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四川省资阳市雁江区五校2025年中考二模联考数学试题
一、选择题（每小题4分，共40分）
1． 5的倒数是（　　）
A． B． C．5 D．
【答案】A
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：5的倒数是；
故答案为：A.
【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数进行解答.
2．北斗卫星导航系统是我国着眼于经济社会发展需要，自主建设、独立运行的卫星导航系统，属于国家重要空间基础设施．截至2022年3月，北斗高精度时空服务覆盖全球百余个国家和地区，累计服务超11亿人口，请将11亿用科学记数法表示为（　　）
A．1.1×108 B．1.1×109 C．1.1×1010 D．1.1×1011
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：11亿．
故选：B．
【分析】
把一个数表示成a×10n的形式时，a和n的确定方法如下：将原数的小数点移到从左到右第1个不是0的数字的后边即可得到a的值，n的确定方法有两种：①n为比原数整数位数少1 的正整数；②小数点向左移动了几位，n就等于几.
3．某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“我”字所在面相对的面上的汉字是　　
A．厉 B．害 C．了 D．国
【答案】D
【知识点】含图案的正方体的展开图
【解析】【解答】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“的”与“害”是相对面，
“了”与“历”是相对面，
“我”与“国”是相对面；
故选：D.
【分析】本题主要考查正方体的表面展开图中相对面的规律.
正方体的表面展开图有一个核心特征：在展开图里，互为相对面的两个正方形，中间一定会隔着一个正方形，二者没有公共边或公共顶点. 这是判断相对面的关键依据. 我们可以利用这一规律，对题目中的展开图进行逐一判断，从而找到每个汉字对应的对面文字. 解题时只需按照“隔一个面找对面”的方法，就能快速定位出原正方体中相对的面.
4．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故本选项错误，不符合题意；
B、，故本选项错误，不符合题意；
C、，故本选项错误，不符合题意；
D、，故本选项正确，符合题意；
故选：D．
【分析】
本题主要考查了合并同类项法则，同底数幂的除法，幂的乘方，同底数幂的乘法.
解题的关键是熟练掌握并区分合并同类项，同底数幂的除法，幂的乘方，同底数幂的乘法这四类运算的运算法则，不混淆指数的加减乘运算规则. 解题时可逐一运用对应法则计算每个选项的结果，再与选项给出的结果对比，即可判断出运算正确的选项.
5．费尔兹奖是国际上享有崇高声誉的一个数学奖项，每四年评选一次，主要授予年轻的数学家、下面数据是部分获奖者获奖时的年龄（单位：岁）：，，，，，，则这组数据的众数和中位数分别是（　　）
A．35，35 B．35，34 C．34，35 D．34，34
【答案】B
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：数据：，，，，，，
则这组数据的众数是35，
中位数是，
故选：B．
【分析】
本题考查了众数的定义，中位数的定义与计算.
解题的关键是掌握众数和中位数的定义与计算方法. 众数指的是一组数据中出现次数最多的数值. 中位数的确定需要先将数据按从小到大的顺序排列，当数据个数为偶数时，中位数是最中间两个数的平均值；当数据个数为奇数时，中位数是最中间的那个数. 解题时先根据定义找出出现次数最多的数得到众数，再按顺序排列数据并计算中位数即可.
6．函数中自变量的取值范围是（　　）
A． B．且
C．且 D．且，
【答案】C
【知识点】分式有无意义的条件；零指数幂；二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：∵式子有意义，
∴，
∴且，
故选：C．
【分析】
本题考查函数自变量取值范围的求解方法. 解题的关键是全面掌握二次根式，分式和零指数幂三类式子有意义的限制条件，并将所有限制条件联立求解. 具体来说，二次根式的被开方数必须大于或等于0，分式的分母不能为0，零指数幂的底数也不能为0. 解题时需分别列出每一项对应的限制条件，再取它们的交集，就能得到自变量x的取值范围.
7．在平面直角坐标系中，一个图案上各个点的横坐标和纵坐标分别加正数a，则所得的图案与原来图案相比（　　）
A．形状不变，大小扩大到原来的a倍
B．图案向右平移了a个单位
C．图案向上平移了a个单位
D．图案向右平移了a个单位，并且向上平移了a个单位
【答案】D
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：在平面直角坐标系中，一个图案上各个点的横坐标和纵坐标分别加正数a，则图案向右平移了a个单位，并且向上平移了a个单位．
故选D．
【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
8．已知关于x的方程x2﹣2x+3k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＜ B．k＞-
C．k＜ 且k≠0 D．k＞- 且k≠0
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵方程x2﹣2x+3k=0有两个不相等的实数根，
∴△=4﹣12k＞0，
解得：k＜ .
故答案为：A.
【分析】一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）中，当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b2-4ac＜0时，方程没有实数根，据此并结合题意可得b2-4ac＞0，代入求解可得k的范围.
9．如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC=3：2：1，M在AC边上，CM：MA=1：2，BM交AD，AE于H，G，则BH：HG：GM等于（　　）
A．3：2：1 B．5：3：1 C．25：12：5 D．51：24：10
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：连接EM，
∵BD：DE：EC=3：2：1，CM：MA=1：2，
∴CE：CD=CM：CA=1：3，
∵∠C=∠C，
∴△CEM∽△CDA
∴ME：AD=CM：AC=1：3，∠MEC=∠ADC，
∴EM//AD，AD=3ME，
∴△BHD∽△BME，△EMG∽△AHG，
∴HD：ME=BD：BE=3：5，即HD=ME，
∴AH=AD-HD=ME，
∴AH：ME=12：5，
∴HG：GM=AH：ME=12：5，
设GM=5k，GH=12k，
∵EM//AD，
∴BH：HM=BD：DE=3：2=BH：17k
∴BH=k，
∴BH：HG：GM=k：12k：5k=51：24：10
故选：D．
【分析】
通过已知线段比例BD：DE：EC 和CM：MA，证明 △CEM∽△CDA ，从而得到EMAD，再利用平行线EMAD构造相似三角形（ △BHD∽△BME，△EMG∽△AHG），通过相似比将BH，HG，GM统一用同一参数（如ME或K）表示，最后求出比值即可.
