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北京市燕山教育集团2025—2026学年第二学期八年级期末考试数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.计算的结果为（ ）
A. B. C. D.
2.以下列各组数为边长，能够组成直角三角形的是（）
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
3.下列计算正确的是（）
A. B. C. D.
4.窗棂是中国传统木构建筑的重要元素，不仅具有采光、通风的实用功能，更承载着深厚的文化寓意与艺术审美．如图所示的海棠纹窗棂的外轮廓是正八边形，它的每一个内角都是（）
A. B. C. D.
5.对于正比例函数（），当自变量的值增加2时，函数的值增加6，则的值为（ ）
A. B. C. D.
6.如图，网格中每个小正方形的边长都是1．以点为圆心，长为半径画弧，交网格线于点，则的长为（ ）
A. B. C. D.
7.2026年3月14日是第七个国际数学日，今年国际数学日的主题是“（数学与希望）”．数学节期间，燕山地区开展了“数智创想——学生优秀创意作品征集”活动，该活动将学生创意作品的“科学性、创新性、实践性”三项得分按的比例计入总成绩．小越的作品三项得分分别为10分，9分，8分，则小越的作品总成绩为（ ）
A. 27分 B. 9.3分 C. 9分 D. 8.7分
8.小林在如图1所示的跑道上进行米折返跑，设小林的跑步时间为（单位：），距起跑线的距离为（单位：），与的函数关系的图象大致如图2所示．下列叙述错误的是（ ）．
A. 小林跑完全程共用时
B. 小林跑第1个的平均速度大于跑最后的平均速度
C. 小林前跑过的路程大于最后跑过的路程
D. 小林在跑最后的过程中，速度越来越快
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
10.比较大小： ．（填“<”，“=”或“>”）
11.如图，中，，则 ．
12.如图，在矩形中，对角线相交于点O，点E、F分别是的中点，若，则 ．
13.如图，直线：与直线：（）交于点，则关于的不等式的解集是 ．
14.年月日，神舟二十三号载人飞船发射取得圆满成功．为进一步增强同学们对航天知识的了解，某校组织了以“七秩问天路携手探九霄”为主题的航天知识竞赛，甲、乙两个班各派名学生参加，两个班学生的竞赛成绩如图所示，则 ， （填“”，“”或“”）．
15.已知命题“点，在一次函数（）的图象上，若，则”．请写出能说明为假命题的一组，的值： ， ．
16.在中，，（），对角线，交于点，点是边上的一个动点（不与点，重合），连接并延长交于点，连接，．
给出下列四个结论：
①对于动点，四边形始终是平行四边形；
②当时，至少存在一个点，使得四边形是矩形；
③不论取何值，至少存在一个点，使得四边形是菱形；
④若，不论取何值，至少存在一个点，使得四边形是正方形．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、计算题：本大题共2小题，共6分。
17.计算：．
18.计算：．
四、解答题：本题共10小题，共62分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题3分)
已知，，求代数式的值．
20.(本小题5分)
学习了四边形知识后，小芳给出了“过直线外一点作这条直线的平行线”的新方法，如图．
①在直线上任取两点，，连接；
②分别以点为圆心，长为半径画弧，以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点；
③作直线．
直线即为所求．
根据小芳设计的尺规作图过程．
(1) 使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
(2) 完成下面的证明．
证明： ， ，
四边形为平行四边形，（ ）（填推理的依据）
．
