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陕西省西安市蓝田县2024—2025学年下学期七年级期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．中国是世界上稀土资源最丰富的国家，素有“稀土王国”之称．镧是一种重要的稀土金属，在地壳中的含量约为，其化合物常用来制作光学玻璃、高温超导体等．数据0.00183用科学记数法可表示为（　　）
A． B．
C． D．
2．在下列四个图案中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，直线与相交于点，若，则等于（　　）
A． B． C． D．
4．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．某区为了解初中生近视情况，在全区进行初中生视力随机抽查，结果如表：
累计抽测的学生人数
近视学生人数与的比值
从该区任意抽取一名初中生，估计这名初中生近视的概率是（　　）
A． B． C． D．
6．王师傅想做一个三角形的框架，他有两根长度分别为和的木条，需要将其中一根木条分为两段，如果不考虑损耗和接头部分，那么可以分为两段的木条是（　　）
A．长的木条 B．长的木条
C．两根都可以 D．两根都不可以
7．某海港某日时到时的水深随时间的变化如图所示，下列从图象中得到的信息正确的是（　　）
A．时水深最高
B．时到时之间水深持续上升
C．时的水深为
D．两次最高水深的时间间隔为小时
8．如图，在四边形中，平分交于点，平分交的延长线于点，若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
9．我们在夏天利用空调制冷调控室内温度的过程中，空调每小时用电量随设置温度的高低而变化，在这个问题中，设置的温度是　 　．（填“自变量”“因变量”或“常量”）
10．如图，一条公路两次转弯后，和原来的方向相同．第一次的拐角的度数是，第二次的拐角的度数是　 　．
11．已知，代数式　 　．
12．如图，在中，，点在边上，连接，点与点关于直线对称，点在线段的垂直平分线上，连接，若，则的周长为　 　．
13．如图，在中，，点、分别在边、上，连接、，延长至点，连接交于点，若，则的度数为　 　
三、解答题：本题共13小题，共81分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
14．计算：．
15．如图，在中，，平分，于，若，求的长度．
16．一个角的余角的2倍比这个角的补角小，求这个角的度数．
17．如图，在中，点是边上一点，连接，请用尺规作图法作直线，使得直线是线段的垂直平分线（不写作法，保留作图痕迹）．
18．在中，，，求的度数．
19．一个正方形的边长为，它的各边长都减少后，得到的新正方形的周长为．
（1）求与之间的关系式；
（2）若这个正方形的各边长都减少了，求得到的新正方形的周长．
20．淘淘看到学校的旗杆后提出问题：学校的旗杆是否垂直于地面？如图，淘淘找来两根绳子，一端系在旗杆上的同一位置处，另一端分别固定在地面上的两个定点，处，淘淘用测角仪测量得到，，请你帮助淘淘判断旗杆是否垂直于地面，并说明理由．（两个定点，和旗杆在同一平面内，点在上，绳结处的长度误差忽略不计）
21．如图，在中，平分交于点，点在边上，连接，已知．
（1）请说明：；
（2）若，，求的度数．
22．一个不透明的盒子里装有4颗薄荷糖、5颗巧克力糖和1颗草莓糖，除颜色外完全相同．
（1）随机摸出一颗糖是薄荷糖的概率是多少？
（2）若从盒中取出若干颗薄荷糖，并放入相同数量的草莓糖，调整后随机摸出一颗是草莓糖的概率为．问取走了多少颗薄荷糖？
23．请根据幂的运算回答下列问题：
（1）已知，，求的值；
（2）若，求．
24．如图，在四边形中，，连接、交于点，过点作于点，过点作于点，延长交于点，．
（1）若，的面积为，求的长；
（2）求，，三者之间的数量关系，并说明理由．
25．一辆汽车在公路上匀速行驶，其所走的路程和所用的时间可用如表表示：
时间/（分钟） …
路程/（千米） …
（1）求汽车行驶的速度；
（2）当行驶时间是分钟时，汽车行驶的路程是多少千米？
（3）请简略描述随着时间逐渐变大，路程的变化趋势是什么？
26．【问题情境】：如图，在四边形中，，，点是延长线上一点，连接，点是延长线上一点，连接、，在上截取，连接．
【问题解决】
（1）若，求的度数；
（2）若，，求线段、、之间的数量关系，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.00183用科学记数法可表示为．
故选：A
【分析】
根据科学记数法表示较小的数，绝对值小于1的数用科学记数法表示的一般形式为，其中，为由原数左起第一个不为零的数字前面0的个数所确定，据此即可求解.
