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2025-2026学年上海市杨浦区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题：本题共5小题，每小题3分，共15分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在平面直角坐标系中，点P（3，-2）关于x轴的对称点在（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.下列y关于x的函数中，正比例函数的是（　　）
A. y=x-2 B. y=2-x C. D.
3.已知点A（-3，y1）、B（-1，y2）、C（2，y3）在反比例函数的图象上，那么y1、y2、y3的大小关系是（　　）
A. y1＜y2＜y3 B. y2＜y1＜y3 C. y3＜y1＜y2 D. y3＜y2＜y1
4.如图，有一块质地均匀的3×4的长方形硬纸片上，沿实线剪下一个三角形，在三角形硬纸片上选一点，在这个点处用细绳将其提起来，如果该三角形纸片处于平衡状态，那么这一点是（　　）
A. 点A
B. 点B
C. 点C
D. 点D
5.已知四边形ABCD中，AB∥CD，AC=BD，下列判断中正确的是（　　）
A. 如果BC=AD，那么四边形ABCD是平行四边形
B. 如果AD∥BC，那么四边形ABCD是菱形
C. 如果AC平分BD，那么四边形ABCD是矩形
D. 如果AC⊥BD，那么四边形ABCD是正方形
二、填空题：本题共11小题，每小题3分，共33分。
6.直线y=x-3的截距是 .
7.如果点P（m+2，2m+1）在y轴上，那么m的值是 .
8.经过点M（-1，3）且平行于x轴的直线可记为直线 .
9.在平面直角坐标系中，已知点A（2，3），点B（-2，6），那么线段AB的长是 .
10.如果一个多边形的内角和等于外角和的5倍，那么它的边数是______．
11.已知点B（1，3）是直线y=kx+b（k＜0）上一点，那么关于x的不等式kx+b＞3的解集是 .
12.如果一个反比例函数的图象在它所在的每一个象限内，y的值随x的值增大而减小，那么这个反比例函数的表达式可以是 （只需写一个）.
13.在平行四边形ABCD中，如果∠A：∠B=2：3，那么∠D的度数是 .
14.在矩形ABCD中，点E在边CD上，点E关于直线AD的对称点为点F，联结BE、EF、AF，如果四边形ABEF是菱形，那么∠F= 度.
15.函数和的部分图象如图所示，点A在的图象上，过点A作AB∥y轴交x轴于点C，交的图象于点B，如果BC=2AC，那么的值是 .
16.如图，已知在△ABC中，AB=7，∠ACB=120°，将△ABC绕点B顺时针旋转60°，点A、C分别落在点D、E处，连接DC，如果DC⊥AC，那么边BC的长为 .
三、解答题：本题共7小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
已知一次函数y=kx-4，当x=2时，y=-3．
（1）求一次函数的解析式；
（2）将该函数的图象向上平移6个单位，求平移后的图象与x轴交点的坐标．
18.(本小题6分)
研究发现：初中生在数学课上的注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生注意力直线上升，中间一段时间，学生的注意力保持平稳状态，随后开始分散，注意力与时间呈反比例关系降回开始时的水平.学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示.
（1）求反比例图数的表达式，并求点A对应的指标值；
（2）张老师在一节课上从第10分钟开始讲解一道数学综合题，讲解这道题需要15分钟，当张老师讲完这道题时，学生的注意力指标值达到多少？
19.(本小题6分)
如图，在△ABC中，AE、BD分别是边BC、AC上的中线，AE与BD相交于点F.
（1）求S△AFD：S△ABD的值；
（2）如果AE⊥BD，且AB=10，BD=12.求AE的长.
20.(本小题6分)
如图，已知：在△ABC中，∠BAC=90°，点D、E分别是边AB、BC的中点，点F在边AC上，DF∥BC，联结DE、EF.求证：四边形ADEF是矩形.
21.(本小题8分)
综合实践：神奇的密码
【问题背景】密码是一种将可识别的信息（明文）转换为秘密信息（密文）的技术，这个过程称为“加密”；而密文是可以破解的，这个过程称为“解密”.明文与密文之间的转换的关键是“密钥”.有一种密码，将26个英文字母分别转换为数字0～25后进行数学变换从而获得密文.字母与数字的对应如表：
字母 A B C D E F G H I J K L M
数字 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
字母 N O P Q R S T U V W X Y Z
数字 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
【加密规则】
①选择一个“乘密钥”a和一个“加密钥”b（1≤a≤9，1≤b≤9，a,b均为整数）；
②对明文中的每个字母，先将其对应数字m乘a,再加上b,得到一个总和S，即S=a m+b；
③对每个字母得到的总和S逐个进行判断；
若S在0到25之间，则S就是该字母加密后的密文所对应的数字；
若S大于25，则不断减去26，直到结果落在0～25之间；
④将得到的对应数字转换为字母，从而获得明文中每个字母加密后的密文.
例如：设a=3，b=4，我们可以将明文中字母P（m=15）转换成所对应的密文.
计算：S=3×15+4=49.∵49＞25，∴49-26=23.
