时，曲线与的交点个数为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
8．（2024·上海·高考真题）下列函数的最小正周期是的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2024·北京·高考真题）设函数.已知，，且的最小值为，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2024·天津·高考真题）已知函数的最小正周期为．则在区间上的最小值是（ ）
A． B． C．0 D．
11．（2023·上海·高考真题）已知，函数在区间上最小值为，在区间上的最小值为变化时，下列不可能的是（ ）
A．且 B．且 C．且 D．且
12．（2023·全国甲卷·高考真题）函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
13．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（ ）
A． B． C． D．
14．（2023·天津·高考真题）已知函数的图象关于直线对称，且的一个周期为4，则的解析式可以是（ ）
A． B．
C． D．
15．（2022·全国甲卷·高考真题）将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
16．（2022·全国甲卷·高考真题）设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
17．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（ ）
A．1 B． C． D．3
18．（2022·北京·高考真题）已知函数，则（ ）
A．在上单调递减 B．在上单调递增
C．在上单调递减 D．在上单调递增
19．（2022·天津·高考真题）关于函数，给出下列结论：
①的最小正周期为；
②在上单调递增；
③当时，的取值范围为；
④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到．
其中正确结论的个数为（ ）
A． B． C． D．
20．（2022·浙江·高考真题）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
21．（多选题）（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）对于函数和，下列说法中正确的有（ ）
A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值
C．与有相同的最小正周期 D．与的图象有相同的对称轴
22．（多选题）（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数的图像关于点中心对称，则（ ）
A．在区间单调递减
B．在区间有两个极值点
C．直线是曲线的对称轴
D．直线是曲线的切线
23．（2026·上海·高考真题）已知三角函数（，，，），若，当或时其导数为0，初始速度为0，且速度第一次达到4时用时为0.1秒，则__________．
24．（2026·全国一卷·高考真题）已知（，）是偶函数，在区间上单调递增．则__________，__________．
25．（2026·上海·高考真题）有一个油壶，壶身视为圆柱，壶嘴视为直线且不计容积，壶底直径厘米，壶身高厘米，壶内油液面高厘米，壶嘴长厘米，与壶身夹角为，壶嘴最低点距壶底厘米，将壶身向壶嘴方向至少转_____________度可使油倒出（精确到）
26．（2025·上海·高考真题）小申同学观察发现，生活中有些时候影子可以完全投射在斜面上．某斜面上有两根长为1米的垂直于水平面放置的杆子，与斜面的接触点分别为A、B，它们在阳光的照射下呈现出影子，阳光可视为平行光：其中一根杆子的影子在水平面上，长度为0.4米；另一根杆子的影子完全在斜面上，长度为0.45米．则斜面的底角_________．（结果用角度制表示，精确到）
27．（2025·上海·高考真题）函数在上的值域为_________．
28．（2024·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于原点对称.若，则的最大值为________．
29．（2023·北京·高考真题）已知命题若为第一象限角，且，则．能说明p为假命题的一组的值为__________， _________．
30．（2023·上海·高考真题）公园修建斜坡，假设斜坡起点在水平面上，斜坡与水平面的夹角为θ，斜坡终点距离水平面的垂直高度为4米，游客每走一米消耗的体能为，要使游客从斜坡底走到斜坡顶端所消耗的总体能最少，则______．
31．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是________．
32．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则______．

33．（2022·全国乙卷·高考真题）记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为____________．
34．（2022·上海·高考真题）函数的周期为___________；
35．（2026·北京·高考真题）已知函数，，．最小正周期为，且，．
(1)求、的值；
(2)求的单调递减区间．
36．（2026·天津·高考真题）已知．
(1)求最小正周期；
(2)若，求的最大值和最小值；
(3)若，，求．
37．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数．
(1)求;
(2)设函数，求的值域和单调区间．
38．（2024·上海·高考真题）已知，
(1)设，求解:的值域;
(2)的最小正周期为，若在上恰有3个零点，求的取值范围.
39．（2023·北京·高考真题）设函数．
(1)若，求的值．
(2)已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值．
条件①：；
条件②：；
条件③：在区间上单调递减．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
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