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2025-2026学年江苏省苏州市昆山市八年级（下）期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，则的值为（　　）
A. B. C. D.
2.掷两枚质地均匀的骰子，每个骰子的六个面上分别刻有1～6的点数，下列事件是必然事件的是（　　）
A. 掷的点数之和大于1 B. 掷的点数之和大于3 C. 掷的点数之和为6 D. 掷的点数之和为13
3.若关于x的一元二次方程x2+mx-3=0的一个实数根为1，则另一实数根为（　　）
A. -4 B. -3 C. 2 D. 3
4.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点C旋转180°得到△DEC，连接AE，BD.添加一个条件使四边形ABDE是正方形，那么添加的条件可以是（　　）
A. AC=BC
B. BC=2AC
C. ∠ABC=30°
D. ∠CAB=2∠CBA
5.用两张全等的直角三角形纸片不能拼成的平面图形是（　　）
A. 等腰三角形 B. 矩形 C. 梯形 D. 平行四边形
6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AD平分∠CAB交BC于点D，则线段CD的长度为（　　）
A.
B.
C.
D.
7.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD=8，E是BC中点.连接AE，BD，交于点F，连接AC，DE，交于点G.连接FG，则FG的长为（　　）
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
8.如图，公元3世纪，我国汉代数学家赵爽用图1验证了勾股定理，这个图形被称为“弦图”.数学研究小组利用“弦图”开展了探究，在如图2所示的“弦图”中，延长DE交AB于点I，连接CE，交BG于点J，连接AH.若DH=HE，则下列结论不正确的是（　　）
A. AE=HE B. AI=BI
C. S△AEH= D. S△BCJ=2S△ADH
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.一个样本共有20个数据，分别落在4个组内.如果数据落在第一、二、三组的频数分别是3，6，7，那么数据落在第四组的频数为 .
10.已知△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的面积之比为1：4，则△ABC与△DEF的周长之比为 .
11.苏州市地形由平原、水域及丘陵山地构成，其中水域分布广泛.如图为苏州市地貌类型扇形统计图，如果苏州市丘陵山地面积约为230km2，那么苏州市水域面积约为 km2.
12.如图，在△ABC中，点E，F分别在AB，AC上.添加一个条件使得△AFE∽△ABC，那么添加的条件可以是 .
13.已知一元二次方程x2+3x-2=0的两个实数根分别为a、b,则代数式a2-3b+3的值为 .
14.如图，将矩形OABC放在平面直角坐标系中，点A在x轴正半轴，点C在y轴正半轴，点B在第一象限且坐标为（8，6）.直线与x轴交于点E，与y轴交于点F，点P为线段EF上一点，过P作PQ⊥AB于点Q，作PR⊥BC于点R.若四边形PQBR∽四边形OABC，则点P的坐标为 .
15.如图，在△ABC中，D，E分别为BC，AC边上中点，AD，BE交于点F.若△AEF的面积为6，则△ABC的面积为 .
16.如图，在 ABCD中，∠ABC=60°，AB=4，BC=6，BD为对角线.E是AD边上一动点，连接CE，将CE绕点C按逆时针方向旋转60°得到CE'，当点E'落在BD上时，DE的长为 .
三、计算题：本大题共2小题，共14分。
17.解方程：
（1）（x+1）2-4=0；
（2）2x2+x-1=0.
18.某网店销售一批防晒衣，平均每天可销售20件，每件盈利30元.网店为了增加每天的盈利，决定采取降价销售的措施.假设在一定范围内，防晒衣的销售单价每降低1元，每天销售量就增加2件.如果降价后网店销售这批防晒衣每天盈利768元，那么防晒衣的单价应降多少元？
四、解答题：本题共9小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题5分)
关于x的一元二次方程x2-2mx+m2-m-1=0有两个不相等实数根，求m的取值范围.
20.(本小题7分)
为对比节水龙头的节水效果，某家庭采用简单随机抽样的方法，对“未使用节水龙头”和“使用节水龙头”两种状态各50天的日用水量（用x表示，单位：m3）进行了抽样调查.把所得的数据分组整理，并绘制成统计图表.
未使用节水龙头时50天日用水量频率分布表
日用水量x/m3 频率
0≤x＜0.2 0.02
0.2≤x＜0.4 a
0.4≤x＜0.6 0.44
0.6≤x＜0.8 0.36
0.8≤x＜1.0 0.14
（1）a的值为______，请把频数分布直方图补充完整（画图后标注相应数据）；
（2）“使用节水龙头”后，日用水量在0.6≤x＜0.8的百分比减少了多少？
（3）根据抽样调查结果，估计该家庭“使用节水龙头”50天比“未使用节水龙头”50天能节省多少水？
21.(本小题6分)
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD∥AC，AD⊥AB，BD，AD交于点D.
（1）求证：△ABC∽△BDA；
（2）若AC=3，BC=4，求BD的长.
22.(本小题7分)
如图，在△ABC中，AB=AC，AD为BC边上中线，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AC，AE，DE交于点E，连接BE.
（1）求证：AB=DE；
（2）如果BC=10，AC=13，求四边形AEBD的周长.
23.(本小题7分)
已知关于x的一元二次方程（x-1）（x+3）=m2.
（1）求证：一元二次方程总有两个不相等的实数根；
（2）若x1，x2是关于x的一元二次方程（x-1）（x+3）=m2的两个实数根，试说明（x1+2）（x2+2）＜0.