10．如图所示，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=，与x轴的一个交点A(，0)，抛物线的顶点B纵坐标10；③3a-b=0；④4a+c<0；⑤A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：①∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∵对称轴是： ，
∴a、b异号，
∴b>0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c>0，
∴abc<0，
∴选项①正确；
②∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2-4ac>0
选项②正确；
③抛物线对称轴是：
b= 3a，
3a+b=0，
∴选项③不正确；
④抛物线与x轴的一个交点A(，0)，
把b= 3a代入得：
故选项④正确；
⑤由对称性得：抛物线与x轴的另一个交点为
抛物线的方程为：
抛物线的顶点B纵坐标1解得：
∴选项⑤不正确；
正确的有3个，
故选B.
【分析】
本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数系数与图象的关系，抛物线的对称性，二次函数顶点坐标公式.
①可根据抛物线的开口方向，对称轴位置及与y轴的交点位置，确定a，b，c的正负，进而判断abc的符号；
②可根据抛物线与x轴的交点个数，直接判断判别式b2-4ac>0的符号；
③可根据抛物线的对称轴公式 推导a与b的数量关系，判断3a-b=0是否成立；
④可将抛物线与x轴的交点A(，0)代入函数解析式，再结合a与b的关系化简，判断4a+c的符号；
⑤可利用抛物线的对称性求出与x轴的另一个交点，写出交点式并得到顶点纵坐标的表达式，再结合1二、填空题（每小题4分，共24分）
11． 比较大小：　 　（请填写“>”、“<”或“=”）．
【答案】
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：∵，12＜18，
∴
即
故答案为：＜.
【分析】根据二次根式的性质，把根号外的数移到根号内，只需比较被开方数的大小即可得到答案.
12．分解因式： =　 　.
【答案】2（x＋2y）（x－2y）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】
故答案为：
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式是分解因式；先提取公因式2，再运用平方差公式分解即可.
13．在一个不透明的布袋中装有60个白球和若干个黑球，除颜色外其他都相同，小红每次摸出一个球并放回，通过多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在左右，则布袋中黑球的个数可能有　 　个．
【答案】90
【知识点】利用频率估计概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵通过多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在左右，
∴摸到黑球的概率在左右，
设布袋中黑球的个数为m个，则，
解得，
经检验，是原方程的解， 且符合题意，
∴布袋中黑球的个数可能有90个，
故答案为：90．
【分析】
本题考查用频率估计概率的实际应用问题，解题的关键是理解并运用“大量重复试验中，频率的稳定值可近似看作事件发生的概率”这一原理. 题目中给出摸到黑球的频率稳定在0.6左右，因此可以认为摸到黑球的概率为0.6. 设黑球的个数为m，根据概率的定义，摸到黑球的概率等于黑球数量除以球的总数量(白球数量+黑球数量)， 由此列出方程求解即可得到黑球的个数.
14．如图是一个几何体的三视图，其中主视图与左视图都是边长为4的等边三角形，则这个几何体的侧面展开图的面积为　 　.
【答案】8π
【知识点】圆锥的计算；已知三视图进行几何体的相关计算
【解析】【解答】解：由三视图可知这个几何体是一个圆锥，且底面圆的直径为4，母线长为4，
则底面周长为4π，
所以
所以扇形的圆心角的度数为180°，
则侧面展开图的面积为.
故答案为：8π
【分析】
根据三视图判断几何体为圆锥，利用圆锥侧面展开图的性质（扇形弧长等于圆锥底面周长，扇形半径等于圆锥母线长）及扇形面积公式求解.
15．如图，设点在函数的图象上，轴于点，交函数的图象于点，轴于点，交函数的图象于点，若四边形的面积为4，则　 　．
【答案】4
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：根据题意，，，
∴四边形的面积，
∴．
故答案为：．
【分析】
本题考查反比例函数系数k的几何意义，矩形与三角形的面积计算.
解题的关键是掌握反比例函数中，过双曲线上任意一点向两坐标轴作垂线，所围成的矩形面积等于|k|. 根据这一性质，可先求出矩形PCOD的面积为m，再得到 和 的面积均为 . 结合图形可知，四边形PAOB的面积等于矩形PCOD的面积减去这两个三角形的面积，据此列出等式：四边形的面积 ，即可求出m-n的值.
16．如图，在中，，，的内切圆交于点，点从出发，沿射线每次前进一个单位，点从出发沿和射线每次前进个单位，为正整数且，当次前进后与相似，所有满足条件的为　 　．
【答案】，，，，
【知识点】三角形的内切圆与内心；三角形-动点问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】如图，连接、、，
中，，
，
设，则，，，
，
解得，
当次前进后，点前进的距离是，点前进的距离是，
①当时，
，
，
，
，
整理，可得，
为正整数且，
时，；时，；时，；
②当时，
，
，
，
整理，可得，
为正整数且，
时，；时，；
综上，可得所有满足条件的为、、、16、32．
故答案为：、、、16、32．
【分析】
本题考查勾股定理，三角形内切圆的性质以及相似三角形的综合应用，解题的关键是先利用勾股定理求出 的边长BC，再根据直角三角形内切圆的性质求出内切圆半径及切点D到顶点A的距离AD，最后结合动点P，Q的运动情况，分情况讨论与相似时的对应边比例关系，求出所有满足条件的t值.
三、解答题（共86分）
17．先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
=
=
=
=．
当时，原式．
【知识点】分式的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】
先对括号内的部分通过通分计算分式减法，再计算分式除法，完成化简后，代入x的数值计算结果即可.
