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2025-2026学年湖北省武汉市江岸区高一（下）期末数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知平面向量=（1，2），=（-2，m），且，则m的值为（　　）
A. 1 B. -1 C. 4 D. -4
2.已知单位向量，的夹角为θ，则在方向上的投影向量为（　　）
A. B. C. D.
3.若m,n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论中正确的是（　　）
A. 若m∥α，m⊥β，则α⊥β B. 若m⊥α，m⊥β，则α⊥β
C. 若m∥α，n α，则m∥n D. 若m α，α⊥β，则m⊥β
4.在△ABC中，若a=3，，，则B的大小为（　　）
A. B. C. 或 D. 或
5.已知圆台甲、乙的上底面半径均为r1，下底面半径均为r2，圆台的母线长分别为2（r2-r1），4（r2-r1），则圆台甲体积V1与乙体积V2（　　）
A. B. C. D.
6.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1，AA1=AB=2，平面A1BC⊥平面ABB1A1，直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为，则A1C与平面ABB1A1所成的角为（　　）
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
7.逢山开路，遇水架桥，我国摘取了一系列高速公路“世界之最”，锻造出中国路、中国桥等一张张闪亮的“中国名片”.如图，一辆汽车在一条水平的高速公路上直线行驶，在A，B，C三处测得道路一侧山顶P的仰角依次为30°，45°，60°，其中AB=a,BC=b（0＜a＜3b），则此山的高度为（　　）
A. B. C. D.
8.若三棱锥A-BCD的四个顶点在表面积为64π的球面上，M，N分别是边AB，CD的中点，两条边AB，CD的长度分别为和，则以MN为直径的球的体积取值范围是（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.某户居民今年上半年每月的用水量（单位：t）如下：
月份 1月 2月 3月 4月 5月 6月
用水量 9.0 9.6 14.9 5.9 4.0 7.7
小明在录入数据时，不小心把一个数据9.6录成96，则这组数据中有变化的量是（　　）
A. 平均数 B. 极差 C. 中位数 D. 标准差
10.复数z1，z2，z1+z2在复平面内对应的点分别为P，Q，S，其中O为坐标原点，则下列选项正确的是（　　）
A. B. |z1+z2|≤|z1|+|z2|
C. |z1z2|=|z1||z2| D. 若，则z1z2=0
11.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为，M，N为体对角线BD1上的点，且满足，动点P在三角形ACB1内，且三角形PMN的面积，则（　　）
A. 点N在三角形ACB1内
B. MP∥AA1
C. 直线MP，BD1所成的角是定值且正切值是
D. 点P轨迹长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.用斜二测画法作出△ABC的水平放置的直观图△A′B′C′如图所示，其中，A′B′=1，则△ABC绕AC所在直线旋转一周后所形成的几何体的侧面积为 .
13.如图，在平面四边形ABCD中，AD=CD=2，△ABC为等边三角形，则△BCD面积的最大值为 .
14.已知15个数x1，x2，…，x15的平均数为6，方差为9，现从中剔除x1，x2，x3，x4，x5这5个数，且剔除的这5个数的平均数为7，方差为5，则剩余的10个数x6，x7，…，x15的方差为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
设Ox、Oy是平面内相交成角θ的两条数轴，、分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对（x,y）叫做向量在坐标系xOy中的坐标.
（1）若，设，，求向量与的夹角的余弦值；
（2）若，设A（1，3），B（m,-2），若，求实数m的值.
16.(本小题15分)
在三棱锥P-ABC中，∠ACB=90°，PA⊥底面ABC，.
（1）求A到平面PBC的距离；
（2）求直线PC与平面PAB所成角的正弦值.
17.(本小题15分)
某学校为提升学生的体育健康素养，要求所有学生完成规定的体育锻炼任务，并获得相应过程性积分.现将某校100名学生的体育健康测试成绩（百分制，且均为整数）及相应过程性积分数据，整理如下表：
体育健康测试成绩x 体育过程性积分 人数
90≤x≤100 4 10
80≤x＜90 3 a
70≤x＜80 2 b
60≤x＜70 1 23
0≤x＜60 0 2
（1）估计该100名学生体育健康测试成绩的20%分位数（结果保留整数）；
（2）从该校体育过程性积分不高于1分的学生中随机抽取一名，其体育健康测试成绩记为Y1，上述100名学生体育健康测试成绩的平均值记为Y2.
（i）求Y2的最小值，并用含a的式子表示（Y2的最小值为各分数段分别取最小值时所求得的平均分）；
（ii）若根据表中信息能推断Y1≤Y2恒成立，求a的最小值.
18.(本小题17分)
在四棱锥P-ABCD中，∠APD=∠CPD=30°，.
（1）证明：二面角A-PD-C是直二面角；
（2）若PA=PC=2，AD⊥PD，AB⊥BC.
（i）当∠BAD=90°时，求AP与平面PBD所成角的正弦值；
（ii）设∠ADB=α（0＜α＜90°），将二面角A-PB-D的正切值表示为关于α的函数f（α），并求f（α）的取值范围.
19.(本小题17分)
在如图1所示平面四边形ABCD中，AB=2，，，AB⊥BD，将△BCD沿BD翻折至△PBD（图2），其中P为动点，连接PA，令PA=t,.点E，F，M分别为BP，PA，BD的中点，点N在AD上且满足BN⊥AM，AE与BF交于G，AM与BN交于K，连接GK.
（1）证明：GK∥平面PBD；
（2）当平面AEM⊥平面BFN时，求t的值；
（3）求二面角B-AM-E的余弦值的最小值.
1.【答案】D
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】B
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】D
9.【答案】ABD
10.【答案】ABC
11.【答案】ACD
12.【答案】2π
13.【答案】
14.【答案】10.25
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】68 （i）；（ii）7
18.【答案】证明：在PD上取点E，过E作EA1⊥PD，交PA于A1，
过E作EA2⊥PD，交PC于A2，连接A1A2，
则∠A1EA2为二面角A-PD-C的平面角，
设PE=m（0＜m＜PD），
因为∠APD=∠CPD=30°，
所以，
所以，，
同理可得，，
在△PA1A2中，由余弦定理可得：
=
=
=，
所以△A1A2E为直角三角形，且A1E⊥A2E，
所以∠A1EA2=90°，
所以二面角A-PD-C是直二面角 （i）；（ii）；
19.【答案】证明：因为E，F分别为边BP，PA的中点，所以AE，BF为△PAB的中线，且AE∩BF=G，
所以G为△PAB的重心，则，
在Rt△ABD中，，，
则，，即，
又因为∠ABM=∠DBA=90°，所以△ABM∽△DBA，
则∠BAM=∠BDA，
在Rt△ABK中，∠ABK=90°-∠BAM，
则∠DBN=90°-∠ABK=90°-（90°-∠BAM）=∠BAM=∠BDA，故NB=ND，
又因∠ABN=90°-∠DBN=90°-∠BDA=∠BAN，则NB=NA，即N为AD的中点，
故AM，BN为△ABD的中线，且AM∩BN=K，
则K为△ABD的重心，即，
则，所以在△AEM中，GK∥EM，
因为EM 平面PBD，GK 平面PBD，
所以GK∥平面PBD
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