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山东省烟台市牟平区2025-2026学年下学期初二数学期末试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列事件为必然事件的是（）
A. 某彩票的中奖机会是，买1张彩票不会中奖
B. 掷一枚普通的正方体骰子，掷得的点数不超过6
C. 从只有红球的袋子中摸出一个黄球
D. 打开微信视频号，正在播比赛
2.下列命题：①若，则；②在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半；③三角形三条角平分线交点到三个顶点距离相等；④一个角的补角大于这个角；⑤相等的角是对顶角；⑥若，则．其中是真命题的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
3.如图，把一张长方形纸条先沿折叠并压平，再沿折叠并压平，若在最后一个图形中，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
4.已知关于x的不等式组无解，那么m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5.小军同学有勤俭节约的好习惯．开学前夕，他用自己平时积攒的30元零花钱去“嘉学文具店”购买单价为3元的笔和单价为2元的本这两种学习用品（两种都要买），若30元的零花钱恰好花完，则小军同学的购买方案有（）
A. 6种 B. 5种 C. 4种 D. 3种
6.一副三角板按图所示方式叠放，且，，，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
7.如图，一次函数的图象过点，则关于的不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
8.某数学社团做“用频率估计概率”的试验：不透明盒子中有1个蓝球、2个黄球、3个白球、和4个红球，这10个球除颜色外都相同．从盒子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率折线图如图所示，则该种球的颜色最有可能是（）．
A. 蓝球 B. 黄球 C. 白球 D. 红球
9.如图，在中，，，点在上，点在的延长线上，，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
10.如图，在△ABC 中，以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AB，AC 于点M，N，再分别以点M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线AP交BC 于点D，连接DM，DN．以下结论正确的是（　　）
A. AN＝DN B. DN// AM C. DM＝DN D. AD⊥BC
11.如图，在大长方形中不重叠地放入七个长、宽都相同的小长方形，根据图中给出的数据，可得出阴影部分面积为（）
A. 52 B. 55 C. 58 D. 62
12.2026年4月19日7点30分全球首个人形机器人半程马拉松比赛在北京亦庄举行．其中图1为比赛中机器人跑步姿态，图2为某一瞬间的平面结构图，其中，，．若，于点，则的度数为（ ）．
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
13.三条直线，，相交于一点，则的值是 ．
14.高校举行大学生篮球联赛，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得3分，负一场得1分，山大队要想在前15场比赛中得分不低于33分．则该队至少要胜 场．
15.如图，若，请你添加一个条件： ，使．
16.如图，在中，，，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交射线BA于点D，连接CD，则的度数是 .
17.如图，，是正方形网格上的两个格点，在余下的格点中任意取一点，构成的不是等腰三角形的概率是 ．
18.“七巧板”是祖先的卓越创造，能拼出许多有趣的图形，被誉为“东方魔板”．图①是由边长为的正方形薄板分为7块制作成的“七巧板”，图②是用该“七巧板”拼成的一个“家”的图形．该“七巧板”中图形之一的正方形面积为 ．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
19.完成下列各题：
(1) 解二元一次方程组：；
(2) 利用数轴求出一元一次不等式组的解集，并写出该不等式组所有的整数解．
四、解答题：本题共7小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题6分)
如图，在中，，．请用两种尺规作图的方法作等腰，使直角顶点在边上，只保留作图痕迹，不写作法．
21.(本小题6分)
已知：、、是的三条边长，记，其中为整数．
(1) 若三角形为等边三角形，则 ；
(2) 若，，求证：为直角三角形；
(3) 在中，若，，，求的取值范围．
22.(本小题6分)
已知：如图，，．求证：．（并标注每一步证明的依据）
23.(本小题8分)
南、北两家办公用品店经销同一品牌的办公专用桌椅，标价都是一张桌子1000元，一把椅子100元，南、北两店推出各自销售的优惠方案，南店：买一张桌子送两把椅子；北店：桌子和椅子全部按标价九折优惠．现某园区要购买5张桌子和把椅子．
(1) 分别用含的式子表示该园区在南、北两店购买桌椅所需的金额、；
(2) 该园区选择哪一家店购买更划算？
24.(本小题10分)
五一黄金周期间，某购物广场抓住商机，举行有奖促销活动，每购物满100元，就会有一次转动大转盘的机会，大转盘如图1所示，求每转动一次转盘：
(1) 享受七折优惠的概率；
(2) 中奖得20元的概率；
(3) 中奖得现金的概率；
(4) 谢谢参与的概率；
(5) 请你在图2中重新设计一种转盘抽奖方案，使得最后抽到20元奖、谢谢参与和10元奖的概率分别为，，．（奖项内容同图1，标注要求也同图1，只作图．）
25.(本小题11分)
请你根据下列素材，完成有关任务．
背景 某校计划购买篮球和足球，使更多学生能够参与球类活动．
素材一 购买2个篮球与购买3个足球需要的费用相等；
素材二 购买4个篮球和10个足球共需1600元；
素材三 该校计划购买篮球和足球共60个，篮球和足球均需购买，且购买篮球的个数不小于购买足球个数的．
(1) 每个篮球和每个足球的价格分别是多少元？
(2) 若恰好赶上价格调整，篮球价格按原价的优惠，足球提价，请你给出最节省费用的购买方案．
26.(本小题13分)
已知在等腰纸片中，，，将一块含角的足够大的直角三角尺（，）按如图所示放置，顶点在线段上滑动(点不与，重合)，三角尺的直角边始终经过点，并与的夹角，斜边交于点．
(1) 当时， ， ， ；点从到运动时，逐渐变 （“大”或“小”）
(2) 当等于何值时，？请说明理由；
(3) 在点的滑动过程中，存在是等腰三角形吗？若存在，请求出夹角的大小；若不存在，请说明理由．
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】A
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】D
8.【答案】C
9.【答案】C
10.【答案】C
11.【答案】A
12.【答案】A
13.【答案】-3
14.【答案】9
15.【答案】 /答案不唯一
16.【答案】或
17.【答案】
18.【答案】
19.【答案】【小题1】
解：
由得：，
解得：，
将代入②得：，
解得：，
方程组的解为；
【小题2】
解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
在数轴上表示如下：
不等式组的解集为，
所有整数解为．