18．2021年，成都将举办世界大学生运动会，这是在中国西部第一次举办的世界综合性运动会．目前，运动会相关准备工作正在有序进行，比赛项目已经确定．某校体育社团随机调查了部分同学在田径、跳水、篮球、游泳四种比赛项目中选择一种观看的意愿，并根据调查结果绘制成了如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次被调查的同学共有_________人；
（2）扇形统计图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为_________；
（3）现拟从甲、乙、丙、丁四人中任选两名同学担任大运会志愿者，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
【答案】（1）180；
（2）126°；
（3）画树状图如下：
由上图可知，共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲、乙两位同学的结果有2种．
所以P（恰好选中甲、乙两位同学）=．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）54÷30%=180（人）
故答案为：180；
（2）田径人数：180×20%=36（人），
游泳人数：180×15%=27（人），
篮球人数为：180-54-36-27=63（人）
图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为：，
故答案为：126°；
【分析】
（1）利用已知的跳水人数，以及跳水人数对应占总调查人数的百分比，计算出本次调查的总人数；
（2）先根据对应百分比和总人数，分别求出田径项目和游泳项目的参与人数，再用总人数减去田径、游泳、跳水这三个项目的参与人数，就能得到篮球项目的参与人数，接着算出篮球人数占总人数的百分比，最后用这个百分比乘以圆周角的度数360°，就可以得到图中篮球项目对应的圆心角度数；
（3）通过画树状图的方法，列出从备选同学中选2人所有等可能出现的结果，再从中数出恰好选中甲、乙两位同学的结果数量，最后根据概率的计算公式计算得到对应概率即可。
19．某旅游度假村有甲种风格客房20间，乙种风格客房30间．按现有定价：若全部入住，一天的营业额为12000元；若甲、乙两种风格客房均有10间入住，一天的营业额为5000元．
（1）求甲、乙两种客房每间现有定价分别是多少元？
（2）度假村以乙种风格客房为例，市场情况调研发现：若每个房间每天按现有定价，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加20元时，就会增加2个房间空闲．如果游客居住房间，度假村需对每个居住的房间每天支出60元的各种费用．当每间房间定价为多少元时，乙种风格客房每天的利润最大，最大利润是多少元？
【答案】（1）解：设甲、乙两种客房每间现有定价分别是元、元，
根据题意，得：，
解得，
答：甲、乙两种客房每间现有定价分别是300元、200元.
（2）解：设每天的定价增加了个20元，则有个房间空闲，
根据题意有：
，
，
当时，取得最大值，最大值为4840，此时房间的定价为元，
答：当每间房间定价为280元时，乙种风格客房每天的利润最大，最大利润是4840元．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
本题考查二元一次方程组和二次函数在实际问题中的应用，解题的关键是根据题意梳理数量关系，建立对应的数学模型.
(1)可通过设甲，乙两种客房的定价分别为x元，y元，根据两种入住情况的营业额列出二元一次方程组，求解得到两种客房的定价；
(2)可通过设定价增加的20元的个数为a个，表示出实际定价，入住房间数量和单房利润，再根据“总利润=单房利润×入住数量”列出二次函数关系式，最后利用二次函数的顶点性质求出利润的最大值及对应的定价.
（1）解：设甲、乙两种客房每间现有定价分别是元、元，
根据题意，得：，
解得，
答：甲、乙两种客房每间现有定价分别是300元、200元；
（2）解：设每天的定价增加了个20元，则有个房间空闲，
根据题意有：
，
，
当时，取得最大值，最大值为4840，此时房间的定价为元，
答：当每间房间定价为280元时，乙种风格客房每天的利润最大，最大利润是4840元．
20．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，一次函数的图象与轴交于点．
（1）若反比例函数时，取值范围是______．
（2）求一次函数的解析式；
（3）根据函数的图象，直接写出不等式的解集；
【答案】（1）
（2）
（3）或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数的性质；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】
解：（1）对于反比例函数，
当时，，
当时，，
故答案为：；
（2）把，代入得：，，
∴，
∴，，
把，代入得：，
解得，
一次函数的解析式为；
（3）∵，，
∴由函数图象可得：不等式的解集为：或．
【分析】
本题考查一次函数与反比例函数的综合应用，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式的方法，并能结合函数图象分析不等式的解集.
（1）可先求出反比例函数中y=-2时对应的x值，再结合反比例函数的图象判断出y≤-2时x的取值范围；
（2）可先将A，B两点代入反比例函数解析式，求出两点的完整坐标，再利用待定系数法，将两点坐标代入一次函数解析式，求解得到k，b的值，从而得到一次函数解析式；
（3）可根据A，B两点的坐标，结合函数图象中一次函数图象在反比例函数图象上方的部分，直接写出不等式的解集.
