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北京市西城区2025-2026学年度第二学期期末试卷八年级数学
一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列四个点中，在函数的图象上的点是( )
A. B. C. D.
2.以下列各组数为三角形的三边长，能构成直角三角形的是( )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
3.如图，的对角线，相交于点，，分别是，的中点．若，，，则的周长为( )
A. B. C. D.
4.小明从家出发骑车去郊游，途中依次在，两个景点各停留了一段时间，然后沿原路骑行回到家．小明离家的距离单位：与时间单位：之间的关系如图所示，下列说法中正确的是( )
A. 小明在景点停留了
B. 小明从景点回到家骑行了
C. 当时，小明离家的距离为
D. 当时，小明离家的距离的取值范围是
5.甲、乙两名运动员进行罚球线上投篮测试，每人投篮组，每组投篮次．这两名运动员每组投篮命中次数的数据如图所示．有下列结论：
甲的前个数据的离散程度比后个数据的离散程度小；
乙的前个数据的离散程度比后个数据的离散程度大；
甲的个数据的离散程度比乙的个数据的离散程度大．
其中所有正确结论的序号是( )
A. B. C. D.
6.如图，在正方形中，点在边上，，垂足为，交于点若，的面积为，则正方形的边长为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，共12分。
7.若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ．
8.如图，在中，，是的中点．若，，则的长为 ．
9.某公司在一家印刷厂印制产品宣传材料，印刷厂的收费标准是：收元制版费，每份宣传材料再收元印制费．那么印刷厂的收费单位：元关于印制宣传材料数量单位：份的函数解析式为 ．
10.一次实验竞赛由笔试、实践操作、结果分析、答辩四项构成，甲、乙两组的各项成绩十分制如下表所示．
小组 笔试 实践操作 结果分析 答辩
甲组
乙组
对笔试、实践操作、结果分析、答辩成绩分别赋权，，，，计算每组的平均成绩．如果甲、乙两组的平均成绩相同，那么的值为 ．
11.如图，在中，，，线段与关于直线对称，且交于点若的面积为，则的长为 ．
12.如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，，，都在第一象限，直线经过原点，且与正方形有两个公共点，，线段将正方形分成的两个多边形中至少有一个是四边形．记这两个多边形的面积分别为，，令．
当直线经过点时，的值为 ；
的取值范围是 ．
三、解答题(共61分，第13题12分，第14-15题每题9分，第16题8分，第17题10分，第18题7分，第19题6分)
13.计算：
；
；
．
14.在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点．
求的值；
画出一次函数的图象；
当时，直接写出的取值范围；
若一次函数的图象与轴交于点，将函数的图象平移，使得平移后的图象经过点，且与轴交于点，求的面积．
15.如图，在梯形中，，，连接，作线段的垂直平分线交于点，交于点，交于点，连接，．
使用直尺和圆规依题意补全图形保留作图痕迹；
证明四边形是菱形的一种方法如下，请将证明过程补充完整．
证明：线段的垂直平分线交于点，
．
，
，．
．
．
四边形是平行四边形 填推理的依据．
，
四边形是菱形 填推理的依据．
若，，求菱形的边长．
16.在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点和．
求该一次函数的解析式；
点在一次函数的图象上，其横坐标为，过点作轴的垂线与函数的图象交于点若点在点上方，求的取值范围；
当时，对于的每一个值，函数的值小于一次函数的值，直接写出的取值范围．
17.某校为促进学生养成健康生活习惯，组织该校，两个校区的全体学生开展了青少年健康知识测试．为了解八年级学生对健康知识的掌握情况，从，两个校区的八年级学生中各随机抽取了名学生的成绩百分制且为整数，并对数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
表
成绩分 人数
从校区抽取的学生成绩如表所示；
从校区抽取的学生成绩按由小到大顺序排列如下：


从，两个校区抽取的学生成绩的箱线图如图不完整；
从，两个校区抽取的学生成绩的平均数、中位数、众数如表：
表
校区 平均数 中位数 众数
校区
校区
根据以上信息，回答下列问题：
表中 ；表中 ， ；
在图中补全校区的箱线图，并标注相关数据；
已知从校区抽取的学生成绩中某位学生的成绩是分，请判断从校区抽取的学生成绩中是否还有其他学生的成绩也是分，并说明理由；
已知，校区八年级各有名学生，估计这两个校区八年级学生中成绩不低于分的学生一共有多少人．
18.如图，四边形是正方形，点在的延长线上，是正方形的对角线上一点，，平分且，连接，．
求证：；
连接交于点，过点作交于点，连接，，分别为，的中点，连接依题意补全图形，用等式表示线段与的数量关系，并证明．
19.在平面直角坐标系中，对于线段和不在直线上的点，给出如下定义：作点关于直线的对称点，若线段上存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，则称点是线段的“关联点”．
如图，点，，在点，，中，线段的“关联点”是 ；
已知点，，，若线段上的任意一点都是线段的“关联点”，直接写出的取值范围；
已知点，点在轴上方且若点是线段的“关联点”，直接写出的值．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】【小题】

