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四川省南充市2025-2026学年七年级下学期期末考试数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各数中，没有平方根的是（）
A. B. C. D.
2.以下问题，不适合用全面调查的是( )
A. 旅客上飞机前的安检 B. 学校招聘教师，对应聘人员的面试
C. 了解全班学生的课外读书时间 D. 了解一批灯泡的使用寿命
3.不等关系在生活中广泛存在．如图，小强与小伟现在的年龄分别是a岁，b岁．图中两人的对话体现的数学解释是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，，则 D. 若，，则
4.若关于x，y的二元一次方程组的解为，则的值是（ ）
A. 3 B. 2 C. 1 D. -2
5.如图，将木条a，b与c钉在一起，，，要使木条a与b平行，木条b旋转的度数是（ ）
A. B. C. D.
6.徐霞客是我国明代伟大的旅行家、地理学家、史学家、文学家．早在2011年起，我国就将每年的5月19日，即《徐霞客游记》的开篇日确定为“中国旅游日”．某旅游部门对2026年第一季度游客在风景区的旅游时间作抽样调查，统计如下：
旅游时间 当天往返 2~3天 4~7天 8~14天 半月以上 合计
人数（人） 76 120 80 19 5 300
若将统计数据制成扇形统计图，则表示旅游时间为“天”的扇形圆心角的度数为（ ）
A. B. C. D.
7.点不可能在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
8.在二元一次方程中，若x的取值范围是，则y的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
9.一宾馆有2人间、3人间、4人间三种客房供游客租住，某旅行团20人同时租用了这三种客房，每间刚好住满．若租用房间共7间，则租用的2人间最多有（）
A. 3间 B. 4间 C. 5间 D. 6间
10.如图，在科学《光的反射》活动课中，小亮同学将支架平面镜放置在水平桌面上，镜面与桌面的夹角，激光笔发出的光束射到平面镜上，反射光束与水平天花板恰好垂直，则激光笔发出的光束所在直线与天花板的夹角的度数为（ ）（提示：根据光的反射原理可得．）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
11.若，则x的值为 ．
12.如图，直线，相交于点O，平分，．若，则的度数为 ．
13.如图，是一家企业今年5月份的产值分配条形图和扇形图（不完整）．这家企业今年5月份的管理成本是 （万元）．
14.请你阅读下面的诗句：“栖树一群鸦，鸦树不知数，三只栖一树，五只没去处，五只栖一树，闲了一棵树，请你仔细数，鸦树各几何？”若诗句中谈到的鸦为x只，树为y棵，则可列出方程组为 ．
15.如图，在平面直角坐标系中，已知，将线段平移到，D，E分别在x轴和线段上．当三角形是三角形面积的3倍时，点D的坐标为 ．
16.关于x的不等式的最大整数解可表示为，则符合条件的a的值是 ．
三、计算题：本大题共2小题，共14分。
17.计算：．
18.解方程组：．
四、解答题：本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题7分)
求同时满足不等式和的整数x的值．
20.(本小题8分)
按照国际通行的标准，当一个国家或地区60岁及以上人口达到人口总数的10%，或65岁及以上人口达到人口总数的7%，即意味着这个国家或地区进入老龄化社会．某中学七年级学生随机调查了某县城800名常住居民的年龄情况，被调查居民年龄情况的统计图如图（年龄段30岁以下，30-54岁，55-59岁，60-64岁，65-69岁，70岁及以上分别用A，B，C，D，E，F表示）．
(1) 在所调查的居民中，60岁及以上人口占县城人口总数的百分比是多少？65岁及以上呢？该县城是否进入了老龄化社会？并说明理由；
(2) 该县城若有20万常住居民，根据以上数据推断，60岁以下居民比60岁以上（包括60岁）居民多多少人？
21.(本小题8分)
如图，网格的小正方形边长为1，七边形的顶点都在格点上．
(1) 写出点B，C的坐标；
(2) 写出七边形各边具有的平行或垂直关系（不说理由）
(3) 连接和，求三角形的面积．
22.(本小题10分)
如图，在三角形中，点D在边的延长线上，为的平分线，，与，分别交于F，G，．
(1) 求证：；
(2) 若，求的度数．
23.(本小题10分)
项目式学习：奖品采购探究项目．
背景 为了提高同学们对唐宋诗词的兴趣，学校开展了“品读唐宋诗词，弘扬华夏文明”的读书活动，并举行了诗词知识竞赛．
信息1 竞赛共25道选择题，每题有四个选项，其中只有一个符合要求．选对得4分，不选或错选倒扣1分．总分不低于80分获奖．
信息2 学校准备购买A，B两种笔记本作为奖品．已知3个A种笔记本和2个B种笔记本共42元，2个A种笔记本和3个B种笔记本共38元．
信息3 竞赛结果，总分不低于80分的共120人．购买奖品的金额不超过1000元，其中A种数量不少于B种数量．
根据以上信息，完成下列任务：
(1) 明英同学是获奖者，她至少答对了多少道题？
(2) 求两种笔记本的单价？
(3) 请给出购买奖品的最佳方案（即价格稍高的尽量多买，奖金尽量用完的方案）．
24.(本小题11分)
【阅读材料】
关于x，y的二元一次方程组把每个方程中未知数x，y的系数分别互换（常数项不变），得到的新方程组称为原方程组的“倒位方程组”．如果原方程组和它的“倒位方程组”有完全相同的解，则原方程组为“自倒方程组”．
(1) 【初步感知】
方程组的“倒位方程组”为 ，该方程组 （选填“是”或“不是”）“自倒方程组”．
(2) 【深入探究】
若关于x，y的方程组是“自倒方程组”，求m的值和该方程组的解．
(3) 【拓展延伸】已知关于x，y的方程组是“自倒方程组”，且，，，，求a，b，c，d，m，n应满足的数量关系．
25.(本小题12分)
如图1，按指定方式放置一副三角板与，点D在上，，．三角板可绕点C以每秒顺时针旋转一周．
(1) 求的度数；
(2) 当时，求旋转的时间；
(3) 如图2，在三角板旋转的同时，若三角板也绕点C以每秒顺时针旋转，平分，平分，问的度数是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由．
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】B
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】D
9.【答案】A
10.【答案】C
11.【答案】
12.【答案】 /度
13.【答案】24
14.【答案】
15.【答案】或
16.【答案】或
17.【答案】解：原式
．