（1）解：对于反比例函数，
当时，，
当时，，
故答案为：；
（2）把，代入得：，，
∴，
∴，，
把，代入得：，
解得，
一次函数的解析式为；
（3）∵，，
∴由函数图象可得：不等式的解集为：或．
21．如图，一个人骑自行车由A地出发途经B地到C地．已知A地的北偏东45°方向处有一电视塔P．他由A地向正北方向骑行到达B地时发现电视塔P在他北偏东75°方向，然后他由B地向北偏东方向15°骑行了6km到达C地．
（1）求A地与B地的距离；
（2）求C地与电视塔P的距离．
【答案】（1）解： 过点B作BD⊥AP于点D，依题意得∠A=45°，则Rt△ABD中，∠ABD=45°，
∴AD=BD，
设AD=BD=x，则AB=，
∵∠PBN=75°，
∴，
∴在中，，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴AB=，AD=BD=3．
∴A地与B地的距离km；
（2）解： 由题意得km，
在中，，km，
∴km，
∴km，
∵，，
∴，
∴是等边三角形，
∴km，
∴C地与电视塔P的距离是km．
【知识点】等边三角形的性质；解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】（1）过点B作BD垂直AP，垂足为D，先证明AD=BD，设AD=BD=x，再根据建立方程，求解出x的值后，就可以得到最终结果；
（2）先计算出BC的长度，再证明为等边三角形，即可完成解答．
（1）过点B作BD⊥AP于点D，依题意得∠A=45°，则Rt△ABD中，∠ABD=45°，
∴AD=BD，
设AD=BD=x，则AB=，
∵∠PBN=75°，
∴，
∴在中，，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴AB=，AD=BD=3．
∴A地与B地的距离km；
（2）由题意得km，
在中，，km，
∴km，
∴km，
∵，，
∴，
∴是等边三角形，
∴km，
∴C地与电视塔P的距离是km．
22．如图，已知中，．
（1）请按如下要求完成尺规作图．（不写作法，保留作图痕迹）
①的角平分线，交于点D；
②作线段的垂直平分线与相交于点O；
③以点O为圆心，以长为半径画圆，交边于点M．
（2）在（1）的条件下求证：是的切线；
（3）若，，求的半径．
【答案】解：（1）作图如图所示：
（2）由作图可知，OD=OA，∠OAD=∠CAD，
∴∠ODA=∠OAD，
∴∠ODA=∠CAD，
∵∠ADC+∠CAD=90°，
∴∠ADC+∠ODA=90°，即∠ODC=90°，
∴OD⊥BC，
∴是的切线；
（3）由（2）可知，OD∥AC，
∴△BOD∽△BAC，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【知识点】切线的判定；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）①根据题目要求，利用尺规作图作出角平分线即可；②根据题目要求，利用尺规作图作出边的垂直平分线即可；③根据题目要求，利用圆规画出符合要求的圆即可；
（2）根据作图过程可得OD=OA， ∠OAD=∠CAD，通过角度推导证明=90°即可完成证明；（3）结合（2）的结论可推出ODAC，进一步可证明 △BOD∽△BAC，列出对应边的比例式，即可计算求出所需的边长.
23．如图，在矩形中，，，是上的一个动点．
（1）如图，连接，是对角线的中点，连结．当时，求的长．
（2）如图，连接、，过点作交于点，连结，与交于点．当平分时，求的长．
（3）如图，连接，点在上，将矩形沿直线折叠，折叠后点落在上的点处，过点作于点，与交于点，且．
①求的值；
②连接，与是否相似？请说明理由．
【答案】（1）解：如图，连接，
∵矩形，
∴，，，
∴，
∵是中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
解得，
∴.
（2）解：如图，
∵矩形，平分，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
过点作于，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
解得，
∴，
∴.
（3）解：①∵矩形，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
由折叠知，，，，
∴，
设，则，
∵，
∴，
解得，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②相似，理由如下：
由折叠知，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；矩形的性质；相似三角形的判定；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】
本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，图形的折叠性质.（）可先利用矩形性质和勾股定理求出对角线BD的长度，再结合O是BD中点的条件，通过证明，利用相似三角形的对应边成比例求出AE的长度；
（）可先根据BE平分∠ABC的条件证明为等腰直角三角形，再证明，得到相关线段的长度，接着证明，求出对应线段，最后利用勾股定理计算BG的长；
（）)①可先利用勾股定理求出EC的长度，再结合折叠的性质得到相关线段的长度，通过证明，推出，，推出，从而推导出两个三角形的面积比；
②可先根据折叠性质和矩形性质推出∠MD'H=∠ECB，再证明与的两组对应边成比例且夹角相等，从而判断两个三角形是否相似.
（1）解：如图，连接，
∵矩形，
∴，，，
∴，
∵是中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
解得，
∴；
（2）解：如图，
∵矩形，平分，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
过点作于，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
解得，
∴，
∴；
（3）解：①∵矩形，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
由折叠知，，，，
∴，
设，则，
∵，
∴，
解得，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②相似，理由如下：
由折叠知，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
24．如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，且横坐标为1，点与点关于抛物线的对称轴对称，直线与轴交于点，点为抛物线的顶点，点的坐标为．
（1）求线段的长；
（2）点为线段上方抛物线上的任意一点，当的面积最大时，求此时点坐标，并求出最大面积；
（3）在（2）的情况下，过点作的垂线交于点，点在轴上一点，求的最小值．
【答案】（1）解：点在抛物线上，且横坐标为1，
令，则，则，
点与点关于抛物线的对称轴对称，
，
.
（2）解：作轴交于，如图所示：
设，
直线的解析式为，
，
，
，
抛物线开口向下，有最大值，当时，的面积最大为，此时.
（3）解：作直线交于，使得，作于交于，如图所示：
由（2）知点，，
，
，
，此时的值最小，
，
，
的最小值为．
【知识点】含30°角的直角三角形；一次函数的实际应用-几何问题；二次函数的对称性及应用；二次函数-线段周长问题；二次函数-面积问题
【解析】【分析】本题考查二次函数的图象与性质，抛物线的对称性，三角形面积的计算，含特殊角的最短路径问题.
（1）可先将点A的横坐标x=1代入抛物线解析式 ，求出其纵坐标为3，再利用抛物线的对称性求出点B的坐标为(3，3)，进而得到线段AB的长度为2；
（2）可通过作辅助线轴交BE于N，设，由直线BE的解析式为y=x得N(m，m)，进而表示出△PBE的面积， 再利用二次函数的性质求出当 时面积的最大值为，对应点P的坐标为 ；
（3）可先求出，再构造含30度角的辅助线，将转化为垂线段FK，则，最后利用等面积法求出HK的长度，即可得到式子的最小值.