21.(本小题5分)
在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是，每个小方格的顶点叫做格点．以格点为顶点，分别按下列要求在网格中画出图形并回答问题．
(1) 在图中，以线段为一边画一个正方形，并写出所画正方形的面积；
(2) 在图中，画一个三边长分别为，，的三角形．
22.(本小题5分)
在平面直角坐标系中，函数（）的图象由函数的图象平移得到，且经过点．
(1) 求这个一次函数的解析式；
(2) 当时，对于的每一个值，函数的值小于函数（）的值，直接写出的取值范围．
23.(本小题5分)
如图，中，平分交于点，过点作交于点，连接交于点，连接．
(1) 求证：四边形是菱形；
(2) 若，，，求的长．
24.(本小题9分)
某公司对员工使用技术辅助办公的能力进行评估测试．甲、乙、丙三个部门各有名员工，对他们的测试成绩数据（十分制且均为整数）进行整理、描述和分析．
下面给出了部分信息：
．甲、乙两个部门员工测试成绩的箱线图：
．丙部门员工的测试成绩为：，，，，，，，，，；
．甲、乙、丙三个部门员工测试成绩的平均数、众数、中位数及方差：
部门 平均数 众数 中位数 方差
甲
乙
丙
根据以上信息，回答下列问题：
(1) 写出表中，，的值；
(2) 甲部门员工小宇和乙部门员工小智的测试成绩都是分，这两名员工在本部门成绩排名更靠前的是 （填“小宇”或“小智”），理由是 ；
(3) 公司对三个部门的测试成绩进行评估，平均数较大的部门排序靠前，若平均数相同，则方差较小的部门排序靠前，据此推断：三个部门中排序最靠前的是 ．
25.(本小题9分)
科学兴趣小组为了研究两种材料，的导热性差异，在两种不同材料容器中放入等量的水，并记录了在相同条件下，当加热时间为（单位：）时，容器中水的温度（单位：）和容器中水的温度（单位：），部分数据如下：
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
20 26 32 44 50 56 62 68 74 80
20 22 25 28 32 38 45 52 60 59 80
通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系，其中可以近似看作是关于的一次函数，补充完成以下内容．
(1) ①的值为 ；②加热时间越长，容器中水的温度越高．请选出中不符合这条规律的数据，在表格中划“”；
(2) 结合（1）的研究结果，在给出的平面直角坐标系中，画出，两个函数的图象；
(3) 根据以上数据与函数图象，解决下列问题：
①当加热时，容器中水的温度与容器中水的温度差约为 ；（结果保留小数点后一位）
②当加热时间大约为 时，两个容器内水的温度差最大．（结果保留小数点后一位）
26.(本小题6分)
在平面直角坐标系中，已知直线：（）经过点，且与直线：交于点．
(1) 求，，的值；
(2) 已知点，过点作垂直于轴的直线交直线于点，过点作垂直于轴的直线交直线于点．若，结合函数图象，求的取值范围．
27.(本小题6分)
如图，正方形中，点为边上一点（与点，不重合），连接，过点作交的延长线于点，连接，过点作于点，连接．
(1) 依题意补全图形，并证明；
(2) 用等式表示线段与之间的数量关系，并证明．
28.(本小题9分)
在平面直角坐标系中，对于图形，给出如下定义：
点，是图形上任意两点，记的最大值为，的最大值为，若，则称图形是“和谐图形”．已知点，，直线与轴，轴分别交于点，．
(1) 下列图形：①线段；②；③，其中是“和谐图形”的是 （填序号）；
(2) 若直线上存在点，使得线段是“和谐图形”，求点的横坐标的值；
(3) 已知点为直线上一点，正方形以点为中心，边长为，且两条对角线均与坐标轴垂直．若在正方形上存在点，使得是“和谐图形”，直接写出点的横坐标的取值范围．
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】C
9.【答案】
10.【答案】<
11.【答案】
12.【答案】2
13.【答案】
14.【答案】