2．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、此图案是轴对称图形，故A不符合题意；
B、此图案是轴对称图形，故B不符合题意；
C、此图案是轴对称图形，故C符合题意；
D、此图案是轴对称图形，故D不符合题意；
故答案为：．
【分析】一个图形沿着一条直线对折后直线两侧的部分能够重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，再对各选项逐一判断即可.
3．【答案】A
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：和是对顶角，
，
，
，
故选：．
【分析】利用对顶角相等可证得，结合已知即可求出的度数．
4．【答案】C
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；多项式除以单项式；幂的乘方运算
【解析】【解答】解： A、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：C
【分析】利用幂的乘方运算，可对A作出判断；利用平方差公式可对B作出判断；利用多项式除以单项式的法则进行计算，可对C作出判断；然后利用完全平方公式，可对D作出判断.
5．【答案】D
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】根据表格数据，当累计抽测人数逐渐增大时，近视学生人数与的比值在和时均稳定在，且随着样本量增加，波动范围逐渐缩小，
∴估计这名初中生近视的概率是．
故答案为：D．
【分析】大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值，据此结合表格中的数据即可得到答案．
6．【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】若将长的木条分为两段，则分成的两段木条的长度之和为，大于，能组成三角形，故可以将长的木条分为两段；
若将长的木条分成两段，则分成的两段木条的长度之和为，小于，不能组成三角形，故不可以将长的木条分为两段；
故选B．
【分析】
依据三角形的三边关系，即三角形中任意两边之和大于第三边，对题目进行分析判断.
7．【答案】D
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】A、图象显示 3 时和 15 时水深达到最高，A不符合题意；
B、0 时到 12 时之间，水深的变化趋势为先上升，再下降，最后又上升，B不符合题意；
C、图象显示 12 时对应的水深为 7m，C不符合题意；
D、两次最高水深的时间分别为 3 时和 15 时，时间间隔为 15-3=12小时，D项符合题意；
故答案为：D。
【分析】本题考查函数图象的解读，从图象中提取水深随时间变化的关键信息，对各选项逐一分析判断。
8．【答案】A
【知识点】角平分线的概念；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：平分，
，
，
，
，
，
，
，
又平分，
，
故答案为：．
【分析】利用角平分线的概念可证得，据此可证得，利用同位角相等，两直线平行可知，再根据两直线平行同位角相等可推出，然后利用角平分线定义可求出∠ADC的度数.
9．【答案】自变量
【知识点】自变量、因变量
【解析】【解答】解：我们在夏天利用空调制冷调控室内温度的过程中，空调每小时用电量随设置温度的高低而变化，在这个问题中，设置的温度是自变量，
故答案为：自变量．
【分析】根据常量与变量的意义，即可解答．
10．【答案】
【知识点】平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：由题意得，，
∴，
故答案为：．
【分析】根据拐弯前、后的两条路平行，利用两直线平行内错角相等，可求出∠BCD的度数.
11．【答案】2025
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵
∴
．
故答案为：2025．
【分析】先利用完全平方公式进行展开，再整体代入求值即可．
12．【答案】14
【知识点】线段垂直平分线的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：点与点关于直线对称，，
，，
点在的垂直平分线上，
，
的周长．
故答案为：．
【分析】根据轴对称的性质可得，，再根据线段垂直平分线的性质可证得，然后列式计算求出△CDE的周长.
