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2025-2026学年山西省太原市七年级（下）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.刺绣是中国民间传统手工艺之一.下列刺绣图案中，是轴对称图形的是（　　）
A. B.
C. D.
2.下列运算正确的是（　　）
A. a2b a3b=a6b2 B. a6÷a3=a2
C. （a-b）（b+a）=a2-b2 D. （a+1）2=a2+1
3.成语“守株待兔”的故事反应的事件是（　　）
A. 必然事件 B. 不可能事件 C. 随机事件 D. 无法判断
4.仰卧起坐是增加躯干肌肉力量和伸张性的一种运动，能够很好地锻炼腹部肌肉.如图是小美同学做仰卧起坐运动时，某一瞬间的动作及示意图，点A，B，C，D，M，N均在同一平面，且AB∥CD，∠DCN=128°，∠DAC=62°，则∠BAD的大小为（　　）
A. 74° B. 66° C. 62° D. 56°
5.学校新安装一台智能饮水机，某天中午小俊通过观察，记录了饮水机工作时间与水温的关系，如表：
水温（℃） 30 40 50 60 70 80 …
时间（时：分） 12：03 12：08 12：13 12：18 12：23 12：28 …
请你帮小俊推算水烧开（100℃）的时间预计为（　　）
A. 12：30 B. 12：33 C. 12：35 D. 12：38
6.如图，借助直角三角板作△ABC的边BC上的高，下列直角三角板的位置摆放正确（　　）
A. B.
C. D.
7.如图1，长为10cm,宽为8cm的长方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积是多少，进行了模拟试验，通过计算机随机投放一个点，并记录该点落在不规则图案上的次数，得到如下数据：由此可估计不规则图案的面积大约为（　　）
A. 32cm2 B. 24cm2 C. 16cm2 D. 8cm2
8.据报道，我国复旦大学某科研团队研制出“破晓（PoX）”新型闪存器件，该器件执行一次擦写需要400皮秒，其速度在半导体电荷存储领域全球领先，已知1皮秒等于1×10-12秒，数据“400皮秒”用科学记数法表示为（　　）
A. 0.4×10-9秒 B. 400×10-12秒 C. 4×10-11秒 D. 4×10-10秒
9.根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC的是（　　）
A. ∠C=90°，AB=6 B. AB=4，BC=3，∠A=30°
C. ∠A=60°，∠B=45°，AB=4 D. AB=3，BC=4，CA=8
10.如图，线段AB与线段CD关于直线PQ对称，且AB与CD的交点O在直线PQ上，点A，B的对称点分别是点C，D.下列结论不一定正确的是（　　）
A. AB⊥CD
B. BD⊥PQ
C. ∠DOQ=∠AOP
D. AC∥BD
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.（a2）3= ．
12.如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高.某日太原市正午太阳光线与水平面的夹角∠β为54°.若调整集热板角度，使光能利用率最高，则集热板与水平面的夹角∠α的度数是 .
13.某景区共享快充充电宝的租金规则是：前30分钟，每分钟按0.2元计费；30分钟后，超过部分按每分钟0.1元计费.设租用一个该款共享快充充电宝的时间为t（t＞30）分钟，则总费用y（元）与时间t（分钟）的关系式是 .
14.请运用“特殊化”策略完成本题：如图，点P是等边三角形ABC内任意一点，过点P向三边作垂线，垂足分别是D，E，F，若AB=6，则AE+BF+CD的值为 .
15.如图，在三角形纸片ABC中，AB=AC，点D在边BC上（点B，D不重合，CD＞BD），将△ACD沿AD折叠后得到△AED，DE交AB于点F.若AD=AF，∠BAC=72°，则∠CAD的度数为 .
三、计算题：本大题共3小题，共20分。
16.计算：
（1）；
（2）（3a+2b）（a-b）.
17.先化简，再求值：[（x-y）2+（3x+y）（3x-y）]÷2x,其中x=2，y=-1.
18.综合与实践
【实践背景】双塔寺又名永祚寺，现为国家级文物保护单位，也是太原市的标志性建筑之一.如图1所示，A，B两点分别为其中一塔底座的两端（其中A，B两点均在地面上）.
【实践主题】测量其中一塔底座两端A，B的距离.
【实践方案】由于A，B两点间的实际距离无法直接测量，甲、乙两名同学学习了“利用三角形全等测距离”的知识后，分别设计出了如下两种方案：
测量方案 图示
甲同学 如图2：①在平地上取一个可以直接到达点A，B的点O.
②连接AO并延长到点C，使CO=AO.
③连接BO并延长到点D，使DO=BO.
④连接DC.
测量DC的长即可.
乙同学 如图3：①在平地上作射线BE.
②在射线BE上找一个可以直接到达点A的点D.连接DA.③在射线BE另一侧的平地上作DC=DA.
④连接BC.
测量BC的长即可.