（1）解：点在抛物线上，且横坐标为1，
令，则，则，
点与点关于抛物线的对称轴对称，
，
；
（2）解：作轴交于，如图所示：
设，
直线的解析式为，
，
，
，
抛物线开口向下，有最大值，当时，的面积最大为，此时；
（3）解：作直线交于，使得，作于交于，如图所示：
由（2）知点，，
，
，
，此时的值最小，
，
，
的最小值为．
1 / 1四川省资阳市雁江区五校2025年中考二模联考数学试题
一、选择题（每小题4分，共40分）
1． 5的倒数是（　　）
A． B． C．5 D．
2．北斗卫星导航系统是我国着眼于经济社会发展需要，自主建设、独立运行的卫星导航系统，属于国家重要空间基础设施．截至2022年3月，北斗高精度时空服务覆盖全球百余个国家和地区，累计服务超11亿人口，请将11亿用科学记数法表示为（　　）
A．1.1×108 B．1.1×109 C．1.1×1010 D．1.1×1011
3．某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“我”字所在面相对的面上的汉字是　　
A．厉 B．害 C．了 D．国
4．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．费尔兹奖是国际上享有崇高声誉的一个数学奖项，每四年评选一次，主要授予年轻的数学家、下面数据是部分获奖者获奖时的年龄（单位：岁）：，，，，，，则这组数据的众数和中位数分别是（　　）
A．35，35 B．35，34 C．34，35 D．34，34
6．函数中自变量的取值范围是（　　）
A． B．且
C．且 D．且，
7．在平面直角坐标系中，一个图案上各个点的横坐标和纵坐标分别加正数a，则所得的图案与原来图案相比（　　）
A．形状不变，大小扩大到原来的a倍
B．图案向右平移了a个单位
C．图案向上平移了a个单位
D．图案向右平移了a个单位，并且向上平移了a个单位
8．已知关于x的方程x2﹣2x+3k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＜ B．k＞-
C．k＜ 且k≠0 D．k＞- 且k≠0
9．如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC=3：2：1，M在AC边上，CM：MA=1：2，BM交AD，AE于H，G，则BH：HG：GM等于（　　）
A．3：2：1 B．5：3：1 C．25：12：5 D．51：24：10
10．如图所示，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=，与x轴的一个交点A(，0)，抛物线的顶点B纵坐标10；③3a-b=0；④4a+c<0；⑤A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题（每小题4分，共24分）
11． 比较大小：　 　（请填写“>”、“<”或“=”）．
12．分解因式： =　 　.
13．在一个不透明的布袋中装有60个白球和若干个黑球，除颜色外其他都相同，小红每次摸出一个球并放回，通过多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在左右，则布袋中黑球的个数可能有　 　个．
14．如图是一个几何体的三视图，其中主视图与左视图都是边长为4的等边三角形，则这个几何体的侧面展开图的面积为　 　.
15．如图，设点在函数的图象上，轴于点，交函数的图象于点，轴于点，交函数的图象于点，若四边形的面积为4，则　 　．
16．如图，在中，，，的内切圆交于点，点从出发，沿射线每次前进一个单位，点从出发沿和射线每次前进个单位，为正整数且，当次前进后与相似，所有满足条件的为　 　．
三、解答题（共86分）
17．先化简，再求值：，其中．
18．2021年，成都将举办世界大学生运动会，这是在中国西部第一次举办的世界综合性运动会．目前，运动会相关准备工作正在有序进行，比赛项目已经确定．某校体育社团随机调查了部分同学在田径、跳水、篮球、游泳四种比赛项目中选择一种观看的意愿，并根据调查结果绘制成了如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次被调查的同学共有_________人；
（2）扇形统计图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为_________；
（3）现拟从甲、乙、丙、丁四人中任选两名同学担任大运会志愿者，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
19．某旅游度假村有甲种风格客房20间，乙种风格客房30间．按现有定价：若全部入住，一天的营业额为12000元；若甲、乙两种风格客房均有10间入住，一天的营业额为5000元．
（1）求甲、乙两种客房每间现有定价分别是多少元？
（2）度假村以乙种风格客房为例，市场情况调研发现：若每个房间每天按现有定价，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加20元时，就会增加2个房间空闲．如果游客居住房间，度假村需对每个居住的房间每天支出60元的各种费用．当每间房间定价为多少元时，乙种风格客房每天的利润最大，最大利润是多少元？
20．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，一次函数的图象与轴交于点．
（1）若反比例函数时，取值范围是______．
（2）求一次函数的解析式；
（3）根据函数的图象，直接写出不等式的解集；
21．如图，一个人骑自行车由A地出发途经B地到C地．已知A地的北偏东45°方向处有一电视塔P．他由A地向正北方向骑行到达B地时发现电视塔P在他北偏东75°方向，然后他由B地向北偏东方向15°骑行了6km到达C地．
（1）求A地与B地的距离；
（2）求C地与电视塔P的距离．
22．如图，已知中，．
（1）请按如下要求完成尺规作图．（不写作法，保留作图痕迹）
①的角平分线，交于点D；
②作线段的垂直平分线与相交于点O；
③以点O为圆心，以长为半径画圆，交边于点M．
（2）在（1）的条件下求证：是的切线；
（3）若，，求的半径．
23．如图，在矩形中，，，是上的一个动点．
（1）如图，连接，是对角线的中点，连结．当时，求的长．
（2）如图，连接、，过点作交于点，连结，与交于点．当平分时，求的长．
（3）如图，连接，点在上，将矩形沿直线折叠，折叠后点落在上的点处，过点作于点，与交于点，且．
①求的值；
②连接，与是否相似？请说明理由．
24．如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，且横坐标为1，点与点关于抛物线的对称轴对称，直线与轴交于点，点为抛物线的顶点，点的坐标为．
（1）求线段的长；
（2）点为线段上方抛物线上的任意一点，当的面积最大时，求此时点坐标，并求出最大面积；
（3）在（2）的情况下，过点作的垂线交于点，点在轴上一点，求的最小值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：5的倒数是；
故答案为：A.
【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数进行解答.
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：11亿．
故选：B．
【分析】
把一个数表示成a×10n的形式时，a和n的确定方法如下：将原数的小数点移到从左到右第1个不是0的数字的后边即可得到a的值，n的确定方法有两种：①n为比原数整数位数少1 的正整数；②小数点向左移动了几位，n就等于几.