13．【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】利用三角形的外角性质可证得，据此可求出的度数，然后根据对顶角的性质求解．
14．【答案】解：原式
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】利用负整数指数幂，零指数幂先算乘方运算，同时算乘法和化简绝对值，然后算加减法.
15．【答案】解：根据题意可知：AC⊥BC，
∵平分，于，AC⊥BC，
∴CE=DE，
∵AC=69cm，
∴AE+CE=AC=6cm，
即AE+DE=6cm.
【知识点】角平分线的性质
【解析】【分析】根据 可知AC⊥BC，再利用角平分线的性质可得，进而求得AE+DE=AE+CE即可得出结论．
16．【答案】解：设这个角的度数是x，
由题意得，
解得：，
∴这个角的度数为．

【知识点】邻补角；余角
【解析】【分析】
设所求角的度数为x，根据余角和补角的定义可知，这个角的余角度数为，这个角的补角度数为。结合题目给出的数量关系：这个角余角的2倍比它的补角小，就可以列出对应方程，求解方程就能得到这个角的度数.
17．【答案】解：如图所示，直线即为所求．
【知识点】尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】利用线段垂直平分线的作图方法，利用尺规作图作出线段AP的垂直平分线.
18．【答案】解：在中，，，
，
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【分析】利用三角形的内角和定理及已知条件可求出∠B的度数.
19．【答案】（1）解：根据题意，得，
与之间的关系式为
（2）当时，，
答：得到的新正方形的周长为
【知识点】用关系式表示变量间的关系
【解析】【分析】（1）利用新正方形的周长等于边长×4，可得到y关于x关系式.
（2）将x=4代入（1）中的关系式，可求出对应的y的值.
（1）解：根据题意，得，
与之间的关系式为．
（2）当时，，
答：得到的新正方形的周长为．
20．【答案】结论：，
理由：在和中，
，
，
，
，
，
【知识点】全等三角形的实际应用；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】利用证明，然后利用全等三角形的性质可证得，由此可证得∠ADB=90°，可证得结论.
21．【答案】（1）证明：平分，
，
，
，
（2）解：，
，
，
，
，
，
，
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；内错角相等，两直线平行
【解析】【分析】（1）利用角平分线的概念可证得∠CBD=∠DBE，结合已知条件可证得∠CBD=∠EDB，然后根据内错角相等，两直线平行，可证得结论.
（2）由垂直得直角，由此可求出的度数，再利用三角形的内角和定理求出∠BED的度数.
（1）证明：平分，
，
，
，
；
（2），
，
，
，
，
，
，
．
22．【答案】（1）解：∵一个不透明的盒子里装有4颗薄荷糖、5颗巧克力糖和1颗草莓糖，且每颗糖被摸出的概率相同，
∴随机摸出一颗糖是薄荷糖的概率为
（2）解：设取走了x颗薄荷糖．
由题意得，，
解得，
答：取走了2颗薄荷糖
【知识点】概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【分析】（1）利用薄荷糖的数量除以糖的总数，可求出结果.
（2）设取走了x颗薄荷糖，根据随机摸出一颗是草莓糖的概率为。可得到关于x的方程，解方程求出x的值.
（1）解：∵一个不透明的盒子里装有4颗薄荷糖、5颗巧克力糖和1颗草莓糖，且每颗糖被摸出的概率相同，
∴随机摸出一颗糖是薄荷糖的概率为；
（2）解：设取走了x颗薄荷糖．
由题意得，，
解得，
答：取走了2颗薄荷糖．
23．【答案】（1）解：，，
（2）解：，
，
，
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算；同底数幂乘法的逆用；幂的乘方的逆运算
【解析】【分析】（1）逆用同底数幂的乘法法则和逆用幂的乘方法则，可将原式转化为（am）2·an，代入计算即可.
（2）利用幂的乘方法则和同底数幂相乘的法则，可将等式转化为，据此可得到关于m、n的方程，然后代入可求出结果.