∵23对应字母X，∴明文中字母P对应的密文是字母X.
【问题探究】请你根据以上材料，完成探究：
（1）若密钥为a=2，b=5，则明文“HI”加密后的密文为______；
（2）在某次加密中，使用的“乘密钥”a=3.小明发现，明文“B”被加密后，得到的密文是“M”，
则这次加密使用的“加密钥”b的值为______；
（3）小杨截获了一段密文“OK”，它是由明文“IH”使用上述材料中的加密规则加密而成，且由“I”加密成“O”所使用的密钥（“乘密钥”a,“加密钥”b）与由“H”加密成“K”所使用的密钥（“乘密钥”a,“加密钥”b）一致.求加密规则中使用的“乘密钥”a和“加密钥”b的值；
（4）利用（3）中求得的加密规则中的密钥a和b,求密文“YC”解密获得的明文.
22.(本小题10分)
如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+1与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C在第二象限内，AC⊥AB，且AC=AB．
（1）求点C的坐标；
（2）将△ABC沿x轴向右平移，点A、B、C的对应点分别是点A′、B′、C′，如果点B′、C′都落在双曲线y=上，求k的值；
（3）如果直线y=x+1与第（2）小题中的双曲线y=有两个公共点E和F，求S△OEF的值．
23.(本小题10分)
【问题背景】折纸是一门将数学、艺术与工程完美结合的学科.通过折纸不仅能够创造出非常奇妙的图形，还可以发现一些有趣的数学问题，下面我们就利用一张正方形纸片来开展“折纸与数学”探究活动.
【操作探究】
（1）小创小组将正方形纸片（如图1）按照图2至图3的方式操作，那么图3中∠EBG=______°；
（2）小智小组将正方形纸片（如图4）按照图5至图7的方式操作，经过测量，发现G是CD的三等分点，请你帮助小智小组证明这个结论；
【深入探究】
（3）小创小组继续探究，如图3，将△DEG沿直线EG折叠，点D落到点P处，得到△PEG.当点P落在△BEG的边上时，如果正方形ABCD的边长为3，请直接写出AE的长.
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】-3
7.【答案】-2
8.【答案】y=3
9.【答案】5
10.【答案】12
11.【答案】x＜1
12.【答案】（答案不唯一）
13.【答案】108°
14.【答案】60
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】解：（1）由已知得：-3=2k-4，
解得：
∴一次函数的解析式为：；
（2）将直线向上平移6个单位后得到的直线是：
∵当y=0时，x=-4，
∴平移后的图象与x轴交点的坐标是（-4，0）．
18.【答案】解：（1）设反比例函数的表达式为，
由图知反比例函数过点C（20，15），则代入表达式得，解得k=300，
∴反比例函数的表达式为；
当x=45时，，故A点对应的指标值；
（2）由题意得x=10+15=25，
∴，
答：当张老师讲完这道题时，学生的注意力指标值达到12．
19.【答案】 9
20.【答案】∵点D、E分别是边AB、BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AC，
即DE∥AF，
∵DF∥BC，点D是边AB的中点，
∴DF是△ABC的中位线，F是AC的中点，
∵点E是BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥AB，
即EF∥AD，
∵DE∥AF，EF∥AD，
∴四边形ADEF是平行四边形，
∵∠BAC=90°，
∴ ADEF是矩形．
21.【答案】TV 9 a=4，b=8 EF或ES或RF或RS
22.【答案】解：（1）过点C作CH⊥x轴于点H，如图所示：
则∠CHA=90°，
∴∠C+∠CAH=90°，
∵CA⊥AB，
∴∠CAB=90°，
∴∠CAH+∠OAB=90°，
∴∠C=∠OAB，
∵AC=AB，
∴△CHA≌△AOB（AAS），
∴CH=AO，AH=OB，
当y=x+1=0时，x=-3，
∴A（-3，0），
∴OA=3，
当x=0时，y=x+1=1，
∴B（0，1），
∴OB=1，
∴CH=3，AH=1，
∴点C坐标为（-4，3）；
（2）设△ABC沿x轴向右平移距离为m，
则B′（m，1），C′（-4+m，3），
∵点B′、C′都落在双曲线y=上，
∴m=3（-4+m），
解得m=6，
∴点B′（6，1），
∴k=6×1=6；
（3）联立，
解得或，
∴点E坐标为（-6，-1），点F坐标为（3，2），
∴S△OEF=S△OAF+S△OAE
=
=．
23.【答案】45 设正方形ABCD的边长为a，
由折叠可知，E是AD的中点，
∴，
由折叠可知，BF=AB=a，，∠BFE=∠A=90°，BF=BC=a，FG=CG，∠BFG=∠C=90°，
∴∠BFE+∠BFG=180°，即点E，F，G在同一条直线上，
∴，
设CG=x，则FG=x，DG=CD-CG=a-x，
在Rt△DEG中，ED2+DG2=EG2，
，
，
a2-2ax=ax，
a2=3ax，
∵a≠0，
∴，即，
∴G是CD的三等分点 AE的长为或
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