20.【答案】作法一：如图，即为所求，
由作图， ，
则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形；
作法二：如图，即为所求，

由作图可知，
，
∴，
∴为等腰直角三角形；

21.【答案】【小题1】
2
【小题2】
证明：，，
，
，
，
为直角三角形；
【小题3】
解：，，
，
，
、、是的三条边长，
，，
，
，
，
又，
，
，
，
的取值范围为．

22.【答案】证明：∵（已知），
∴（同旁内角互补，两直线平行），
∴（两直线平行，内错角相等），
又∵（已知），
∴，即（等式性质），
∴（内错角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，内错角相等）．

23.【答案】【小题1】
解：由题意可知，，
；
【小题2】
解：当时，，解得：；
当时，，解得：；
当时，，解得：；
则当时，选择南店更划算；当时，两家店花费相同；当时，选择北店更划算．

24.【答案】【小题1】
解：转盘的圆心角总和为，
七折优惠对应的圆心角为，
．
【小题2】
解：20元对应的圆心角为，
．
【小题3】
解：中奖得现金包括获得10元或20元两种情况，
对应的圆心角之和为，
．
【小题4】
解：谢谢参与对应的圆心角为，
．
【小题5】
设计方案如图，

25.【答案】【小题1】
解：设每个篮球元，每个足球元，
则，解得：，
答：每个篮球150元，每个足球100元；
【小题2】
解：篮球价格按原价的优惠，足球提价，
调整后篮球的价格为（元），足球的价格为（元），
设购买篮球个，则购买足球个，
则，
解得：，
设购买费用为，
则，
，
随的增大而增大，
当时，有最小值，此时，
最节省费用的购买方案是购买篮球15个，足球45个．

26.【答案】【小题1】
大
【小题2】
解：当时，，
理由如下：
，
，
，
；
【小题3】
解：当或时，是等腰三角形．
当时，，
，
又，
则，
故不成立；
当时，，
，
，
，
在中，，
此时，，
在点的滑动过程中，当时，是等腰三角形；
当时，，
，
在中，，
此时，；
在点的滑动过程中，当时，是等腰三角形；
综上所述，在点的滑动过程中，当或时，是等腰三角形．

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