（1）解：，，
；
（2）解：，
，
，
．
24．【答案】（1）解：，
是等腰三角形，
，
是底边上的高，且，
，
的面积为，
，
，
（2）结论：，
理由：，
，
，，，
，
即，
，
是等腰三角形，
，
，是的平分线，
，
，
即，
，
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用等腰三角形三线合一的性质可求出BC的长，再利用三角形面积公式求出DE的长.
（2）利用三角形内角和定理可推出∠ODE+∠DEO=∠ABO+∠BAO，可推出，再根据等腰三角形的判定与性质可证得，然后利用三角形的内角和定理可证得结论.
（1）解：，
是等腰三角形，
，
是底边上的高，且，
，
的面积为，
，
，
；
（2）解：，
理由：，
，
，，，
，
即，
，
是等腰三角形，
，
，是的平分线，
，
，
即，
，
．
25．【答案】（1）解：汽车行驶的速度为千米分钟
（2）千米．
答：当行驶时间是分钟时，汽车行驶的路程是千米
（3）解：随着时间均匀变大，路程均匀增加．
【知识点】用表格表示变量间的关系
【解析】【分析】（1）利用速度路程时间计算即可.
（2）根据路程速度时间，列式计算即可.
（3）利用表中的数据可得到随的变化情况.
（1）解：汽车行驶的速度为千米分钟．
（2）千米．
答：当行驶时间是分钟时，汽车行驶的路程是千米．
（3）随着时间均匀变大，路程均匀增加．
26．【答案】（1）解：，
，
在和中，
，
，
，
在中，，
，
（2）结论：线段、、之间的数量关系是：，
理由如下：
由可知：，
，，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）利用“”可证得△ABM≌△CBF，利用全等三角形的性质可证得，然后根据直角三角形的两锐角互余可求出∠CBF的度数，即可求出的度数.
（2）利用全等三角形的对应角相等，可证得，，结合已知条件可推出∠EBM=∠EBF，利用“”可证得△EBM≌△EBF，利用全等三角形的性质可证得，据此可证得线段、、之间的数量关系.
（1），
，
在和中，
，
，
，
在中，，
，
；
（2）线段、、之间的数量关系是：，理由如下：
由可知：，
，，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
．
1 / 1陕西省西安市蓝田县2024—2025学年下学期七年级期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．中国是世界上稀土资源最丰富的国家，素有“稀土王国”之称．镧是一种重要的稀土金属，在地壳中的含量约为，其化合物常用来制作光学玻璃、高温超导体等．数据0.00183用科学记数法可表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.00183用科学记数法可表示为．
故选：A
【分析】
根据科学记数法表示较小的数，绝对值小于1的数用科学记数法表示的一般形式为，其中，为由原数左起第一个不为零的数字前面0的个数所确定，据此即可求解.
2．在下列四个图案中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、此图案是轴对称图形，故A不符合题意；
B、此图案是轴对称图形，故B不符合题意；
C、此图案是轴对称图形，故C符合题意；
D、此图案是轴对称图形，故D不符合题意；
故答案为：．
【分析】一个图形沿着一条直线对折后直线两侧的部分能够重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，再对各选项逐一判断即可.
3．如图，直线与相交于点，若，则等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：和是对顶角，
，
，
，
故选：．
【分析】利用对顶角相等可证得，结合已知即可求出的度数．
4．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；多项式除以单项式；幂的乘方运算
【解析】【解答】解： A、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：C
【分析】利用幂的乘方运算，可对A作出判断；利用平方差公式可对B作出判断；利用多项式除以单项式的法则进行计算，可对C作出判断；然后利用完全平方公式，可对D作出判断.