3．【答案】D
【知识点】含图案的正方体的展开图
【解析】【解答】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“的”与“害”是相对面，
“了”与“历”是相对面，
“我”与“国”是相对面；
故选：D.
【分析】本题主要考查正方体的表面展开图中相对面的规律.
正方体的表面展开图有一个核心特征：在展开图里，互为相对面的两个正方形，中间一定会隔着一个正方形，二者没有公共边或公共顶点. 这是判断相对面的关键依据. 我们可以利用这一规律，对题目中的展开图进行逐一判断，从而找到每个汉字对应的对面文字. 解题时只需按照“隔一个面找对面”的方法，就能快速定位出原正方体中相对的面.
4．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故本选项错误，不符合题意；
B、，故本选项错误，不符合题意；
C、，故本选项错误，不符合题意；
D、，故本选项正确，符合题意；
故选：D．
【分析】
本题主要考查了合并同类项法则，同底数幂的除法，幂的乘方，同底数幂的乘法.
解题的关键是熟练掌握并区分合并同类项，同底数幂的除法，幂的乘方，同底数幂的乘法这四类运算的运算法则，不混淆指数的加减乘运算规则. 解题时可逐一运用对应法则计算每个选项的结果，再与选项给出的结果对比，即可判断出运算正确的选项.
5．【答案】B
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：数据：，，，，，，
则这组数据的众数是35，
中位数是，
故选：B．
【分析】
本题考查了众数的定义，中位数的定义与计算.
解题的关键是掌握众数和中位数的定义与计算方法. 众数指的是一组数据中出现次数最多的数值. 中位数的确定需要先将数据按从小到大的顺序排列，当数据个数为偶数时，中位数是最中间两个数的平均值；当数据个数为奇数时，中位数是最中间的那个数. 解题时先根据定义找出出现次数最多的数得到众数，再按顺序排列数据并计算中位数即可.
6．【答案】C
【知识点】分式有无意义的条件；零指数幂；二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：∵式子有意义，
∴，
∴且，
故选：C．
【分析】
本题考查函数自变量取值范围的求解方法. 解题的关键是全面掌握二次根式，分式和零指数幂三类式子有意义的限制条件，并将所有限制条件联立求解. 具体来说，二次根式的被开方数必须大于或等于0，分式的分母不能为0，零指数幂的底数也不能为0. 解题时需分别列出每一项对应的限制条件，再取它们的交集，就能得到自变量x的取值范围.
7．【答案】D
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：在平面直角坐标系中，一个图案上各个点的横坐标和纵坐标分别加正数a，则图案向右平移了a个单位，并且向上平移了a个单位．
故选D．
【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
8．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵方程x2﹣2x+3k=0有两个不相等的实数根，
∴△=4﹣12k＞0，
解得：k＜ .
故答案为：A.
【分析】一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）中，当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b2-4ac＜0时，方程没有实数根，据此并结合题意可得b2-4ac＞0，代入求解可得k的范围.
9．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：连接EM，
∵BD：DE：EC=3：2：1，CM：MA=1：2，
∴CE：CD=CM：CA=1：3，
∵∠C=∠C，
∴△CEM∽△CDA
∴ME：AD=CM：AC=1：3，∠MEC=∠ADC，
∴EM//AD，AD=3ME，
∴△BHD∽△BME，△EMG∽△AHG，
∴HD：ME=BD：BE=3：5，即HD=ME，
∴AH=AD-HD=ME，
∴AH：ME=12：5，
∴HG：GM=AH：ME=12：5，
设GM=5k，GH=12k，
∵EM//AD，
∴BH：HM=BD：DE=3：2=BH：17k
∴BH=k，
∴BH：HG：GM=k：12k：5k=51：24：10
故选：D．
【分析】
通过已知线段比例BD：DE：EC 和CM：MA，证明 △CEM∽△CDA ，从而得到EMAD，再利用平行线EMAD构造相似三角形（ △BHD∽△BME，△EMG∽△AHG），通过相似比将BH，HG，GM统一用同一参数（如ME或K）表示，最后求出比值即可.
10．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：①∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∵对称轴是： ，
∴a、b异号，
∴b>0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c>0，
∴abc<0，
∴选项①正确；
②∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2-4ac>0
选项②正确；
③抛物线对称轴是：
b= 3a，
3a+b=0，
∴选项③不正确；
④抛物线与x轴的一个交点A(，0)，
把b= 3a代入得：
故选项④正确；
⑤由对称性得：抛物线与x轴的另一个交点为
抛物线的方程为：
抛物线的顶点B纵坐标1解得：
∴选项⑤不正确；
正确的有3个，
故选B.
【分析】
本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数系数与图象的关系，抛物线的对称性，二次函数顶点坐标公式.
①可根据抛物线的开口方向，对称轴位置及与y轴的交点位置，确定a，b，c的正负，进而判断abc的符号；
②可根据抛物线与x轴的交点个数，直接判断判别式b2-4ac>0的符号；
③可根据抛物线的对称轴公式 推导a与b的数量关系，判断3a-b=0是否成立；
④可将抛物线与x轴的交点A(，0)代入函数解析式，再结合a与b的关系化简，判断4a+c的符号；
⑤可利用抛物线的对称性求出与x轴的另一个交点，写出交点式并得到顶点纵坐标的表达式，再结合111．【答案】
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：∵，12＜18，
∴
即
故答案为：＜.
【分析】根据二次根式的性质，把根号外的数移到根号内，只需比较被开方数的大小即可得到答案.
12．【答案】2（x＋2y）（x－2y）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】
故答案为：
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式是分解因式；先提取公因式2，再运用平方差公式分解即可.