【小题】

13.【答案】【小题】
解：
；
【小题】
解：
；
【小题】
解：
．
．

14.【答案】【小题】
解：的图象经过点，
故将代入，得，
解得．
【小题】
【小题】
解：，
随的增大而减小，
当时，；
当时，；
当时，的取值范围为．
【小题】
解：由知，点的坐标为，
设函数平移后的函数解析式为，
函数平移后的图象经过点，
故将代入，得，
故平移后的解析式为，
令，则，
解得，
故平移后的函数与轴的交点的坐标为；
．

15.【答案】【小题】
【小题】

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
【小题】
解：在菱形中，设．
，
在中，．
，
．
解得，即菱形的边长为．

16.【答案】【小题】
解：一次函数的图象经过点和
解得：
一次函数的解析式为
【小题】
解：依题意，点的纵坐标为，点的纵坐标为
点在点上方，
，
解得：
【小题】
解：当时，，
即与的图象交点为，
代入得，，
当与平行时，，
当时，对于的每一个值，函数的值小于一次函数的值，
，

17.【答案】【小题】
【小题】
【小题】
没有，理由：由图可知校区样本成绩的第三四分位数是，而成绩均为整数，因此校区的样本中有名学生的成绩大于由表可知校区的样本中共有名学生的成绩不低于分，因此只有名学生的成绩是分．
【小题】
解：人．
估计这两个校区八年级学生中成绩不低于分的学生一共约有人．

18.【答案】【小题】
证明：四边形是正方形，
平分．
．
平分，
．
．
，
．
．
【小题】
，．
证明：连接，如图．
正方形平分，
．
，
．
．
．
垂直平分．
．
，
由知，，
．
，
，即．
在和中，分别是的中点，
．
．
．
．
在中，．
，
．

19.【答案】【小题】
，
【小题】
解：，，
故线段在轴上，
线段上的任意一点都是线段的“关联点”，
若点是线段上的一点，则令点关于线段的对称点为点，点是对角线和的交点，
故；
结合定义可得，点，，，为顶点的四边形是平行四边形，
故，，
即垂直且平分，垂直且平分，
如图：当点与点重合时，点与点重合，此时有最大值，
则，
垂直且平分，垂直且平分，
，，
，
点在轴上，
即轴，
故轴，
点的横坐标为，纵坐标为，
，
故，
解得．
当点在线段上时，不存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，
此时，即，
故符合要求的满足或．
如图：当点与点重合时，点与点重合，此时有最小值，
则，
垂直且平分，垂直且平分，
，，
，
点在轴上，
即轴，
故轴，
点的横坐标为，纵坐标为，
，
故，
解得．
综上，的取值范围为或．
【小题】
解：点在轴上方且，
故且．
设线段所在直线的解析式为，
将，代入，得
解得
故线段所在直线的解析式为且，
令点关于线段的对称点为点，点为与线段的交点；
设的坐标为，则的中点的坐标为；
点在线段上，
故将代入，得，
整理得，
故点的坐标可以表示为，
当是以点，，，为顶点的四边形的对角线时，如图：
根据题意可得四边形为平行四边形，，
故，，
点的坐标为，
因为点在线段上，
故将代入，得，
整理得，
解得．
当是以点，，，为顶点的四边形的对角线时，如图：
根据题意可得四边形为平行四边形，，
故，，
点的坐标为，
因为点在线段上，
故将代入，得，
整理得，
解得不符合题意，舍去．
当是以点，，，为顶点的四边形的对角线时，如图：
根据题意可得四边形为平行四边形，，
故，，
将点向左平移个单位，向下平移个单位可以得到点，
将点向左平移个单位，向下平移个单位可以得到点，
故点的横坐标为，纵坐标为
点的坐标为，
因为点在线段上，
故将代入，得，
整理得，
解得．
综上，或．

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