5．某区为了解初中生近视情况，在全区进行初中生视力随机抽查，结果如表：
累计抽测的学生人数
近视学生人数与的比值
从该区任意抽取一名初中生，估计这名初中生近视的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】根据表格数据，当累计抽测人数逐渐增大时，近视学生人数与的比值在和时均稳定在，且随着样本量增加，波动范围逐渐缩小，
∴估计这名初中生近视的概率是．
故答案为：D．
【分析】大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值，据此结合表格中的数据即可得到答案．
6．王师傅想做一个三角形的框架，他有两根长度分别为和的木条，需要将其中一根木条分为两段，如果不考虑损耗和接头部分，那么可以分为两段的木条是（　　）
A．长的木条 B．长的木条
C．两根都可以 D．两根都不可以
【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】若将长的木条分为两段，则分成的两段木条的长度之和为，大于，能组成三角形，故可以将长的木条分为两段；
若将长的木条分成两段，则分成的两段木条的长度之和为，小于，不能组成三角形，故不可以将长的木条分为两段；
故选B．
【分析】
依据三角形的三边关系，即三角形中任意两边之和大于第三边，对题目进行分析判断.
7．某海港某日时到时的水深随时间的变化如图所示，下列从图象中得到的信息正确的是（　　）
A．时水深最高
B．时到时之间水深持续上升
C．时的水深为
D．两次最高水深的时间间隔为小时
【答案】D
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】A、图象显示 3 时和 15 时水深达到最高，A不符合题意；
B、0 时到 12 时之间，水深的变化趋势为先上升，再下降，最后又上升，B不符合题意；
C、图象显示 12 时对应的水深为 7m，C不符合题意；
D、两次最高水深的时间分别为 3 时和 15 时，时间间隔为 15-3=12小时，D项符合题意；
故答案为：D。
【分析】本题考查函数图象的解读，从图象中提取水深随时间变化的关键信息，对各选项逐一分析判断。
8．如图，在四边形中，平分交于点，平分交的延长线于点，若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】角平分线的概念；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：平分，
，
，
，
，
，
，
，
又平分，
，
故答案为：．
【分析】利用角平分线的概念可证得，据此可证得，利用同位角相等，两直线平行可知，再根据两直线平行同位角相等可推出，然后利用角平分线定义可求出∠ADC的度数.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
9．我们在夏天利用空调制冷调控室内温度的过程中，空调每小时用电量随设置温度的高低而变化，在这个问题中，设置的温度是　 　．（填“自变量”“因变量”或“常量”）
【答案】自变量
【知识点】自变量、因变量
【解析】【解答】解：我们在夏天利用空调制冷调控室内温度的过程中，空调每小时用电量随设置温度的高低而变化，在这个问题中，设置的温度是自变量，
故答案为：自变量．
【分析】根据常量与变量的意义，即可解答．
10．如图，一条公路两次转弯后，和原来的方向相同．第一次的拐角的度数是，第二次的拐角的度数是　 　．
【答案】
【知识点】平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：由题意得，，
∴，
故答案为：．
【分析】根据拐弯前、后的两条路平行，利用两直线平行内错角相等，可求出∠BCD的度数.
11．已知，代数式　 　．
【答案】2025
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵
∴
．
故答案为：2025．
【分析】先利用完全平方公式进行展开，再整体代入求值即可．
12．如图，在中，，点在边上，连接，点与点关于直线对称，点在线段的垂直平分线上，连接，若，则的周长为　 　．
【答案】14
【知识点】线段垂直平分线的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：点与点关于直线对称，，
，，
点在的垂直平分线上，
，
的周长．
故答案为：．
【分析】根据轴对称的性质可得，，再根据线段垂直平分线的性质可证得，然后列式计算求出△CDE的周长.
13．如图，在中，，点、分别在边、上，连接、，延长至点，连接交于点，若，则的度数为　 　
【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】利用三角形的外角性质可证得，据此可求出的度数，然后根据对顶角的性质求解．
三、解答题：本题共13小题，共81分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
14．计算：．
【答案】解：原式
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】利用负整数指数幂，零指数幂先算乘方运算，同时算乘法和化简绝对值，然后算加减法.