【实践探索】
（1）请你从甲、乙两名同学设计的方案中选择可行的方案，并说明它可行的理由；
（2）对于（1）中不可行的方案，请添加一个条件，使该方案可行，无需说明理由.
四、解答题：本题共5小题，共35分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题5分)
学校计划每周二下午第三节课开展“优秀传统文化进校园”活动，拟开展活动项目为：剪纸、武术、书法、器乐，要求七年级100名学生人人参加，并且每人只能参加其中一项活动.教务处对此进行统计，绘制了如下表格.
剪纸 武术 书法 器乐
男生人数 10 20 13 9
女生人数 15 10 8 15
学校教务处计划从女生中随机抽取一名了解具体情况，求正好抽到参加“器乐”活动项目的女生的概率.
20.(本小题6分)
如图，用4个长为a,宽为b的小长方形围成一个大正方形.请用两种不同的方法表示阴影部分的面积，你能得到怎样的等式？请验证它的正确性.
21.(本小题6分)
如图，等腰三角形ABC中，AB=AC.
（1）在图1中，仅用无刻度的直尺和圆规作出BC边上的高AH（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）如图2，在（1）的条件下，点E为边AC上一点（不与端点重合），射线ED⊥BC于点D，直线MN分别与射线ED，边AB交于点M，N.若∠EMN=∠HAE，小亮发现MN∥AC，并将说理过程梳理为如下思路图，请补全①②③处空缺的内容.
22.(本小题6分)
为了检测甲、乙两个容器的保温性能，检测员在两个容器中同时装满相同温度的水，每隔5min测量一次两个容器中的水温（实验过程中室温保持不变），最后根据记录的温度画出如图所示的图象.
观察图象，回答下列问题：
（1）经过1h,______容器中的水温较高（填“甲”或“乙”）；
（2）请写出图中点M表示的实际意义；
（3）你认为哪个容器的保温性能更好些？说说你的理由.
23.(本小题12分)
综合与探究
问题情境：数学课上，同学们利用所学的三角形及轴对称的知识，探索图形变化中的数学问题.已知：如图1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=40°，点D是线段AB上的一个动点，点A关于直线CD的对称点为点P.射线AP分别交直线CD于点Q，交射线CB于点H，连接CP交射线AB于点E.
特例分析：（1）如图2，当点P落在射线CB上时，请直接写出∠APC的度数；
拓展探究：（2）如图3，若∠AHC=40°，判断PH与BH的数量关系，并说明理由；
（3）当△AEC是直角三角形时，请直接写出∠AHC的度数.
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】A
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】C
10.【答案】A
11.【答案】a6
12.【答案】36°
13.【答案】y=0.1t+3
14.【答案】9
15.【答案】48°
16.【答案】2m7n 3 a2-ab-2b2
17.【答案】5x-y，11．
18.【答案】甲同学的方案可行．理由如下：
∵∠AOB和∠COD为直线AC与BD相交形成的对顶角，
∴∠AOB=∠COD，
在△AOB和△COD中，
，
∴△AOB≌△COD（SAS），
∴AB=DC，
因此，甲同学的方案可行 添加条件∠ADB=∠CDB；在△ADB和△CDB中，
，
∴△ADB≌△CDB（SAS），
∴AB=BC，
因此，添加条件∠ADB=∠CDB，可以使乙同学的方案可行
19.【答案】．
20.【答案】（a+b）2-（a-b）2=4ab，理由：
图形中大正方形的边长为a+b，面积为（a+b）2，中间空白正方形的边长为a-b，面积为（a-b）2，阴影部分是4个长为a，宽为b的长方形，面积为4ab，
所以阴影部分的面积就可以表示为两个正方形的面积差，也可以表示为4ab，
所以有（a+b）2-（a-b）2=4ab．
21.【答案】如图，AH即为所求； ①AH∥EM；②∠HAE=∠DEC；③∠EMN=∠DEC
22.【答案】甲 经过160min，甲乙两个容器中水温相同，约为20℃ 甲容器，因为在相同时间内，甲容器中的水温比乙容器中的水温下降得慢
23.【答案】55°；
PH=BH．理由如下：
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵△ABC中，∠BAC=40°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC=140°，
∴∠ABC=∠ACB=70°，
∵△AHC中，∠ACB=70°，∠AHC=40°，
∴∠HAC=180°-∠ACB-∠AHC=70°，
∵点A与点P关于直线CD对称，
∴直线CD垂直平分线段AP，
∴PC=AC，
∴∠APC=∠PAC=70°，
∴∠APC=∠ABC=70°，
∵∠APC+∠HPC=180°，∠ABC+∠HBA=180°，
∴∠HPC=∠HBA，
∵PC=AC，AB=AC，
∴PC=BA，
∵∠AHB=∠CHP，∠HPC=∠HBA，PC=BA，
∴△AHB≌△CHP（AAS），
∴PH=BH；
45°或65°
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