24.(本小题8分)
（1）如图1，矩形纸片ABCD，F是CD上一点，连接AF，将△ADF沿AF折叠，使点D落在BC边上的点E处.若AB=6，AD=10，求CF的长；
（2）尺规作图：如图2，矩形ABCD，在边AD上找一点Q，使得AQ+BQ=BC（不写作法，保留作图痕迹并标注字母）.
25.(本小题8分)
三国时期的数学家赵爽在《勾股圆方图说》中记载了构造几何图形解一元二次方程的方法，以解一元二次方程x2+3x-10=0为例：
将方程x2+3x-10=0写成x（x+3）=10；
如图1，大正方形由4个小长方形与中间的小正方形组成，
大正方形面积为（x+x+3）2，4个小长方形与正方形的面积的和为4x（x+3）+32，即4×10+9=49.
所以，（x+x+3）2=49，易得一个正实数根x=2.
请用构造几何图形方法解决下列问题：
（1）一元二次方程x2+2x-24=0的一个正实数根为______；
（2）关于x的一元二次方程x2+5x-n=0（n为常数），在所构造的图形中大正方形的面积为81，求出该一元二次方程的正实数根及n的值.（在图2虚线框中画出构造的几何图形并标出相应的边长）.
26.(本小题10分)
【项目式学习】
项目主题：学科融合——用数学眼光观察世界.
项目背景：学习完《相似图形》后，某学校科学小组的同学尝试用数学知识和方法研究物理光学问题.
【项目任务一】
我国古代墨子对光的直线传播、光的反射和小孔成像进行了研究.如图1，已知物体AB与其像A'B'平行.小孔O到AB的距离OE=20cm,到A'B'的距离OF=16cm,物体AB的长为24cm,求像A'B'的长；
【项目任务二】
人类对凸透镜特性的认知，最早源于对自然现象的观察与实践如图2，在光路图中，直线l表示光轴，MN表示凸透镜（MN⊥光轴l），点O为光心，F为凸透镜的焦点.入射光线AE∥光轴l,折射光线EC经过焦点F，CD为物体AB经透镜所成的像（AB⊥光轴l,CD⊥光轴l）.请写出物距BO、焦距OF及像距OD之间的数量关系并说明理由.
27.(本小题10分)
如图，在矩形ABCD中，AB=6cm,AD=8cm.点P从点B出发，沿对角线BD向点D匀速运动，速度为4cm/s,过点P作PQ⊥BD交BC于点Q，以PQ为一边作正方形PQMN，使得点N落在射线PD上，设点P运动的时间为t（单位：s）.
（1）当时，正方形PQMN的边长（即PQ的长）为______cm；
（2）如图1，当N，M，C三点在同一直线上时，求点P的运动时间；
（3）如图2，连接CM，当△CMQ为以MQ为腰的等腰三角形时，求点P的运动时间.
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】A
8.【答案】D
9.【答案】4
10.【答案】1：2
11.【答案】3220
12.【答案】∠AEF=∠C（答案不唯一）
13.【答案】14
14.【答案】（，1）
15.【答案】36
16.【答案】
17.【答案】x1=-3，x2=1
18.【答案】6元或14元．
19.【答案】m的取值范围为m＞-1．
20.【答案】0.04 22% 11 m3
21.【答案】∵BD∥AC，
∴∠CAB=∠ABD，
∵AD⊥AB，BD，AD交于点D，
∴∠BAD=90°，
∵∠C=90°，
∴∠C=∠BAD，
∴△ABC∽△BDA BD的长是
22.【答案】∵在△ABC中，AB=AC，AD为BC边上中线，
∴AD⊥BC，BD=CD，
∵AE∥BC，
∴AE∥CD，AE∥BD，
∵DE∥AC，
∴四边形AEDC是平行四边形，
∴AE=CD，
∴AE=BD，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵∠ADB=90°，
∴四边形AEBD是矩形，
∴AB=DE 四边形AEBD的周长是34
23.【答案】方程化为一般式为x2+2x-3-m2=0，
∵Δ=22-4（-3-m2）
=4m2+16＞0，
∴一元二次方程总有两个不相等的实数根 根据根与系数的关系得x1+x2=-2，x1x2=-3-m2，
（x1+2）（x2+2）
=x1x2+2（x1+x2）+4
=-3-m2+2×（-2）+4
=-3-m2，
∵m2≥0，
∴-3-m2＜0，
即（x1+2）（x2+2）＜0
24.【答案】CF= 如图2中，点Q即为所求．

25.【答案】x=4 该一元二次方程的正实数根为x=2，n=14
26.【答案】【项目任务一】像A'B'的长为；
【项目任务二】，理由如下：
∵AB⊥光轴l，CD⊥光轴l，
∴AB∥CD，
∴∠ABO=∠CDO，∠BAO=∠DCO，
∴△AOB∽△COD，
∴，
∵MN⊥光轴l，AB⊥光轴l，
∴AB∥MN，
∵AE∥光轴l，
∴四边形ABOE是平行四边形，
∴OE=AB，
∴，
∵MN⊥光轴l，CD⊥光轴l，
∴MN∥CD，
∴∠EOF=∠CDF，∠OEF=∠DCF，
∴△EOF∽△CDF，
∴，
∴，
∴OB DF=OD OF，
∵DF=OD-OF，
∴OB （OD-OF）=OD OF，
∴OB OD=OB OF+OD OF，
∴．
27.【答案】 或1s
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