15．如图，在中，，平分，于，若，求的长度．
【答案】解：根据题意可知：AC⊥BC，
∵平分，于，AC⊥BC，
∴CE=DE，
∵AC=69cm，
∴AE+CE=AC=6cm，
即AE+DE=6cm.
【知识点】角平分线的性质
【解析】【分析】根据 可知AC⊥BC，再利用角平分线的性质可得，进而求得AE+DE=AE+CE即可得出结论．
16．一个角的余角的2倍比这个角的补角小，求这个角的度数．
【答案】解：设这个角的度数是x，
由题意得，
解得：，
∴这个角的度数为．

【知识点】邻补角；余角
【解析】【分析】
设所求角的度数为x，根据余角和补角的定义可知，这个角的余角度数为，这个角的补角度数为。结合题目给出的数量关系：这个角余角的2倍比它的补角小，就可以列出对应方程，求解方程就能得到这个角的度数.
17．如图，在中，点是边上一点，连接，请用尺规作图法作直线，使得直线是线段的垂直平分线（不写作法，保留作图痕迹）．
【答案】解：如图所示，直线即为所求．
【知识点】尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】利用线段垂直平分线的作图方法，利用尺规作图作出线段AP的垂直平分线.
18．在中，，，求的度数．
【答案】解：在中，，，
，
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【分析】利用三角形的内角和定理及已知条件可求出∠B的度数.
19．一个正方形的边长为，它的各边长都减少后，得到的新正方形的周长为．
（1）求与之间的关系式；
（2）若这个正方形的各边长都减少了，求得到的新正方形的周长．
【答案】（1）解：根据题意，得，
与之间的关系式为
（2）当时，，
答：得到的新正方形的周长为
【知识点】用关系式表示变量间的关系
【解析】【分析】（1）利用新正方形的周长等于边长×4，可得到y关于x关系式.
（2）将x=4代入（1）中的关系式，可求出对应的y的值.
（1）解：根据题意，得，
与之间的关系式为．
（2）当时，，
答：得到的新正方形的周长为．
20．淘淘看到学校的旗杆后提出问题：学校的旗杆是否垂直于地面？如图，淘淘找来两根绳子，一端系在旗杆上的同一位置处，另一端分别固定在地面上的两个定点，处，淘淘用测角仪测量得到，，请你帮助淘淘判断旗杆是否垂直于地面，并说明理由．（两个定点，和旗杆在同一平面内，点在上，绳结处的长度误差忽略不计）
【答案】结论：，
理由：在和中，
，
，
，
，
，
【知识点】全等三角形的实际应用；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】利用证明，然后利用全等三角形的性质可证得，由此可证得∠ADB=90°，可证得结论.
21．如图，在中，平分交于点，点在边上，连接，已知．
（1）请说明：；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）证明：平分，
，
，
，
（2）解：，
，
，
，
，
，
，
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；内错角相等，两直线平行
【解析】【分析】（1）利用角平分线的概念可证得∠CBD=∠DBE，结合已知条件可证得∠CBD=∠EDB，然后根据内错角相等，两直线平行，可证得结论.
（2）由垂直得直角，由此可求出的度数，再利用三角形的内角和定理求出∠BED的度数.
（1）证明：平分，
，
，
，
；
（2），
，
，
，
，
，
，
．
22．一个不透明的盒子里装有4颗薄荷糖、5颗巧克力糖和1颗草莓糖，除颜色外完全相同．
（1）随机摸出一颗糖是薄荷糖的概率是多少？
（2）若从盒中取出若干颗薄荷糖，并放入相同数量的草莓糖，调整后随机摸出一颗是草莓糖的概率为．问取走了多少颗薄荷糖？
【答案】（1）解：∵一个不透明的盒子里装有4颗薄荷糖、5颗巧克力糖和1颗草莓糖，且每颗糖被摸出的概率相同，
∴随机摸出一颗糖是薄荷糖的概率为
（2）解：设取走了x颗薄荷糖．
由题意得，，
解得，
答：取走了2颗薄荷糖
【知识点】概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【分析】（1）利用薄荷糖的数量除以糖的总数，可求出结果.