13．【答案】90
【知识点】利用频率估计概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵通过多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在左右，
∴摸到黑球的概率在左右，
设布袋中黑球的个数为m个，则，
解得，
经检验，是原方程的解， 且符合题意，
∴布袋中黑球的个数可能有90个，
故答案为：90．
【分析】
本题考查用频率估计概率的实际应用问题，解题的关键是理解并运用“大量重复试验中，频率的稳定值可近似看作事件发生的概率”这一原理. 题目中给出摸到黑球的频率稳定在0.6左右，因此可以认为摸到黑球的概率为0.6. 设黑球的个数为m，根据概率的定义，摸到黑球的概率等于黑球数量除以球的总数量(白球数量+黑球数量)， 由此列出方程求解即可得到黑球的个数.
14．【答案】8π
【知识点】圆锥的计算；已知三视图进行几何体的相关计算
【解析】【解答】解：由三视图可知这个几何体是一个圆锥，且底面圆的直径为4，母线长为4，
则底面周长为4π，
所以
所以扇形的圆心角的度数为180°，
则侧面展开图的面积为.
故答案为：8π
【分析】
根据三视图判断几何体为圆锥，利用圆锥侧面展开图的性质（扇形弧长等于圆锥底面周长，扇形半径等于圆锥母线长）及扇形面积公式求解.
15．【答案】4
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：根据题意，，，
∴四边形的面积，
∴．
故答案为：．
【分析】
本题考查反比例函数系数k的几何意义，矩形与三角形的面积计算.
解题的关键是掌握反比例函数中，过双曲线上任意一点向两坐标轴作垂线，所围成的矩形面积等于|k|. 根据这一性质，可先求出矩形PCOD的面积为m，再得到 和 的面积均为 . 结合图形可知，四边形PAOB的面积等于矩形PCOD的面积减去这两个三角形的面积，据此列出等式：四边形的面积 ，即可求出m-n的值.
16．【答案】，，，，
【知识点】三角形的内切圆与内心；三角形-动点问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】如图，连接、、，
中，，
，
设，则，，，
，
解得，
当次前进后，点前进的距离是，点前进的距离是，
①当时，
，
，
，
，
整理，可得，
为正整数且，
时，；时，；时，；
②当时，
，
，
，
整理，可得，
为正整数且，
时，；时，；
综上，可得所有满足条件的为、、、16、32．
故答案为：、、、16、32．
【分析】
本题考查勾股定理，三角形内切圆的性质以及相似三角形的综合应用，解题的关键是先利用勾股定理求出 的边长BC，再根据直角三角形内切圆的性质求出内切圆半径及切点D到顶点A的距离AD，最后结合动点P，Q的运动情况，分情况讨论与相似时的对应边比例关系，求出所有满足条件的t值.
17．【答案】解：
=
=
=
=．
当时，原式．
【知识点】分式的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】
先对括号内的部分通过通分计算分式减法，再计算分式除法，完成化简后，代入x的数值计算结果即可.
18．【答案】（1）180；
（2）126°；
（3）画树状图如下：
由上图可知，共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲、乙两位同学的结果有2种．
所以P（恰好选中甲、乙两位同学）=．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）54÷30%=180（人）
故答案为：180；
（2）田径人数：180×20%=36（人），
游泳人数：180×15%=27（人），
篮球人数为：180-54-36-27=63（人）
图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为：，
故答案为：126°；
【分析】
（1）利用已知的跳水人数，以及跳水人数对应占总调查人数的百分比，计算出本次调查的总人数；
（2）先根据对应百分比和总人数，分别求出田径项目和游泳项目的参与人数，再用总人数减去田径、游泳、跳水这三个项目的参与人数，就能得到篮球项目的参与人数，接着算出篮球人数占总人数的百分比，最后用这个百分比乘以圆周角的度数360°，就可以得到图中篮球项目对应的圆心角度数；
（3）通过画树状图的方法，列出从备选同学中选2人所有等可能出现的结果，再从中数出恰好选中甲、乙两位同学的结果数量，最后根据概率的计算公式计算得到对应概率即可。
19．【答案】（1）解：设甲、乙两种客房每间现有定价分别是元、元，
根据题意，得：，
解得，
答：甲、乙两种客房每间现有定价分别是300元、200元.
（2）解：设每天的定价增加了个20元，则有个房间空闲，
根据题意有：
，
，
当时，取得最大值，最大值为4840，此时房间的定价为元，
答：当每间房间定价为280元时，乙种风格客房每天的利润最大，最大利润是4840元．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
本题考查二元一次方程组和二次函数在实际问题中的应用，解题的关键是根据题意梳理数量关系，建立对应的数学模型.
(1)可通过设甲，乙两种客房的定价分别为x元，y元，根据两种入住情况的营业额列出二元一次方程组，求解得到两种客房的定价；
(2)可通过设定价增加的20元的个数为a个，表示出实际定价，入住房间数量和单房利润，再根据“总利润=单房利润×入住数量”列出二次函数关系式，最后利用二次函数的顶点性质求出利润的最大值及对应的定价.
（1）解：设甲、乙两种客房每间现有定价分别是元、元，
根据题意，得：，
解得，
答：甲、乙两种客房每间现有定价分别是300元、200元；
（2）解：设每天的定价增加了个20元，则有个房间空闲，
根据题意有：
，
，
当时，取得最大值，最大值为4840，此时房间的定价为元，
答：当每间房间定价为280元时，乙种风格客房每天的利润最大，最大利润是4840元．
20．【答案】（1）
（2）
（3）或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数的性质；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】
解：（1）对于反比例函数，
当时，，
当时，，
故答案为：；
（2）把，代入得：，，
∴，
∴，，
把，代入得：，
解得，
一次函数的解析式为；
（3）∵，，
∴由函数图象可得：不等式的解集为：或．
【分析】
本题考查一次函数与反比例函数的综合应用，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式的方法，并能结合函数图象分析不等式的解集.
（1）可先求出反比例函数中y=-2时对应的x值，再结合反比例函数的图象判断出y≤-2时x的取值范围；
（2）可先将A，B两点代入反比例函数解析式，求出两点的完整坐标，再利用待定系数法，将两点坐标代入一次函数解析式，求解得到k，b的值，从而得到一次函数解析式；
（3）可根据A，B两点的坐标，结合函数图象中一次函数图象在反比例函数图象上方的部分，直接写出不等式的解集.