18.【答案】解：，
由②，得③，
①③，得，
解得，
把代入①，得，
解得，
∴方程组的解是．

19.【答案】解：由题意，得，
解不等式，解得，
解不等式，解得，
这两个不等式的解集在数轴上表示如图：
它们的公共部分是，
∴整数解，0，1，2．

20.【答案】【小题1】
该县城进入了老龄化社会，理由如下：
60岁及以上人口占比，
65岁及以上人口占比，
∵，，
∴该县城进入了老龄化社会
【小题2】
解：该县城抽样800名常住居民中，
60岁以下居民有（人），
60岁以上（包括60岁）居民有（人），
（万人），
推断20万常住居民中，60岁以下居民比60岁以上（包括60岁）居民约多14.5万人．

21.【答案】【小题1】
解：B，C坐标分别是，；
【小题2】
解：具有的平行关系是，；
具有的垂直关系是，，，；
【小题3】
解：．

22.【答案】【小题1】
证明：如下图：
，
．
，
．
，
．
为的平分线，
，
，
；
【小题2】
解：由（1），设，则，
，
，
，
（由（1）可知），
，
∵，
即，
解得，
．

23.【答案】【小题1】
解：设她答对了a道题，
由信息1，得，
解得，
∴她至少答对了21道题；
【小题2】
解：设A，B两种笔记本的单价分别为x元，y元，
由信息2，得，
解得，
即A，B两种笔记本的单价分别为10元，6元；
【小题3】
解：设购买A种笔记本m本，则购买B种笔记本本，
由数量关系，得，
，
由金额关系，得，
，
∴，
∴购买奖品的最佳方案是A种笔记本买70本，B种笔记本买50本．

24.【答案】【小题1】
不是
【小题2】
方程组的“倒位方程组”是
∵该方程组是“自倒方程组”，∴它们的解相同．
联立得解得
把代入，解得．
【小题3】
是“自倒方程组”，
与解相同．
联立可得，
，则．
代入方程，得．
同理可得，．
综上，如果是“自倒方程组”，那么．

25.【答案】【小题1】
解：由已知，，
∵，
∴；
【小题2】
解：如图1，作，
，
，
当时，，
，
，
此时，旋转时间为；
显然，再旋转时，仍有，
则旋转时间为；
综上所述，旋转时间为或；
【小题3】
解：的度数为定值．理由如下：
设表示初始位置，分以下三种情况讨论：
①当时，设旋转后如图2①．
则，．
，
，
．
平分，平分，
，．
．
．
．
即的度数为，是定值；
②当时，设旋转后如图2②，
则，，
，，，
平分，平分，
，，
，
，
，
即的度数为，是定值；
③当时，设旋转后如图2③．
则，，
，
，，
平分，平分，
，，
，
，
，
即的度数为，是定值．
综上，的度数为定值．

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