（2）设取走了x颗薄荷糖，根据随机摸出一颗是草莓糖的概率为。可得到关于x的方程，解方程求出x的值.
（1）解：∵一个不透明的盒子里装有4颗薄荷糖、5颗巧克力糖和1颗草莓糖，且每颗糖被摸出的概率相同，
∴随机摸出一颗糖是薄荷糖的概率为；
（2）解：设取走了x颗薄荷糖．
由题意得，，
解得，
答：取走了2颗薄荷糖．
23．请根据幂的运算回答下列问题：
（1）已知，，求的值；
（2）若，求．
【答案】（1）解：，，
（2）解：，
，
，
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算；同底数幂乘法的逆用；幂的乘方的逆运算
【解析】【分析】（1）逆用同底数幂的乘法法则和逆用幂的乘方法则，可将原式转化为（am）2·an，代入计算即可.
（2）利用幂的乘方法则和同底数幂相乘的法则，可将等式转化为，据此可得到关于m、n的方程，然后代入可求出结果.
（1）解：，，
；
（2）解：，
，
，
．
24．如图，在四边形中，，连接、交于点，过点作于点，过点作于点，延长交于点，．
（1）若，的面积为，求的长；
（2）求，，三者之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）解：，
是等腰三角形，
，
是底边上的高，且，
，
的面积为，
，
，
（2）结论：，
理由：，
，
，，，
，
即，
，
是等腰三角形，
，
，是的平分线，
，
，
即，
，
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用等腰三角形三线合一的性质可求出BC的长，再利用三角形面积公式求出DE的长.
（2）利用三角形内角和定理可推出∠ODE+∠DEO=∠ABO+∠BAO，可推出，再根据等腰三角形的判定与性质可证得，然后利用三角形的内角和定理可证得结论.
（1）解：，
是等腰三角形，
，
是底边上的高，且，
，
的面积为，
，
，
；
（2）解：，
理由：，
，
，，，
，
即，
，
是等腰三角形，
，
，是的平分线，
，
，
即，
，
．
25．一辆汽车在公路上匀速行驶，其所走的路程和所用的时间可用如表表示：
时间/（分钟） …
路程/（千米） …
（1）求汽车行驶的速度；
（2）当行驶时间是分钟时，汽车行驶的路程是多少千米？
（3）请简略描述随着时间逐渐变大，路程的变化趋势是什么？
【答案】（1）解：汽车行驶的速度为千米分钟
（2）千米．
答：当行驶时间是分钟时，汽车行驶的路程是千米
（3）解：随着时间均匀变大，路程均匀增加．
【知识点】用表格表示变量间的关系
【解析】【分析】（1）利用速度路程时间计算即可.
（2）根据路程速度时间，列式计算即可.
（3）利用表中的数据可得到随的变化情况.
（1）解：汽车行驶的速度为千米分钟．
（2）千米．
答：当行驶时间是分钟时，汽车行驶的路程是千米．
（3）随着时间均匀变大，路程均匀增加．
26．【问题情境】：如图，在四边形中，，，点是延长线上一点，连接，点是延长线上一点，连接、，在上截取，连接．
【问题解决】
（1）若，求的度数；
（2）若，，求线段、、之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）解：，
，
在和中，
，
，
，
在中，，
，
（2）结论：线段、、之间的数量关系是：，
理由如下：
由可知：，
，，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）利用“”可证得△ABM≌△CBF，利用全等三角形的性质可证得，然后根据直角三角形的两锐角互余可求出∠CBF的度数，即可求出的度数.
（2）利用全等三角形的对应角相等，可证得，，结合已知条件可推出∠EBM=∠EBF，利用“”可证得△EBM≌△EBF，利用全等三角形的性质可证得，据此可证得线段、、之间的数量关系.
（1），
，
在和中，
，
，
，
在中，，
，
；
（2）线段、、之间的数量关系是：，理由如下：
由可知：，
，，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
．
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