（1）解：对于反比例函数，
当时，，
当时，，
故答案为：；
（2）把，代入得：，，
∴，
∴，，
把，代入得：，
解得，
一次函数的解析式为；
（3）∵，，
∴由函数图象可得：不等式的解集为：或．
21．【答案】（1）解： 过点B作BD⊥AP于点D，依题意得∠A=45°，则Rt△ABD中，∠ABD=45°，
∴AD=BD，
设AD=BD=x，则AB=，
∵∠PBN=75°，
∴，
∴在中，，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴AB=，AD=BD=3．
∴A地与B地的距离km；
（2）解： 由题意得km，
在中，，km，
∴km，
∴km，
∵，，
∴，
∴是等边三角形，
∴km，
∴C地与电视塔P的距离是km．
【知识点】等边三角形的性质；解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】（1）过点B作BD垂直AP，垂足为D，先证明AD=BD，设AD=BD=x，再根据建立方程，求解出x的值后，就可以得到最终结果；
（2）先计算出BC的长度，再证明为等边三角形，即可完成解答．
（1）过点B作BD⊥AP于点D，依题意得∠A=45°，则Rt△ABD中，∠ABD=45°，
∴AD=BD，
设AD=BD=x，则AB=，
∵∠PBN=75°，
∴，
∴在中，，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴AB=，AD=BD=3．
∴A地与B地的距离km；
（2）由题意得km，
在中，，km，
∴km，
∴km，
∵，，
∴，
∴是等边三角形，
∴km，
∴C地与电视塔P的距离是km．
22．【答案】解：（1）作图如图所示：
（2）由作图可知，OD=OA，∠OAD=∠CAD，
∴∠ODA=∠OAD，
∴∠ODA=∠CAD，
∵∠ADC+∠CAD=90°，
∴∠ADC+∠ODA=90°，即∠ODC=90°，
∴OD⊥BC，
∴是的切线；
（3）由（2）可知，OD∥AC，
∴△BOD∽△BAC，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【知识点】切线的判定；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）①根据题目要求，利用尺规作图作出角平分线即可；②根据题目要求，利用尺规作图作出边的垂直平分线即可；③根据题目要求，利用圆规画出符合要求的圆即可；
（2）根据作图过程可得OD=OA， ∠OAD=∠CAD，通过角度推导证明=90°即可完成证明；（3）结合（2）的结论可推出ODAC，进一步可证明 △BOD∽△BAC，列出对应边的比例式，即可计算求出所需的边长.
23．【答案】（1）解：如图，连接，
∵矩形，
∴，，，
∴，
∵是中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
解得，
∴.
（2）解：如图，
∵矩形，平分，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
过点作于，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
解得，
∴，
∴.
（3）解：①∵矩形，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
由折叠知，，，，
∴，
设，则，
∵，
∴，
解得，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②相似，理由如下：
由折叠知，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；矩形的性质；相似三角形的判定；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】
本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，图形的折叠性质.（）可先利用矩形性质和勾股定理求出对角线BD的长度，再结合O是BD中点的条件，通过证明，利用相似三角形的对应边成比例求出AE的长度；
（）可先根据BE平分∠ABC的条件证明为等腰直角三角形，再证明，得到相关线段的长度，接着证明，求出对应线段，最后利用勾股定理计算BG的长；
（）)①可先利用勾股定理求出EC的长度，再结合折叠的性质得到相关线段的长度，通过证明，推出，，推出，从而推导出两个三角形的面积比；
②可先根据折叠性质和矩形性质推出∠MD'H=∠ECB，再证明与的两组对应边成比例且夹角相等，从而判断两个三角形是否相似.
（1）解：如图，连接，
∵矩形，
∴，，，
∴，
∵是中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
解得，
∴；
（2）解：如图，
∵矩形，平分，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
过点作于，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
解得，
∴，
∴；
（3）解：①∵矩形，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
由折叠知，，，，
∴，
设，则，
∵，
∴，
解得，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②相似，理由如下：
由折叠知，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
24．【答案】（1）解：点在抛物线上，且横坐标为1，
令，则，则，
点与点关于抛物线的对称轴对称，
，
.
（2）解：作轴交于，如图所示：
设，
直线的解析式为，
，
，
，
抛物线开口向下，有最大值，当时，的面积最大为，此时.
（3）解：作直线交于，使得，作于交于，如图所示：
由（2）知点，，
，
，
，此时的值最小，
，
，
的最小值为．
【知识点】含30°角的直角三角形；一次函数的实际应用-几何问题；二次函数的对称性及应用；二次函数-线段周长问题；二次函数-面积问题
【解析】【分析】本题考查二次函数的图象与性质，抛物线的对称性，三角形面积的计算，含特殊角的最短路径问题.
（1）可先将点A的横坐标x=1代入抛物线解析式 ，求出其纵坐标为3，再利用抛物线的对称性求出点B的坐标为(3，3)，进而得到线段AB的长度为2；
（2）可通过作辅助线轴交BE于N，设，由直线BE的解析式为y=x得N(m，m)，进而表示出△PBE的面积， 再利用二次函数的性质求出当 时面积的最大值为，对应点P的坐标为 ；
（3）可先求出，再构造含30度角的辅助线，将转化为垂线段FK，则，最后利用等面积法求出HK的长度，即可得到式子的最小值.
（1）解：点在抛物线上，且横坐标为1，
令，则，则，
点与点关于抛物线的对称轴对称，
，
；
（2）解：作轴交于，如图所示：
设，
直线的解析式为，
，
，
，
抛物线开口向下，有最大值，当时，的面积最大为，此时；
（3）解：作直线交于，使得，作于交于，如图所示：
由（2）知点，，
，
，
，此时的值最小，
，
，
的最小值为．
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