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北京市顺义区2025—2026学年度第二学期期末练习八年级数学
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标是( )
A. B. C. D.
2.不等式的解集为( )
A. B. C. D.
3.方程的解为( )
A. B. ，
C. ， D. ，
4.下列图形中，是中心对称图形的是．
A. B. C. D.
5.某校甲、乙两班均有名男生，他们体重指数的箱线图如图所示，则下列说法正确的是( )
A. 甲班男生的下四分位数为
B. 乙班男生的最大值为
C. 甲班男生的中位数高于乙班男生的中位数
D. 乙班男生比甲班男生更集中
6.如图，在四边形中，，添加下列条件能判定四边形是平行四边形的是 ．
A. B. C. D.
7.在平面直角坐标系中，点，在直线上，则，的大小关系为( )
A. B. C. D. 无法确定
8.如图，在矩形中，，交于点，将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，交于点，交于点，连接，对于任意，下面四个结论中，所有正确结论的序号是( )
都有四边形是梯形；
都有四边形是菱形；
都有四边形是菱形；
都有六边形是正六边形．
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.如图， ．
10.如图，在中，，，，分别是，的中点，则 ．
11.某校有名学生，为了解学生使用学习的情况，从中随机选取了名学生开展调查，获得了他们最常使用学习的类型，数据整理如下：
学习的类型 知识梳理 口语测评 作文辅助 作业答疑 错题分析
学生人数
根据以上数据，估计该校这名学生中最常使用进行作业答疑的有 人．
12.在平面直角坐标系中，直线与的交点不可能在第 象限．
13.为对比甲、乙两台数控机床的加工稳定性，从甲、乙两台机床生产的同规格零件中各随机抽取件检测，得到尺寸误差单位：，数据分布如图：
如果某台机床尺寸误差的个数据的方差越小，认为该台机床的加工稳定性更高，则 机床的加工稳定性更高填“甲”或“乙”．
14.已知关于的一元二次方程有一个根为，则另一个根为 ．
15.如图，在正方形中，分别以，两点为圆心，长为半径画弧，两弧在正方形的内部交于点若正方形边长为，则四边形的面积为 ．
16.年北京亦庄人形机器人半程马拉松比赛中，某国产机器人跑完近似为，净用时近似为，超过了人类男子半马世界纪录．小明通过查找数据将整个跑步过程分为起始高速跑、中途稳速跑、终点前调整、最后冲刺跑四个阶段，并用图象表示路程单位：与时间单位：的大致对应关系，如图所示，下面有四个推断：
终点前调整阶段用时约为；
当机器人到达警示温度时，系统会自动下调速度．在比赛开始时该机器人到达警示温度；
中途稳速跑阶段的平均配速所用的时间为；
全程平均速度约为．
其中合理的是 填所有合理推断的序号．
三、解答题(共68分，第17-19题每题5分，第20-23题每题6分，第24题5分，第25题6分，第26题5分，第27题6分，第28题7分)
17.解方程：．
18.如图，在 中，，分别在，上，且，连结、．
求证：．
19.在如图所示平面直角坐标系中，画出直线．
若直线与，轴分别交于，两点，直接写出，两点的坐标；
求的面积．
20.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
求的取值范围；
设，是原方程的两个实数根．若为正整数，求的值．
21.阅读材料，并完成任务．
“矩形的判定”这节课上，研究了矩形的两个判定定理之后，老师问：“还有其它能够判定矩形的方法吗？”小禹说：“我发现一组邻角是直角，对角线相等的四边形是矩形”老师说：“这个命题是真命题”要证明这个命题是真命题，需要先分清命题的题设和结论，然后画出相应的图形、写出已知和求证，最后完成证明，请你补全表中的已知条件并完成证明过程．
已知：在四边形中，，________求证：四边形是矩形． 画图：
证明：
22.如图，在四边形中，，，为的中点，连接并延长，交于点，连接．
求证：四边形为菱形；
连接，若，，，求的长．
23.由于部分汽车车型较大，为了扩大每个车位的面积，小区物业打算重新划分某处的个大小相同的矩形车位．现在每个矩形车位的长和宽分别为，，重新划分后车位数不变，每个矩形车位的长和宽增加了相同的长度，且个车位的总面积增大了求重新划分后每个矩形车位的长和宽分别是多少？
24.气象部门常用探测气球观测近地面气象数据．某观测站同时放出两个探测气球，停在海拔的空中进行探测，号探测气球从海拔处匀速上升，上升速度为；号探测气球从海拔处匀速上升，上升速度为设上升时间为单位：，号、号两个探测气球的海拔分别为，单位：
写出与的函数关系式；
在平面直角坐标系中，对应的函数图象如图所示，请在该坐标系中画出中对应的函数图象；
根据以上信息，回答下列问题：
求两个探测气球放出多长时间时海拔相同海拔为时除外？
求两个探测气球放出多长时间时海拔的差最大，并求出这个最大值．
25.世界环境日为每年的月日，年我国环境日的主题为“全面绿色转型，共建美丽中国”某校为增强学生环保意识，组织初二年级名学生开展相关知识的竞赛，为了解学生的竞赛情况，对学生的成绩百分制数据整理并绘制了如下统计图表：
名学生成绩的频数分布表
分组分 频数 频率
合计
写出的值，并补全频数分布直方图；
分及以上的名学生的成绩按从小到大的顺序排列为：，，，，，，，，将这个数据依次分为两组，共有以下种情况，分别计算组内离差平方和，如表所示：
分组情况 组内离差平方和
第一组个，第二组个
第一组个，第二组个
第一组个，第二组个
第一组个，第二组个
第一组个，第二组个
第一组个，第二组个
第一组个，第二组个
第一组个，第二组个
求出的值；
若按组内离差平方和最小的原则分为两组，并分别给予这两组学生一等奖和特等奖，则给予特等奖的这组学生有________名，他们的成绩分别为________．
26.在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，．
求，的值；
当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，又小于函数的值，直接写出的取值范围．
27.如图，在菱形中，，点在的延长线上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，过点作，交直线于点，连接．
依题意补全图形，求证：；
若，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
28.在平面直角坐标系中，对于点，和正实数给出如下定义：若满足，则称点，互为“倍伴随点”．
如图，点．
在点，，中，是点的“倍伴随点”的是________；
以点，，，为顶点的四边形上存在点的“倍伴随点”，直接写出的取值范围；
直线与，轴分别交于，两点，点，，，若存在，使得当时，线段上存在四边形上所有点的“倍伴随点”，直接写出的取值范围．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】四
13.【答案】甲
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】解：，
，
，
，
，
，．
18.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，，
四边形是平行四边形，
．
19.【答案】【小题】
解：列表，
描点，连线，
，
点，；
【小题】
解：，，
，，
的面积为．