15.【答案】 /（答案不唯一）
1/（答案不唯一）

16.【答案】①③/③①
17.【答案】解：

．

18.【答案】解：

．

19.【答案】解：∵，，
∴，，
∴
．

20.【答案】【小题1】
【小题2】


两组对边分别相等的四边形是平行四边形

21.【答案】【小题1】
解：观察网格，点、横向差2格，纵向差2格，由勾股定理，正方形面积，
因此正方形面积为8．
从点向下平移2格、向右平移2格，同理从点作垂直边，四点顺次连接即为以为边的格点正方形．
正方形即为所求，

【小题2】
即为所求

22.【答案】【小题1】
解：∵由平移得到，
因此，函数可写为．
将点代入解析式：，
解得．
因此这个一次函数的解析式为：．
【小题2】
解：根据题意，当时，恒成立，
整理不等式得：．
当时，，
因此的最大值为，即．

23.【答案】【小题1】
证明：平行四边形，
．
又，
四边形是平行四边形．
是的平分线，
．
，
，
，
，
四边形是菱形．
【小题2】
解：如图，作于点．
四边形是菱形，
．
，
．
在中，，，
，
∴，
在中，，
∴，
∵平行四边形，
∴，
，
．

24.【答案】【小题1】
解：由箱线图可得，甲部门的员工的测试成绩中位数为，
由丙部门员工的测试成绩可知，，；
【小题2】
小宇
甲部门上四分位数分，乙部门上四分位数分，小宇的成绩分高于甲部门前员工的成绩，而小智的成绩分低于乙部门前员工的成绩，故小宇的成绩在本部门排名更靠前
【小题3】
丙

25.【答案】【小题1】
解：①38；
设一次函数解析式，代入表格及：
，
解得，
因此．
当时： ，
故．
②观察序列：，
时，，前一组时，温度下降，不符合规律．
表格处理：在对应的上划“”．
【小题2】
【小题3】
8.5
8.9

26.【答案】【小题1】
解：将点，代入中，
得
解得，
将点代入中，得，
解得，
即，，；
【小题2】
点在直线上，过点作垂直于轴的直线交于点，
，
恒等于，
过点作垂直于轴的直线交于点，
，
，
，
，
解得，
即的取值范围是．

27.【答案】【小题1】
补全的图形如图所示
证明：四边形是正方形，
，，
．
，即，
，
，
，
，
于点，
．
【小题2】
解：，证明如下：
如图，取的中点，连接，．
四边形是正方形，
，．
，，
．
，
，
，
∵，
∴．
点是的中点，点是的中点，
为的中位线，
，，
，
∴，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
．

28.【答案】【小题1】
②③
【小题2】
解：∵点P是直线上的一点，
∴设点的坐标为，
∵
∴线段的，，
∵线段是“和谐图形”，
∴，即，
解得或，
∴点的横坐标的值为或；
【小题3】
解：设点，先分析点需满足的要求，
如图，分别过点C、D作坐标轴的平行线，将平面直角坐标系分为块区域，
当点在区域，即，时，
，，
∵，
∴，即，
∴此时点在直线上；
当点在区域，即，时，
，，
∴，解得，
∴此时点在直线上；
当点在区域，即，时，
，，
∴，即，
∴此时点在直线上；
同理，当点在区域、、时，对应的直线分别为，，，
当点在区域，即，时，
，，
∴，即，与题设矛盾，
∴该区域不存在符合要求的点；
同理，区域和区域也不存在符合要求的点；
综上，符合要求的点在上下两段折线上；
设正方形四个顶点分别为、、、，
①当点在点所在的上半折线上时，如图，
∵点在直线上，
∴设点的坐标为，
∵四边形是正方形，
∴，，
在中，，
∴，解得，
∴，
∵、都与坐标轴垂直，
∴点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，
由图可知，点在直线上，
∴，解得；
②当点在点所在的上半折线上时，如图，
由图可知，点在直线上，
∴，解得，
∴当正方形与点所在的上半折线相交时，的取值范围为；
③当点在点所在的下半折线上时，如图，
由图可知，点在直线上，
∴，解得；
④当点在点所在的下半折线上时，如图，
由图可知，点在直线上，
∴，解得，
∴当正方形与点所在的下半折线相交时，的取值范围为；
综上所述，的取值范围为或，即点的横坐标的取值范围为或．

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