20.【答案】【小题】
解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得，，
的取值范围为；
【小题】
解：，是原方程的两个实数根，，
为正整数，
，
方程为，
．

21.【答案】证明：在四边形中，，
，
，
在和中：
，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是矩形．

22.【答案】【小题】
证明：，
，
为的中点，
，
，
，
，
，即，
四边形为平行四边形，
，
四边形为菱形；
【小题】
解：如图，
由得四边形为菱形，
，，，
，为中点，
，
，
，
，即的长为．

23.【答案】解：设每个矩形车位的长和宽增加的相同长度为，原个车位的总面积为，则重新划分后每个车位长为，宽为，
，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去
，，
答：重新划分后每个矩形车位的长是，宽是．

24.【答案】【小题】
解：号探测气球从海拔处匀速上升，上升速度为，
与的函数关系式；
【小题】
解：由得，当时，；当时，，
描点，连线，
【小题】
解：号探测气球从海拔处匀速上升，上升速度为，
，
当时，即，解得，
两个探测气球放出时海拔相同；
由，
当时，，
，
随的增大而减小，
当时，最大，为；
由得，当时，，
当时，，
，
随的增大而增大，
当时，最大，为，
，
两个探测气球放出时海拔的差最大，最大值为．

25.【答案】【小题】
解：总人数为，频数为，
，
各组频数之和为：
，
，
分组频数，在直方图横坐标区间绘制高度为的长方形即可．
【小题】
解：个成绩从小到大：，，，，，，，，，
分组规则：第一组个，第二组个，即前个为第一组，后个为第二组
第一组：；第二组：，
第一组计算
均值，
组内离差平方和
，
第二组计算
均值，
组内离差平方和
，
．
观察表格中所有组内离差平方和数值：，最小数值为，
对应分组“第一组个，第二组个”；
该分组下，第二组个成绩分数更高、成绩更拔尖，对应特等奖．故特等奖学生有名，成绩为．

26.【答案】【小题】
解：在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，，
解得；
【小题】
解：由可得函数的解析式为，函数的解析式为，
把代入得：，
把代入得：，解得：，
即当直线与直线交于点时，；
把代入得：，
把代入得：，解得：，
即当直线与直线交于点时，；
如图，
当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，又小于函数的值，
根据图象可得：当时，符合题意．

27.【答案】【小题】
证明：补全图形如下：
在菱形中，，

，
线段绕点逆时针旋转得到线段，
，
，
，
，
，
．
【小题】
解：线段，，之间的数量关系为，理由如下：
延长交于点，
在菱形中，，
，，
，
故四边形是平行四边形，
，
根据的证明，知，
，，
，
，

，
，
，
，
，
，
根据勾股定理，得，
，
，，
；

28.【答案】【小题】
解：代入定义：，，
分别检验三点：
：，不满足；
：，满足；
：，满足，
答案：；
设点的“倍伴随点”为，则，，
，
四边形是矩形，，，
由题意得，直线与矩形有交点，即存在，使得，
解不等式：，，，
即要与有重叠：
矩形右边界，，
矩形左边界，
综上：．
【小题】
解：在直线中，
令，解得；令，解得，
所以，
设线段上一点，矩形上任意一点，，为倍伴随点：
，
整理得：
，
由题意得：存在，对任意，存在，使矩形内所有满足式．
将改写为：
，
，
对每个在四边形上存在满足：
当：，，
当时，，则，
即与有重叠：
有，，
，，
存在值，则，得，则；
当时，，则，
即与有重叠：
有，，
，，
存在值，则，得，则；
当时，式变形为，存在值使与四边形有交点，
当时，或；
当：，，
当时，，则，
即与有重叠：
有，，
，，
存在值，则，得，则；
当时，，则，
即与有重叠：
有，，
，，
存在值，则，得，则；
当时，式变形为，存在值使与四边形有交点，
当时，取任意值均可，
综上，或．

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